Opuscoli di Leonardo Pisano

141쪽

dratus numerus, et accipiam quadratum, qui colligitur ex aggregatione Omnium imparium numerorum, qui sunt infra. 25. qui quadratus est 444 cuius radix est medietas duorum extremorum ipsorum imparium numerorum

scilicet de A. et 23 Ex aggregatione quidem do ιι et 25

Proueniunt. 469., qui numerus quadratus est, Et sic inuenti sunt tres numeri quadratj, quorum duo nec non et omnes simul aggregat faciunt quadratum numerum, super quem etiam quadratum si Rddatur quadratus numerus , qui colligitur ex omnibus imparibus numeris, qui sunt ab uno usque i 467. cuius quadrati radix est. 84.,

scilicet medietas de 468, proueniunt 225, qui numerus

est quadratus, et eius radix est x, et sic inuenti sunt quatuor quadrasi, quorum duo uel tres nec non et omnes simul coniuncti, faciunt quadratum numerum , Super quibus etiam 225. possumus tres quadratos diuersos addere . et cum unoquoque ipsorum faciet quadratum numerum, ex quibus primus est quadratus proueniens ex omnibus imparibus numeris, qui sunt infra. 7225. cuius radix est 36 2. Secundus uero quadratus prouenit ex a gregatione omnium imparium numerorum , qui sunt sub

quinta parte de 225. detractis inde duobus imparibus eidem quinte parti collateralibus , cuius quadrati radix est 20. Tertius quidem quadratus prouenit ex imparibus omnibus qui sunt sub , de 225, dentis ex eis duodecim imparibus ipsius , partis collateralibus, cuius quadrasi radix est 32. et sic possunt infinit j quadrat numeri inueniri, qui disiuncti, et simul gregasi, secundum istum

ordinem, facient numerum quadratum. 5

142쪽

Volo inuenire tres numeros, qua insimul aggrreati cum quadrat prim numeri faciant quadratum numerum S per quem quadraium si addatur quadratus secundi, egrediatur inde quadratus numerus, cum quo quadrato addito quadrato tertii , similiter quadratus numerus inde proueniat. Inueniendi sunt prim tres numeri quadrat , quinpia. Miseio rum duo Simul Bggregati faciant quadratum numerum Lex aggregatione ipsorum trium ueniat item quadratus mmerus. Et minor eorum sit plus radicibus reliquorum duorum quadratorum. Sintque 3 et 64 et 576, et ori radix secunt numeri. 8. tertij 24. que radices habeantur m secundo et tertio numero quesitorum trium numerorum, et ponam pro primo numero radicem, et aggregabo hos tres numeros simu . et habebo 32 et radicem, super quem addam quadratum radicis et habebo 32 et quadratum et radicem, que omnia uolo ut equentur primo posito quadrato, scilicet. 6. et auferam ab utraque parte 32, et remanebunt quadratus et radix quales IIII . unitatibus. Vndo qualiter in similibus operandum sit ponam Pro quadrato quadratum in cuius unumquodque latus ait equale posite radicis, et addam ei superficiem dis recti- angulam, que sit una radix quadrat a , quam ce erit. 4., et dis est radix, cum sit unum ex lateribus quadrati ais,

143쪽

et dimidia is e super L et erit unaqueque sectionum esso De medietas unius. Et quia inuenimus quadratum et radicem equari IIII ' . unitatibus, erit manifestum quod superficies a e recti- angula erit. . que superficies prouenit ex ab in e hoc os ex bo inbe, et quia lino cis diuisa est in duo equa super f, et in directo eius addita est quedam recta cis ori superficies bis in is, cum quadrato line ess equalis quadrato line D Sed ex bis in bis proueniunt. 4., quibus si addatur quadratus numeri dis qui est hab huntur pro quadrato numen V, ut numerus cum non habeat radicem, dicemus numerum x esse radicem deri ι, de quo si auferatur numerus o f, qui est punius, remanebit pro radice bis radix dorira minus punius, qui

numerus quamuis sit inratiocinatus, habebitur pro primo numero quesito, et secundus erit. 8 , tertius 24 Verbi gratia, ex aggregatione quidem horum trium numerorum habentur

