장음표시 사용
51쪽
Quoniam BH minor prodit ipsa BA, id
indicio est punctum A in priae sente casu cadere in o. Quamobrem ex BO Sora subtrahatur BHet T a ; relinquetur HommAH(s. asI Geom. S. iamobrem si a cruadrato AG et risubtr. Quadr. AH 6 relinquetur Qtiadr. GH I 61 unde extracta Radix 8 s V est GH. Ablata hinc DF sol l relinquitur altitudo quaesita BD 3 y s V, quae in praesente casu minor quam
. Denique ex GH subducatur DF; r linquetur altitudo qu aesita BD.
PROBLEMA XVIII. 2 a s . Data altitudine BD, in qua , confissere debet objectum DE s invenire VII. quanta ipsius esse debeat longitudo , ut in d antia oculi data AB videatur alteri longitudinis datae BC aequale.REsoLUTIO O DEMONSTRATIO. Sint omnia ut in Problemate praecedente, &1. Ex datis in Triangulo ABC ad B rectangulo cruribus AB & BC investigetur , ut ibidem num. 1. Angulus BAC, cui aequalis est DGF, cujus. que complementum ad rectum est GDF, quemadmodum ibidem ostendimuS.
a. Eodem modo ex datis in a ABD, praeter rectum B, cruribus AB O BD,
52쪽
investigetur latus AD & Angulus BDA , ( S. go , 38 Trigon. ) , qui
3. cum Angulo GDF ex duobus rectis subductus relinquit Angulum GDA. . Datis itaque in ' DAG, ob crura DG & GA aequalia ( S. go Geom. aequicruro, ( S. 8s Geom. praeteri latus AD vi ni m. 2. omnibus Angulis F. 2 8 Geom. ) invenitur crus DG (S. 3 6 Trigon. . v . Atque ita tandem datis, in ADFG ad F rectangulo, Angulo obliquo
cujus duplum est longitudo objecti quaesita DE (S. 18 om. . s. e. i. θ d.
Sit e. gr. veluti in Exemplo posteriori AB ra , BC CA, BD Io; reperietur
ut ibidem angulus DGF a 6' 33 . Jam porro Log. BD BA
PROBLEMA XIX. 226. Data altitudine objecyi elevan. H DE O altitudine DB, in qua con - tui debet ; invenire distantiam BA, in qua Oculo cum Objecto datae altitudinis BC ejusdem altitudinis apparet.
xs quoniam per ea, quae in Problematum praecedentium resolutione demonstrata sunt, DF & Anguli ad F atque B recti, Anguli vero B AC &DGF aequales; erit
Habemus itaque subtractis a se invicem valoribus ipsius GA ,
53쪽
θRegula I. Quaeratur ad differentiam magnitudinum datarum BC,d: DE, magnitudinem minorem BC, & factum ex altitudine DB, in qua constitui debet objectum DE, in compositam BE ex eadem altitudine DB& altitudine objecti elevandi DE, numerus quartus proportionalis. a. Ex hoc extrahatur Radix, quae erit distantia quaesita BA. E. gr. sit DE IS, DB II, BC ci; erit BE as, & BE. DB 3Iy. Undere
THEO REM A XXXIII. Tab. 22 T. Si oculus O intra parallelas III. AB O CD ponatur ,parallela versus pla-EU,3 si gam im oppositam convergere videntur.
Quoniam AB ipsi CD parallela per
poth. erit FE BD(S. arci Geom. . Cum igitur FE &BD Oculo direcie opponantur; intervallum BD minus apparere debet viciniori FE S. 111 . Eodem modo ostenditur,intervallum quodlibet ulterius minus apparere debere ipso BD& ita porro. Distantiae itaque rectarum AB & CD continuo minui . consequenm ter versus plagam oculo oppositam parallelae AB & CD convergere videntur
COROLLARIUM.a18. Quodsi tanta fuerit longitudo parallelarum AB & CD, ut distantia earum a se invicem oculo in O posito instar puncti appareat ( S. 1 Ii ; parallelae coire videbuntur in illo puncto, ibique visus terminabitur.
TREO REM A XXXIV. Tab. 22s. Subtensa AB in omnibus pun-D, C, E, dic. arcus segmenti ACB aequalis apparet a Diameter vero GD is singulis Peripheriae punctis.
