장음표시 사용
11쪽
SED non sit rectus angulus AC B, hoc cit diameter AC, non sit
axis. inuento ' aute axe, Ordinaturi
ad ipsum applicatae in angulo recto applicabuntur, quare cadet oratione qua supra siue priori, sita posteriori ostendetur parabolanti s. Cuius inuentus esset axis, hoc est parabolam AB, parabolae coni resecti rectanguli eandem esse . Cuiuscunque igitur coni parabola param olae coni recti rectanguli eadem est quod erat Ostendendum .
IN dato cono datae parabolae eandem parabolam in
uenire. SIT datus conus cuius vertex punctum A, basis BC, circulus, data aute parabola, cuius diameter DE, oportet in cono dato parabolam inuenire eandem parabolae D, a quocunque puncto F, insectione sumpto ad diam trum DF, ordinatim applicetur FE, & sit primum angulus DEF, rectus, hoc est diameter DF,sit axis. Seiscetur conus plano per axe ad rectos angulos basi coni,& faciat sectione triangulum ABC, in AC, autem
sumatur AG, aequalis DE,& ipsi BC, parallela aga tur GH, de producatur ad partes G,& fiat quadrato FE, aequale rectangulum HGI, ipsi autem AB, pamrallela agatur IK, & ipsi - GH,vel BC, parallela KL, εἰ in LΚ, sumatur LM, aequalis HG,& per M. ipsi AC,parallata agatur VMO, deinde secetur conus per NO, plano quod sit ad rectos angulos
12쪽
tos triangulo ABC, & faciat sectione in superficie eoni lineam PNincommunis antem sectio plani secantis, & circuli BC, sit POQ. Quoniam igitur trianguIum ABC, rectum est, & ad planum secans, & ad
circulum BC,communis ipsorum sectio ΡΟ, ad triagulum ABC, per- r . rr. pendicularis erit. quare &'ad omnes rectas lineas, quae in triangulo tin timiam contingunt, ergo ad utranque ipsarum BC, NO. Quoniam igitur conus secatur plano secante basim coni secundum rectam lineam Po, perpendicularem ad BC, basim trianguli per axem, diameter autem sectionis videlicet No,parallela est ipsi AC, lateri trianguli per axem, erit 'coni sectio PNQ, parabola. 1 P. I.
Rursus quoniam BC, parallela est ipsi LΚ, ducta MR, parallela ipsi Apost. P, planum quod transit per LΚ,RM,'aequid istans erit plano per BC is. ar. OP, hoc est basi coni, ideoque planum per LΚ, RM,circulus erit,cuius ειε .diamenter LΚ.& quoniam RM,perpendicularis,est ad LΚ,quod &PO, ad BC, quadratum R M,aequale erit rectangulo LMΚ, hoc est HGI, est, enim HG, aequalis LM, ex constructione,& GI,aequalis MK, quia cum sit parallelograminum HIΚL, erit HI, aequalis LΚ, ablatis aequalibus HG, LM, reliqua GI, aequalis erit reliquae MK, sed & quadratum FE, aequale est rectangulo HGI, ex constructione, ergo quadratum RM, aequale erit quadrato FE,& recta R M, aequalis rectae FE. Et quoniam LM, parallela est ipsi HG, & aequalis, iuncta G M, erit parallela ipsi HL, sed & NM, parallela est ipsi AG,ergo parallelogram ' mum erit ΛNMG r quare N M,aequalis AG,sed ΑG,aequalis est DE,ex 'constructione,ergo & NM, ipsi DE,aequalis erit. Et quoniam parallelae iunt Po,RM,erunt anguli NOP,NMR, aequales. sed rectus est No P, quod Po, perpendicularis est ad No, ergo &NMR, rectus erit,& ideo angulo recto DEF, aequalis. Itaque quoniam ordinatim applicata RM, aequalis est ordinatim applicatae FE,& segmentum NM,diametri interiectum inter verticem . di applicatam aequale segmento DE, diametri inter verticem,& applicatam interiecto, est autem, & angulus NMR, aequalis angulo DEF, erit ex Theor. a. parabola PNin datae parabolae D, eadem. ALITER. SIT datus conus, & parabola ut supra, & oporteat facere, quod imperatum est. Sumatur quodcumque punctum F, in sectione, reordinatim applicetur FE, & sit primum angulus D EF, rectus, hoc est diameter DE, sit axis,& ducatur ipsi DF, perpendicularis DS,&fiat quadrato FE, aequale rectangulum EDS erit igitur DS, re- A ba cta iuxta quam possunt ordinatim applicatae ἰ seu latus rectum , t 4. a. deinde secetur conus plano per axem, quod sit ad rectos angulos basi
