장음표시 사용
111쪽
in curva quaesita CD. Exempli gratia, si s B est parabola quae ex coni nax in η-
sectione lit, ei scimus convenire aequationem tabellae primana, a x ..diluvioNa. rua'; cui respondet ab altera parte B M --ΣBZ ru BD. Vnde longitudo lineae B D cognoscitur, adeoque inventio quotlibet punctorum curvae C D. Quam quidem , hoc casu, paraboloidem esse supra demonstratum fuit, eam nempe, cujus aequatio tertia est hujus tabellae. Construitur autem tabella hoc pacto, ut B M sumatur multiplex secundum numerum qui est exponens potestatis x in a quatione ; B Σ vero, multiplex secundum exponentem potestatis ;ex his autem utrisque compositae accipiatur pars denominata ab exponente potestatis a. . Praeter hasce autem paraboloides lineas, alias item invenimus, a quibus, non absimili constructione, deducuntur curvae rectis comparabiles. Assimilantur autem hyperbolis, eo quod asymptotos suas habent, sed tantum angulum rectium constituentes. Etharum primam quidem statuimus hyperbolam ipsam, quae est ebeoni sectione. Reliquarumvero naturam ut explicemus; sunto Ps, s X, asymptoti curvae A B, reetiam angulum comprehendentes, & a curvae puncto quolibet a ducatur B x parallela P s, sitque s Κ x x; Κ Brua. Si igitur hyperbola sit A B, scimus rectangulum linearum s Κ, ΚΒ, hoc est, rectangulum i semper eidem quadrato aequale esse,
Proxima vero hyperboloidum erit, in qua solidum ex quadrato
112쪽
lineat s x, in altitudinem Κ B ductum, hoc est, solidum x xdi, cubo certo aequabitur, qui vocetur a . Atque ita innumerae aliae hujus generis i perboloides existunt, quarum proprietatem sequens tabella singulis aequationibus exhibet, simulque rationem construendi curvam D C, cujus evolutione quaeque generetur.
Caeterum, quoniam tum ad harum curvarum, tum ad earum quae ex paraboloidibus nascuntur constructionem, ducendae sunt lineae DBE, quae ad datum punctum B secent curvas AB, sive ipsarum tangentes B Η, ad angulos rectos; dicemus in universiim quomodo hae tangentes inveniantur. In aequatione itaque, quae cuiusque curvae naturam explicat, quales aequationes duabus tabellis praecedentibus exponuntur, considerare oportet quae sint exponentes potestatum x &I, & facere ut, sicut exponens potestatis ae ad exponentem potestatis , ita si s K ad K H. Iuncta enim H B cu vam in B continget. Velut in tertia hyperboloide, cujus aequatio est ' ω a : quia exponens potestatis x est 1, potestatis autems exponens 1 ; oportet esse ut i ad x ita s K ad K H. Horum autem demonstrationem noverunt analyticae artis periti, qui jam pridem omnes has lineas contemplari coeperunt; & non solum paraboloidum istarum, sed ae spatiorum quorundam insanitorum, inter hyperboloides S alymptotos interjectorum, plana solidaque diu mensi sunt. Quod quidem & nos, facili atque universali methodo, expedire possemus, ex sola rangentium proprietate sumpta demonstratione. Sed illa non sunt hujus loci.