Oniam enim Anguli ADB, ACB, AEB &c. aequales sunt (S. at i Geom.); lsubtensa AB in punctis D, C, E, &c. videtur si ab eodem Angulo. qualis itaque in singulis istis punctis apparet
Quodsi ab extremitatibus Diametri D& G ad quodcunque Peripheriae pun- ctum E retias DE & EG ducas; Angu- lus E semper erit rectus S 3IT Geomo Diameter adeo Circuli in singulis Peti-pheriae punctis sub aequali Angulo videtur (S. 1 3 Geoni.), consequenter aequa- lis apparet (S. ros . O derat alterum COROLLAR IDM I.
ago. Optima igitur Theatrorum figura est li segmentum Circuli, in quo subtensa Actori- bus, arcus Spectatoribus locum concedit. S C II o L 1 o N. et 3I. Non jam urgeo, quod haec figura etiam Psit rectilinearum eodem ambitu comprehensa
rget. Quodsi ergo Oculus moveatur in Peripheria satis magna, per longinquum intervallum ad Objectum aliquod AB accedere, vel ab eo recedere poterit, ut tamen magnitudo ejus semper videatur eadem. i.
THEo REM A XXXV. g233. Si oculus fuerit immotus in A, Tab
recta autem BC ita moveatur ut extre- III, misates semper cadant in Periphoriam ejusdem constanter ma itudinis appa- rebit.
54쪽
Ponamus enim BC transferri primum ex BC in CD, deinde ex CD in DE. Quoniam BC CD DE (S. Si Arithm. , arcus cognomines aequales sunt (S. 1 8s Geom. . Cum igitur etiam Anguli BAC, CAD, DAE aequales sint (S. 3Is Geom.); recta BC in omni situ ejusdem magnitudinis apparet (S. aos). st e. d.
COROLLARIUM. et g . Cum Polygonum Regulare Circulo inscriptibile sit (F. 3 8 Geom. si oculo in uno Angulo posito latera aequalia apparent.
TREO REM A XXXVI. Tab Oculus uno obtutu compretii. hendit intra ambitum Anguli recti con
Sit oculus in O, & intervallum quodcunque AB in infinitum excurrens: Radius ab uno extremo A in oculum cadens AO sit ad AB perpendicularis. Sumatur intervallum quodcunque AD, ducaturque recta OD. Quoniam Angulus A rectus est (S. 8 Geom. s erit AOD recto minor (,. 2 I Geom. . Intervallum igitur, quod oculo spectandum exhiberi potest, intra limites Anguli recti coercetur. e. d. S c Η o L I O N.
agis. Facile Theorema prasens Experimenio confirmatur. langulo enim recto in Tabula Hori contali descripto ct recta ex Dertice ducitabifariam disitio, se in eadem duo Bli perpen.
diculares erigantur di oculus ad Derticem An-ruli applicetur, ita ut ab eo , qui eidem dici-jor, tegatur remotior; nullum extra Anguli
missi Oper. Matbem. Tom. III. MAGNITUDINIS. gr
recti crura positum Objectum in Oculum incur rere observabis.
TE EO REM A XXXVII. 23 . Si objecti DF Oculo A db se Tab. o obiit magnitudo dimidia DE fuerudi tantia AE aequalis ; Objectum totum visu comprehenditur , nec quicquam amplius ultra ejus limites conspici po-ies.
