장음표시 사용
491쪽
Ionestudine picommensurabilis exposits Rationali A' Dicetur c Irraiarionalis, erutque quadratum F, quando Rationali quadraIO D incon emsurabile est, vocatur quoque Irrationale; Et liter latus C, potens Iorationale quadratum F, dicetur pariter ii rate male, quatenus C potcntia Incommensurabilis est exposita mationali A. . Et nedum quadratum, sed etiam rectangulum, seu productum N ex lateribκs B in C Irrationale dicetur , si incommensurabile fuerit quadrais exposite mationalis A; Et latus H, porans quadratum aequalc producto Irrationali Κ, dicetur quoque Irrationale . o Postea quia duae quantitates, quae exposite Rationali compamantur pol sunt quoque inter te ipsas comparari; propterea possimi esse duae comparatae quantitates ambe 'attonales, vel ambs i D-Irrationales ex comparatione, at inter se in say eollatae possunt esse commensurabite, to n i , tu dive, ct potevtιὰ, νes potentia tantum, sti
dit si di a B, ct C sint rationales,quatenus lon-t titudine commenturabiles sunt ex me I
lionalitas, idest si B ud A fit, ri numenti L. F
ad s. oec ad Asit, ut 6. ad . erunt B, dic Rationales, O inter se lon- sgittidine commensarabiles, eo b quod rei tertie A commensurabiles timilongitudine, pariterque V potentia, eo quod quadrata laterum commerum' eco . n. Drabilium sum tuter se, vi duo numeri. g.bus .
Secundo si qualium partihm quadratum D est ici, sit quadratum E spartes, O quadratum P a ; thrum a quidem B , dic non longitudine, sed d p . s. e potentia Rational/ A commensurabiles erunt; Nam eorum quadrata E , tui .er F ad quadratum Rationale D eandem proportionem habent, qua Lanumeri S ct a . non quadrati, habent ad numerum I G quadratum s Et hae de causa B, ct C dicentur Rationales: Et quia inter se ipsas potestate tautum commen lirabiles sunt, eo quod g ad 2 cu ad Ia non habet
proportionem, quam numerus quadratus ad numerum quadratum,dice -etur B, C Rationales, inter se Pero potentia tantum commenturabiles.
Si vero qualium partium quadratum D eii I G, sit quadratum E G. O quadratum F as partes; I unc quidem B , O C dicentur Rationales, propterea quoa potentis tantum commensurabiles sunt Rationali in novantem longitudine, eo quod a ter que numerus cie' a , set non quadratus, O numerus Io sit quaaraths; Et qucniam qualium partium quadrammE cs 6 earunilem quadratum F es a di nun eri 6 ct a non sunt quadrati : Ergo eorum latera B, in C nun eris cxprimi non posunt, quaterus rationales suint, ides quatenus ab exposta Rationali is, cui comparantur , Avominationem, e mensuram sortiuntur ; sed se absolute consed rentur latera B, Odi C, erunt inter se longitudine commensurabilia, cum
492쪽
eorum quadrata simi inter se, ut G ad as tui numeri, licet non sint qua r. J r.I. g. drati, e sunt tamen plani similes, qui uiu iner se, vi quadrati numeri edi I 6, propterea B, ct C iure merito vocari possunt Restionales , c, inter si longitudine commensurabiles . , Tandem si Pt circuli radius id laetus inscripti quadrati, O ad radium eiusdem, ita fiat quadratum Rationale D ad quadratum E lateris E , dis expr. Iri ad quadratum C lateris B; IIIam fissum seli nedum B . sed C quoque in-s i pr. 3 .hu ommensurabilem esse longitudine , di potenetia exposta Rationali A; Et hac de causa erunt A, di C Irrationales, at inter se nihilometivis eruntsI' 'ii ' i' longitudine commens rabiles, eo ouod g latus quadrati duplum csi radii eius. Dicentur vitur B, C in tali casu, Irrationales inter se longitudine commensurabiles . . .
Quantitas genita ex ductu duorum laterum stationaliu m . uq quidem inter se sint longitudine commensurabilia, attonale est. Et si quantitatis products Rationalis vinum latus Rationale fuerit , erit reliquum latus Rationale longitudine commensurabile reliquo lateri.
