장음표시 사용
101쪽
AD, hie triplicem casum dari posse. Vel enim datis duobus numeris idem tertius quaeis situs maiori est adimendus, addendus minori. Vel contra est addendus maiori, adimendus minori. Et ex prima consideratrone, rursus duplex casus oritur. Vc enim poscimus rationem collecti ad residuum , vel residui ad collectum, ita ut collectum nune sit maius extremum propor
Primus eastis estis, in quem incidit operatio Diophanti, cum petat auferri eundem numerum a maiori ioo. addi minorieto ut summa residui sit quadrupla In quo casu ni refert quae proportio postuletur, siue nimirum maior proportione datorum numerorum, siue minor etenii numerus minora o quantumlibet ausol potest,&maior Ioo quantumlibet minui, unde quaecumque proportio postuletur, poterit summa esse maius extremum,ac residuum minus extremum. Sed in hoe casu hie formabitur Canon. Duelio denominatorem rationis postulata, maiorem darorum grumerorum, a prorim aufer minois rem residuum partire per ipsium denominatorem unitate auclum, orietur quasitus numerus. Aliter etiam positiones fieri poterant. Excessus numeri Ioo supra quaesitum, esto I. N. erit ergo quaesitus ioci I N., quia supradictus excessus ponitur sub quadruplus compositi ex numero Io. ex quaesito numero, erit compos tum illud m. Quare auferendo 2o. remanet' .-2octuaesitus numerus. Proinde IoO- N. aequantur N. - 2o. fit N. 24 excessus ipsius Ioo supra quaesitum numeriun quare detracto, . de Ioo relinquitur quaestus 7t, Hinc rursus fiet hie Ca-
Summam datorum numerorum Auide per denominatorem rationis unitate auLMm, orietur exeulus maioris aeuo m 1 merorum, supra quasitum Deoque detracto remanebit quasitus numerus.
Secundus casus est , cum quaesitus numerus addendus quidem est , ut prius minori datorum, Aciori. 46 maiore detrahendus, sed residuum fit maius extremum proportionis postulatae. S. ι o Tunc autem oportet rationem postulatam minorem esse ratione datorum numero.c lim. Quod sic ostenditur. Sint Α. B. dati numeri . maior, i minor: itG. quaestus numerus qui additus ad B. faciat D. detractus ab A. relinquat C. ita
ut C sit maior quam D. dico rationem A adi maiorem esse ratione C. ad D. Nam ratio A. ad D. maioris inaequalitatis, maior est rationem ad D minoris inaequalitatis,esim maiorem habeat deno-,ν fuit uim tormn ip tur permutando ratio A. ad B maior est ratione C. ad D. Qu9d erat propositum. Hie etiam licet duplicem operationem instituere, duplicem Canonem formare, nimirum. Ducito denominatorem rationis postulata in minorem datorum numerorum,productum aufer a maiore, residuum disiis per Uum denominatorem unitate auctum , arietur aruastus numerus. vet. Summam datorum numerorum diuide per denominatorem rationis unitate aut m , orietur samma quassi numeri cr minoris datorum, undes auferatur minor datorum , remanet suasitus. Tertius easus est cum quaesitus numerus addendus est maiori datorum, α minore detrahendus, ubi necesse est sit ruinam maiorem esse residuo in oportet postulatam rationem , maiorem esse ratione datorum numerorum. Quod simili prorsus argumento ostendetur, illius quo supra contrarium ostensum est. Sed & duplex instituetur operatio, & duplex anon formabitnr, nimirum. Ducito denominatorem rationis postulata in ιnorem datorum numerorum, a producto aufer maiorem c residuum diuide per denominatorem Vsum νηitate audium , orietur 'asitus nume
Summam dato m numerorum diuide per denominatorem rationis unitate auctum, quotiens erit exest,iss manorι coora numerorum sipra quaesitum quo detracto relinquetur quasilui.
102쪽
U os datos numeros , alterum quidem adderes, alterum vero detrahere ab eodem numero , ut geniti ad inuicem datam habeant rationem. Constitutum sit ipsum quidem zo addere, sed ipsum ioo auferre ab eodem nun cro, ut maior genitorum, minoris triplus sit. Esto quaesitus 1 N.&si huic adiiciamus unitatescio fit IN. -- o si autem ab eodem auferantur unitates Ioo superest IN. Ioo. oportet maiorem minoris esse triplum Te igitur minor arquatur maiori. Sed minor terfit 3 N. soo. Igitur 3 N. Goo aequan turram. -- o. Communis addatur defeetus, S similia a similibus auferantur, supersunt unitates ro aequales a N. fit 1m. 16o. Ad positiones Est maior nitatum 18o minor o. patet maiorem minoris esse triplum.
eum Xilanis O PER A Tio Diophanti Aellis est, unde Canon uniuersalis elicitur, der ad proportionem multiplicem male restringat.
