장음표시 사용
81쪽
'' Z-e - AP Φ AF, quae cst praecipua proprietas Foci in Parabola. I so. Quoniam Parabola nascitur ex Ellipsi, Axe majore in infinitum aucto; consideremus Parabolam, tanquam esset Ellipsis , sitque ejus Semiaxis A C a, existente a quantitate infinita , ita ut Centrum C infinite distet a Vertice A. Ad Mducatur tangens Curvae M T Axi occurrens in T; quia erat CP: CA-CA: CT, erit C T- -- , Ob C P
a - x ; hincque A T - -- φ--. At, cum sit a quantitas infinita , Abscissa x prae ea e nescet, eritque a - x a , ide que A T - x A P : quod idem hoc modo ostendi potest, cum sit A T - ---, erit A T - x - , at quia fractionis -- denominator est infinitus . numeratore exita
tente finito, valor fractionis erit evanescens, ideoque A T A P - πω
Isi. Quod si ergo ex puncto M ad Ceutrum Parabolae Cinfinite distans ducatur Linea A1 C, quae erit Axi A C parallela , ea quoque crit Diameter Curvae omnes Chordas tangenti M T parallelas bisecans. Scilicet , si ducatur Chorda seu Ordinata m n tangenti M T parallela , ea a Diametro sphi secabitur in p. Omnis ergo recta Axi A P parallela ducta in Parabola erit Diameter obliquangula. Ad hujusmodi Dia
82쪽
sin. MD, ergo erit angulus m ps
is1. Quia est ΜF - AP - - AF, ob AP - A T, erit F ῖ1 - F T; ideoque triangulum M F Tisosceles , & angulus II Fr - α Μ T A , ut modo invenimus. Cum deinde sit M T- Σv x x ε -c , erit MI UAP. F M, hine ex Foco F in tangentem demisso perpendiculo erit M S TS - V AP. FM AT. TF, unde erit A T: TS TS : T F. Ex qua analogia perspicitur punctum S sore in recta A S ad Axem in Vertice A normali. Erit vero AS PM,&AS: TS A F: FS, ergo FS- έ A F. FAM& F S erit media proportionalis inter A F & F M. Praeterea vero erit A S: MS - AS: T S- FS: 1- ν' AF: FILQuod , si ducatur ad tangentem in s normalis 31 IV Axenisecans in IV, erit P T: P M - PM: PIV, seu 2 x : vh e x v Σ e x : P IV, unde fit P IV c , ubique igitur intervallum P IV, quod in Axe inter Applicatam P M & normalem IVM intercipitur , constantem habet magnitudinem atque aequale est semissi Lateris rem, seu Applicata F H. Erit autem FIU FT-FM & ΜW-ΣV A F. FAIs 3. Pervenimus jam ad Hyperbolam , cujus natura Exprimitur hac aequatione yy - α Φ c x ἡ- γ xx, Abscissis super Diametro orthogonali sumtis. Quod si autem initium Ahiacissarum transferatur intervallo -Orietur ejusmodi aequatio Κ Σ
83쪽
Lis. II. yy - α - γ x x, in qua Ahscissae a Centro computantur. Debet autem γ esse quantitas assirmativa ; quod vero ad α. attinet, perinde est sive ea sit quantitas assirmativa sive negativa , pe mutatis enim Coordinatis x & y . amrmatio quantitatis α. in TAn IX. negationem mutatur & vicissura. Quam ob rem sit α quantia , 33- tas negativa , &y y - γ x x - α , atque apparet APplicatam Y his evanescere : scilicet, si fuerit x - - - v - &x --.