13쪽
eoni, & faciat sectionem triangulum ABC, & fiat
ut quadratum BC,ad rectangulum BAC, ita recta linea DL ad aliam rectam, cui aequalis po natur AN, & ipsi AC, agatur parallela , NO, Perquam secetur conus plano ad rectos angulos triangulo ABC,& faciat sectionem insuperficio coni lineam PN communis autem sectio plani secantis , di circuli BPC,sit Po eadem raretione qua supra ostendetur angulum ΝΟΡ, esi rectum,& lineam PN cile parabolam a Et quoniam est,ut quadratum BC, ad rectangulum BAC , ita DS,at. t. ad AN, erit parabola: PN latus rectum DS. .l in ρ - Quoniarn igitur latuS rectum parabolae PNm aequale est lateri r cto parabola: DF, atque angulus NOP,contentus applicata & diam tro aequalis angula DEF, contento applicata, & diametro, rectus est 3.buiuae nim uterque, erit Parabola PNinparabola: DF,eadem . . . Sed non sit rectus angulus DEF, hoc est diameter DE, non sit axis r
i inuento'autem axe,eadem ratione,
qua supra, in dato cono datae parabolae eandem parabolam inue- , niemus. In dato igitur cono,datae parabolae, eadem parabola inuenta essiquod erat faciendum.
Sed existente angulo DEF, obliquo, aliter quoque in
hac ratione'. FIAT quadrato EF, aequale rectangulum sub DE, & alia recta li-ν3. t. nea, quae sit G, diametro igitur cistente DE, erit G, latus rectnm. an. 'Φ gulo autem DEp,aequalis angulus ABC, Constituatur,& sumatur AB,
14쪽
aequalis dimidiae G, ipsique BC, ducatur ad rectos angulos AC, &agatur ipsi ΑΒ, parallela CH, cui
perpendicularis ducatur ΒΗ, &CH, bifariam secetur in I, deinde intelligatur parabola,cuius vertex punctum I,axis vero ΙΗ, & ad axe ordinatim applicata HB, cui parabolae eadem parabola inueniatur in dato cono, quod quomodo fieri oporteat iam dictum est. inuenta parabola sit IB. quoniam igitur
tinget sectionem in B, & ΑΒ, diameter 'erit sectionis,quia parali la est ipsi CH. a sectione autem ad ΛΒ, ducatur NK, parallela ipsi CB, Contingenti,erit ' igitur NK, ad diametrum AB, ordinatim applicata, & angulus ΑΚN, aequalis erit angulo ABC, hoc est DEF. Rursus ducatur ad AB,perpen dicularis ILM,duo igitur triangu la ACB,LMB, aequiangula erunt; nam anguli ACB, LMB, sunt aequales,rectus enim est uterque,& angulus,qui ad B,est communis,ergo,ut BL,ad BM,ita erit B Α, ad BC,& ita ΒΑ,dupla ad duplam BC,est enim eadem ratio dupli ad duplum, quae simpli ad simpIumi quare existente diametroΑB,erit latus rectum dupla ipsius BA,sed dupla ipsius B A.., , aequalis est ipsi G, lateri recto paraboIae, cuius diameter DE, ex con ' ADII structione,ergo existente diametro AB,latus rectum aequale erit Iate ri recto parabolae D. Itaque quoniam latus rectum parabolae,cuius diameter ΑΒ, aequale est lateri recto parabolae D, & angulus BKN, contentus applicata, &diametro aequalis angulo DEF, contento applicata, & diametro. erit parabola, cuius diameter AB,eadem parabolae D. in dato igitur conDIdatae parabolae, inventa est eadem parabola, quod erat faciendum.
De ratione,qua inueniuntur hyperbolis,& Ellipsis da tis eaedem, alibi tractabimus.
COROLLARIVM I. EX demonstratis colligitur coni scaleni parabolam,in qua ordinatim applicatet in angulo obliquo applicantur , esse
15쪽
portionem parabolς coni recti abscissam non ad rectos angulos ipsius paraboletaxi. Dixi in qua ordinatim applicatae in angulo obliquo applicantur, quia inueniuntur etiam infinitae parabolarin cono scaleno, in quibus ordinatim capplicatet in angulo recto applicantur.
