장음표시 사용
271쪽
bitu, oc idcirco resistentiae corporum aequalium & aequivelω- DF Mocium Ε oc G in his mediis, perpetuo accedent ad aequalita--COR tem, ita ut earum disserentia evadat tandem minor quam data quaevis. Proinde Cum resistentiae corporum D dc F sint ad ἐgeu, n
vicom ut resistentiae corporum E 5c G, a Cedent etiam hae SEcr. VII.
similiter ad rationem aequalitatis. Corporum igitur D N F, ubi kk iii
velocissimὸ moventur, resistentiae sunt aequales quam proXimea 6c Tu,oκ. propterea cum resistentia corporis F sit in duplicata ratione ve- XXVulocitatis, erit resistentia corporis D in eadem ratione quam proxime.
Orol. 3. Corporis in fluido quovis elastico velocissime moti eadem fere est resistentia ac si partes fluidi viribus su is cen
trifugis destituerentur, seque mutuo non fugerent: si modo fluidi vis elastica ex particularum viribus centiifugis oriatur, &velocitas adeo magna sit ut vires non habeant satis temporis ad agendum. Corol. Φ. Proinde clim resistentiae similiti m 8c aequivelocium corporum, in medio cuius partes distantes se mutuo non fugiunt, Q sint ut quadrata diametrorum ; sunt etiam aequiVelocium lc Celerrime motorum corporum resistentiae in fluido elastico ut quadrata diametrorum quam proxime. ' . Corol. s. Et clim Corpora similia, aequalia dc aequivelocia, in mediis ejusdem densitatis, quorum particulae se mutuo non sugiunt, sive particulae illae sint plures & minores, sive pauciores & maiores, in aequalem materiae quantitatem temporibus aequalibus impingant, eique aequalem motus quantitarum imprimam, dc vicissin per motus legem tertiam aequalem ab eadem reactionem patiantur, hoc est, aequaliter resistantur: m nises-
h Corollarimn 3. Paret per e r. . in quo vis T qua particulae medii A in quo corpus D movetur se fugiatu, qualisiciamque apponitur , corporum D & F ubi
velocissime moventur, resistentiis anaiaen tibus aequalibus quam proxi tuo, licet medii C in quo corpus F movetur, particulae viribus centrifugis prorsus destitu atur. P Tom. II tet etiam ex eo quod supponarur vires non habere satis temporis ait agentiunt , unde ita redit ad eluu in quo vires illae runt lae sunt.
Per 2 . partem dem. prop. huius, ob datas corporiuii velocitates& medii dentisaicin datam.
272쪽
nifestum est etiam quod in ejusdem densitatis fluidis elasti
cis, ubi velocissime moventur, aequales sint eorum rosistcntiae quam proxime; sive fluida illa ex particulis crassioribus con .stent, sive ex omnium subtilissmis constituantur. Ex medii subtilitate resistentia projectilium celerrime motorum non multum diminuitur. G, Ol. 6. Haec omnia ita se habent in fluidis, quorum vis elastica ex particularum viribus centrifugis originem ducit. Quod si vis illa aliunde oriatur, veluti ex particularum expansione ad instar lanae vel ramorum arborum, aut ex alia quaVis Causa, qua motus particularum inter se redduntur minus liberi: rei uentia, ob minorem medii fluiditatem, erit major quam in superioribus corollariis.
PROPOSITIO XXXIV. THEOREM A XXVIII.
Si globus ct cylindrus aequalibus diametris descripti, in medio raro ex particulis aequalibus ct ad aequales ab invicem distantias libere dispositis eonstante, secundum plagam axis Ilindri, aequasi cum velocitate moveantur . erit res entia globi duplo minor quam resistentia Ilindri. Nam quoniam actio medii in corpus eadem est per legum corol. s. sive corpus in medio quiescente moveatur, sive medii particula: eadcm cvm velocitate impingant in corpus quiescens: consideremus corpus tanquam quiescens, & vide mus quo impetu urgebitur a medio movente. Designet igitur
BKI corpus sphaericum centro C semidiametro CA descriptum,& incidant particulae medii data cum velocitate in corpus illud sphaericum, secundum rectas ipsi AC parallelas: sitque F eiusmodi recta. In ea capiatur L B semidiametro CB aequalis, & ducatur BD quae sphaeram tangat in B. In XCoc
λ Impingant in eo pu quiescent.