Quoniam AE distantia objecti vis bilis ab oculo per hipoth. ; erit ea ad DF perpendicularisvs S. 22s Geom. . Cum adeo Angulus E sit rectius (S. 8Geom. & AE DE per hipoth. erit DAE semirectus ( S. 2 I Geom. Eodem modo ostenditur, esse FAE seini- rectum, consequenter D AF rectum. Objectum itaque totum uno obtutu commprehenditur, nec extra ejus limites qui
quam amplius conspicitur (S. 23s ). e. d. TREO REM A XXXVIII. 238. Si di antia AE Objecti DF Oc- Tabeto directe oppositi fuerit minor dimidia III. magnitudine DE ; Objectum integrum Fig. 3 s. uno obtutu non comprehenditur , sed ejus tantum aliqua pars videtur , ct quidem minor , s AE minorem ad DE habueru
Quoniam AE perpendicularis ad DE S. 22s Geom. ; erit Angulus se rectus f S. TS Geom.) ; consequenter ADE de E AD junctim sumti recto aequales(S. 2 I Geom. . Quare cum AEUDE,
55쪽
tero EAD (S.I 8yGeom. . consequenter DAE semirecto major. Eodem modo cum ostendati ar, esse FAE semirecto majorem ; si oculus DAF Objectum sntegrum DF uno obtutu comprehendit , non intra ambitum Anguli recti
continentur, quae uno obtutu compre
henduntur : quod cum sit absurdum( S. a 3 6 , ut partem tantum Objecti videat oculus in A opus est. suod erat
Spatia, quae amplitudinem Visus definiunt, sunt ut distantiae(S. et a 2 . Quare si distantia AE ad DE minorem habuerit rationem , adeoque minuitur S. ros Arithm. ; pars quoque visa
minor fieri debet. erat alterum. COROLLARIUM.23'. Quo propius itaque ad Objectum
accedis, eo minorem ejus partem uno obtutu comprehendis.
TREO REM A XXXIX. Tab. 2 O. Si altitudo oculi non fuerit di-J v. midia objecti magnitudini aequalis , Osi perpendiculum DC ex oculo in magnitudinem AB, ultra qui am is uno obtutu nil amplius comprehendit , demissum ipsam inaequaliter secet ; erit distantia inter segmenta AD O DB media proportionalis es contra.
Si AB spatium desinit, quod uno obtutu Visus comprehendit; erit Angulus ACB rectus (S. a 3 s). Quare si perpendiculum ex oculo C in AB demittatur; erit DB: DC DC: DA(S. a Geom. . Est vero DC distantia objecti
distantia est media proportionalis inter segmenta AD & DB. sed erat unum. Quodsi fuerit distantia DC media proportionalis inter DB & DA; erit DB: DC DC: DA. Quoniam vero DC est distantia per spoth. ad AB perpendicularis est sS. 2 2 i Geom. adeoque Anguli ad D aequales sunt S. si Geom. consequenter etiam o u ( S. 183Geom. . Est vero se(S. 2si
S. 8 Arithm. ). Ultra magnitudinem igitur AB, Visus nihil amplius comprehendit (S. 233 ). derat alterum. PROBLEMA XX. 2 I. Data di Fantia objecti AB , quod amplitudinem V uae desit, ab ocu-D C, una cum magnitudine illiuae Objecti AB; invenire figmenta AD O DB, in quae a dissantia DC secatur.
et o ; non alia re opus est, quam ut
distantiae objecti DC inveniantur reciprocae DB & DA (S. acia Anat . . PROBLEMA XXI. 2 2. Data altitudine objecti AB Saltitudine oculi DB ; invenire myan, IV. tiam DC, ad quam Oculus possitis Ob- Fig. o.
Fectum integrum, nec quicquam amphis, uno obtutu comprehendit. REsOLUTIO.
Quoniam DA est differentia inter altitudinem oculi & magnitudinem O jecti: inter hanc differentiam di altit dinem oculi quaerenda est media proportionalis , quae erit distantia quaesita
56쪽
TAEO REM A XL. 2 3. Spatia, quae amplitudinem Visis in diversis distantiis Assiunt, sunt di-suntiis proportionalia.
Spatia, quae amplitudinem visus in diuersis distantiis definiunt, intra limites Anguli recti consistunt F. etsi); adeoque sub eodem Angulo videntur(S. I i Geom. . Sunt igitur distantiis proportionalia (S. ara .
COROLLARIUM. et q. Quo longius itaque Visus exporrigitur, eo amplius spatium uno obtutu comprehendit: quo citius autem terminatur , eo minus spatium uni obtutui sussicit.
TITE OREM A XLI. Tab. 2 s. Si objecta divers magnitudinis Iv. AB di DB ex eadem di antia BC viden-
. I. tur Radiorum extremorum alter fuerit ad AB perpendicularis ; Tangentes magnitudinum apparentium sunt in ratione magnitudinum verarum AB ct DB. DEMONsTRATI o.