Multiplica detrahendum per denominatorem ratioma, producto adιι re addendum, per denominasorem inis unitate multatum, orietur quasitus numerus. Aliter etiam licet operari. Ponatur desectus ipsius reo a quaesito numero IN. ergo ipse quaesitus numerus est rN. - Ioo. At IN. erit summa quaesiti numeri&ipsius 2o. Quare ablato Io. remanet quaelitus 3 N. - 2o. Proindecim. -- oo aequantur N. - ao. fit i N. 6o desectus ipsius Io. a quaesito, quare quaesitus est I so ut prius. Hinc etiam elieietur alius Canon. Summam datorum numerorum Huid per denomιnatorem rationis unitate multa um, sustis euierio defectus detrahendi inmerita asito, quo restituto flet auasit tu.
Ρ numerum diuiderebis in duos numeros , ita ut unu uprima diuisione ad unum e secunda di-Disione datam habeat rationem. At reliquus ex secunda diuisione ad reliquum prima rationem item habeat datam. Iniunctum sit nobis numerum Ioo diuidere bis in duos numeros, ita ut maiore prima diuisione , minoris e secunda diuisione sit duplus , maior vero e secunda diuisione minoris e prima diuisione sit triplus. Ponatur minor e secunda di- Disonci N. Maior igitur prima diuisio-nc erit a N. Minor itaque e prima diui-
103쪽
BEse monet itander quadruplicem institui posse operationem, eo quod quaelibet pars ciniustibet diuisionis poni potest IN. Sed ego praeterea ex ipsa Diophanti operatione aio sermari
posse huiusmodi Canonem. Ducit sigillatim denominatorem rationis utriusque umtate multatum, in Lium numerum prodActa diuid seorsim per numerum quis ex mutua denominatorum mutiyticatione unitare πιιatum, orientur minores partes trausque diuisionis. Item. misit sigillatim deno natorem rationis utriusque nitate auctum, in datum numerum roducta diuideseorsim per eundem quisvia numerum, orientur partes maiores. Caeterum in similibus quaestionibus , si pars una prioris diuisionis sit maior una parte posterioris,
sione erit unitatum Io - N. quia huius triplus est maior e secunda diuisione, erit utique oo - 6 N. Superest igitur vi ambo secundae diuisionis conjuncti erutant 1 oo. At coniuncti facultat 3oo N. Hoc ergo arquatur Ioo. fit I . unitatum o Ad positiones. Posueram maiorem c prima diuisione ab erit ergo unitatum o Minorem vero eiusdem diuisionis statueram Ioo a N erivigitur ro. At postieram maiorem c Iecunda diuisione o - N. erit ergo o.
Minor denique e secunda diuisione qui positus fuerat im erit o. euidens est
demonstratio. necessario altera posterioris pars est maior altera prioris, quin etiamin eodem interuallo maior est, ut eonstat ex prop. quarta libri primi portis. Quo fundamento qui niti velit, aliter etiam operationem instituet hae arte. Sit minor pars primae diuisionis i N. Ergo maior seeendae erit 3 .in cum harum partium interuallum sit adi oportet & reliquas eodem distare interuallo, sed quia reliqua primae diuisionis est dupla reliquae secundae, illarum interuallum aequale est ipsi minori parti secundae diuisionis, quate haec pars est ab quae maiori nimirum LN addita efficit, N. aequales 1oo unde fit IN. o ni inor pars primae diuisionis, c.
