장음표시 사용
11쪽
SED non sit rectus angulus ACB, hoc est diameter AC, non ciaris. inuento ' aute axe, ordinatim ad ipsum applicatae in angulo re Oi applicabuntur, quare eadem ratione quχ supra siue priori, siuae, posteriori ostendetur parabolam, cuius inuentus esset xis, hoc est parabolam AB, parabolae coni recti rectanguli eandem esse . Cuiuscunque igitur coni parabola par horae coni recti rectanguli eadem emquod erat ostendendum .
IN dato cono datae parabolae eandem parabolam in
uenire. SIT datus conus cuius vertex punctum A, basis BC, circulus, data te parabola, cuius dia- A meter DE, oportet in co no dato parabolam inue. 1 nire eandemsarabolae D, a quocunque puncto F, insectione sumpto ad diam trum DE, ordinatim applicetur FE, sit primum angulus DEF, rectus, hoc est diameter DBdit axis. Secetur conus plano per axe ad rectos angulos basi con faciat sectione trian gulum ABC,in AC,autem sumatur AG,aequalis DE,& ipsi BC, parallela aga tur CFI, di producatur ad partes G, & fiat quadrato FE, aequale rectanguluiu
12쪽
los triangulo ABC, S: faciat sectione in superficie eoni lineam PNc communis autem sectio plani secantis, & circuli BC, sit POQ. Quoniam igitur triangulum ABC, rectum est, & ad planum secans, & ad
circulum BC,communis ipsorum sectio PO, ad triagulum ABC, per- 19. rr. pendicularis erit. quare &'ad omnes rectas lineas,quae in triangulo ip- sam contingunt, ergo ad utranque ipsarum BC, NO. Quoniam igitur ii conus secatur plano secante basim coni secundum rectam lineam PO, perpendicularem ad BC, basim trianguli per axem, diameter autem
sectionis videlicet NO,parallela est ipsi AC, lateri trianguli per axem,
erit coni sectio PNQ, parabola. l. 1.
Rursus quoniam BC, parallela est ipsi LΚ, ducta MR, parallela ipsi AHQOP, planum quod transit per LX RM,'aequi distans erit plano per DC as. ιε. OP, hoc est basi coni,ideoque planum per LΚ, RM,circulus erit,cuius m m. diamenter LΚ.& quoniam RM,perpendicularis, est ad LΚ,quod &PO, ad BC,quadratum RM,aequale erit rectangulo LMΚ, hoc est HGI, est, cnim HG, aequalis LM, ex constructione,& GI qualis MK, quia cum sit parallelogrammum HIKL, erit HI, aequalis I Κ, ablatis aequalibus HG, LM, reliqua GI, aequalis erit reliquae MΚ, sed & quadratum FE, aequale est rectangulo HGLex constructione, ergo quadratum RM, aequale erit quadrato I Ε,& recta RM, aequalis rectae FE.
Et quoniam LM, parallela est ipsi HG, & aequalis, iuncta C M, erit parallela ipsi HL. sed & NM, parallela est ipsi AG,ergo parallelogram mum erit ΑNMGequam NM, aequalis Ata, sed AG, aequalis est DE;ex ,
constructione,ergo & NM, ipsi DE,aequalis erit.
Et quoniam parallelae sunt PO .R M,erunt anguli NOP,NM II, aequales. sed rectus est NOP, quod PO, perpendicularis est ad NO, ergo &NMR, rectus erit,& ideo angulo recto DEF, aequalis. Itaque quoniam ordinatim applicata RM, aequalis est ordinatim applicatae FE,& segmentum NM,diametri interiectum inter verticem . , . di applicatam aequale segmento DE,diametri inter verticem,& appli- , catam interiecto, est autem, & angulus NMR, aequalis angulo DEF, erit ex Theor. a. parabola PNindatae parabolae D, eadem.