Secetur enim conus ABC, scalenus plano per axem ad rectos angulos basi BC,& faciat sectionem triangulum ABC, secetur autem,& altero plano secundum rectas lineas EG, D GF , quarum EG , aequidistet lateri AC, ipsa vero DGF, sit perpendicularis ad BC,& faciat sectionem in siuperficie coni lineam DEF, ea ' igitur linea erit parabola,ad cuius diametrum EG, ordinatim applicatae in an-B gulo recto' applicabuntur.
COROLL ARI UM II. OIligitur etiam omnes parabolas ad construenda combuia rentia specula esse idoneas.
Demonstratum enim est ab Orontio & Vitellione parabolas coni recti rectanguli ad constructionem speculorum comburentium esse idoneas, sed parabola cuiuscunque coni eadem est , quae coni recti rectanguli , ut prop. . demonstrauimus, ergo omnes parabolae ad construenda comburentia specula sunt idoneae.
SEd & illud quod Orontius, & Vitellio de sola coni recti, at
que rectanguli parabola demonstrarunt, hoc est solares radios in speculum iuxta coni recti, atque rectanguli parabolam excavatum incidentes,ita ut axi aequidistent,ad unum communem punctum reflacteremos deletis multis,paucis mutatis,breuiter, & expedite sequenti Theoremate de omni parabola demonstrabimus . ΤΗΕΟ-
16쪽
D E PARABOLA. 17ΤHEOREM A V. PROPOS. VI. O Mnes radij solares in speculum concauum a quacunque parabola circa manentem axem circumdudescriptum incidentes ita ut axi aequidistent,reflectim tur ad unum idemque axis punctum, quod scilicet a vertice speculi distat interuallo quartae partis lateris recti parabolae ipsum speculum deseribentis.
. Sit cuiuscumque coni parabola A BC,cuius axis AD,recta vero iux ea, quam possunt ordinatim applicatae, seu latus rectum Α Ε,& sumatur AD, ita ut eius quadrupla sit Λ E, & a quouis puncto B, in s ctione ducatur BG, atquidistans Bipsi AD,& recta ΗΗBF, contingat iὸ sectionem in B,&iungatur BD,ostedendum est primum angulos ΗBG,DBF, ego aequales. Appi icetur enim ad AD, ordinatim ΒΚ, quoniam igitur B F , contingit sectionem in B,
ctanguli D ΑΚ, hoc est rectangulu EAΚ, est enim E Α,quadrupla ip
17쪽
quadrato ΚD,aequale erit quadrato compositae ex DA, ΑΚ,hoc est qua, i. i. drato FD,sed rectangulum E ΑΚ, cui aequatur quadratum ΒΚ, una cuo post. quadrato ΚD, ' aequalia sunt quadrato BD,ergo quadratum BD, qua-47, 1. drato FD, erit aequale, quare & recta BD, recta: FD, & angulus DB F, ἔ- angulo DFB,sed angulus D FB, aequalis est angulo HBG,ratione aequi distantium B G, F D, ergo angulus HBG, aequalis erit angulo DB F, quod erat demonstrandum. At vero si parabola ABC,suerit coni scaleni,& AD, non sit axis, sed diameter. inuento axe,& latere recto,& positis quae supra, eadem ratione,qua ante demonstrabitur praedicta angulorum aequalitas ..Hoc igitur demonstrato patet omnes radios solares in speculum iuxta quamuis parabolam excavatu, incidentes, ita ut aequidistet axi speculi , reflectere ad unum idemq; axis punctum, quod ilicet a vertice distat interuallo quartae partis lateris recti parabolae ipsium speculum describentis , quoniam reflexio radiorum a quocumque in superficie speculi puncto fit secundum aequalitatem angulorum, quos continent radius incidens, & reflexus cum linea contingente superficiem speculi in illo puncto a quo fit reflexio.
PROBLEMA II. PROPOS. VII. : Parabolam ad constructionem speculi ad propositum interuallum comburentis in plano describere.