ter in duos numeros, ut nus e prima diuisione ad unum e secunda,datam habeat rationem. Reliquiis autem fecunda diuisione, ad unum e tertia datam habeat rationem. Et rursus reliquus e tertia diuisione ad reliquum e prima datam etiam habeat rationem. Iniunctum. st numerum 1 oo diuidere ter in duos numeros, ut maior e prima diuisione, minoris e secunda sit triplus a maiore secunda diuisione, minoris e tertia sit duplus δε adhuc maiore tertia diuisione, minoris e prima si quadruplus Ponatur minor e tertia diuitione IN. Maior
104쪽
SExτvPLI ei τε institui posse operationem bene monet Xilander. Ego veris xationem fabrieo satis inseniosum. me tres denominatores eo quo proponuntur ordine, ct ducito quemlibet unitate multatum in eum quia ipse tertius est, traductum nitate auctum ducit in datum merum in productum diuida per sotidam sub denominatoribus contentum mtate notum habebis minores partes singularum diis insionum. vet. Durato quemlibet denominatorem nitate multatum in eum qui ab ipso tertius est, productum nitate auctum ducito, reliquum denominatorem , es productum ducit in datum numerum, ν
igitur e secunda diuisione erit a N.Et quia totus numcrus qui diuiditur est Ioo erit minori secunda diuisione Ioo - a N. Et quoniam huius triplus est maior e prima diuisiones, erit is o - 6 N. Igitur minor ex eadem diuisione erit 6 N. etoo Et quia illius quadruplus est maior e tertia diuisione, erit is a N. Ioo. Superest ut tertia diuisionis utraque pars simul efiiciat 1 oo sed utraque simul estas N. Ioo. Hoc igitur aequatur Ioci. Et fit 1 N. unitatum 6. Ad positiones. Erit minor e tertia diuisione 6. maior autem, . At minor e prima diuisione 16. maior 8 . Denique minori secunda diuisione crit48. maior et Et manifestii in est hos fatisfacere proposito.
que diuide persi,dum de quo supra ,habebis maiores partessia uiarum diuisionum. Propositis autem tribus numeris, tertius a quolibet dicitur illi qui tertius ab eo numeratur, si cum pervcncris ad ultimum, recurras ad primum. Vt hisce propositis 3. a. q. Tertius ab ipso 3 est 4. At tertius ab ipso a est 3 denique tertius ab ipso est a.
IN WE duo numeros Vt productus eorum multiplicatione adeorumdem summam datam habeat rationcm. Oportet autem multitudinem unitatum quae statuetur pro altero numerorum maiorem esse denominatore rationis datae Mandatum sit productum ex multiplicatione , ad liminam habere rationem triplam. Ponatur alic numerorum
I. N. alteri, addita conditio praecipit maior quam 3 nempe ra. est productus eorum multiplicatione is N. summa vero illorum I N. Fia silerest ut iam sint tripli ad 1 N. Ia Te igitir minor aequabitur maiori, fit Im unitatum A. Erit ergo alter illorum . alter vero
105쪽
CΟNDiri appositatae demonstrati potest. Sint duo Numeri ΑΒ BC quorum tutuo ductu fiat G.&sit G ad totum A C. in ratione cuius denominatori, ita ut ex D in Λ C. fiatra dico D ininorem esse quolibet ipsorum A B. BG. Quia enim idem G fite. B. u. ργι ι Α Β in A C. erit A B ad A C. vim ad BG. sed ΑΒ est nunor qu,m' V o pars quam totum , ergo D est minor quam BG. codem argumento probabitur idem D minor quam Am igitur patet propositum.
Porro aduerte Canonem a Xilandro traditum nimis particularem esse, cum iubeat sumere pro altero quaesitorum numerorum, ipsum denominatorem rationis unitate auctum. Nos itaque ex ipsa Diophanti operatione elicimus hunc legitimuin Canonem Statue pro altero apuasitorum , auemlibet numeram marorem denominatore rationis , eumque ducito inlisum denominatorem, produltum d uide per interuallumsumpti numerita es dem denominatoris, orietur alter quaesitorum. Sed Moperatio Diophanti, ite Canon eatenus locum habent; quatenus productium est maius extremum proportionis. Nam si summa debet esse maior producto, sic erit proponenda quaestio. veniantur duo numeri quorum summa ad prodActum eorum multiplicatione datam habeat ra
Mandatum sit summae ad productium rationem esse triplam. Ponatur numerorum alter IN. alter quilibet numerus puta et erit ergo summa I. - . . productum a N. Quare cum illa sit huius tripla, is N aequabuntur ab I N. sere Im. sunt igitur quaesiti numeria. lis satisfaciunt postulatis. Conditio hic non apponitur, quia potest alter quaesitorum esse maior denominatore rationis, dum istantus sit, ut eo ducto in denominatorem rationis, productus superet unitatem. Et hinc sor- matur Canon huiusmodi. me quemlibet numerum pro altero quaesitorum, eumque ducit in denominatorem rationis i par prodiatum unitate multatum diuidesumptum numerum , orietur alter quaesitorum.
