장음표시 사용
61쪽
operam dabant, in astrologia, alchymia sit maxime in miseris controversiis religiosis versarentur, vix ullius momenti erat detrimentum, quod fecerunt artes, quum Arabes, regnanto Omaro Caliso, Alexandriam expugnarunt 642 , et, id quod tamen in dubio est, quae ex bibliothecis reliqua erant, combu erunt. Etiam Athenis in schola Platonicorum, et postea in schola Neo-Platonicorum, qui appellabantur, diu noruerunt artes, et quum doeti seditionibus intestinis et bellis civilibus hic minus vexarentur, quumque ex AEgypto multi homines docti diversis temporibus illo confugerent, Athenas, seculis primis p. Chr. , Studiis literarum Alexandriae haud parum praestitisse accepimus. Invecta religione christiana, maximo colebantur disciplinae usum vitae spectantes; sed hic quoque artes Omnino
ceciderunt, quum dulianus I cb29J scholas philosophorum claudi jussit ).
Arabibus autem est attribuendum, quod aliquando renatae Sunt artes literarum, et imprimis mathesis; annis enim vita CXX post Mahomedem praeterlapSis, mathematicos. scientia bene instructos, apud eos nomisse videmus. A veteribus dis bant Arabes, et in eorum operibus quae a Graecis aeceperant) vertendis et explicandis diligentissimo versabantur. Sed in nostro problemate solvendo, num quid tentaverint, non constat; quum autem algebram, quae vocatur, ab iis inventam, aut saltem excultam, ad geometriam adhibere nescirent, non verisimile videtur, novi quilaquam, ad nostrum problema spectans, ab iis
Studia matheseos ab Arabibus in Hispaniam translata, etiam celeris Occidentalibus cognita esse caeperunt; barbaries autem mediae aetatis, ut satis nolum est, prohibuit, quominus oecidentales aut in mathesi aut in aliis literarum artibus proficerent, et quum aliquando renata sunt litem, longum prius lapsum est spatium temporis, quam literarum studori, operibus velerum edocti, eo profecerunt, ut ad ipsam scientiam amplificandam et augendam aggrederentur. In nostro problemale pertractando etiam horum temporum mathematici saepius versati sunt, sed solutiones inventae aut nihil ad scientiam amplificandam et augendam adserunt, aut sunt prorsus pravae. Itaque, quanquam non est, cur diutius in his moremur, tamen silentio praeterire non possumus, Orontium nrurum scire. 15b0J, et Raphaelum Bombellum cire.
I Ia lis. quae de mus o Alexandrino et aehola Platoni eorum tradidimu . maxime seculi sumus Dr. Parthey Das alexandri visebe Museum. Berlin ISM .
62쪽
lb70), quorum alter problema cubi duplicandi ad quadraturam circuli inveniendam adhibere
studuit ) altor vero conStructione geometrica, quae a Platonis ratione supra commemorata parum dissert, iacasum irreducibilem aequationum gr. 3sit illustrare conatus est.
Quod inceperat Bombellus, id latius produxit Vieta circ. 1590 . Animadvertit
enim sagacissimus ille mathematicus; si in aequatione gradus 3 Hi modo una inesset radix realis, eam cubo duplicando, si vero tres adessent radices reales, eas angulo tri secando posse inveniri. Ad ipsum autem problema cubi duplicandi solvendum mechanicas solum solutiones adhibuit, et eum secuti sunt celeri illorum temporum mathematici, qui quidem nostrum problema solvere conati sint.