Sit exposita R ationalis A B notae mensulat, cuius quadratum C. & productum G, cuius duo latera D E,& E F primum sint Rationalia, id est Rationali expositae AB sint commensurabilia, aut longitudine, aut potentia tantum, atque etiam sint D E, & E F inter se commensurabilia lon- gitudine. Dico G Rationale esse, id est coni--l mensurabile ipsi C. Lateris a D E fiat qua-F dratum N. Quoniam Rationalis D E R tionali exposit* A B commenturabilis est longitudine, vel potentia tantum, erit, quadratum X commensurabile Rati nati quadrato C,rcspectu cuius caetera dicuntur Rationalia ;dc ideo cΚ Rationale erit. Deinde quia eadem D E ducta icta ipsam enicit quadratum R;&ducta in E F esticit produ- uni G: erit a Nad G, ut Ialus D E ad EF estque ex hvpothesi DE ipsi E F longitudine commenturabilis. Igitur. Nipsi G commensurabilis quoque erit: Cumque duc C , & Geidem N commensurabilia sint, erit G commensurabile rationali C; & proptereag Rectangulum, vel productum G
Rationale erit. Secundo Diuili ed by Cooste
493쪽
LIBER IT. nsecubdo iisdem positis sit rectangulum, vel producti ui GRationale , idest commensurabile quadrato Rationali C; atque eiusdem producti G unum satus D E sit Rationale , idest conameiam rabile Rationali expositae A B logitudine, vel pintentia tantum. Dico eiusdem troducti reliquum latus L FRationalec ste,&reliquo lateri D E erit - - - commensurabile longitudine . , Rursus - h pr M I. t fiat quadratum N lateris D E erit,ut an B -- ,- - - A rica dictum est X. Rationale, sed ex hy- T v pothesi productu G Rationale est: . Igi. tut G dc Κ quadrato C Rationali expin ' M h M.,=.sto comensurabilia erunt ideoque iit G, I s.& Κ inter se commensurabilia erunt; sedi vi N ad G, ita est l= i. ratus D EM E F(cum eadem D Educta in DE..h F Fefficiat WA pi. Κ, ikG): Ergon latera DE, & D F conamembrabilia sunt longitudine i estque exposita Rationalis A B ipsi D E Ratio 'C i re Mali aliquo modo commensurabilis; igitur is E R Rationali 'A is comitientistabilis erit, velaongitudine. vel potentii tam j. 'tum; de propterea E F Rationalis erit, & ostensa ruit longit duae commensurabilis lateri D E. inod erat ostendendum.
Patri si spatium Rationale ad latus Rationale applicetur, latitudinem coicere R asi alem rehohataclisurabilem lom :gitudine lateri, cui applicatum est.
. i, , PROPOS. XII. THEOR. X. . sil Eues. x,. rh
Productum a duobus lateribus Rationalibus, ted inter commensurabstiturum potetitia tantum: Irrationale est Sciatus ipsum potens irrationale est: Vocetur autem Mediale, dc productum, aut quadratum ei aequale, vocetur
Sit inposita Rationalis A B. cuius quadratum Rationale, ra . t . C, dc productum G, cuius latcra D E, S E F sint Rationalia, sed inter se sint potentia tantum commenturabilia. Dico primo productum G irrationale es e. Fiata lateris D E quadra- e= a... tum N, erit, ut, dictum est, quadraturn Κ.Rationas: Et quc V fh. pr. i. niam: sicuti latus D E ad E h, ita est quadratum X ad produ- , tui
494쪽
tudine incommensurabile (cum poten- . H tia solummodo commensurabilia su
posita sint); igitur . productum G ipsi Lincommensurabile erit; sed rationale Ceidem N Rationali commensurabile
E F erat: Igitur G ipsi C incommensurabile
erit (alias si commensurabile credatur Geidem C, essentΚ, At G commensurabiles uni tertio C, dce e PDir ideo e inter se cd mensurabiles, quod est contra hvpothesin .s a, . in arefG incommensurabile existens ipsi C quadrato Ratio , uitii. natis expositae AB, erit Irrationale . Secundo latus H possit quadratum aequale spatio, vel pris p/ to I vi ducto G, vel sitg H media proportionalis inter latera D E , de infra. M E F. Dico H Irrationalem esse moniam quadramin ex H ae- viui. quale est producto G, estque G incommensurabile quadrato Rationali C: Igitur quadratum ex H incommensurabile erit ee. -'. quadrato Rationali C; dc ideo , latus H ipsi A B Rationali nee 3 - potentia, nec longitudine commensurabile erit; h proptereai des .s e. H Irrationalis est. Quae erant ostendenda. Uocetur H Medi baiu . propterea quod media proportionalis est inter duas Rationales potentia tantum inter se colla mensti tabiles.Et prodactum G, vel quadratum ex H,vocetur Mediate. Euci. II. i . COROLLARIUM.