Caeterum ipsam quaestionem decimaniquartam soluit infinite Diophantus quaestione i lib. .
106쪽
Summam duorum numerorum inuicem rastandorum, ducit sigiliarim in utrumati denominatorem unitate auctum , producta diuide per pianum se denomιnatoribus nitare vitamm, orientur defeetus praestandorum numerorum a veras.
Vt in exemplo Diophanti summa ipsorum4o.&jo est D qua sigillatim ducta in . fiunt
o. 'ao quae si dividas per 3 productum ex et in . unitate multatum, fiunt q8. 64 desectus irsorum Io.&3o. aquaesitis. Quare addendo 8 ad so. 6 . ad 3o fiunt quaesiti numeri 98. - .
demerit primus I N. so. At secundus
I-Ν. - o. Reliquum est, tres simul ad a et
ONDITIONI appositae ratio est , quia cum tres numeri bini lini sumtuatur, aggrega-ὼ tum summarum quas bini& bini conficiunt , continet bis summai trium numerorum, quod euidem est, quia quilibet trium numerorum bis sumitur. Oportet alitem summam trium numerorum maiorem esse summa duorum ex illis Minc etiam euidens sit causa Canonis a Xilandro traditi, qui tamenin ab operatione Diophatui elicitur. Aggregati sium irum auas binio bini conficiunt tres numeri, cape dimidium sine aufer sigiliatim diei.ι μmnι.u restabunt φιasiti numeri. Eodem fere artificio soluetur quaestio si quaerantur quotlibet numeri mulititiali ne impari, dentur. que summae primi cum secundo secutuli cum tertio, terti cum quarto, quarticum quinto δε sie deuiceps Aedemit in ultimi eum primo Vcrbi gratia Quaerantur quinque numeri, primus eumseeundo faciata secundus eum tertio faciat, tertius cum quarto faciat Io quartus cum quinto sa-ciata . denique quintus cum primo faciat I. Pone summain quinque numerorum m. Cum ergoptimus seeundus sint 8., tertius& quartus Io. erit quintus N. I8. Rursus quia secundus &tertius sunt p. quartus&quintus a. erit primui I N. 23. Rursus quia tertius, quartus sunt ro. quintus primus a. erit secundus i N. 2I. Item quia quartus inuitatus sunt I . primus seeundus L erit tertius I . na. Denique quia quintus&primus sunt It at secundus tertius s. erit quartus IN. Io. Horum summa N. IDq. aequalis est I .in fici N. 26. summa quinque numerorum , unde si auferas sigillatini suminam quatuor quorumlibet nenipe ipsos 23. o. a. ro. 8. remanent quaesiti numeria. e. q. o. 8. Quod ii arti licium supra allati Canoni libeat imitari. Duic aggregatum summarum datarum 8. o. Io. I .i I nempe Ia .huitis scinissis aue es summa quinque quae-
107쪽
sitorum numerorum, unde ut prius si austras quatuor quosque remanebit quintus. Praeterea in tractatu nostro de iucundis quaestionibus quae per numero absoluuntur, alium tradidimus Canonem, hoc utique non deteriorem, quem, si vacat, videre poteris inii axi vigesima secunda. Verum si multitudo quaesitorum numerorum fuerit par, qui codem modo bini sumantur, ,Itimus iungatur primo, nec operatio similis nec traditus Canon locum habebunt ut euidens est, cuius rei ratio est, quia in hoc casu quaestio non unam recipit solutionein, sed infinitas dum modo possibilis proponatur, ut si quaerantur sex nRmeri, ita ut primus cum ecundo faciat,3 seci indus eum tertio faciat Is tertius cum quarto faciat Io quartus cum quinto faciat, quintus cum sexto faciat o Ρο- terunt esse quaesiti numeri 8. s. Io. 9..8. Itemque iij. 6.9. IO. r. s. imo 'uemcumque sumas pro