Quod conspicati sunt Bombellus et Vieta id clarissime intellexit celeberrimus ille Cartesura nal. 1596 mori. 16b0 , qui primus cin geometriae libr. II) explicat, quomodo curvae aequatione eoordinatarum definiri possint; in libro tertio pag. 85 et sequ. ) deinde docet rationem generalem construendi omnia problemala solida, reducta ad aequationem gr. 3 ii vel 4M , et exempla adjungit solutiones problemalum cubi duplicandi angulique uisecandi; denique in eodem libro DXplicat, quomodo omnia problemata solida ad duas illus
constructiones referri possint. Sine causa autem statuit Carlesius, non licere, problema per lineam altioris gradus construere, quod per lineam inserioris gradus construi possit. t. Ad inveniendas duas medias continue proportionales inter datas a et b, Curiosius utitur parabola, cujus sequatio est γ' - m. In axe hujus parabolae abscinditur avertice 'ria, et a puncto ita constitulo erigitur perpendicularis b. Radio deinde distantia inter terminum superiorem hujus perpendicularis ot verticem parabolae, describitur circulus, qui per verticem et aliud quoddam punctum parabolae transibit. His ita consectis, erunt ordinata et abscissa paraboli in puncto intersectionis, quod non est vertex, quaesitae mediae conlinue proportionales. Ex proprietate enim circuli est icietur xv - ax bI - P;quum vero Sit ex proprietate parabolae
Rationem riua solvendi prava iu esse, id jam ostenderunt aequales auctoria Petrus Nonius et doliannes Butio.
63쪽
P in stx, erit etiam is, undo a z T - T r X x : b. Quam viam ingressus erat carictius, cam seculi sunt etiam ceteri ejus aetatis elarissimi mathematici, qui in recliscasione, area, cubatura, aliisque proprietatibus curvarum investigandis diligentissime versabantur. Merita cavalerii Robervalli, Hugenii, Pascali aliorumque seculi XVII t mathematicorum, qui plerique nostrum etiam problema tractaverunt, magis nota sunt, quum ut secundum propositum nostrum uberius de iis sit disputandum. Inter studia autem, ad ipsum nostrum problema speelantia, Slusit omnino praetermittere non possumus; ostendit enim Sagacissimus ille mathematicus, duas medias continue proportion tes etiam intersectione circuli et ellipseos inveniri posse, id quod nemo neque velerum
neque recentiorum ante eum intellexerat.
Merita praeclarissimi Newtoni cnat. 1642 mori. 1727) de omnibus sere matheseos partibus, integra adhuc vigent, ut non opus sit, in hoc libello diutius in iis morari. In
problematis geometricis solvendis, sententiam Cartesii non amplectens, statuit, in omni constructione, adhibendam essu cuream, quae facillime describi possit, et gradum aequationis, qua definiatur curva, non esse Spectandum. Itaque ad aequationes gradus 3 η geometrice construendas conchoidem, quamquam ad quatuor dimensiones ascendebat, omni curvae praetulit, et ejus Ope rationem simplicissimam et elegantissi inam cubi duplicandi docuit. t. constructiones NeWloni, et nostri problemalis et illius anguli trisecandi, explicatas legimus in -Arithmetica mirersalia D. Newtoni' Lugd. Batav. 1732 pag. 227 et sequ.; quum autem demonstrationes constructionum adhibitarum exponere non possimus, nisi celeberrimi illius auctoris rationem aequalionum 3νη et 4 gr. generatim construendarum integre tradamus, lectorem benevolentem ipsos sontes adire cogimur ut jubeamus. Quanquam ingenio et sagacitate Newtoni laclum est, ut de natura problemalis quaeri non posset, plures lamen seculi XVIII i homines in eo pertractando versatos esse videmus, sed, ut facile judicari potest, sine ullo successu. Nomina et opera quoriindam auctorum ejusmodi ad finem libri Reimeri saepius citali enumerala reperiuntur.