Patet, quod si duarum quantitatum commensurabilium . ivna alicui tertis incommensurabilis sit, erit dc reliqua eidem incommensurabilis, longitudine quidem,si ills longitudine, commensurabiles de incondimensurabiles sunt ; aut potetntia, s priores potentia mannaensuratur,aut non commensuratur. In prima enim parte huius propositionis fuerunt quanti tates C, dc k inter se commensurabiles, & Κ incommensurabilis erat ipsi G, dc ostensa fuit C incommensurabilis eidem G. unde patet, quod si C, & Κ longitudine commensurabiles fuissent, ct k ipse G longitudine incommensurabilis,esset quinque C eidem G longitudine incommensurabilis. At si C, & Κ potentia tantum commensurabiles fuerint, vΚ ipsi G potentia sit incommensurabilis; erit C eidem G p,
495쪽
Productum mediate ad latus Rationale applicatum latitudinem caecit Rationalem , sed longitudine incommensurabilem priori lateri. Sit latus mediale H, eiusque quadratum mediale, sit qquale producto G. contento sub duabus rationalibus D E, & E F at o. . .
potentia tantum inter se commensurabilibus. Applicetur a postea productum R aequale quadrato ex H. vei spatio G ad latus Rationale M N ut sit reliquum latus M O Dico M O Rationale dine, & ipsi M N longitudine esse Nincommensurabile. Quoniam producta G, dc R equalia sunt, i erit reciproce latus M N ad .E F, ut D E ad M O; &e qaadratum l. s. ex M N ad quadratam qx E F erit ut quadratu ex D E ad qua- freν 3 pr. sdratum ex M Os Suntque M N, E F, & D E Rationales ex hy- buim pothesi, & ideo . iastem potentia commensurabiles Rationa- g fa M.ti exposits A B,&e inter ae: Igitur quadratum ex D E ad qua- ὰ- - .dratum ex M O eandem commensurabilem rationem habet, rum 'e pr. I quam quadratum ex MN ad quadratum ex E F; Sed g qua- dratum ex D E rationali commensurabiae est quadrato C ex- h.i .m .posiis Rationalis A B: Igitur , quadratum ex M O conamen- kpr. M I.i . surabile est eidem Rationali quadrato C dc propterea latuS- favi. M O Rationale erit. Postea e fiat quadratum N ex latere N hutui. M. Et quia N M Rationalis est, erit . quadratum N Rationa- te quoque, leu comensurabile exposito C Rationali , sed si, h ductum R, seu G irrationale erat . Odeo eidem C incom-1nensurabile: Igitur m N ipsi R incommensurabile erit; in is, is .i verbis latus N M ipsi M O, ut quadratum X ad productum oeshR. Ergo o Litus NM ipsi Mo incommensurabile erit longituduae; ut pxopositum fuerat. Ω-- tr.
Quantitas coinmensurabilis longitudine, vel potentia tam I tum
496쪽
tum mediati, mcdialis est. Et productum ex duabus medi, libus longitudine commensurabilibus,mediale est. cb pr. s
Sit primo A latus mediate de B sit commensurabilis long tudine, au' potentia tantum ipsi A. Dico B medialem esse. Sit ape go I . exposita Rationalis D C, ad quam is applicentur spatium, vel productum kcquale quadrato mediati. - ex media A , di produci ci R equale qua-ι- drato ex B. Et quia spatri: mmedia ex reum , applicatur ad latus Rationale DC: Igi. et L R i tur breliquum latus EC Rationale erit, ' γ sed lonSitudine incommensurabile ipsi DC: Cum oue quadratum ex Rad Quadratum ex A commenturabile sit, eo quod lateta B, de Acom mensurabilia saltam potentia supponuntur stoi Q. Productum kequale quadrato ex A , atque prodi clam R a,c , quale adrato ex B igitur productun Κ commensurabileia Ah p s. cst spatio, Vel producto R; Estque . EC ad CF. ut si ad Rih-,m. Ergo a E C ipsi C F longitudine commensurabile est, atque, is e r. i in x etiam potentis; Sed eidem E c potentia tantum commentia. Ir 3 h- . in nr exposita Rationalis D C, cum L C Rationalis sit quo.φ - P I uet igitur CF Rationali DC saltem potent i a comme in itin is L . robiliS erit; & ideo I CF Rationalis quoque erit. Et quic. R duarum C F,S E C longitudine commensurabilium una E clongitudine incommensurabiliscst Rationali DC a igitur teli fili C F eidem Rationati DC longitudine incommeniurabilis erit , di propterea spatij R latera L C dic F Ration, ii pr.i3 -- lla inlini potent a tantum communiue inhili a s ct o idcirco tui. sroducitinae R inediale erit ideoque latus B medium erit eo quod Pobesis utilina Risaedisses 'a s M , l
ip Secundo rectangum vel producti R latera sint D C, dc I C
497쪽
IS PROPOS. XV. PROBL. III. Euri .X.