primo qui cadat intero &i3. satisfacies quaestioni. Itaque huiusmodi quaestiones hae arte resoluci. Ponatur in dato exemplo primus m. ergo secundus est 3 IN unde tertius ta- N. Quare quartus erit Ir i N. igitur quintus fiet IN. - SA denique sextus 6-IN. Restat ut Mextus cum primo faciat is Quare cum I 6 IN. ω N. vere conficiant I 6 nulla restat ad aequationem via ita ut una species, alteri speciei aequalis repetiatur. Quamobrem cum inuenti numeri in terminis Algebricis omnes propositi partes impleant, manifestum est quaestionem infinite solutam esse, hoe est quemlibet numerum sumi posse pro valore Numeri, modo possit positionibus te applicari. Etenim non quolibet numero pro valore Numeri sumpto, apte resolui poterunt hypostales, quod accidit quia in aliis repetiuntur unitates cum desectum umerorum, ita aliis Numeri cum deted tu viri tum Quare determinandum de valore umeri. praescribendi sunt ternimi inter quos adere debeat. Hoc autem sic praestabitur. Sume hypostasim illam in qua est minimus unitatum numerus cum maximo desectu Numerorum, itemque illam in qua est minimus Numerorum numerus cum maximo desectu unitatum, sunt hae 3 - 1N MI N. i. Diuide ergo utrobique nitates per malii tudinem Numerorum , fient 13. χ quaesti termini. Igitur necesse est valorem Numeri maiorem esse quam 6. minorem quam 3 Quicunque autem ponatur inter . '3 satisfiet postulatis Modus iste praescribendi terminos inter quos cadere debet valor numeri, in quaestionibus quae infinite sol uuntur, a nemine ante nos quod sciam P traditus cst, cum sit facilis. ad ardua problemata sol uenda necessarius, iam monui in libello iucundarum quaestionum quae per numeros absoluuntutis fusius docebo ad quadragesimam primam quarti.
ut quatuor linii additi sint aequales
t et ' sed quatuor simul additi essiciunt q
108쪽
CONDITI hic apponitur eadem de causa, qua factum est ut praecedenti apponeretur, quia
videlicet eum quatuor numeri, terni sumuntur, quoties fieri potest diuersis modis, omnes, muntur ter. Hinc autem paret, quaestionem huiusmodi proponi posse de quotlibet numeris qui sumantur omnes, uno mimis , quoties fieri potest diuersis modis, Metit eadem operationis ratio; sed Canon uniuersalissimus formabitur. Auregatum summarum datarum diuidatur per semerum multitudinis numerorum nitate muctatum. Quotιens erιtsumma numerorum quasitorum, a qua si auferantur sigillatim data summa, flent quasit numeri.
AD acro trimp e eommuni tertio , e. Res a Scholiaste obscuratur potius quam illustretur. Quod autem ait Diophantus tale est. Sint tres numeri Assi C. ita ut ambo Assi simist superent, . m. ccxς xuim C interuallo D insert Diophantus Ergo tres ΑΒ C. simul eontinent bis ' o: ipsum C. Gemel ipsum D quia enim Assi simul aequantur ipsis CD simul, si utrimque addatur ipse C erunt tres ΑΒ C. simul, aequales ipsi D.4 duplo ipsius C. Quod erat propositum Caeterum ex operatione Diophanti elicitur huiusmodi Canon. Asemisse aggregatι excessuum aufer sigillatim semissem euiuslibet excessus, residua erunt quasilinumeri vel quod idem est. Ab aggregat excessuum aufersigillatim ipsos excessus, residuorum semisse erum quassi numeri. Hinc autem manifeste colligitur Aggregatum ipsum excessuum aequale eis summa quaesitorum numerorum. Qu'staincia etiam aliter demonstrabitur hac arte Sint tres numeri Assi C. ita veA, B, b Ai superent C excella D.Ambo B C. superent A excessui. denique ambor di in pu A C. superenti excessu F. dico summam ipsorum AR C aequari summae ipsorum '' DEF. Quoniam enim per mox demonstrara tres ABC continent bis ipsum C.&semel ipsum D. itemque tres AE C. continent bis ipsum in semel ipsum E ae denique tres BC. eontinent bis ipsum B& semel ipsum F. Patet summam ipsorum Alc. ter eontinere bis
109쪽
ipsos Assi C. Temel ipsos D E F. Quare si utrimque auferantur ipsi AB C. bis remanent iidem AB C. semel, aequales ipsi DEF. semel. Qum erat ostendendum.
Communis addatur desectus. Igitur a N.
HL Diophantus usurpat huiusmodi Theorema.