64쪽
conatibus recentiorum ad problema cubi duplicandi pertinentibus breviter traditis, generalem problematis solvendi rationem postremo adjungere non omittimus. Si notat a latus cubi dati, et x lalus cubi, cujus volumen sit n partibus majus quam datum, erito in na , Sive x. - na 0, 1 ut posita sit solusio problematis in aequatione gradus 3μ , cujus termini secundus et tertius desunt, construenda, id quod, si praeter eurum recta modo est adhibenda, ope aut conchoidis aut cimoidis pag. 453 perfici potest. Si vero constructio intersectione duarum curvarum est conficienda, aequatio, qua definitur problema, saltem quarti gradus esse debet; ossicietur igituro nayx quam aequalionem ex duabus 24 gradus arquationibus, dua incognita x et I continentibus, eliminando oriam fingere possumus. duum vero aequatio x' - n x - 0 modis innumerabilibus, ex duabus aequalionibus 2-, gradus elimina o gigni possit, licet ex iis unam ex arbitrio statuere, unde intelligitur, problema modis innumerabilibus solvi posse.
ubi sumi ur r ex arbitrio; erit igitur Posito deinde r a, duae illae aequaliones abibunt in has:
Intelligitur, duabus illis aequationibus definiri parabolas, quae, si describuntur ratione Supra pag. 18J indicata, et in vertice et in alio quodam puncto se invicem secabunt. Radix intersectioni verticum respondens, ex factore alieno x, in aequalionem datam introducto, orta. non est radix aequalionis l . Si vero aris utriusque parabolae sumitur pro me DScimarum, erit ordinata parabolae, aequatione G) desinitae, puncto alteri intersectionis respon-
65쪽
dens, aul, id quod idem est, abscissa parabolae, aequalione GJ definitae, eidem puncto respondens, latus cubi quaesiti.
CAP. XII. Comparantur Mysis Meterum et renes98ia receritiorum.
Quum ad quaestiones, quas alio tempore de methodo matheseos docendae infli luere cogitamus, et quibus hac dissertatione quasi landamenta jacere studuimus, nobis opus sit comparatione methodi analyticae velerum et recentiorum, optime eum nostro proposito congruere videtur, si in fine hujus libelli ex exemplis analyseos veterum et recentiorum supra tradisis, illam comparationem instituere conabimur. Ex iis, quae in Cap. VI explicata sunt, et exemplis cin cap. D propositis salis intelligitur, analysin veterum in eo praecipue positam fuisse, ut, quum quaesitum datum esse poneretur, per seriem conclusionum eo usque procederetur; donec postremo positum esset. de quo per se eluceret, utrum verum esset sive fieri posset, necne. 0uum vero magis exculla erat analysis, veleres etiam eognita et incognita sine ullo discrimine comparabant; si e Archimedes ino sphaer. et cylindr. lib. II prop. b in edit. Torelli pag. 157 I ), comparando quanta, nulla habita ratione utrum cognita essent necne, et adhibendo lemmata, ex proprietalibus sphaerae et coni deducta, proportionem invenit, unde, si more recentiorum exprimitur, erui potest aequutio 3μ gr. , ex qua pendet solutio problematis, quam tamen, naela adhibita methodo, quae aliqua ex parte constructionis expressionum algebraicarum similis haberi potest, artificia singularia adhibendo consecit auctor. Ex iis, quae jam dicia sunt, ut nobis videtur, Salis perspicitur, nullum, si principium et originem Spectamus, Statuendum esse discrimen essentiale inter analysin veterum et analysin recentiorum, id quod tamen non omnibus placuisse videtur.
3 Proponitur hoe problemat . Datam phaeram secare. ita ut phaerae 1egmenta eandem. quae data est. Inter se invicem rationem habeant.
66쪽
Subsidia aulein analyseos apud veteres et recensiores longe eme diversa ure pim . Veteribus enim, ut ex exemplis Supra traditis spparet, ad quaestiones anulIlicus instituendas opus erat variis theorematis, quae quasi lemmata ex variis geometriae partibus petebantur. Quum vero studio et acumine illustrium mathematicorum, quales erant Euclides Archimedes, Apollonius, col. , anulrsis veterum semim Semlinque ad culmen perduceretur, praeter opera, quae omnis cruditionis mathematicae quasi iundamenta aestimabantur. etiam componebantur libri, qui praecipuo usum analySeOS Spectabant. t. Opera, quibus in quaestionibus analyticis, tanquam Subsidiis, maxime usi sunt veteres, apud Pappum LColl. math. in praes. lib. VII in vers. Cominand. pag. 241 lunumerula invenimus; et eo magis laudandus est ille auctor, quod elium horum librorum, quorum plerique nunc perditi sunt, argumenta saepius tradit. unde iactumosi, ut, Pappum sequentes, complurem mathematici recentiores, non Sine profectu. illos libros restituerint. Celerum Opera a Plippo, loco citato Commemoratu.