Eadem enim est in utroque caiu v lc, ita, te. spectiva, eademque i roinde vis p rculsi
rus per dem. in cor. I. I. g. vis. Idem quoque manifestum est per motus Leg. 3. quia fluidum & corpus ob re.ictionem Minoni aequalem & eontrariam, in utroque caia in se mutuo agunt.
273쪽
&BD demittantur perpendiculares B E, L D, d . vis quaticula medii, secundum rectam FB oblique incidendo, globum serit in B, erit ad vim qua particula eadem cylindrum ONGE Lis Εκ axe ACI circa globum descriptum perpendiculariter seriret indE ND.
b, i γ ut L D ad L B vel B E ad BC. Rursus e cacia hujus vis ad movendum globum secundum incidentiae suae plagam T OL it. F B Ves A C, est ad ejusdem s Kemcaciam ad movendum glo- bum secundum plagam determinationis suae, id est, secundum plagam rectae B C qua globum directὶ urget ut BE ad BC. Et conjuniunctis rationibus, emacia particulae in globum secundum rectam FB obliqui incidentis,
ad movendum eundem secundum plagam incidentiae suae, est ad
Si enim tecta data L B ex onat vim qua particula medii circularem basim eylindri perpendiculariter serit in b, & vis illac per leg. mr. 2. relblv tur in vires B D ,LD, vis BD iuxta directionem tangentisia B agens nullam eficaciam habet ad globum promovendum & recta L D vim exponet qua particula medii globulum perpendi Iariter serit in B. Quia vero radius C B, tangenti perpendicularis est, Scideo per congla. D L parallela C B, triangula rectam ma C E B, B D L, similia lunt, imo ob BL α CB per mus . aequalia. Est igitur L D ad L B ut B Ead BC. m tyo. in B E ad BC. Vis L D ducta ex puncto D ad L B perpendieulari D M , iterum reislvatur in vires L M dc Μ D, & ob triangulorum L M DL DB, similitudinem , erit vis L M ad vim L D, ut L D ad L B, leui ut B E ad B C ; nulla verb ratio habenda est vis M B, majus directio perpendie uiatis est ad axem A I, quia fimili coli structione saeta ad alteram hujus axis partem in pancto sphaerae
quod puncto B direct/ onpositum est, vis Μ D, vi aequali & direthd opposita eliditur. Unde sola consideranda est vis L Μ, quae secundit in directionem axl R I parautelam agit. Est autem vis L M ad vim L B qua particula medii circularem bain sim cylindri perpendicii lariter serit in b, ut L D ad L B R , ob continuὸ proportionales L M, I, D, L B. n conjuncta ναionaias. Et ex
274쪽
DE in ad efficaciam particulae ejus Tu COR- dem secundum eandem rectam 1a Lx in cylindrum perpendiculariter sae09n. incidentis, ad ipsum move
Sicet. VILdum in plagam eandem, ut
Tullo a. dratum. Quare si in b E, Xyia, quae perpendicularis est ad cylindri hasem circularem
N A O & aequalis radio HAC, sumatur b H aequalis
β β ι 1 -ι si ut effectus particulae in globum C B
ad effectum particulae in cylindrum. ' Et propterea solidum. quod a rectis omnibus b H occupatur erit ad solidum quod a rectis omnibus b Ε occupatur, ut essectus particularum omnium in globum ad essectum particularum omnium in Cylindrum.. Sed solidum prius est parabolois vertice C, axe CA dc latcre recto CA descriptum, & solidum posterius. est cylindrus.
rubu, QN A purictis erigantur perinpendicula ut b H &. b E, sisque N Η Ccurva quam punctum H perpetuo tane, di recta Κ C locus omnium punctorum E , solidum quod perpendiculis omnibus b H , per totam basim cylindri ductis occupatur, aequale erit conoidi seu figurae sislidae quae ex rotatione figurae planae N Η CA circli axem C A facta generator, di solidum quod airectis omnibus b E -ccupatur erit cyli drus ex rotatione rectanguli A K este evndem axem C A facta descriptus.
275쪽
llaraboloidi circumscri tus, & notum est quod parabo-
ois sit semissis cylindri circumscripti. Ergo vis tota medii in globum est duplo minor quam ejusdem vis tota in Cylindrum. Et propterea si particulae medii quiescerent, & cylindrus ac globus aequali Cum velocitate moverentur, seret resistentia globi duplo minor quam resistentia cylindri. E.