j 3 , et radix dea L, super quam aggregationem si adda- mus quadratum prim numeri, qui est Ἀ minus radice de ι, habebuntur 36, qui numerus quadratus est. Super

quem si addantur. 64. scilicet quadratus secundi numeri, uenient 400., qui numerus quadratus est, et radix eius est 0.per quem quadratum si addantur 576, scilicet quadratus terti numeri, habebuntur 676, qui numerus quadratus est, et radix eius est 26. et hoc uolumus. ET ut solutio quostionis suprascript habeatur in numeris ratiocinatis, ostendendum i est primum, quod quando 7 quarta unius integri additur super aliquem numerum On-

temptum sub duobus numeris ratiocinatis, quorum unus excedat alterum in. . procreatur inde quadratus nume-

144쪽

rus, quod ostendatur in superficie a D 4ὶ que contineatur sub duobus numeris ratiocinatis, quorum maior excedat alterum in. ., qui sunt a b et bis, et maior eorum est bis, et auferatur si maior bis unitas rem nebit numerus bis qualis numero a b et diuidatur unitas in duo equa super e, et erit dis medietas unius integri . Quare dis medietas est ratiocinata, stenim et numerus D ratiocinatus. Quare totus bis num rus ratiocinatus est, et quadratus, qui fit ab ipso, ratiocinatus est, ori quadrato equatur superficies que fit ex

bis in i , hoc est ex ara in is, cum quadrato qui fit. 4. Sed quadratus qui fit ex dis est Punius istis

merus, qui prouanit ex a b in bis est contemptus sub duobus numeris ratiocinatis, quorum unus excedit alium in . Ergo cum additur cum numero facto a duobus numeris, quorum unus addat Super alterum . . prouenit inde quadratus numsrus, et hoc uolui demonstrarea Ε notandum quod omnes numeri integri, qui fiunt a duobus collateralibus, scilicet continuis, proueniunt ex o dine ex ordinata parium numerorum fggregatione Nam 2., qui prouenit ex unitate ducta in. 2. habetur ex primo adnumero, et 6, qui fiunt ex ductis 2 in 3. habentur ex aggregatione primorum duorum parium numerorum, et 42., quo ueniunt ex Dductis in. 4. habentur ex aggregatione trium parium numerorum, scilicet de 2 et 44 6. et hoe eodem ordine ex decem paribus numeris prouenit num

rus factus uicibus I, quod idem intelligatur in omnibus oliquis numeris, qui fiunt si duobus continuis

145쪽

numeris integris. Et sciendum quod omnis impar numerus es, aggregatio duorum numerorum continuorum. Vnde quilibet impar numerus potest diuid in duos numHros continuos, ut T. qui diuiditur in 3 et . NUNC Ostendere uolo quod quando de aliquo quadrato numero tolluntur aliquot radices eius, et numerus ipSarum radicum diuidatur in duas partes, quarum una ad dat super alteram . . et multiplicetur una ipsarum partium per aliam et quod prouenerit addatur cum residuo quod de quadrato remanet, radicibus dentis, veniet inde numerus contemptus sub duobus numeris nequalibus, quorum maior addit. 4. super minorem. Ad quod demonstrandum. Adiaceatri tetragonum a s ), et tollatur sic ex N ai Mime aliquo radices eius, que radices contineat sic superficiem est, quare numerus si continet tot unitates, quot radices ex quadrato as sunt in ruperficie es, et diuidatur numerus si in duas partes, quarum maior addat . S Per minorem, que sint i, si , et maior earum sit ii Dico quod cum de quadrato a g tollitur superficies eis, reSiduum, scilicet superficies a , cum superficie, que fit ex

Din G, facit numerum actum ex duobus nequalibus

numeris, quorum maior addit. 4. super minorem, et hoc est de quadrato ais tollere superficies eis, minu Supe

ficio que fit ex Vincis. Ponamus siquidem numerum graequalem numero i , et remanebit unum, quod diuidatur in duas medietates, que sunt a i , ara, et erit totus fidiuisus in duo equalia super a et in duo inequalia supera. Quare multiplicatio si in is cum quadrato, qui fit abi i Vedi Fig. m.