sunt, sed restituli inveniuntur in Roberti Sinison ἡ0peribus quibusdam reliquis . De locis ad superficiem lib. II, quorum argumentum non commemorat PappuΝ.
Sectionum conicarum lib. VIII, qui adhuc DXSlant, tuincii stliqua ux parte modoox versione Arabica in linguam latinam convcrsi. -- De sectione ruιionis lib. I l, qui sit hue exstant. - De sectione spatii lib. II, ah Εdm. I alter restituti coxi n. 706 . De sectione determinata libri, a Rob. Sinison in oper. quibusd. reliqu. r silluli. - Dc iactionibus libri, a Vieta restituti Apollonius Gullus. Parisiis l6603. - De inclinationibus lih. Il, a Sam. 1lorster restituti LGlasg. l7l9J.c Λri Ataei. De locis solidis lib. V, a Vivanio restituti Flor. lzul . d) Εrat Athseni A. De mediis proportionalibus lib. II, quorum arguinculum non inditat Psppus. Sed nil lemmula supra commemorata ndhibunda semper opus est praepursti υnibus quibusdam . qmu in eo maxime poSilae sunt, ut liuolae uuxili9riae id D neae ducantur. id qu0d Saepius non sine maxima Sagacitate animi perfici potest. Praec Ppla enim, quae in illis
67쪽
lineis ducendis sunt sequenda, ex natura singulorum problematum, et adhibitorum Iemmalum sunt petenda, ut nihil amplius de iis generatim statui possit, quam quod Artihm. univers. Lugd. Bal. 1732 pag. 873 praescribit Newtonus his ipsis verbis: ἡSed ut hujusmodi theoremata ad solvenda problemata aceommodari possint, schemata plerumque sunt ultra construenda, idque saepiSSime producendo aliquas ox lineis donec secent alias, aut
sint assignatae longitudinis; vel ab insigniori quolibet puncto ducendo lineas aliis parallelas
aut perpendiculares; vel insigniora puncta conjungendo, ut et aliter nonnunquam construendo, prout exigunt status problematis, ut theoremata quae ad ejus solutionem adhubentur. Quemadmodum si duae non concurrentes lineae datos angulos cum tertia quadam ostieiant, producimus sorte ut concurrentes constituant triangulum, cujus anguli et proinde laterum rationes dantur. Vel si quilibet angulus detur, aut sit alicui aequalis, in triangulum saepe complemus specie datum, aut alicui Simile, idque Vel producendo aliquas ex lineis in schemato vel sublensam aliter ducendo. Si triangulum sit obliquangulum, in duo reclangula saepe resolvimus. demittendo perpendiculum. Si de figuris multilateris agatur, resolvimus in triangula, ducendo lineas diagonales. Et sic in ceteris; ad hanc metam semper colliniando, ut schema in triangula res dura, vel similia, rei rectangula resol-
Recentiores autem, ut constat, Subsidiis commemoratis in quaestionibus analiticis non utuntur; omnia enim, nulla figurae ratione habita, ad calculum algebraicum revocantur, cujus ope, quum relatio cognitorum et incognitorum ex natura propositi per aequalionem est constituta, quaestio ipsa sere mechanice eo uSque producitur, donec postremo quod sit in analysi sublimiore integrando incognita, tanquain functiones ex cognitis pendentes expressa, emergunt; et, quum de problematis agitur, interdum accidit, ut illae iunctiones geometrice construi possint. Not. Quanquam igitur, si subsidia methodorum respicimus, multum interest inter analysin veterum et recentiorum, tamen synthesin veterum plane immulatam nostris etiam temporibus adhiberi videmus; nomen autem firynthesis' notat apud recentiores non modo synthesin verum etiam analysin veterum, ut quum in subsidiis analyticis tum in usu loquendi positum sit, quod analysis et sTnthesis apud recentiores se invi rem longe aliter habent, quam atque Veleres.