Eadem methodo. figurae illae inter se quoad resistentiam comparari possunt, eaeque inveniri quae ad motus suos in mediis resistentibus continuandos aptiores sunt. Ut si base circulati
TFI. Lemma. Parabolois seu selidum ex rotatione Parabolae C Η N,.eirca axem C Asentium est semissis cylindri circumscripti, qui producitur ex rotatione rectanguli A X ei rea latus C A. Per purustum mobile P , erigatur ad axem C A normalis P Μ, parabolam secam in H, α rectam Κ N in & in rotatione fi-mrae totius circa axem C A , lineae P ΗM P M Urevius describent, qui erunt inter se ut radiorum P Η , P M quadrata , seu ex uamia Parabola & ob P Μ αδ N, in abscistis C P, C R. Ducatur jam punctum P cum veni eati P Ω Μ per totam altitudinem C A , & solidam ex rotatione figurae CHN genitum erit ad e lindrnm ex roratione rectanguli C E N Amtum, ut summa omnium circulorum quos recta mobilis Phl rotando deseribit, adsimmam omnium cireulorum quos deseriabit recta P Μ, hoe est , ut summa omnium C P, ad summam omnium C R. In Imea
A N; eapiatur A R aequalis A C, tumiarur CR serans PH in D, & erigatur ad Α R , perpendi latis R Q, acans P Μin V ; cum ui semper P L α CP.&PUm C Α, shmma omnium C P, seu P L , per totam altitudInem C Α, est triangulas, Bbseele C R Ab & sunma omnium cx, seu PV, per eandem altitud;nem CR , est qoadratum C AR Q; eum triatur triangulum C R A, sit irinisse quadrati C A R Q, Parabolia est etiam semissis eylindri circumscripti. Q. E. D. cq rsi. Eadem methodo m. Soliis rix D duini
276쪽
Tu COR-lari CΕΒΗ, quae centro D, radio Po Rubl. OC describitur, & altitudine o D, L, B ε construendu m sit frustum coni CBGridi omnium eadem basi & altitu-
P a o ν. dine constructorum lc secundum pla-
xxviii. tium frustorum minita resistatur :
dum ex rotatione curvae euiusvis K B R , este, recum A I positione datam genitum
in medio resistente moveatur secundlim dirisonem rectae Ι Α, & oporteat resistentiam quam patitur conferre cum resisten
tia eylindri secunditan eandem directionem moti & eujus basis est circulus radio KCad Α C normali descriptus. Di ametro C Iad arbitrium assumpta describatur semicirinculus CSI, agatur per punctium I chorda Is, parallela BD curvam tangenti in puncto quovis B; ducatur per B recta B Uparallela A I, & per S recta s H parallela C Κ , ambae concurrentes in is , si,ve Q H E curva quam punctum H perpetia tangit; & completo rectangulo CKGI, resistentia solidi rotundi per conversonem curvae K B A circii CA geniti erit ad resistetitiam basis ipsius, seu circuli centro
C dc radio C Κ descripti , ut solidum eκ rotat lone fiturae Κ Q Η Ε ire, CI genitum,
ad cylindrum rotatione rectanguli CKGIdiret eandem C I sadu deicripuima Pro ducatur enim H B ad I., ut sit B L α C I ;ex puncto L demittatur ad B D perpendicularis L D,& ex Dad B L perpendicularis D M , & eodem modo quo supra aso patet eficaciam particulae medii admovendum iblidum totum K B A s ecun-dsim plagam incidentiae idae L B esse ad escaciam particulae ejusdem siecundum eandem rectam in basim circularem K C, perpendiculariter in P ad cylindrum qui r tatione rectanguli CΚGI describ tur m vendum in plagam eandem , ut est L D
277쪽
patur, erit ad solidum quod a rectis omnibus P U- I, oecupatur, aut quod idem eli, sol.dum ex rotatione figurae C Κ Q H Ε ei rei C I, erit ad cylindrum ex rotatione rectinguli C Κ GI genitum, ut resille ria ibi ili quod figura C Κ B A circa C Α , ' rotata deleribit, ad resistentiam baleos circularis quam dei cribit recta C Κ quae eadem est eum resistentia cylindri euiuslibri ejusdem basis, quia superficies cylindri quam recta Κ G rotando cire, A I describit, nullam resistetitiam patitur, tecum diim directionem motiis ipsi Κ G pacave-lam. Q. E. D. Is 3. EA construmone