SIT datus conus, & parabola ut supra, & oporteat facere, quod imperatum est. Sumatur quodcumque punctum F, in sectione, α ordinatim applicetur FE, & sit primum angulus DEF, rectus, hoc est diameter DE, sit axis, & ducatur ipsi DE , perpendicularis DS, sat quadrato FE, aequale rectangulum EDS,' erit igitur DS, recta iuxta quam possunt ordinatim applicatae ; seu latus rectum , t deinde secetur conus plano per axem, quod sit ad rectos angulos basi
13쪽
coni, & iaciat sectionem triangulum ABC, & fiat
ut quadratum BC,ad re ctangulum BAC, ita re Oa linea DS, ad aliam rectam, cui aequalis po natur AN, & ipsi AC, agatur parallelao Nos perquam secetur conus plano ad rectos angulos triangulo ABC,& faciat sectionem in superficio coni lineam PN communis autem sectio plani secantis, S circuli BPC,sit POR eadem ratione qua supra ostende tur angulum NOP, ego rectum,& lineam PNQ, esbparabolam aEt quoniam est, ut quadratum BC, ad rectangulum BAC, ita DArt. t. ad ΑN, erit parabola: PNQ, latus rectum DS. Quoniam igitur latus rectum parabola: PN , aequa Ie est lateri r cto parabolae DF, atque angulus NOP,contentus applicata & diametro aequalis angulo DEF, contento applicata, & diametro, rectus estrauiuienim uterque, erit parabula PNQ, parabolae DF, denuo. Sed non sit rectus angulus DERIhoc in diameter DE, non sit axis:
-- inuento autem axe,eadem ratione,
qua siupra, in dato cono datae parabolaseandem paraboIam inueniemus. In dato igitur cono datae parabolae, eadem parabola inuenta est,quod erat faciendum.
Sed existente angulo DEF, obliquo, aliter quoque in dato cono datae parabola: eandem parabolam inueniem
, ii hac ratione'. FIAT quadrato EF, aequale rectangulum seb DE, & alia recta Ii-ν - . nea,quae sit G, diametro igitur existente DE, erit C, latus rectum. a hulo autem Dis,aequalis angulus ABC, constituatur,oc sumatur AB,
14쪽
aequalis dimidiat G, ipsique BC, ducatur ad rectos angulos AC, dc agatur ipsi AB, parallela CH, cui perpendicularis ducatur ΒΗ, &CH, bifariam secetur in I, deinde
intelligatur parabola,cuius vertex punctum I,axis vero IR, & ad axe ordinatim applicata HB, cui parabolae eadem parabola inueniatur in dato cono, quod quomodo fieri oporteat iam dictum est. inuenta parabola sit IB. quoniam igitur
tinget sectionem in B, & AB, diameter erit sectionis,quia panaIl la est ipsi CH. a sectione autem ad AB, ducatur NK, parallela ipsi
CB, contingenti, erit ' igitur.NΚ, ad diametrum AB, ordinatim applicata, & angulus ΑΚN, aequalis erit angulo ABC, hoc est DEF. Rursus ducatur ad AB,perpen dicularis I LM,duo igituriri angula ACB,LMB, aequiangula erunt, nam anguIi ACB, LMB, sunt aequa-
Ies,rectus omm est uterque,& anguluς, qui ad B in CommuniS,ergo, ut
BL,ad BM,ita erit BA,ad BC,& ita BA,dupla adduplam BC,est enim eadem ratio dupli ad dupli γ, quaesimpli ad simplum i quare existente diametroAR, erit latus rectum dupla ipsius BA,sed duplai PsiuSSA . , , aequalis est ipsi G, lateri recto parabolis, cuius diameter DE, ex con- . II structione,ergo existente diametro AB,latus rectum aequale erit lateri recto parabol ae D. Itaque quoniam latus rectum parabola,cuius diameter AB,aequale est lateri recto tarabolae D.& angulus BFN, contentus applicata, &diametro aequalis angulo I EF, contento applicata, & diametro crit Parabola, cuius diameter AB,eadem parabo Iae D. iu dato igitur cono datae parabolae, Inventa est eadem pariabola, quod erat faciendum .
De ratione,qua inueniuntur hyper laci& Ellipses datis eaedem, alibi tractabimus.
COROLLARIVM I. X demonstratis colligitur coni scaleni paraboIam,in qua νε ordinatim applicatς in angulo obliquo applicantur, esse
15쪽
portionem paraboli; coni recti abscissam non ad rectos angulos.ipsius paraboletaxi. Dixi in qua Ordinatim applicatae in angulo obliquo applicantur, quia inueniuntur etiam, infinitae parabolae in cono scaleno, in quibus ordinatim applicat in angulo recto applicantur.