Duas mediales inuenire potentia tantum commensurabiles, et quarum productum sit Rationale Sit A Rationalis, dc sumantur numeri R,&S quorum qui- apex ii libet sit primus , dc ideo b non erunt inter se ut numerus qua- : ' y ii 'dratuS, ad numeria quadratum; the fiat ' e vi R ad S, ita A ad F, & inter A, dc F re-
periatur media proportionalis 3 d erit ri iquadratum ex A, ad quadratum ex B, ut pes
potentia rant iura commensurabiles. --stea sit C media proportionalis ii rerA, & R & fiat ut A ad B, ita C ad D. Dico C , D esse medialas tentia tantum commensurabiles quarum productum Ra- ', ''tionale est. Quoniam A, B sunt Rationales potentia tantum commensurabiles, erit g productum ex re in B media Ie; sed' i media proportionalis C potest productum extremarum A dc G. . t pN B, Ergo i C mediatis est. C unaque C ad D sit ut A ad B, & A. i. t. . in B potentia tantum commensurabiles sunt; erit k C, ad D tan- AH r. 3 , tum potentia commensurabiles;& proptereas D, que media- , ii C commenturabilis est, erit quoque mediatis. Quapropter '' i inuentae sunt duq mediales C, & D potentia tantum inter ' - , commensurabiles. Dico iam C, &Destieere productum Raudi '' tionalc.Quia diis proportiones A ad B,& C ad Degdem sunt, dc proportio A ad C ablata ex ratione A ad B eadem est prinportioni C ad B ablatrum ex ratione C qd D: Igitur m residuae rationes C ad B,& B ad D eaedem quoque sunt inter se: n& ideo a cis i. pr.quadratum ex B Rationali equale erit producto ex mediati- cerbus C, & D( cum B media proportionalis sit inter C, dc D . Ab pr M, unde productum ex C in D Rationale erit. Quod erat Propin
Colligitur ex cqnstructione, & demonstratione huius proepositionis, quo a si, vr prima quantitas ad lectandam, ita fiat media proportionalis inter eas, ad quartana erunt quatuor ible quantitates continue Proportionales. Nam
498쪽
Nam A, C, B, D continue proportionales ostens; sunt.
Rursus constat,quod si vi Rationalis ad Rationalem pote-tia tantum ei conamensurabilem, ita fiat media proportionalis intem eas ad quartam: erunt duae PQ arenas consequentes
mcdiales potentia tantum commetiturabileS,quarum produ- . . ctum est Rationale. . :
. . Duas mediates inuenire commeiasurabiles potentia tant lim, quarum productum sit mediate.
Sumantur a tres numeri R,S.& T, quorum qLilibet primusa r. o et numerus sit,& propterea non habebunt inter se eandem pro- pr Ir, portionem, quam habent numeri quadrati s Et sicuti in pre- ' cedenti di nn est , fiat quadratum lateris Rationalis A ad . quadratum lateris B, ut numerus R ad S, pariterque vi R ad F i. A. bis ita quadratum A sat ad quadratum cx c; Erunto A, B, C pr. io. ii. A C Rationales potenti, tantum cohi 'Ab. di mensurabiles inter se; lam inter A , dc Pr. l. bmuIa, . - B ponatur D media proportionalis&C- ST fiat, ut D ad B, ita C ad F. Dico D, di EE r A esse mediates potentia tantum con a mensurabiles,quq essiciunt productum mediate. Quoniam A, & B sunt Rationales potentia tantum d rum commeti surabiles: Erit a productum ex A in B. siue equadra- ' P tum ex media proportionali D quod squale cst tali prodi, . io cto mediale, & D mediatis. Deinde quia, ut D ad B, ita est Cl. ad E, estque A ad D, ut D ad B Ergos A ad D est, ut C ad E;
Zr ita. 3 Et g permutando, ut A ad C, ita erit D ad Es& pariter b eorumh pr 3. quadrata proportionalia erunt cstque quadratum ex A ad in cor. - Η 'quadratum ex C. ut numeruS R ad T. qua rei D, E potena , i tia tantum commensurabiles sunt, cima numeri II, & Γ laotii Pr 3 h sint inter se, ut duo quadrati numerisestque Dostenta media' li; Ergo ei commensurabilis E mediatis quoque erit. Qiaa-i b propter D, & E mediates erunt potentia tantum commentin-
', I hu. rabiles. Postremo quia D ad Bestivi Cad E; Ergo productum ab extremis D, & E squale erit producto ab intermedijs B, dc C;
499쪽
&C:2d mproductu ex B in C irrationale,& mediale est, ua. m'. ΠΛ .doquidem B,& C sunt Rationales potentia tantum con mensurabiles : igitur productum ex D in E mediale est. Vt erat propositin.