ς - . Denotante ergo C Centio, sint A & B loca , ubi
Axis a Curva trajicitur ; ac, posito Semiaxe CA CB - a, erit a V- , & ec- γ a a , unde fit yy - γ π π - γ a a. Quamdiu ergo est x' minor quam a', Applicata erit imaginaria , unde toti Axi AB nulla Curiae portio respondet. Sumto
Vero xx majore quam a a , Applicatae continuo crescunt, atque
tandem in infinitum abeunt, habebit ergo Hyperbola quatuor ramos AI, At, B Κ, Β in infinitum excurrentes &inter se similes atque aequales , quae est proprietas principalis Hyperbolarum. I sq. Quia , posito x O , fit yy - - γ a a , Hype hola non instar Ellipsis habebit Axem conjugatum , quod in Centro C Applicata est imaginaria. Erit ergo ipse Axis conjugatus imaginarius , quem , ut aliquam similitudincm Ellipsis servemus, ponamus b v - I , ita ut sit γ a a - bb,&γ Vocata ergo Ahscissa C P - x, & Applicata PM-y , erit yy-- at x - aa , ideoque aequatio pro Ellipsi ante tractata γ y a a - x x transmutatur in aequationem pro Hyperbola ponendo - b b loco b b. Ob hane ergo amnitatem proprietates Ellipsis ante inventae facile ad Hyperbo- Iam transferuntur. Ac primo quidem , cum pro Ellipsi distantia Focorum a Centro esset V a a - bb , pro Hyperbola
84쪽
xiv aa - -bb - Y sqq=hkΤ Ductis ergo ex utroque Foco ad Curvae punctum M rectis m, erit m- - AC A IV & G AC STEA . harum ergo rectarum differentia GM - FΜ aequalis est LAC. Quemadmodum ergo in Ellipsi summa harum duarum Linearum aequatur Axi principali A B, ita pro Hyperbola differentia aequalis in Axi principali AB. Is s. Hinc etiam positio tangentis ΜT definiri potest, est enim perpetuo pro Lineis secundi ordinis CP : C A - C A. CT: unde fit CT M , & P -- rara. - hin que ΜT--ς b'x' -- ab' fi v aa xx - - bbxx H). At est m. GM- es' 'Aes φ es, ergo MT- ait FIMG M. Deinde est FT-v aa Φ bb - - ,
GM- a : x , unde sequitur FT: GT Fu: GM, quae proportio indicat angulum FMG per tangentem MT bisecari , etaque FMT . GMT. Recta autem CAI producta erit Diameter obliquangula omnes Ordinatas tangenti M Tparallelas hi secans. Is 6. Demittatur ex Centro C in tangentem perpendicula
85쪽
νg DE LINEARUM SECUNDI ORDINIS
Erit ergo , uti in Ellipsi , recta CS a C A. Deinde est
tangenti parallela I X, secans perpendiculum C Q productum in X, erit CX- έ bb- -C Q , cui similis proprietas pro Ellipsi est inventa. 117. Si in Verticibus A & B ad Axem perpendiculares erigantur donec tangenti occurrant in V & υ, ob A T
86쪽
unde fit TV. Tv - - FM. GM- FT. G T. Simili autem
modo hine plura alia consectaria deduci possunt. Is 8. Quia est CT --, patet quo major capiatur Ahiacissa CP x, eo minus suturum esse intervallum C T: atque adeo tangens , quae Curvam in infinitum productam tangit, per ipsum Centrum C transibis, fietque C T- o. Cum autem sit tang. P TM- ρ ' , puncto M in insiuitum abeunte, seu posito x - co, fit 1 - - v xx-aa - --.Τangens ergo Curvae in infinitum productae, & per Centrum c transibit , & cum Axe angulum constituet A CD cujus tangens - - . Posita ergo in Vertice A ad Axem normali AD-b , tum recta CD in infinitum utrinque prodiacta , Curvam nusquam quidem tanget , at Curva continuo magis ad eam appropinquabit , donec in infinitum tota cum recta CI confundatur. Hoc idem valebit de parte C , quae tandem cum ramo Bh confundetur. Atque si ad alteram partem sub eodem angulo ducatur recta XCi , ea cum ramis ΒΚ &Bi in infinitum productis conveniet. Hujusmodi autem Linea redita, ad quas Linea quaepiam Curia continuo propius accedit, in infinitum autem excurrens demum attingit, ASYΜ- TOTAE vocantur, unde Lineae rectae ICE, Rci sunt bina Asymtotae Hyperbolae. Is 9. Asymiotae ergo se mutuo in Centro C Hyperbolae decusant, atque ad Axem inclinantur angnio A CD - A Cd, cujus tangens - - , angusque dupli DC d tangens P. CARVI.
87쪽
8o DE LINEARUM SECUNDI ORDINIS
LIB. II. unde patet si fuerit b a , sore angulum , sub quo Asymio se intersecant, DC d recto ; quo casu Hyperbola aquilatera dicitur. Cum autem sit A C a , A D - b , erit CD-Cd --bb ; quare , si ex Foco G in utramvis Asymtotam perpendiculum G H demittatur , oh C G
ducta ex A Asymiotae Cd pariallela A E , erit A E - CE a aq-bb) , ideoque erit Mn Cr AE. CE; quae est proprietas primaria Hyperbolae ad Asymtotas relatae. T. . ix. Quod si ergo Abscissae CP - x , in una .Asymtota amo a . Centro sumantur , & Applicatae PM y alteri Asymiotae parallela statuantur , erit - , existente AC B C - a , & A D-A d - b e seu , si ponatur A E CE h, erit a x - hh, Ω Υ--. Posito ergo x-O,st 5 - eo , ac vicissam facto x - ω siet v - o. Agatur jam Per
88쪽
per punctum Curvae Μ recta quaecunque QMNR , quae parallela sit ductae pro libitu rectae GH, ac ponatur CQ t, Q Μ - u , erit G H : CII: CG - v : P Q: P M, ergo
u ; quibus vasoribus substitutis, erit tu - --κti v - h h , seu u u - It u Φ -hh o. Habebit ergo Applicata v duplicem valorem , nempe QM Eli ON, quarum summa erit --ht - QR, dc rectangulum QMκ
casu recta QR Curvam tanget, tum ea in ipso puncto contactus bisecabitur. Scilicet, si recta XV tangat Hyperbolam , punctum contactys Z in medio rectae XY erit positum. Unde, si ex Z alteri Mymiotae parallela ducatur Z V, erit C V Vr, hincque ad quodvis Hyperbolae punctum Z expedite tangens ducetur. Sumatur scilicet V . CV, ac recta per U& Curvae punctum Z ducta Hyperbolam in hoc puncto Z
ducerentur, eae inter se scirent parallelae; unde facillimus oritur modus quotcunque Curvae tangentes ducendi.