Secetur enim conus ABC, scalenus plano per axem ad rectos angulos basii BC,& faciat sectionem triangulum ABC, secetur autem,& altero plano secundum rectas lineas LG, DGF , quarum EG , aequidistet lateri AC, ipsa vero DGF, si perpendicularis ad BC,& saciat sectionem in superficie coni lineam DEF, ea ' igitur linea erit parabola, ad cuius diametrum EG, ordinatim applicatae in an- recto' applicabuntur.
COROLLARIUM Colligitur etiam omnes parabolas ad construenda comburentia specula esse idoneas.
Demonstratum enim est ab Orontio & a Vitellione parabolas coni recti rectanguli ad constructionem speculorum comburentium esse idoneas, sed parabola cuiuscunque coni eadem est , quae coni recti rectanguli, ut prop. . demonstrauimus, ergo Omnes parabolae ad construenda comburentia specula sunt idoneae.
C Ed & illud quod Orontius, & Vitellio de sola coni recti, a
O que rectanguli parabola demonstrarunt, hoc est solares radios in speculum iuxta coni recti, atque rectanguli parabolam
excavatum incidentes,ita ut axi aequidistent,ad unum communem punctum resectere. nos deletis multis,paucis mutatis,breuiter, & expedite sequenti Theoremate de omni parabola de-
16쪽
DE PARABOLA. 17 THEOREM A V. PROPOS. VI. O Mnes radij solares in speculum concauum a qua
cunque parabola circa manentem axem circumdae
istia descriptum,incidentes ita ut axi aequidistent. reste lamtur ad unum idemque axis punctium, quod scilicet a vertice speculi distat interuallo quartae partis lateris recti parabolae ipsum speculum describentis.
Sit cuiuscumque coni parabola ABC cuius axis AD,recta vero MN ea, quam pollunt ordinatim applicatae,scu latus r ctum A E,& sumatur AD, ira ute-
puncto B, in sectione ducatur , . equid istans Bipsi AD,& recta HBF, contingat Zsectionem in B,&iungatur BD,ostudendum est primum angulos HBG,DBF, esse aequales. Applicetur enim ad AD, ordinatim B Κ, quoniam igitur B F , contingit sectionem in B,
I driaplum re- anguli D Α Κ, hoe est rectangula EAK, est enim EA,quadrupla ipsius AD, una cit
17쪽
quadrato ΚD.aequale erit quadrato compositae ex DA, ARhhe est quai .drato FD.sed rectangulum E AK, cui aequatur quadratum DK, vi a cuADa. quadrato ΚD, ' aequalia sunt quadrato BD.ergo quadratum BD, qu 7 drato FD, erit aequale, quare & recta BD, rectae PD, & angulus DB F. M angulo DFB,sed angulus D FB, aequalis est angulo HBG,ratione aequi distantium B G, F D, ergo angulus H B G, aequalis erit angulo DB F, quod erat demonstrandum. At vero si parabola ABC,suerit coni scalent. 3c AD. non sit axis, sed diameter. inuento axe,& latere recto,& positis que sepra, eadem ratione.qua ante demonstrabitur praedicta angulorum aequalitas. Hoc igitur demonstrato patet omnes radios solares in sipeculum iuxta quamuis Parabolam excavatu, incidentes ita ut aequiui stet axi speculi, reflectere ad unu ni idemq; axis punctum, quod scilicet a vertice distat tanteruallo quartae partis lateris recti parabolae ipsum speculum describentis , quoniam reflexio radiorum a quocumque insuperficie speculi puncto fit secundum aequalitatem angulorum . quos continent radius incidens, & reflexus cum linea contingente superficiem speculi in illo puncto a quo fit reflexio.
PROBLEMA II. PROPOS. VII. Parabolam ad constructionem speculi ad propositum
interuallum comburentis in plano describere.
Esto propositum interuallum AB,quod producatur ad partes A, de si res postulauerit,producatur etiam ad partes B, di supra punctuin A. sumatur quotcunq; puncta C, D, E, quo autem plura see propinquio
rius parabola describetur. totide puncta
ducantur ipsi AB, perpendiculares KL,MN,OP,& centro B, interuaulis AC, Bl , DE, describantur circuli, qui secent ipsias perpendiculares in punctis Κ, L M,N, O,P, per quae ducatur linea aequabiliter progrediens, neque efficies gibbum aut angulum alicubi, qualis est linea inflexa , OMKALNI', dico ipsam lineam esse parabolam,quae si superfluciem
18쪽
Hem speculi eo auam describat, omnes radij solares in ipsum specu- Iu incidentes atquidistanter ipsius axi reflectentur in B, ponatur enim AO, quadrupla ipsius AB,& iungatur ΚΒ,quoniam igitur sunt aequales BC, ΒΚ,ut semidia iraetri erunt& earum quadrata aequalia, sed quadratum ΚΒ, aequale est quadruis KF FB, & quadratum CB,' aequale quadruplo rectanguli B AF, cum quadrato FB,commune auferatur quadratum FR,reliquuin igitur reliquo erit aequale: hoc est quadratum Kp, quadruplo rectanguli BAF, sed quoniam Ainquadrupla est ipsius AB, rectangulum Q A F, erit aequale quadruplo rectanguli BAF,ergo quadratum X F, aequabitur rectangulo QAF, quare per punctum Κ,transibit parabola, cuius vertex A,axis vero AB,& rectum latus A eadem ratione ostendemus ipsam parabolam transire per reliqua puncta O.M, L,N, P.
Si igitur superficies speculi concaua a praedicta parabola describatur circa manentem axem AB,circitducta radi j solares in ipsum speculum incidentes axi aequid istanter reflectentur in B, id autem demonstrauimus in antecedenti Theoremate,quoniam ipsius AB,quadrupluest latus rectum Ain parabolae ipsum speculum describentis. Desicripta igitur est parabola in plano ad constructionern speculi ad propositum interuallum AB,comburentis,quod facere Oportebat.
Esto propositum interualIum, ut supra ΑΒ , quod producatur ad utrasque partes si opus fiterit,& in co simantur duo puncta C, D,aeque distantia ab ipsoA,& per D, ducatur ipsi AB, ad rectos angulos EL F, di centro B,interuallo BC, desicribatur circulus secans rectam EDF, in punctis E, F, di iungatur AF, & in DF, sumantur quotcunque puncta G, H,I,quo plura,eo accuratius parabola destribetur, & ipsi AD, parallelat agantur GK, HL, IM,& a puncto E,ducatur E nvicumque faciens angulum TED,in qua sumantur EP, Ein Eo, aequales ipsis IM, HL,GK, prima primae, secunda sedundae, & sic deinceps, & iungantur
PD,QD,OD,quibus parallelae agantur,videlicet IR, ipsi DP, HG, ipsi DQ,& GT, ipsi DO,& producantur GΚ, H I, IM, ita ut sint aequales CV,ipsi ET,HX, ipsi FG, & IY, ipsi ER, deinde sumantur in ED, tot uncta,quot sunt in DF,ita ut dissent a puncto D,eo interuallo quo diant ipse puncta G,H,I,&per ea ducantur parallelae ipsi AB, ipsis vero GV,Hx, IV, aequales, prima scilicet primae, secunda secundae, & sic deinceps, per puncta F,Y,MV,Α, di per ea quae sunt ex altera parto ducatur linea aequabiliter progrediens, qualis est linea inflexa FYXVAE,dico ipsam lineam esse parabolam,j qua si describatur concaua speculi superficies, omnes radii solares in ipsium speculum incidentes ita ut axi AB,aequidissent,reflectentur in B,ponatur enim AZ,quadrupla ipsius AB, & iungatur LB, ostendetur eadem ratione qua supra in
19쪽
priori deseriptione parabolae quadratum E vel DF,aequari recta gulo T AD,quare per puncta E, F, transibit parabola cnius vertex Λ , axis vero AB,S Iatus rectum AZ,& punctum reflexionis radiorum solarium erit idem,quod B,quoniam ipsum punctum B, distat ab Α, interuallo quartae partis lat is recti ZA. Et quoniam parallelae sum PD, RI, erit ut ED,ais DI,ita EP, hoe est m,ad PR, hoc est ad MYAErgo ex demonstratis ab Archimede prop. . lib. de quadratura parabolae, parabola transiens per puncta E, Λ,R transibit & per puta in T. Simili ratione ostendemus ipsam parabolam transire etiam per re- .liqua puncta X, V, & per ea quae sunt ex altera parte axis AB, descripta igitur est parabola FYXVOE, in plano ad constructionem speculi ad propositum interuallum AB, comburentis, quod iacere Oportebat.