i Hinc constat productum ex duabus medialibus potentia tantum commenturabilibus esse posse Mediale, vel Ratio
Patet etiam si fuerint tres rationales potetia tantum com mensurabiles , ut prima ad tertiam, ita fiat media propoditionalis inter primam, & secundam ad aliam: erunt media Proportionalis, ct extrema potentia tantum commensurabi, ics, quarum productum mediale est . . .
Duas rataenales potentia tantum commensistabiIes inuenire. tales, ut latus d. flarcntiae quadratoi uni longitudii e Coim menturabile, vel incommensurabile sit maiori.
Sit exposita rationalis A B, Sprimo reperiatura numeruS quadratu, R,cuius una portio Stit quadratae ininsertas,&altera T non sit quadratus numerus: Postea , fiat A B ad B C,ut numerus R, sine numeri S, T, simul sumpti, ad numerum. Te
B ad A C, ut numerus R ad nnme i, rum S;&aB O fiat media propor- Q tionalis inter A B,&BC, atque A Z CA, M.f. D fiat mediae proportionalis Inter BA, AC. Et quia e ut A is ad B C. AT c ae: in 'i' praita est quadratum ex AB ad qua- - i. dratum ex B D, dc ut A B ad A C, ita est quadratum ex A B ad quadnmundi A D; estque AB ad BC, ut numerus quadratias R ad numerum T non quadratum: igitur quadrata ex AII, & B D non habent proportionem candem, quam duo qua- svi P drati numeri , sed quam numeri; ideoque m B,& BI sunt et , .s. hu.
500쪽
Rationales poten tia tantum inter se comensurabiles. Acquia quadrata ex A ex A D proportionem habent quam duog pr. .buim numeri quadrati,erunt a latera A B,& A D longitudine conMn sempe, a. mensurat,ilia.Cumq;h quadratum ex R B ad duo quadrata eae B D, & A D sit,ut numerus R ad duos numeros S dc T, litoue numerus,aequatv muneris S&T ,eriti quadratum ex AB aequale quadratis ex B D,& ex A D: Et propterea quadratum ex A D erit differentia adratorunsex A B & B D mari pter inuentae iunt duae Rationales AB & y Dpotenti scili cet quadrato tantum commensurabiles ,re A D larus disse. rentiae quadratorum commensurabile longitudine est maiori ipsarum AB. I ' : Secundo reperiatur h. quilibet numerus quadratus R,cuius due portiones S & T non sint quadrati numeri, & ponarur ea, quq superius posita, ct constructa sum .Patet quod quadrata ex A mst AD non sunt inter se ut nu - V. rus quadratus ad numerum qua 'T io. dratum ( cum numerus S quadram B tus non sit) ideadeo IA D. potens differentiam quadratorum ex A B de B D,longitudine incommensurabilis est maiori A B. Quapropter inuente erunt duae rationales A B.& B D potentia tantum commensurabilesatae ut latus differentis eorundem quadratorum longitudine i commensurabile sit maiori A B. Ut qudebatur. hst, pre in
Inuenire duas mediales potentia tamiam commenouarum producium sit Rationale. vel Mediale, 1
Commensurabiles , varum productum Ni ina Ivitium, um ita ut latusifferentis quadratorum illariam longitudine commerui rabile sit, vel incommensurabile maiori u M/., Reperiantur primo a dus Rationales maior A , ct B minor pr- - Π- dolentia tantum commensurabiles, ita ut latus disterentiqetuadratorum earundem A,&BIongitudine commenturabis' i sit in primo casu, di incommensurabilem secundo. maiora
feram natur C media proportionalis inter A & B, & fiat ut '. - A ad Retia C ad quariam D. Patet c esse C, & D medrales ma
in e iis tentia tantum commensura les,quatum productum est Rationale . Et quia ut A ad B, ita est C ad D, ept a quadrata ex A