113쪽
Entrorum Oscillationis, seu Agitationis, investigationema olim mihi, fere adhuc puero, aliisque multis, doctissimus Meriennus proposuit,celcbre admodum inter illius temporisGeometras problema, prout ex litteris ejus ad me datis colligo, nec non ex Cartesin haud pridem editis, quibus ad Mersennianas super his rebus responsum continetur. Postulabat autem centra illa ut invenirem in circuli sectoribus,tam ab angulo quam a medio arcusu spensis, atque in latus agitatis, item in circuli lagmentis, dc in riangulis, nunc ex vertice, nunc ex media basi pendentibus Quod eo redit, ut pendulum silmplex, hoc est, pondus filo appcnsum reperiatur ca longitudine , ut oscillationes faciat temporum eo rundem ac figurae istae, uti dictum est, suspensae. Simul vero pretium operae, forte quaesitis satisfecissem, magnum cane& invidios uin pollicebatur. Sed a nemine id quod desiderabat tunc obtinuit. Nam me quod attinet, cum nihil reperirem quo vel primus aditus ad contemplationem eam patesceret; velut a limine repulsus, longiori investigatione tunc quidem abstinui. Qui verotem sese coniecisse sperabant viri insignes, Cartesius, Honoratus vFabrius, aliique, nequaquam scopum attigerunt, nisi in paucis quibusdam facilioribus , sed quorum tamen demonstrationem nullam idoneam, ut mihi videtur, attulerunt. Idque comparatione eorum quae hic trademus manifestum fore spero, si quis forte quae ab illis tradita sunt, cum nostris hisce contulerit ; quae quidem & certioribus principiis demonstrata arbitror, & experimentis prorsus convenientia reperi. Occasio vero ad haec denuo ten-randa, ex pendulorum automati nostri temperandorum ratione
oblata est, dum pondus mobile, praeter id quod in imo est, illis
applico, ut in descriptione horologii fuit explicatum. Hinc melioribus auspiciis atque a prima origine rem exorsus, tandem difficultates omnes superavi, nec tantum problematum Mersennianorum solutionem , sed alia quoque illis dissiciliora reperi, α
114쪽
si CHRISTIANI HVGEN liviam denique, qua in lineis, superficiebus, solidisque corporibus certa ratione centrum illud investigare liceret. Vnde quidem, ptaeter voluptatem inveniendi quae multum ab aliis quaesita me rant, cognoscendique in his rebus naturae leges decretaque, uti litatem quoque eam cepi, cujus gratia primo animum ad haec applicueram , reperta illa horologii temperandi ratione facili &expedita. Accessit autem hoc quoque, quod pluris faciendum a bitror, ut certae, saeculisque omnibus duratum, mensurae definitationem absolutissimam per haec tradere' ossem; qualis est ea quae ad finem horum adjecta reperietur.
ΡEndulum dicatur Aura qualibet gravitate praedita, e linea fuerit, Ave superficies sv lidum, it us
pensa ut circa punctum aliquod, vel axem potius, qui plano hori Amtis parastelus intestigitur, motum reciprocum vi gravitatis sua continuare post. I I. sexu iste hori ontis plano parastetur, circa quem penduli motus eri intelligitur, dicatur axis incidationis.
I I LPendulum simplex dicatur quod o vel linea in xili, gra
vitatis experte, constare intelligitur, ima sui parte pondus xum gerente; cuius ponderis gravitas, velut in unum punctum coirecta, censenda est. i V. Pendulum vero compositum, quod pluribus ponderibus constat, immutabiles distantiasservantibus, tum interse, tum ab axe Oscillationis. Hinc figura qualibet'stensa, ac gravitate pradita, pendulum compositum dici potest, quatenus cogitatu in partes quotlibet est divisibilis.
Pendula fochrona vocentur, quorum Osistationes, per asecm similes, aqualibus temporibus peraguntur.
115쪽
Planum Osiliationis dicatur illud, quod per centrum o a' vitatis figura lustres duci intelligitur, ad axem oscillatio
Linea centri, recta qua per centrum gramitatis figura ducitur, is axem oscillationis perpendicularis. VIII. Linea perpendiculi , recta in plano oscissationis, ducta alaxe sistationis, ad hortet tis planum perpendicularis. I X. Centrum oscillationis vel agitationis figura cumsibet, discatur punctum in linea centri, tantum ab axe Uristationis di
stans, quanta es longitudo penduli plicii quod figura is-
chronum sit. x xis gravitatis, linea quavis recta, per centrum gravitatis figura transiens. x I. Figura plana, vel linea in plano sita, in planum agitari dicatur, cum axis oscillationis in eodem cum fietura lis aves plano. XII. Eadem veno in latus agitari dicantur, cum axis oscillationis ad figurae lineave planum rectus est. XIII. cuando pondera in rectas lineas duci dicentur, id ita est
inteiligendum,acsi numeri lineave, quantitates ponderum a-tionemque inter se mutuam exprimentes, ita ducantur.
S pondera quotlibet, vi gravitatisssa, moveri incipiant;
non posse centrum gravitatis ex ipsis composita altius, quam ubi incipiente motu reperiebatur, ascenire.