Radius BC est ad AB perpendicularis , per hetpoth. Si ergo BC sumatur pro sinu toto ; erit BD Tangens Anguli BCD, AB vero Tangens Anguli BCAt S. Trigon . Sunt vero BCD & BCAmagnitudines apparentes verarum BD&BA (S. ao8 . Quare magnitudinum
apparentium Tangentes sunt ut Verae. e. d.
PROBLEMA XXII. Tab. 2 6. Data dissantia a Centro Sphaerai BC , una cum ejus semidiametro AC ; invenire quantitatem portionis ADE, quam Oculus unus obtutu suo comprehendit.
Quoniam Radius extremus AB Sphinram necessario tangit in A, ceu ex demonstratione Theorematis s. s. 11 Ii manifestum : erit Angulus A rectus S. 3osi Geom. , & hinc ABC complementum dimidii arcus AD, qui partem uno obtutu comprehendendam definit (S. agi Geom. , consequenter . 38 Trigon. , Ut distantia oculi a centro CB, ad semidiametrum Sphaerae AC iIta sinus totuS, ad cosnum dimidii arcus AD, qui partem Sphaerae uno obtutu comprehendendam definit.
E. gr. Sit juxta RiCCIOLUM semidiameter Solis AC 33 semidiametrorum Terrae, distantia ejus a Terra CB q3oo erit; Log. CB g. 863getas Log. AC I. si 8sIJyLog. sin. Tot. Io oo OO OOILog. sin. ABC T. 6s i is Io, cui in Tabulis quam proxime respondent Ii . Est ergo arcus AD 8yy qi , consequenter ADE 1 sp 3o .
THEO REM A XLII. 2 T. Majorem Sphaerae portionem
Oculus unus contuetur e longinquo, quam e vicinos numquam tameM inte
grum Hemis=harium uno obtutu comprehendit. Tab.
Quoniam distantia CB ad semidiametrum Sphaerae AC, ut sinus totus ad cosinum dimidii arcus AD, qui portionem Sphaerae visibilem definit S. et o) ; si distantia minuatur, adeoque ratio ejus ad semidiametrum minor redditur
57쪽
(S. rog Arithm. , ratio quoque sinus
totius ad cosinum arcus AD fit minor, consequenter cosinus ipse major evadit S. roci Arithm. . Cum adeo arcus AD complementum ad quadrantem crescat(S. ii. Trigon ); Arcus ipse AD decresscit: e vicinia itaque minorem Sphaerae, portionem Oculus contuetur, quam elonginquo. Ouod erat unum. Si oculus Hemisphaerium integrum imo obtutu comprehenderet ; AD Q-ret Circuli quadrans, adeoque Angulus ACB rectus (,. 1 3 Geom. , conse
quenter AB ipsi CB parallela (S aff
Geom. , Behinc Angulus Visorius ABC nullus: Quod cum sit absurdum , Hemisphaerium integrum videri nequit.
uod erat alterum. THEO REM A XLIII. Tab. 2 S. Longitudines tantum mediocres III. non autem magnas Visu comprehendere
Sit AO 1, ADmJ . Quoniam sinus totus ad Tangentem Anguli Visorii, ut AO ad AD S. o. Trigon. reperietur fAngulus Visorius 8sq. Quodsi vero AD ponatur 3 3T, reperietur AngulusVisorius AOD 8s' ss/ (S .cit. Trig. , adeoque pro g38o distantiis oculi tantummodo relinquitur Angulus sy , &cum Angulus AOD a recto, qui totam ammplitudinem Visus definit S. agi , nonnisi unico minuto differat; pro omni reliqua longitudine, quae 3 3 distantias seu altitudines oculi excedit, nonnisi unius minuti Angulus restat.5Visus
igitur tantum mediocres, non autem
magnas longitudines comprehendit. c. d.
COROLLARIUM I. et s. Cum Angulus Visorius, quo ad distantiam Oculi ci pedum spectatur longitudo 3 a pedum, sit 8sq, adeoque omni intervaljo reliquo usque ad rocia a pedes nonnisi sy minuta cedant; longitudines 3 et pedibus majores solo adspectu vix dimetiemur, COROLLARIUM II. aso. Hinc distantiarum & altitudinum magnarum differentiae, quamvis admodum ingentes, nudo adspectu non dignoscuntur.
TRE OREM A XLIV. 2SI. AEquales partes ejusdem inter- Tab. valli AB , BC , CD ctc. inaequales IV. parent. Fig. 3.