Quod sic demonstratur. Sint tres dat AB C. & iidem excessus qui prius EF dico Hammam si c - ςςssuum D E esse duplum ipsius B. sic de aliis. Quia enim ambo A B aequan- Disa Λ 6 mbobus itemque ambo G aequantur ambobus E erunt insi'γR' ' AC semel&B. bis aequales ipsi AC DE. Quare auserendo utrimque ipsos C. remanet bis aequalis ipsi DE. Quod erat propositum. Eodem argumento ostendemus summam duorum E F. ite duplam ipsius C. summam amborum I esse duplam ipsius Λ. Igitur
ex omni parte constat propositum. Hinc autem elicitur huiusmodi Canon. Summa duorum auorumtibae exeustitim cape semissem, habebis quaesito, meros. Caeterum placet in artis specimen ex supradicto Theoremate aliud etiam non iniucundum adducere, nimirum. Datis tribus numeris, ita, duo cuilibet simul reliquo sint matares , duorum excessuum Hsserentia ita vias disserentia duorumdatorum numerorum , inter quos vicissim facta est excessuum compa-
Sint dati qui prius ABC. iidem excessus D ET & duorum DE differentia situ, tibiam cuius firmitus . dico Κ esse differentiam ipsorum A C. Quia enim ut osten , . 1isu, ' sum est amborum DE summa dupla est ipsius ' sunt DBE arthimetis propor-
μ' tionales. Quare duorum Da. idem est interuallum, quod duorum B E. Cum ergo extremorum differentia componatur ex differentiis extremorum medij, patet aduplum esse disterentia D ad B vel B ad E. mainobrem cest differentia D ωB. Itaque quoniam ambo AB aequantur . r. aris ambobus C D.ex hypothesi ' erit in arithmetica medietates ad .vt D ad B.Quare eum ostensum secesse differentiam ipsorum D B.erit idem K differentia ipsorum A C. Quod erat ostendendum Eodem modo ostendemiis semissem differentiae ipsorum EF esse differentiam ipsornm A B.itemque semissem differeotiae ipsorum D F. esse dissetentiam ipsoruun BC. Igitur ex omni parte constat pr o.
110쪽
QDd si lubeat theorematis huius opem implorare, licebit rursus alia operatione ab utraque Diophanti longe diuersa prontem istud absoluere. Ponaturis i N. Cum ergo E sit minor quam Flaumero O. erit 'minor quam B, semisse ipsius Io. Quare Berit IN. -ς. Rursus quia Einaior est uuam D. numero Io erit maior quam A semisse ipsius Io Erit igitur C. I s. Iam ergo cum tres Quaesim numeri sint, N. IN-s.1 N. - . tripliei via licet ad aequationem peruenire. NA primiri recundi lumina, s. aequatur summae tertii interuallio nimirum I N. -- ac Rurtiis secundi tertiliumma nimirum a N. aequatur summae primit interualli E, nimirum I -- o. Denique primi' terti summa a N. - . aequatur summae secundi & interualli F. nimirum I N. Φlas has tres aequationes si resoluas sigillatim, fiet semper I N. o. primus scilicet numerus Posset etiam ponica. P ' ς μ', Qqvς modo triplici via ad aequationem perueniri, ut mani-
IN va Ni η quatuor numeros, ut terni iuncti reliquum superent numero imperato oportet autem semisse summa quatuor interuallorum minorem esse quemlibet ipsorum. Postuletur itaque ut primus duo Minceps coniuncti quarto superaddant unitates dio secundusi duo deinceps primo superaddant unitate scio. tertius duo deinceps similiter secundo superaddant unitates o. adhue quartus duo deinceps coniuncti tertio superaddant unitates so. Ponatur quatuor numerorum summa a N. quandoquidem primus duo deinceps quarto super addunt unitatescio. quo tres primi superant quartum, eo quatuor simul superant duplum quarti , sunt autem quatuor simul am igitur am superant duplii quarti unitatibus ro. Quamobrem duplum quarti est a N. - 2o. Ergo ipse quartus est Im. Io eadem de causa, erat&primus I N. Is . secundus I N. sto. tertius ΙΝ - 23. superest ut quatuor simul aequales sint a N. 1ed quatuor simul faciunt N. - o. Hoc ergo arquatur M. fit 1 N. 33. Ad positiones. Erit primus 2o secundus Is tertius Io quartus 23. quaestioni satisfaciunt.
I AESTION EM XX. 'r' ' i' adiectae ratio est, quia ut mox ostendetur, excessuum summa dupla est sum-
numerorum debet esse maior tribus quibumbet, ac proinde multo magis maior est excessi petii
super reliquum. Quod autem summa excessuum, si dupla summae numelo si ost 2 si,