Ioannis della Faille Antuerpiensis ... Theoremata de centro grauitatis partium circulis et ellipsis

21쪽

IO ANNIS

DELLA A ILLEANT VER PIENSIS

E Soci ΕΥΛΥΕ IESU In Academia Matritens Collegi Imperialis Regi Matheseos Professoris

THEOR EMATA

DE CENTRO GRAVITATIS

PARTIUM CIRCUL ET ELLIPSIS. PROPOSITIO ID THEOREM A

Salo quoliber Sectore circuli, no eam ter producto,p bile M a termino alte lateris meam ducere adproductum latus, Disiud, quodsiet triangulum recti lineum, Sec foras aequale

L datus circuli Se ctor AB Dico posse duci D,

lateres C in D, ut triangulum Aram aequale sit Sectori ABC. Nam per ea quae ab Archi mede demonstrata sunt, in libro de lineis spiralibus, possibile est arcu A C dare lineat rectam aequalem iit illa BAE, ducta perpendiculariter ad , ducaturiis parallelis A, secans ni in D, dUcaturque A D. Cum trianguli ABD altitudo sit aequalis arcui Sechoris, S basis A aequalis semidiametro, erit triangulum aequale Sectori.

22쪽

CENTRO GRAVITATIS PROPOSITIO II. THEO REMA II. Si a latere Sectoris circuli riangulum Sectori aequale desicriptum fuerit Ut prius, alterum trianguli latu circa communem cum Sectore angulum, Sectoris latere maius erit; s tertium latus eius arcum secabit.

CIt triangulum ADB Se-Octor aequale. Dico latus B D maius

esse lateres A.

Si enim latus B D non sit maius, cadet punctum D vel in punctum C, vel infra C in C; itroque casu debebit triangulum ADB, quod est pars Sectoris, toti Sectori esse aequale, quod fieri nequit, cadet ergo

ultra C. Dico praetcrea linean

secare arcum Sectoris in aliquo puncto E. Ducatur enim a tangens circulum in A. Cum totus Sector BAEC cadat intra triangulum FB erit illud maius Sectorc,ergo linea Ai quae aufert triangulti Sectori aequale, cadet intra A F, scd etiam ultra A C libtensam, ut iam ostensum est ergo secabit arcum in aliquo puncto E. Igitur si a latere sectoris circuli, c. quod demonstrare oportuit.

PROPOSITIO III. THEO REMA III.

Si triangulum quodpiam fuerit aequale Sectori circuli, a basi trianguli tamquam simidiametro, descripto visupra linea e centro Sectoris educta, arcum N oppositum trianguli lati ita secabit, ut minor proportio sit partis&teris

23쪽

ΡARTIUM CIRCULI ET ELLIPSIS.

teri basilicinioris ad reliquam, quam partis arcin basi

micinioris adreliquam.

SI triangulum ACB

quale Sectorii Ai, excentro B quaecumque linea secet arcum ina, S latus oppositumini. Dico minorem esse proportionem lineae Aa ad F C, quam arcus A E ad E D. Cum linea A C secet arcum At in aliquo puncto, potest linea. F cadere in illud punctum, vel supra vel infra quomodocumque Vero cadat triangulum Ara B, inter lineana .s p basim positum, semper minus erit Sectore BAE, itidem inter basim lineam Bra constituto, quod primum demonstro. Cadat linea in punctum ubi A C arcum Ara intersecat,manifestum est triangulum FB, Sectori BAE inscriptum Sectore minus este; si cadat infra intersectionem, cum ante secet lineam A C quam arcum, iterum constabit triangulum a B, Sectore BAE minus esse. Si denique cadat supra intorsectionem, cum Sectoris Emiam cadat intra triangultam BEC, erit minor triangulo Ba C, sed totum triangulum C est aequale toti Sectori BAD, pars trianguli scilicet B FCest maior Sectore BED, ergo reliqua pars trianguli,scilicet A m,mi nor erit reliqua parte Sectoris BAE , atque ita semper triangulum Aa , minus est Sectore BAE. Hoc posito minor erit proportio trianguli AF ad Sectorem Es, quam trianguli BF ad Sectorem Eiri permutando minor quo que proportio trianguli a B ad trianguluis m, quam Sectoris Ba Fad Sectorem BED sed ut fiant triangula, ita sint lineae AF, FC,&Vt se habent Sectores,ita se habent arcus ΑΕ, ED, ergo etiam minor erit proportio lineae a ad F C, quam arctis A E ad arCUI A D.

Ergo si triangulum quodpiam fuerit, c. quod propositum fuit

demonstrare.

24쪽

DE CENTRO GRAVITATIS

PROPOSITIO IV. THEOREM IV.

Si triangulum quodpiam ut supra, Lectori circuli aequale desicriptum fuerit a trianguli vertice ducatur ea in basio productam, triangulum priori simile constituens;

qui centro euocabitur senea, ita secabit iam ductam δε-neam, utpars inter basim si eam ductam,ad reliquam maiorem habeat proportionem quam rem basi s duritatam linea interiectus adreliquum.