Esto propositum interuallum AB,quod producatur ad partes A, si res postulauerit,producatur etiam ad partes B,& supra punctum Α, sumatur quot
C, D, E, quo autem plura ari r 8 1 propinquio ra,eo accura' describetur. totide puncta F,G,Η immantur infra Α ἐ
quales AF, ipsi AC, AC,ipsi AD,& ΑΗ, ipsi AE,& per puncta F,G, Η, ducantur ipsi AB, perpendiculares KL, MN,ΟP,& cςntro B, interuatilis BC, BD, BE, describantur circuli,qui secentipias perpendiculares In punctis Κ, L,M,N,Ο, P, per quae ducatur linea aequabiliter progre diens,neque essicies gibbum,aut angulum alicubi, qualis est linea in flexa, ΟMΚALNP, dico ipsam lineam esse parabolam,quae si super
18쪽
elem speculi concauam deseribat, omnes radij selares in ipsum specu- Iu incidentes aequid istanter ipsius axi reflectentur in B, ponatur enim Ad, quadrupla ipsius AB,& iungatur ΚΒ,quoniam igitur sunt aequa-Ies BC, ΒΚ, ut semidiametri, erunt& earum quadrata aequalia, sed quadratum ΚΒ, aequale est quadratis ΚF, FB, de quadratum CB,' aequale quadruplo rectanguli B AF, una cum quadrato FB, commune auferatur quadratum F B,reliquum igitur reliquo erit aequale: hoc est quadratum KF, quadruplo rectanguli B AF, sed quoniam Ainquadrupla est ipsius AB , rectangulum QA F, erit aeqpale quadruplo rectanguli B AF, ergo quadratum K F, aequabitur rectangulo in F, quare perpunctum Κ, transibit parabola,cuius vertex A,axis vero ΑΒ,& rectum latus A eadem ratione ostendemus ipsam parabolam transire per reliqua puncta Ο,M, L. N, P.
Si igitur seperficies speculi concaua a praedicta parabola destribatur circa manentem axem AB,circvducta, radij Elares in ipsum speculum incidentes axi aequid istanter reflectentur in B , id autem demonstrauimus in antecedenti Theoremate, quoniam ipsius AB, quadrupla est latus rectum Ain parabola: ipsem speculum destribentis. Descripta igitur est parabola in plano ad constructionem speculi ad propositum interuallum AB,comburentis,quod facere oportebat.
Esto propositum interuallum, ut supra A B , quod producatur ad utrasque partes si opus suerit,& in eo sumantur duo puncta C, D,aeque distantia ab ipsoΑ,& per D, ducatur ipsi AB,ad rectos angulos EDF,& centro B, ineruallo BC,describatur circulus secans rectam EDF, iri punctis si, F, & iungatur ΛF, & in DF, sumantur quotcunque puncta G,H,I,quo plura,eo accuratius parabola describetur, & ipsi AD, pa rallelae agatitur GK, HL, IM,& a puncto E, ducatur E T,utcumque faciens angulum TED,in qua sumantur EP, E EO, aequales ipsis IM, HL,GΚ, prima primae, secunda secundae, & sic deinceps, & iungantur
PD,QD, OD,quibus parallelae agantur, videlicet IR, ipsi DP, HS, ipsi Din& GT, ipsi DO,& producantur GK, H L, IM, ita ut sint aequales GV,ipsi ET,ΗX, ipsi ES, & ΙY, ipsi ER, deinde sumantur in ED, tot
puncta,quot sunt in DF, ita ut distent a puncto D,eo interuallo quo distant ipsa puncta G,Η,I,& per ea ducantur parallelae ipsi AB, ipsis v ro GV, HX, IV, aequales, prima stilicet primae, secunda secundae, & sic deinceps,& per puncta F,Y,X,V, A, di per ea quae sunt ex altera parte ducatur linea aequabiliter progrediens, qualis est linea inflexa FYXVAE dico ipsam lineam esse parabolam,a qua si destribatur conc aua speculi superficies, omnes radii Elares in ipsium speculum incidentes ita ut axi AB,a quidistent,reflectentur in B,ponatur enim A Z,quadrupla ipsius ΛΒ, de iungatur EB, ostendetur eadem ratione qua supra in priori
19쪽
priori descriptione parabolae quadratum ED,vel DF,aequari rectangulo T AD,quare per puncta E, F, transibit parabola cuius vertex Α , axis vero AB,& latus Tectum ΑΕ,& punctum reflexionis radiorum is Iarium erit idem,quod B, quoniam ipsum punctum B, distat ab Α, in teruallo quartae partis lateris recti ZA. Et quoniam parallelae sunt PD, RI, erit ut ED, ad DI,ita EP, hoc est IM, ad PR,hoc est ad MY,ergo ex demonstratis ab Archimede prop. . lib. de quadratura parabolae, parabola transiens per puncta E, A, F. transibit & per punctum.TI' Simili ratione ostendemus ipsam parabolam transire etiam per reliqua puncta X,V, & per ea quae sunt ex altera parte axis AB, descripta igitur est parabola FYXUAE, in plano ad constructionem sipeculi ad propositum interuallum AB, comburentis,quod facere oportebat.