Ducatur Radio OB Arcus EF, sitque AO ad AD perpendicularis, adeoque communis altitudo an AOB, BOC, COD S. ra om. . Sector EOB major a AOB, adeoque ad A OBC majorem rationem habet quam AOB( S. et o 3- . Cum Aci AOB& OBC communem altitudinem Aohabeant; inter se sunt in ratione basium AB & BC (S. 38s Geom.). Sector igitur EOB ad ' OBC majorem rationem habet quam AB ad BC. Qilare cum sector BOF Q A OBC; sector EOB adsectoremBOFmulto magis rationem majorem habebit quam AB ad BC. Enimvero sectores EOD & BOF sunt inter se
ut arcus EB&BF S. II, 38s Geom. . Arcus itaque EB ad arcum BE rationem
majorem habet quam AB ad BC. Jam AB BC per hapoth. Quare arcus EB major arcu BF S. is 8 Arithm. . Unde cum arcus AB & BF sint meninae Angulorum
58쪽
stap. V DE VISIONE MAGNITUDINIS.
(S. I a Geom. & S. ro Arithm. f., consequenter etiam AB majus videtur quam BC (S. aoy . Eodem modo ostendi- tur, BC apparere majus quam CD, &ita porro. s. e. d. TE EO REM A XLV. Tph a s a. Si ex Centro Circuli C excitetur ad planum ejusdem perpendicularis
quantacunque vel Linea obliqua utcunque Radio aequalis CF ; Oculo in F collocato Diametri omnes DE O AB
aquales apparebunt. DEMONSTRATIO.
Si recta FC ad Diametros DE, AB&c. perpendicularis ; Anguli ad C recti
(S. agi Geom. . Qtiare cum Radii DC, CB , CE , CA aequales sint (S. go Geom. & latus FC Triangulis DFC, B C, EFC, AI C commune; Anguli cognomines aequales sunt (S. I si Geom. . Radii igitur DC, CB, CE,
CA S a os , consequenter etiam Diametri DE, AB &c. aequales apparent.
Si AC CF CB, ex Centro C super AB in plano AFB descriptus semicirculus S. 13s Geom.), transibit per F S. o Geom.). Angulus itaque
AFB rectus est, S. Geom. . Eodem modo ostenditur, esse DFE rectum. Quare cum Diametri AB & DE sub aequalibus Angulis videantur (S.I s om.); aequales apparebunt S. a os . . Zod erat alterum. PROBLEMA XXIII. 233. Invenire punctum F , in quo oculo magnitudines AB O BC utcunque inaequales es in directum sua appa
I. Ex A & B, intervallo AB, facta intersectione in E, ex Centro E per A & B describatur CirculuS.
r. Eodem modo determineturCentrum
D, & ex eo per B & C describatur Circulus alius, priorem secans in F. Tab
Dico F esse Punctum quaesitum.
Cum AB&BC sint latera Hexagoni
Geom. F, Arcus cognomines eandem rationem: ad suas Peripherias habent (S. 3 a Geom. . Quare cum Angulorum AFB & MC mensurae sint Arcus dimidii AB & BC (S. 3 i Geom.)i aequales sint necesse est S. I i Geomo, adeoqsse & magnitudines AB & BC Oculo in F aequales apparent (,. a oct). e. d. PROBLEMA XXIV. '2S . Indimire duo Puncta LI SC Tab.
ejus conditionis, ut Punctum C sit vicinius utrique extremo magnitudinis AB, quam Pun tum D, in viciniori tamen C magnitudo AB minor appareat, quam
I. Quacunque Circini apertura ex A&B fiat intersectio in E & ex E, tanquam Centro, Radio EA, describatur Circulus AIDB. a. Simili modo determinetur Centrum F, & ex eo Radio FA, describatur Circulus AHCB. 2 3 3. Si
59쪽
3. Ducatur ad AB continuatam in Gperpendicularis GD, quae Peripheriam majorem in C secet, majori vero in D occurrat. Dico Punctum D magis distare ab extremis A dc B visibilis AB , quam alterum C; in Puncto tamen C minorem apparere magnitudinem AB , quam in D.
Quoniam DG perpendicularis ad AG per lapoth. BD , BC & AD , AC(S. I Geom. . Punctum igitur D magis distat ab A & B quam C S. I si a Geom. .