68쪽
Ex iis, quae de subsidiis analyseos jam explicavimus, intelligitur, analysin vel erum summam sagacitatem et acumen animi per totam quaestionem requirere, quum anulysis recenti Drum, non nisi problemate in aequalionem redigendo, et in analysi snblimioro 'aequationibus disterentialibus integrandis aliquam praebeat dissicultatem. Indo sequi videtur, ut methodus an Mrtica Veterum, quamquam nostris temporibus ad ipsam scientium augendam et amplificandam vim nullam habere potest, tamen; si instilutio mathematica spectatur, magni sit lacienda. Antecellunt igitur veteribus in eo maxime mathematici recentiores, quod in qu stionibus analyticis quanta prorsus abstracte considerent, unde laetum est, ut, quum ratione variarum proprietatum quantorum non impediatur quaestio, et generaliores emergant leges, quibus desiniantur incognita ex cognitis, et comprehendat analysis recentiorum multa, quae extra sines analyseos veterum sita sint, unde rursus sequitur, 1 ut multa proposita, quae veteres tanquam diversa problemala tractabant, apud recentiores modo sint casus singulares problematis cujusdam generalioris, 2 ut analysis recentiorum non modo fines disquisitionum geometricarum latius protulerit, quam ope analyseos volerum seri potuit, Verum elium, ut omnia, quae quantilatu praedita sint, amplecti possit Postremo, si in unum colligimus, quae supra de analysi veterum et anaITSi rece liorum explicavimus, intelligitur, eas natura methodi non dissereo; in utraque enim propo- silum jam cognitum Maluitur, aut sine ullo descrimino cognita et cognita comparantur, et quaeritur, quomodo propositum ex dato pendeat, aut quomodo illud per hoc desariatur. Disserunt autem et sub idiis methodi et materia ad quam adhibentur. Veleres enim, quum non nisi ex siguris contemplandis concluderent, in theoremalis antea demonstratis adhibe dis, et in lineis auxiliariis idoneis ducendis omne praesidium posuerunt. Recentiores autem figuras omnino non contemplantes, omnia, Ope algebr , ad calculum referre conantur. Vclerum analisis mathematica in Geomeriam solam adhiberi potest, recentiorum autem omnia, quae mensura definiri possunt, complectitur.
69쪽
IJ Discrimen analyseos veterum et roeentiorum in diversitate nubΑidiorum praeeipue positum Pst. 2 Ut ratio syntheseos et analyseos hodie alia sit atque antiquituκ suit, id partim eo laetum est, quod analysiis recentioribus temporibus aliam sormam induit, partim quod recentiores notione syntheseos etiam analyxin Veterum comprehendunt. R Λberratio stellarum fixarum non est, ut quidam voluserunt, demonAtratio direeta, rationem mundi Copernieanam veram Psse. 4ὶ Quod mechaniel si punctum materiale vocant, Potius osti m usum materiale appellandum est. 5ὶ Analytica solutio problematis potentias componendi atque deeomponendi,ubtilitati mathematicae non satis cit. 6ὶ Demonstratio mathematica principii celeritiatum Oirtualium, quod appellatur, manca est. in Principium dynamicum rationis potentiarum et celeritatum hypothesis ost habenda. 8, Si in navi vaporaria si Ε significat momentum pol ntiae machinae vaporariae, ,,A aream Planitiei perpendicularis, quae, navi se movente, aquae opposita fingi Potest. Aa aream alieujus ex Pennis, sev celeritatem navis, coemei ratem experimentiκ cognitum, emetetur: