장음표시 사용
11쪽
SED non sit rectus angulus ACB, hoc est diameter Ata non sit bolae coni recti rectanguli eadem
axis. inuento ' aute axe, ordinattinad ipsum applicatae in angulo re cto applicabuntur, quare eadem sratione qua supra siue priori, siu posteriori ostendetur parabolam cuius inuentus esset axis, hoc est parabolam AB, parabolae coni recti rectanguli eandem esse . Cuius,cunque igitur coni parabola para- est, quod erat ostendendums .
PROBLEM A I. PROP. V. IN dato cono datae parabola: eandem parabolam im
SIT datus conus cuius vertex punctum Α, basis BC, circulus, data aute parabola, cuius diameter DE, oportet in Cono dato parabolam inuenire eandem parabolae D,
a quocunque puncto F, insectione sempto ad diam trum DE, ordinatim applicetur FE, & sit primum angulus DEF, rectus, hoc est
diameter DF,sit axis. Se-ulo cetur conus plano per axe . ad rectos angulos basi co-C, ' ni faciat sectione trian-
o--ri git Ium ABC,in ΑC, autem sumatur AG, aequalis DE,& ipsi BC, parallela aga tur CH, & producatur ad partes G, & fiat quadrato .FE, aequale rectangulum HGI, ipsi autem ΑΒ, pa rallela agatur. IX, & ipsi GH,vel BC, parallela KL,
di in LΚ, sumatur LM, aequalis HG,&per M, ipsi AC, parallela agatur NMO, deinde secetur conus per NO, plano quod sit ad rectos angulos
12쪽
los triangulo ABC, di faciat sectione in superficie eoni lineam PNincommunis autem sectio plani secantis,& circuli BC, sit PO . Quoniam igitur triangulum, ABC, rectum est, & ad planum secans, & ad circulum BC,communis ipsorum sectio Po, ad triagulum ABC, per-rspendicularis erit. quare S ad omnes rectas lineas, quae in triangulo ip- ει iam contingunt,ergo ad utranque ipsarum BC, NO. Quoniam igitur conus secatur plano secante basim coni secundum rectam lineam P Ο, perpendicularem ad BC, basim trianguli per axem, diameter autem sectionis videlicet No,parallela est ipsi AC,lateri trianguli per axem,
erit 'coni sectio PNQ, parabola. 1 P. I.
Rursus quoniam BC, parallela est ipsi LΚ, ducta MR, parallela ipsi Apost.
OP, planum quod transit per LΚ,RM, a quid istans erit plano per BC iς. ar. OP, hoc est basi coni, ideoque planum per LΚ, RM,circulus erit, uius βυ diamenter LΚ.& quoniam RM,perpendicularis,est ad LX,quod &PO, ad BC,quadratum RM,aequale erit rectangulo LMΚ, hoc est HGI, est, Venim HG, aequalis LM, ex constructione,& GI,aequalis MK, quia cum sit parallelogrammum HI XL, erit HI, aequalis LΚ, ablatis aequalibus ΗG, LM, reliqua GI, aequalis erit reliquae MK, sed & quadratum FE, equale est rectangulo HGI, ex constructione, ergo quadratum RM, aequale erit quadrato FE,& recta RM, aequalis rectae FE.
' Et quoniani LM, parallela est ipsi HG, se aequalis, iuncta GM, erit arallela ipsi HL, sed & NM, parallela est ipsi ΑG,ergo parallelogram inum erit A G . quare NM,aequalis AG,sed AG,aequalis est DRex '
Et quoniam parallelae sunt Po,RM,erunt anguIi NOP,NMR, aequales. sed rectus est NOP, quod Po, perpendicularis est ad No, ergouMR, rectus erit,& ideo angulo recto DEF, aequalis. Itaque quoniam ordinatim applicata RM, aequalis est ordinatim pplicatae FE,& segmentum NM,diametri interiectum inter verticεmc applicatam aequale segmento DE, diametri inter verticem,& appliatam interiecto, est autem, & angulus NMR, aequalis angulo DEF, rit ex Theor. a. parabola PNin datae parabolae D, eadem.
SIT datus conus, & parabola ut fiapra, & oporteat facere, quodnperatum est. Sumatur quodcumque punctum F, in sectione, &rdinatim applicetur FE, & sit primum angulus D EF, rectus, hoc estia meter DE, sit axis,& ducatur ipsi DE, perpendicularis DS,8cat quadrato FE, aequale rectangulum EDS, erit igitur DS, rea iuxta quam possisne ordinatim applicata: - seu latus rectum , i .:inde secetur conus plano per axem, quod si ad rectos angulos basi Fera
13쪽
eoni, & faciat sectIonem triangulum ABC, & fiat
ut quadratum BC,ad rectangulum BAC, ita re ι cta linea DS, ad aliam a rectam, cui aequalis po natur AN, & ipsi AC, agatur parallela , NO, perquam secetur conus plano ad rectos angulos triangulo ABC,& faciat sectionem in superficio coni lineam PN COm-- munis autem sectio pla-- ni secantis , & circuli BPC,sit Po eadem ratione qua supra ostendetur angulum Noricis rectum,& lineam PN esse parabolam ait Et quoniam est, ut quadratum BC, ad rectangulum BAC , ita DS, tr. r. ad ΑN, erit parabolae PN latus rectum DS . :: i l LMqς Quoniam igitur latus rectum parabolae PNm aequale est lateri reincto parabolae DF, atque angulus NOΡ,contentus applicata & diametro aequalis angulo DEF, contento applicata, & diametro, rectus est 3.hμiu enim uterque, erit Parabola PNinparabolae DF,eadem
. r . l . . Sed non sit rectus angulus DER
i hoc est diameter DE, non sit axis rinuento autem axe,eadem ratione, qua supra, in dato cono datae parabolae eandem parabolam inuenic mus. In dato igiturcono,datae parrabolae, eadem parabola inuenta est,quod erat faciendum.
Sed existente angulo DEF, Obliquo, aliter quoque into cono datae parabola: eandem parabulam inueniemus
3. r. nea, quae sit C, diam tiro igitur existente DE, erit G,lariis rectum. an. gulo autem DEF, qualis angulus ABC, constituatur,& sumatur AB, i aequa
14쪽
equalis dimidiae G , ipsique BC, ducatur adirectos angulos AC, &igatur ipsi AB, parallela CH, Cui a perpendicularis ducatur ΒΗ, & iCΗ, bifariam secetur in I, deinde iatelligatur parabola,cuius verte Rinctum Ι,axis vero I Η, & ad axe ' i rdinatim applieata HB, cui para Olae eadem parabola inueniaturn dato cono, quod quomodo fieri 3porteat iam dictum est. inuentaiarabola sit.ΙB. quoniam igitur Π,ΙΗ, sunt aequales,recta CBZ inget sectionem in B, & ΑΒ, di nere 'erit sectionis,quia paraIl la est ipsi CH. 4 sectione autem ad YB, ducatur NΚ, parallela ipsi sia B, contingenti,erit ' igitur NK, id diametrum AB, ordinatim ap- dicata, & angulus ΑΚN, aequalis rit angulo ABC, hoc est DEF. Rurius ducatur ad AB,perpen licularis ILM,duo igitur triangu- a ACB,LMB, aequiangula erunt, nam anguli ACB, LMB, sunt aequa- es ,rectus enim est uterquein angulus,qui ad B,est communis,ergo, ut ,L,ad BM,ita erit ΒΑ, ad BC,& ita BA,dupla adduplam BC,est enim adem ratio dupli ad duplum, quae simpli ad simplum: quare existene diametroAB,erit' latus rectum dupla ipsius BA,sed dupla ipsius BA ., qualis est ipsi G, lateri recto parabolat, cuius diameter DE, ex Con' AMILructione,ergo existente diametro AB,latus rectum aequale erit latei recto parabolae D. t i. . Itaque quoniam latus xelum paroplat,cuius diameter AB,aequalest lateri recto paraboIae D, di angulus BKN, contentus applicata x&iametro aequalis angulo DEF, contento applicata, & diametro. erit arabola cuius diameter AB,eadem parabolae D. in dato Igitur ConOy.huius alae parabolae, inuenta est eadem parabola, quod erat faciendum.
DC ratione,qua inueniuntur hyperbolae, dc Ellipses da-S eaedem, alibi tractabimus.
COROLLARIVM I. LX demonstratis colligitur coni scaleni parabolam,in qua ordinatim applicat; in angulo obliquo applicantur, esse
15쪽
portionem parabolς coni recti abscissam non ad rectos angulos ipsius paraboletaxi. Dixi in qua ordinatim applicatae in angulo obliquo applicantur, quia inueniuntur etiam infinitae parabolae in cono scaleno, in quibus ordinatim Capplicatet in angulo recto applicantur.
Secetur enim conus ABC, scalenus plano per axem ad rectos angulos basi BC,& iaciat, sectionem trianaulum ABC, secetur autem,& altero plano secundum rectas lineas EG, DCF , quarum EG , aequidistet lateri AC. ipsa vero DGF, sit perpendicularis ad BC, & faciat' sectionem in superficie coni lineam DEF, ea ' igitur linea erit parabola,ad cuius diametrum EG, ordinatim applicatae in an-Bgulo recto' applicabuntur.
C Olligitur etiam omnes parabolas ad construenda combui rentia specula esse idoneas .
Demonstratum enim est ab Orontio & a Uitellione parabolas coinni recti rectanguli ad constructionem speculorum comburentium esse idoneas, sed parabola cuiustunque coni eadem est, quae coni recti rectanguli, ut prop. . demonstrauimus, ergo omnes parabolae ad construenda comburentia specula sunt idoneae.
SEd & illud quod Orontius, & Vitellio de sola coni recti, a
que rectanguli parabola demonstrarunt, hoc est solares radios in speculum iuxta coni recti, atque rectanguli parabolam excavatum incidentes,ita ut axi arquidisten ad unum comm nem punctum reflaeteremos deletis multis,paucis mutatis,breuiter, & expedite sequenti Theoremate de omni parabola demonstrabimus .
16쪽
DE PARABOLA. 17ΤHEOREM A V. PROPOS. VI. O Mnes radij solares in speculum concauum a quacunque parabola circa manentem axem circumducta descriptum 4ncidentes ita ut axi arquidistent,reflectim tur ad unum idemque axis punctum, quod scilicet a Vertice speculi distat interuallo quartae partis lateris recti parabolae ipsum jeculum describentis.
us quadrupla sit E, & a quouis
iuncto B, in se-tione ducatur ιG, aequidistans psi AD,&recta Is BF, contingat ZΘctionem in B,&ungatur BD,ostelendum est prinum angulos qBG,DBResso equales. Appliceur enim ad AD, ,rdinatim ΒΚ, uoniam igitur, F , contingit
tanguli D ΑΚ noc est rectangui EAK, est enim A, quadrupla ipus AD, una cu ἡ
17쪽
quadraro ΚDi aequale erit quadrato compositae ex DA, AX, ces quat i. i. drato FD,led rectangulum E ΑΚ, cui aequatur quadratum ΒΚ, una cuAροβ. quadrato ΚD, ' aequalia sunt quadrato BD,ergo quadratum BD, qu 47 3. drato FD, erit aequale, quare & recta BD, rectae FD, & angulus DB F, ulo L FB, sed angulus D FB, aequalis est angulo HBG,ratione aequidi antium BG, FD, ergo angulus HBG, aequalis erit angulo DB F, quod erat demonstrandum.' At vero si parabola ΛBC, fuerit coni scaleni,& AD, non sit axis, sed diameter. inuento a xe,& latere recto,& positis quae supra, eadem ratione,qua ante demonstrabitur praedicta angulorum aequalitas. Hoc igitur demonstrato patet omnes radios solares in speculum iuxta quamuis parabolam excavatu, incidentes, ita ut aequidistet axi speculi , resectere ad unum idemq; axis punctum, quod sic ilicet a vertice diliat interuallo quartae partis lateris recti parabolae ipsium speculum describentis , quoniam reflexio radiorum a quocumque in superficie speculi puncto fit secundum aequalitatem angulorum, quos continent radius incidens, & reflexus cum linea contingente superficiem speculi in illo puncto a quo fit reflexio.
PROBLEMA II. PROPOS. VII. . Parabolam ad constructionem speculi ad propositum interuallum comburentis in plano describere.
Esto propositum interuallum AB,quod producatur ad partes A, &si res postulauerit,producatur etiam ad partes B,& supra punctum Α, sumatur quotcunq; puncta C, D, E, quo autem plura sci propinquio
tius parabola describetur. totide puncta F, G,Η, sumantur insta Α, ita ut sint aequales rim Ipli AC, AG,ipsi AD,& AH, ipsi AE,& per puncta F,G, Η, ducantur ipsi ΑΒ, perpendiculares KL, MN,ΟP,& centro B, interualiniis BC, BD, BE, describantur circuli,qui secentipsas perpendiculare in punctis K, L,M N,Ο, P, per quae ducatur linea aequabiliter progre diens,neque essicies gibbum,aut angulum alicubi, qualis est linea innexa , O MKALNP, dico ipsam lineam esse parabolam,quae si seperficiem
18쪽
ciem speculi concauam describat, omnes radis solares in ipsum specu tu incidentes aequid istanter ipsius axi reflectentur in B, ponatur enim Ainquadrupla ipsius ΑΒ,& iungatur ΚΒ, quoniam igitur sunt aequales BC, BK,ut semidiametri erunt & earum quadrata aequalia,sed quadratum ΚΒ, aequale est quadratis ΚF, FB, & quadratum CB,' aequale quadruplo rectanguli B AF, una cum quadrato FB, commune auseratur quadratum F B,reliquum igitur reliquo erit aequale: hoc est quadratum KF, quadruplo rectanguli B AF, st d quoniam Ainquadrupla est ipsius AB, rectangulum Q A F, erit aequale quadruplo rectanguli B AF,ergo quadratum K F, aequabitur rectangulo QAF, quare perpunctum Κ, transibit parabola,cuius vertex A, axis vero AB,& rectum latus Ainea dein ratione ostendemus ipsam parabolam transire per reliqua puncta O,M, L, N, P. Si igitur se perficies speculi concaua a predicta parabola describatur circa manentem axem ΑΒ, circitducta,ra dij solares in ipsum speculum incidentes axi atquidistanter reflectentur in B , id autem demonstrauimus in antecedenti Theoremate, quoniam ipsius ΑΒ, quadrupluest latus rectum Α inparabolae ipsum speculum describentis. Descripta igitur est parabola in plano ad constructionem speculi ad propositum interuallum AB,comburentis,quod facere oportebat.
Esto propositum interuallum, ut supra A B , quod producatur ad utrasque partes si opus fuerit,& in eo sumantur duo puncta C, D, aeque distantia ab ipse A,& per D, ducatur ipsi AB, ad rectos angulos Ela F, & centro B, interuallo BC, describatur circulus secans rectam EDF, in punctis E, F, & iungatur ΛF, & in DF, sumantur quotcunque puncta G, H,I,quo plura,eo accuratius parabola describetur, & ipsi AD, pa rallelae agantur GK, HL, IM,& a puncto E,ducatur E T,utcumque faciens angulum TED,in qua sumantur EP, EQ EO, aequales ipsis IM, HL,GK, prima primae, secunda secundae, , sic deinceps, & iungantur
PD, , OD,quibus parallelae agantur, videlicet IR, ipsi DP, HS, ipsi DQ,& GT, ipsi DO,& producantur GK, H L, IM, ita ut sint aequales C Ripsi ET, HX, ipsi ES, & IY, ipsi ER, deinde sumantur in ED, tot
puncta,quot sunt in DF, ita ut distent a puncto D,eo interuallo quo distant ipse puncta G,Η,I,N per ea ducantur parallelae ipsi AB, ipsis vero GV, HX,l Y, aequales, prima scilicet primae, secunda secundae, & sic deinceps,& per puncta F,Y,X,V, Α, Δ per ea quae sunt ex altera parte ducatur linea aequabiliter progrediens, qualis e st linea inflexa FYXVΑE, dico ipsam lineam esse parabolam,a qua si describatur concaua speculi superficies, omnes radij solares in ipsiim speculum incidentes ita ut axi AB,aequi distent,reflectentur in B,ponatur enim AZ,quadrupla ipsius ΛΒ, di iungatur EB, ostendetur eadem ratione qua supra in priori
19쪽
priori descriptione' parabolae quadratum ED,vel DP,aequari rectangulo Z AD,quare per puncta E, F, transibit parabola cuius vertex Α, axis vero AB,& latus rectum AZ,& punctum reflexionis radiorum is larium erit idem,quod B,quoniam ipsum pinctum B, distat ab Α, interuallo quartae partis lateris recti ΤΑ. Et quoniam parallelae sunt PD, RI, erit ut ED, ad DI,ita EP. hoc est IM,ad PR, hoc est ad MY,ergo ex demonstratis ab Archimede prop. q. lib. de quadratura parabolae, parabola transiens per puncta E, Α,F, transibit & per punctum T. Simili ratione ostendemus ipsam parabolam transire etiam per reliqua puncta X,V, & per ea quae sunt ex altera parte axis ΑΒ, descripta igitur est parabola FYXUAE, in plano ad constructionem speculi ad propositum interuallum ΑΒ, comburentis, quod facere oportebat.