116쪽
Altitudo autem in his secundum distantiam a plano horiston tali consideratur, graviaque ponuntur ad hoc planum, siccundum rectas ipsi perpendicularcs, descendere conari. Quod idem ab om nibus, qui de centro gravitatis egerunt, vel ponitur expresse, vela legentibus stupplendum est, cum absque eo centri gravitatis eoni deratio locum non habeat. Ipsa vero hypothesis nostra quominus scrupulum moveat, nihil aliud sibi velle eam ostendemus, quam quod nemo unquam negavit, gravia nempe sursum non serii. Nam primo, si unum quod piam corpus grave proponamus, illud vi gravitatis sitie altius ac cendere non posse extra dubium est. ascendere autem tunc intel ligitur scilicet, cum ejus centrum gravitatis ascendit. Sed & idem de quotlibet ponderibus, inter se per lineas inflexiles conjunctis, concedi necesse est, quoniam nihil vetat ipsa tanquam unum ali quod considerari. Itaque neque horum commune gravitatis ccntrum ultro ascendere poterit. Quod si jam pondera quotlibet non inter se connexa ponantur, illorum quoque aliquod commune centrum gravitatis esse sci mus. Cujus quidem centri quanta erit altitudo, tantam ajo & gra vitatis ex omnibus compositae altitudinem censeri debere; siqui dem omnia ad eandem illam centri gravitatis altitudinem deduci possint, nulla alia accersia potentia quam quae ipsis ponderibus inest, sed tantum lineis ingexilibus ea pro lubitu conjungendo, ac circa gravitatis centrum movendo; ad quod nulla vi neque potentalia determinata opus est. Quare, sicut fieri non potest ut pondera quaedam, in Plano eodem horizontali posita, sit pra illud planum, vi gravitatis suae,omnia aequaliter attollantur; ita nec quorumlibet ponderum, quomodocunque dispositorum,centrum gravitatis ad majorem quam habet altitudinem pervenire poterit. Quod autem diximus pondera quaelibet, nulla adhibita vi, ad planum horizonia tale, per centrum commune graVitatis eorum transiens, perduci posse, sic ostendetur. Sint pondera A , B, C, positione data,quorum commune gravi tatis centrum sit D. per quod planum horizontale ductium ponatur, cujus sectio rectat p. sint jam lineae insexiles D A , D B , D C, quae pondera sibi invariabiliter connectant; quae porro moveantur , donec A sit in plano E p ad E. Virgis vero omnibus per aequales angulos delatis, erunt jam 3 in c, & C in H. Rurius jam si dic connecti intelligantur virga H a, quae secet planum E E in F; ubi necessario quoque erit centrum gravitatis bino-
117쪽
rum istorum ponderum connexorum, cum trium, in E , B , H , positorum, centrum gravitatis sit D , α ejus quod est in Ε, centrum gravitatis sit quoque in plano E DF. Moventur igitur rursus pondera H, G, super puncto F, velut axe, absque vi ulla, ac simul utra que ad planum E F adducuntur,adeo ut jam tria,quae prius erant in A, B , C, ad ipsam sui centri gravitatis D altitudinem, suo ipsorum aequilibrio, translata appareat. quod erat ostendendum. Eadem que de quotcunque aliis est demonstratio. Haec autem hypothesis nostra ad liquida etiam corpora valet, ac per eam non ibium omnia illa, quae de innatantibus habet AG chimedes, demonstrari possunt, sed di alia pleraque Mechanicae
theoremata. Et sane, si hac eadem uti scirent novorum operum machinatores, qui motum perpetuum irrito conatu moliuntur,ile tuos apti errores deprehenderent, intelligerentque rem
eam mechanica ratione haud quaquam possibilem esse II.
Remoto aeris, alioque omni impedimento manifesto, quemadmodum in sequentibus demonstrationibus id intelligi υ luimus centrum travitatis penduli agitati, aequales arcus deycendendo ac ascendendo percurrere. De pendulo simplici hoc demonstratum est propositione s de