I 63. Quoniam deinde est rectangulum QAM QN
DΗ LV 44 , Patet , ubicunque recta CR ipsi HG parallela ducatur , fore semper rectangulum Q . QN ejusdem magnitudinis. Erit ergo etiam QM QN- QM MR - QN AENA - ΠΑ-P0hL. Quod , si ergo concipiatur ducta tan- Euteri Introduci. in Anal. insen. Tom. II. L
89쪽
si DE LINEARUM SECUNDI CEDINIS, Oe.
gens ipsi QR parallela , quia ea in tr.i Asum totas in puncto contactus bisecabitur , & si tangentis semissis vocetur ρ , erit
Q qq , quae est insignis proprietas Hyperbolarum intra Asyna totas descriptarum. I 6 . Quoniam Hyperbola ex duabus partibus diametraliter oppositis I ι & ΚΓ constat , istae proprietas non solum
ad eas rectas intra Asymtotas ductas pertinent, quae eandem Curvae partem in duabus punctis intersccant. Sed etiam ad eas , quae ad partes oppositas pertingunt. DucRtur nCmpe per punctum M recta Mqm ad partem oppositam , cui parallela agatur Gh, ac vocetur Cq t lc qM u ; erit, ob triangula
ideoque qn - qM-qr, unde fit qΜ-rn, & qn r M. Deinde autem ex aequatione inventa intelligitur fore radicum productum q M. q Π - - δε 'dira , seu q M. qn -q M. rM rn. q n - r n. r M --d X h h. Haec ergo rectangula , quotcunque rectae Mn ipsi G h parallelae ducantur , perpetuo Cjum2- erunt magnitudinis. Hae autem sunt praecipuae singularum specierum Linearum secundi Ordinis proprietates , quae, si cum proprietatibus generalibus conferantur , infinita sere insignium proprietatum multitudo conscitur. Disit Od by Cc oste
90쪽
DE RAMORUM IN INR. EXCURR. INVEST. 83
De ramorum in infinitum excurrentium inves arione. 166. Si curva Linea quaecunque habeat ramum seu partem' in infinitum excurrentem , atque ex ejus puncto infinite dissito ad Axem quemcunque demittatur Applicata normalis; tum , vel Abscissa x vel Applicata δ vel utraque Coordinata , erit infinita. Nisi enim vel alterutra vel utraque esset infinita , tum distantia puncti in Curva assumti ab initio Abscissarum seret finita nempe v xx yy , contra hypothesin. Quam ob rem , si Curva habeat ramum in infinitum excurrentem , vel Abscissae cuipiam finitae conveniet Applicata realis infinita , vel Abscissae infinite magnae respondebit Applicata realis , sive finita sive infinite magna. Ex hoc igitur fonte Curvarum rami in infinitum excurrentes investigari po
167. Sit proposita aequatio algebraica inter Coordinatas x& y cujusvis ordinis , puta n ; atque seorsim considerentur te mini , in quibus variabiles x & y obtinent'n dimensiones, quierunt ec y' - cy' x - - γ γ' - κ' ε δ e 3 χ' .l. x' , quae expresso resolubilis erit in Factores simplices sormae A y ε B x, sive reales sive imaginarios. Atque , si habeat Fa tores imaginarios , eorum numerus erit par , binique conjuncti dabunt Factorem duplicem realem sermae A' y' - 2 A Bxy καf φ Φ B' x'. Hujusmodi autem Factor, sive x sue y sive utraque , ponatur infinita eo, semper valorem induet infinitum ' , quia terminus 2 AB y x. cos. φ semper minor est quam duo reliqui A' γ' ε Β' x', neque enim A nec B potest esse se o. Hujusmodi ergo Factor A'γ'- ΣΑΓxy. f. pli