AI B, 3 oo Geom.); erit quoque ADB , ACB s. 8s Arctim. . Magnitudo igitur AB major apparet in D quam in C S. 1 os . Ouod erat adterum. TE EO REM A XLVI. Tati. 2s s. di oculus infra magnitudinis Iv. humilioris FE verticem E fuerit collocatus, se per eum ditiorem AC sectet; majorem humue partem videbit in dis-tia remoturi FH , quam in viciniori FG vel FI.
Si oculus fuerit in I , recta ex H perverticem E in magnitudinem altiorem AC ducta partem CB resecat, quae ab eo spectatur (S. ). Similiter recta ex G per E ducia GD resecat partem DC, qtne in G spectatur (S. cit. . Quoniam itaque recta GD alteram HB in E secat
alterius Ela cadit s pars altera DE ipsius DG supra alteram BE ipsius BH cadet(,. cit. Obiim , consequenter DC e CB S. ro Arithm. . e. d. TREO REM A XLVII. as6. Si magnitudo humilior GF se, Tab.II. rii ad altiorem DE in ratione di antia- HU. et s. rum BF ct BE , vel si BF ad BE minorem rationem habuerit quam GF ad DE: Oculus in B collocatus altiorem prorsus non videbit. DEMONsT RATIO.
verticem humilioris G transiens trans ibit etiam per D S. 26 Geom. . Cum adeo objectum DE non radiet in B; ibi quoque videri nequit S. a); adeoque multo minus in propinquiori distantia, hoc est, si BF: BE U GF: DE S. aci I . st e. d. PROBLEMA XXV. 23 T. Datis altitudinibus GFc DE Tab.II.
una cum distantia earundem a se invi-HE,Ii,cem FE; determinare Punctum B, ubi iminor majorem confectui eripere cessat.REsoLUTIO.
Fiat : ut differentia magnitudinum GF & DE, ad magnitudinem minorem GF; Ita distantia magnitudinum a se invicem FE, ad distantiam quaesitam BF.
60쪽
Top. V. DE VISIONE MAGNITUDINIS.
nire partem altioris BC, quae per verticem humilioris E, ab oculo infra eum
Quia datur distantia oculi ab Objecto humiliore FH, & distantia humilioris ab excelsiore AF per hetpoth. distantia quoque oculi ab excelsiore AH datur. Igitur I. Quaeratur ad FH, FE & AH quarta proportionalis, quae erit pars magnitudinis altioris ab humiliore EF conspectui in H erepta AB (S.rcia . a. Quodsi adeo ex integra AC per h)poth. data auferatur, relinquetur portio BC, quae in H spectari potest.
PROBLEM A XXVII. Tab. 2sq. Datis altitudinibus FE AC,
IV. una cum distantia FI, ubi primum con- Fig. .flectui eripitur altior AC; invenire diis Fantiam earum a se invicem. REsOLUTIO. Quaeratur ad altitudinem minorem
FE, differentiam altitudinum FE & AC, atque distantiam Fl, quarta proportionalis , quae erit distantia altitudinum quaesita Ap. D
PROBLEMA XXVIII. 2 6O Data altitudine objecti humilim Tab. ris EF, una cum di Fantia excelsoris ab eodem AF s determinare actitudinem excelsoris AC, quae tanta esse debet ut in data distantia FH, per verticem hummilioris E, pars data excelsioris BC con
Quoniam FH & AF dantur, per h)poth. AH quoque datur. Quare 1. Quaeratur ad FH, FE & HA quarta proportionalis, quae erit pars altitudinis majoris a minore conspectui in H erepta AB. a. Huic ergo si addatur pars conspicua BC; prodibit altitudo integra AC.
Sit e. gr. FH goo pedum, FE Iio, AF oo, BC so; erit AB I so. goo : SOO ZOos consequenter AC a so.
PROBLEMA XXIX. 26 I. Determinare altitudinem DB, Tab. ad quam collocanda est magnitudo data IV. AB, ut oculo in E posto tanta appareat, quanta DC ibidem videtur. REsoLUTIO. I. Ducatur recta EC & in E ad eam excitetur perpendicularis EG, fiaraque EF magnitudini datae aequalis.