CIt triangulu ABC aequale Sectori

ducaturq, CAE, ut triangulum ACB

simile sit triangulo

item aliqua. XCentro linea B F, secans utcumq; E Cina ,s arcu A D in C. Dico maiorem es se proportionem DF ad F in quam sit arcu A G ad G D.

Dividat primo Ba arcum Ambifariam in C, erit sicut BE ad C, ita ad F C sed Em maior est B C, cum maior sitis Α , cis A, B C, B E sint tres continuae proportionales, ob similitudinem triangulorum, ergo maior est sed arcus A C aequalis est arcuim , ergo maior proportio E F ad F C, quam arcus A G ad G D. Secundo non diuidat bifarian arcum sed sit

ducta si opus fuerit

secet C in x; secet quoque linea B F lineam in ini. Cum

25쪽

PARTIUM CIRCULI ET ELLIPSIS.

Cum triangula BCA, B CE sint similia, Minciis similiter ductae sint lineae BF,nx crit sicut G ad K A,ita ad F C, sed minor est pro gportio A cadisi, quam arcus Aa ad ID, ergo conuertendo maior erit proportio C cadira , quam arcus I ad arcum in Sed ut C ad x Α, ita Eo ad F ut iam ostendimus, ergo maior proportio E ad F C, quam arcus Da ad I A, id est ad CD. Idcirco si triangulum quodpiam ut supra,S c quod fuit ostenden

dum.

PROPOSITIO V THEOREM A V.

Si triangulum quodpiam ut supra, aequale Sectori imculi scriptumsuerit, s a trianguli vertice ducta linea in productam basim triangulumpriori mile constituem

se centro euocetur linea aliqua ecam dum lineas angulo Sectoris oppositas posi bile est a vertice ducere lineam cadentem inter utramque, quae ab ista quae centro educta es linea, Acetur in eandem rationem , in quam Sectoris arcus

diuiditur. SLctoris AD quale sit triangulum ACB, ductaque, E, ut triangula ACB, C B ter se sint similia , c centro Vtcumque ducatur, F, secans Vtramque CA, E in F , . ραν Dico posse duci C G, inter C dc in sc- cantem Ba inici Vt sit sicut m adi , ita arcus I ad PD. Sit enim C secta in M, ut sicut arcus A ad arcum D, ita sit Madi C; cum sit maior proportio arcus Aa ad arcum quam Α Κ,

26쪽

DE CENTRO GRAVITATI s

portio et ad T c, quam arcus I ad

quenter quam lineae Aiadii, cadetq; puncturi supra unctum M. Ducatur Mi parallela DB,sc-cabit in aliquo puncto, per quod si ex ducatur, HG,erit G H ad II C,Vt Amad C, id est ut arcus I ad arcum I D. Igitur si triangulum quodpiam, c quod fuit demonstrandum.

PROPOSITIO VI THEOREM A VI. Lector ut supra aequale sit triangulum ACB, striangulum ECBsimile triangulo ACB,ducta item utcumque BF CGsecans, in ita ut icut angulus GAH ad angulum BC, impii linea GH adHC,si ducatur AH, erit triangulum HB Sectori B AI aequale.

TVS enim v lineae,

sed ita etiam se habet triangulu C CAablatum a maiori CB ad trianguluinta CH ablatum a minori H B, ergo reliquum AC ad AI 3, ut totum ad totum, id est ut C adi i S ut ar

27쪽

PARTIUM CIRCULI ET ELLIPSIS

cus Aa ad arcum PD, ita Gm adix ergo componendo ut arcus Amad arcum A P, ita G C ad G H , ergo Sector AD ad Sectorem MPm, qui se habent, arcus vim C ad C H, ergo Sector ad Sectorem in I,Vt triangulum ACB ad triangulum IB; ergo permutando ut Sectoris Am ad triangulum ita Sector B ad triangulum A HAE , sed Sector ADB est aequalis triangulo CB, ergo Sector BAIaequalis est triangulo AH B. Igitur Sectori BAD ut supra aequale sit,&c. quod ostendere propositum filii.

PROPOSITIO VII. THEOR EMA VILI dem positis qua in praecedentipropositione; at vim Badix, im B C ad ΒΚ, Dico B, minorem fore B

Vm enim ob si militudinem triangulorum CB, Λ Cp, sitit AB ad BC, ita AC ad B Ε, recta-gulum sub B A, B E, aequale erit quadrato BC similiter rectangulum sub B H, B Κ, aequale erit quadrato B C ergo rectangulum sub B Η, Κ , rectangulo sub BA, B aequale erit; ergo uti A ad Bi, ita erit B K ad BE, sed An est i

minor B H, ergo B, minor erit B E.