146쪽

iis equatur quadrato numeri a Rursus quoniam numerus f diuisus est in duo equa super a et ei additus, numerus V erit multiplicati bi f, hoc est multiplicatio a b in Di , cum quadrato numeri Da, qualis quadrato numeri bis Sed quadrato numeri L equalis est superficies si in ii, cum quadrato, qui fit ab iis Θ-dietate. Ergo multiplicatio a b in hoc est superficies is cum multiplicatione Di in is , et cum quadrato mmer iis, quatur quadrato numeri bis Rursu quoniam his unitas diuisa est in duo equa super punctum , et ei additus est numerus bri, erit multiplicatiora in bra, eum quadrato sis equalis sed quadrato bis equale sunt a perfietes a fit superficies Di in iis cum quadrato iis pergo superfici in ora, cum quadrato so, qualis est superficiebus a De Di in i f. et quadrato sis Commniter ausseratur quadratus exfa, remanehit super ima f, eum superficio Di in iis, qualis superse in V. sed superficies Di in ora fit ex duobus numeris,

rum unus addit 4 super alterum, qui sunt hi est tenim Que etiam ostendatur, eum numerus quM tua quidem a sit 100, et erit unumquodquis latus. o. , et auferuntur u quadrato, rudices eius minus muli

plinations si in ii, que rudines sint super imis , T manebit superficies a Io, cum quibus si addatur multi eatio si in is hoc est de a in I , uenient is , qui numerus sumit ex 4 in A. hoc est in I. - ....... eatra enim totus 9 40 quibus si aulam Hs timine S, qui est et . remanent a pro numero . f. qui ssi addatur si qui tu 3 . erit 6 totus numerus . i. Quis in datur unitas in habebuntur pro nu- ET

147쪽

postquam hec omnia demonstrata sunt, redeamus ad questionem phylosophi, et procedamus predicto modo, donec habeamus quod census et radix et 32 quantur quadrato de 36. deinde uideamus quo radices sunt 32 de 36. hoc est quod diuidamus 3 per radicem de 36. venient radice stra et propter hoc, ut inueniamus solutionem prediciet questionis in posita proportione trium quadratorum i in supradictorum, scilicet de 3 et do 64 et de T6. oportet

ut inueniamus quadratum aliquem, de quo extracti r dicibus stra ipsius, remaneat numerus qui procreatur X multiplicatione dictorum numerorum inequalium , quorum maior Midat. q. super minorem. Quod inueniemus si posuerimus numerum aliquot radicum superhabundantem predictas radices Quod quidem possumus sacere in infinitis modis. Vnde ponamus ad libitum radices T. et diuidamus. . in duas partes, quarum una addat. 4. Super Hlteram, eruntque 3 et . et multiplicetur uero,

i in Cio che si loggomella presente pagina lin. 6 4 in lalla terga letteradella parota inveniamus, fino a iuua a parota squalium, forma te lineo με della caris 3 verso dei Codice Ambrosiano , 5, Parι superiore. Presso a queste quattro linem sui margine laterale esterno della medesima cartara uerso, si trovaria eguente postilla: Un Segno a tutio simile a uello contenui in questa postilla trovasilia te lines ottavam nona det medesimo uerso, precisamente come ne se guente fac imile:

148쪽

ciunt. 42, et nos scimus per ea que dicta sunt, quod quando de aliquo quadrato tolluntur. I. radices eius minus. 42. remanebit de ipso quadrato numerus procreatus ex duobus numeris nequalibus quorum maior addit. 4. -- per minorem. Et nos uolumus inuenire quadratum, de quo extractis radicibus i ipsius, remaneat similiter numerus

procreatus ex duobus numeris, quorum unus addat. 4. S

per alium. Ergo radices m ipsius quadrati quem quorimus, quantur radicibus T. eiusdem quadrati minus. 2. . quam si addamus. 32. utriquo parsi erunt radices et 4 dragme, que equantur. I. radicibus Tollamus ergo ab utraque parte radice. 5. remanebit radix que quantur unitatibus. 2. Triplicemus ergo hoc omnia, et erunt quinque radices equales 36. unde stra diuiserimus per 5

habebimus pro radice quesiti quadraq; scilicet pri . sui quidem radix prim quadrati. 6. ergo proportionaliter est sicut 6 ad j I ita 8 et 24 ad radicem secunt et torti, quadrati. Sed ira addit super , quintam partem ipsius

quare, si super' et super 2 addamus quintam eorum, habebimus pro radice secundi quadrati j , et pro radice terti l 28, et erit secundus numerus ex tribus quesitis numeris, et ira erit tertius, et est adhuc primus