Descensu gravium. Idem vero & de composio tenendum esse de
clarat experientia; si quidem, quaecunque fuerit penduli figura,
118쪽
D. e. fixo aeque apta continuando motui reperitur, nisi in quantum plu1 minusve aeris oblectu Impeditur.
Ponderitas quotlibet ad eandem partem plani existent Abus , s a singulorum centris gravitatis agantur in planum illud perpendiculares , ha singula in sua pondera ducta,
tantundemsimul e cient, ac perpendicularis, a centro gravitatis ponderum omnium in planum idem cadens , ducta in
pondera Omnia. S int pondera A , B , C, sita ad eandem partem plani, cujus sectio recta Dr, inque ipsum a singulis ponderibus ducantur perpendi culares A D, B E,C F. Sit autem G punctum centrum gravitatis ponderum omnium A , B , C , a quo ducatur perpendicularis in idem planum G H. Dico summam productorum, quae fiunt a singulis ponderibus in sitas perpendiculares,aequari producto ab rectac M in omnia pondera A, B, C. Intelligantur enim perpendiculares, a singulis ponderibus eductae, continuari an ateram partem Plani D F, sintque singulae DK, E L , F M , ipsi H G aequales; omnesque lineae, inflexiles virgas referant , ad horizontem parallelas; & ponantur in K, L , Μ , gravi tates ejusmodi, quae singulae cum sibi oppositis A , B, C, aequilibrium faciant ad intersectionem plani D E p. OmneS igitur Κ , L, M , aequi ponderabunt omnibus A , B , C. Erit autem, licut longitudo A D ad D K, ita pondus K ad pondus A , ac proinde D A ducta in magnitudinem A , aequabitur D K, sive o H, duetae in x. Simili
119쪽
ter E B in B aequabitur E L , sive G H, in L: & F C in C aequabitur 3 M, sive G H , in M. Ergo summa productorum ex A D in A , B E in I, C F in F, aequabitur summae productorum ex C H in omnes Κ , L , M. Quum autem K, L, M , aequi ponderent ipsis A , B , C, etiam iisdem A , B , C, ex centro ipsorum gravitatis G suspensis, aequi ponderabunt. Unde, cum distantia C H aequalis sit lingulis DK, EL, FM, necesse est magnitudines A, B, C, simul sumptas, aequari ipsis K , L,
M. Itaque & summa productorum ex G H in omneS Α , B, C, aequabitur productis ex D A in A, EB in B,&FCin C. quod erat demonstrandum.
Etsi vero in demonstratione positae fuerint rectae A D, C H, CF, horizonti parallelae, & planum ad horizontem crectum; patet, si omnia simul in alium quemlibet situ in transponantur, eandem manere productorum aequalitatem, cum rectae omnes sint eaedem quae prius. Quare constat propositum.
PROPOSITIO II. P Osirii qu/ priui, Dondera omnia A , B, C,sint aequalia;
dico fimmam omnium perpendicularium AD , B E, CP, aquari perpendiculari, a centro gravitatis ducta, GH, multiplici secundum ponderum numerum. Quum enim summa productorum, a ponderibus singulis in suas
perpendiculares, aequetur producto ex G H in pondera omnia; sitique hic, propter ponderum aequalitatcm, si imma illa productorum aequalis producto ex uno pondere in si ammam omnium per pendicularium ; itemque productum ex G H in pondera omnia, idem quod productum ex pondere uno in C H, multiplicem secundum ponderum numerum: paret summam perpendicularium necessario jam aequari ipsi G A, multiplici secundum ponderum numerum. quod crat demonstrandum.
magnitudines quadam descendant omnes, vel assen dam, licet inaequalibus intervastis ι altitudines descensus vel ascensus cujusque, in ipsam magnitudinem ductae, efficient summam productorum aqualem ei, qua fit ex altitudi
ne descensus vel ascensus centri gravitatis omnium magnitudinum, ducta in omnes magnitudines.
120쪽
De cxητη. Sunto magnitudines Α , B, C, quae ex A, B , C, descendant in. Iu .' α, E, F ; Vel ex D , E , F , astendant In A , B , C. Sitque earum cenistrum gravitatis omnium, dum sunt in A, B, C, eadem altitudine . cum puncto G ; cum vero sunt in D , E , F , cadem altitudine cum puncto H. Dico summam productorum ex altitudine A D in A, B Ein B, C F in C, aequari producto ex GH in omnes A, B, C.
Intelligatur enim planum horizontale cujus sectio recta M p, atque in ipsum incidant productae A D , B E , C F & G H , in M, N, O, P. Quia igitur summa productorum ex A M in A , B N in B , C o in Prop. t. huj. C, aequali S est facto ex G P in omnes A, B , C '. Similiterque summa productorum ex D M in A , Evi in B , F o in C, aequalis facto ex H P in Ormies A,B,C sequitur & excessum priorum productorum supra posteriora, aequari facto ex o H in omnes magnitudines Α , B, C. Dictum vero excessum aequari manifestum est productis ex A D in A, B E in B, Cp in C. Ergonaec simul etiam aequalia erunt producto ex G H in Omnes A, B , C. quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO IV. SI pendulum e pluribus ponderibus compositum, atque equiete dimissum, partem quamcunque oscitationis int Ira confecerit, atque inde porro inte stantur pondera ejus gula, relicto communi vinculo, celeritates acquisitas sursum con vertere, ac quousque possunt ascendere 3 hoc facto, centrum gravitatis ex omnibus composera, ad eandem altitudinem reversum erit, quam ante inceptam osciliationem obtinebat.