Ergo iisdem positis quae in praecedenti propositione, c. quod oportuit demonstrare. PRO-

28쪽

s DE CENTRO GRAVITAT Is PROPOSITIO VIII. ' PROBLEMA I.

Dato quolibet circulo, Sectorem Uignare, cuiside r ptum fuerit quale triangulum ut supra alterum trianguli latus circa communem angulum superet latus Sectoris, inter si quodminussit quolibet dato.

DAtus sit circulus ΑΒ C, in eoq; designandus sit Sector, cui si aequale sit triangulum, Ii,linea Dariti maior erit quam AD,supere ADtnc teruallo, quod sit minus quolibet dato K.

Producaturi Α, sit aequalis Κ,centroque D interuallo, E describatur circulus Et C,& ex Α erigatur perpendicularis a , secan cir- Culum Em tini, ducaturq; Hi , siccans priorem circulum in B. Dico Sectorem D AB, esstaeum qui postulatur. Cum enim vi tangat Se-ι - . ctorem in Α, cadet AI intra A H, secabitque Di,vltra A quidem sed intram, igitur Aa qui est excessiis Da stupratis, minor erit B H, cureta autem Dis, H sint aequales, item dc ablataei A, Di, erunt reliquae Aa, si aequales sed E A ex constructione est aequalis, ergo AH erit aequalis', ergo Ba minor Κ.

29쪽

PARTIUM CIRCULI ET ELLIPSIS. PROPOSITIO IX THEOREM A VIII.

T riangulum AB Utsupra, aequalest Sector ADB triangula ABC BC inter esimilia, Dico ita duci posse B, Ut ducta CG, qua ita diuidatur ni,ut arcus in itis sumpta duabus AH, BC, tertia proportional B K;μ-peretur BKa linea BE, interuasi quod sit minus quolibet dato L.

AVferatur enim E Mab EA, quae sit mi nor dato interuallo L,&duabus lineis M, BC, stat tertia proportionalis, O erit, O maiori A. Cum enim B C sit me di inter B, ΑΒ, ite inter MA, O, C runt rectangula B, ΛΒ,&MB, MO,quadrato B C aequalia;&consequenter in Κter se, critque ut AE ad wm, ita, o ad A m, sed maior est B, ergo&No maior AB.

Auferatur deinde ex Ni linea, P aequalis i. sitque inuentus a. hisiis. Sector is, ut posito triangulo AH B, aequali Sector AIA, linea Ansuperet , , minori interuallo quam stiperat, P , id est dt1-ctaque sitim C.&fiat ut m ad n C, ita ad BAE , Siperabit Ara lineam B, minori interuallo, quam sit datum intcrutatum L. Cum cnimis C sit media inter B H Bi,cri rechangultim sub B H, Κ, rectangulo siti, NO, B M aequale; rgo ut m ad N O, ita B M ad c scd si minor est quam, o cum ex constructione Am minori interuallo superet, Ρ, quam Ni iis erct eandem rgo etiari L. M minor est B, scd xx minor est na cum ergo ostensa sit minor BE, maior ni,siis crabit ara lineam ' minori interuallo, quam sit M quo in superat si,sed Ei minor est dato interuallo L, ergo in superatis cinteruallo minori, quam sit datum L. QSapropter si triangulum AB C,&c quod sicut demonstrandum.

30쪽

DE CENTRO GRAVITATIS PROPOSITIO X. THEO REMA IX.

Si tres lineas ab uno puncto egredientes s duos inaequales angulos comprehendentes secuerit quarta quadam lianea hoc pacilo, Ut parte qua subtendunt angulos, eandem interpe proportionem habeant, quam anguli, media absis

sarum erit minima, uti maior qua minorem angulum claudit, maxima denique quacum media maiorem angulum comprehendit.

UX puncto A tres Iiduos inaequales angulos comprehcdentCS, D Ara maiorem, in Cminorem illasq; secet linea Cis hoc pacto, ut i ad Di eandem habeatproportionem, quam angulus D LB, ad

angulum D A C. Dico primo in me

diam abscisiarum, esse

minore C A quae cum

illa angulum claudit. Si enim D A non sit minor C A,Crit aequalis vel maior S primum ponatur esse zequalis. Centro A interuallo A in describatur arcus DF ducantur luci D H, D C, perpendiculare ad AB, AC item BI, F perpendiculares ad C;&ctim angulus C D sita CutUS,Vtpote angulus ad basim trianguli soscelis, non eritii perpendicularis lineae A D, ideoque dimit latur B, perpendicularis in productam, Cadet enim extra Bi, cum angulus B Disit acutus,& ad Verticem Uni illorum,qui sunt ad basim si scelis. Cum ex hypothesi MC A D sint aequales, sintque bases triangulorum CB A, DA A, erunt illa triangula Vt altitudines BI, BK; sed triangula sunt et am ut C ad Bi,ergo erit etiam B I ad B L, ut C ad B D,