μι. MVαι numeru ignotus, qui cum triuerit additus cum secundo

et tertio numero predictis, et cum quadrat ipsius pri numeri, acie quadratum de I, qui quadratus est , 5 . Quare ponemus pro primo numero radicem, et addemus eam cum iis cum 3 28. et habebimus radicem et Q 38., quibus addemus quadratum radicis, et habebimus quadratum et radicem et i 38. que equantur dragmis ra . Tollamus ergo ab utraque parte j 38. remanebit census et

149쪽

radix, que equatur dragmis A 43, super quem addamus . scilicet quadratum medietatis radicis, ut superius secimus, et habebimus A 3, que sunt centexime 369. diuidamus ergo radicem de 369. scilies 37 per radicem de 400., uenient i, 3, de quibus tollamus oro mediatate radicis,

remanebunt ra pro primo numero, et sic soluta est hec questio in numeris ratiocinatis, et secundum hunc modum potest solui infinitis modis. Solui etiam hanc questionem in numeris integris, quorum primus sui 35. secundus 444. tertius 360. , quorum aggregati surgit in . 539. super quibus addito quadrato prim numeri scilicet 225 , veniunt 764., qui numerus quadratus est, et eius radix est. 2. , per quo quadrato addito quadrato numeri secundi, qui est 20736, ω niunt 22500., qui numerus quadratus est, et radix eius est. 50 , super quo quadrato addito quadrato terti numeri, scilicet 29600. veniunt. 452 00., qui numerus quadratus est, et radix eius est. 390. Quos numeros inueri expositione horum trium quadratorum, scilicet de sit 576, et de 3600 , quorum duo, nec non et ipsi tres simul addisi, faciunt quadratum numerum. Et aggregaui radices secundi et tertij scilicet 244 60 suorunt 84. que diuisi per radicem primi quadrati, scilicet per T. et uenerunt. 42. et propter hoc oportuit me inuenire quadratum numerum, de

quo cum tollerem. 2 radices eius, remaneret numeruSsactus ex duobus numeris nequalibus , quorum unus d-dΘret. . super alium Vnde accepi. 43. et diuisi ipsum in partes continuas, scilicet in. 6. et . que multiplicaui insimul, et fuerunt 42. . et oportuit me inuenire quadratum cuius 3 radices minus. 42 dramis equaretur 42 radici-

150쪽

bus eiusdem , et processi postea predicto ordine , et habui numeros suprascriptos, ex quibus etiam quadratis inue hos alios tres numeros, scilice ς 4 , et ι, et go. Et non solum per hunc modum tres numeri diuortis modis possunt inueniri, sed etiam inuenientur quatuor cum quatuor numeris quadratis, quorum duo per ordinem , et

M M v tres, Iec non et omnes simul coniuncti l secerint quadratum numerum. Ego autem cum his quatuor quadratis

numeris, Scilicet cum . . . et . . . . et . . . . et . . . fl).

Inueni hos quatuor numeros, quorum primus est 295, secundus *4566, tertius I 444 I, quartus uero est Is920. et eorum aggregatio est 499. Super quo numero si addatur quadratus prim numeri, scilicet 4677025, v nient 7 4224 , qui numerus quadratus est, et eius radix est 332. Super quo etiam quadrato 2ὶ

4 Lo quatuo lacunae indicato con punii BIla linea nona di questa pagina , trovans ne rovoscio dolia carinas det Codico Ambrosiano, E mParis a periore.l2 La parte scruta de musscio dolia carinas de Codice Ambrosiano E. 5 Puris periore, Misce in troneo alla parvi quadrato, non eo tando che ouo linee P ultima dolio quali e Mompleta. I rimanonis diquesto codice, o interament hianco.