liquet, si recta quae curvam Κ B A tangit in A sit ad axem C R normalis, punctum E coincidere cum pulicto I, eg si tecta tangens curvam Κ Β Α, in X perpendicularis sit ad KC, punctium Q in quo curva Ε Η secat latus Κ G coii cidere cum puneto K. Is 4. Ex puncto B demittatur ad CR perpendicularis B R , dicaturque C I a,ARαx, BR α FIT CPαν, H P αCTrax, ΒΜ α dx, Nil perpendicularis ad B L curvae aue occurrens in n dy, ac proinde Bn vi dx in dr . Et quoniam triangula B n N , I C S, timilia sunt μνεουν. erit Bn : Nn GCD: CS C I: CT, hoe est, dae in dy : dy ax. Et Iiropterea addi Edx in ady , mula per quam ex data aequatione ad eurvam X B Α , inueniri potest aequatio ad eurvam alteram E Η Q dc coatra , nam quoniam C P α ν, si loco d x eruatur exaequatione curvae K B A ejus valor in νεc dy habebitur aequatio quae continebit α , ν & d ν sive C P, P H ἐκ si ionem P C, cum constantibus. Is . Ducta sit ordinata Ah alteri P Hinfinith propinqua dc si radius sit ad peripheriam circuli ut unitas ad numerum p, erit py peripheria circuli quem linea P Ceuch axem C I, rotando deierabit, ide, que annulus cylindricus quem arcus P Η h pin eadem convolutione deicribit, erit paydν, & inde lolidum ex rotatione figurae C P H E , genitum , erit s. pzydrifluente hae it, itan pia ut sacta ναο ea
evanescat. Qui re cum cylindrus convolutione rectanguli C P UI, dei criptus sit, pa=ν, resi lintia sblidi ex revolutione figurae ABR geniti, erit ad resistentiam
278쪽
r) biseca altitudinem O D in eroduc O si ad S ut sit' aequalis si C, oc erit S Vertex coni cujus fiustum quaeritur.
e F inbec Φαὰν unde eodem iterato calculo prodibit ratio eius resistentiae ad resistentiam baseos ut e
Parabolico , fiat in sorinula resistentiae Conoidis Ellipti et axis b Infinitus , caeterisque terminis in quibus b non occurrit deletis , erit Conoidis Parabolici rem stetitia ad resistentiam sis Baseos ut κby b ς , , λ . . I' - ς ς
is . Sit ΚΒΑ linea recta, & quia chorda IS parallela est rectae Κ Α, tyx punctum H est semper in linei recta T H Q, ide6que resistentia coni revolutione tria guli K A C estea A C geniti erit ad re- Dentiam circuli radio CK descripti , ut cylindrus ex rotatione rectanguli C Κ Q Lad cylindrum ex rotatione rectanguli CRGIeirca CI, id est, ob communem utriuique cylindri hasim, ut altitudo C T ad astitudinem CI, N est CT ad C I, in ratione duplicata CS ad C I vel ΚC ad Κ A , seu in ratione duplicata simis anguli K A C ad sinum totum. Simili modo resiste, tia Coni quem recta B A rotata deseribit est ad resistemiam circuli radio BR descripti in eadem ratione duplica
tia annuli conici quem recta Κ Β , circa C A rotata delcribit eli ad resistentiam annuli circularis quem in elacm convolutione destribit recta Κ Ρ in eadem duplicata ratione ΚC ad KR. Resistentiaver δ toni truncati convolutione saurae Κ B R cirea CR, petiiti, est ad resistentiam baseos ipsius sive circuli radio CK, descripti ut thlidum quod figura CKQHUI, et te, CI rotando describit, ad cylindrum m rotatione rectanguli CKGI otium. Est autem solidum prius summa duorum eylindrorum, revolutione rectangulorum CR QT & TI VI cliea CI producto rum, hoc est, ob areas circulorum radiorum quadratis proportionales ut summa CK δκCT-- CP κTI. r i 93. Biseca auisu memin Datia
279쪽
Unde ianter , cum angulus CSa semper se acutus, De Mo-
--ιώ - xx x ex in xxx R Mhaesar x x- exras b, &4M8 e turae e- - bb e e. Biseca igitur altia tudinem CR inr, ut sit Cr e, & iumcta Κ r αέ-e e , erit x, seu CR αCr 4. Xr, sicut NEWTONus inconstrue tione potuit. s ry Unia obuer. Angulus externus c vid. M. torus aequalis est summae amgulorum aequalitam Q C S & Q S C, id est. anguloc SB; dc quia CO Q Tectos est angulus C Qo ita ue & aequalis CSRest semper acutus. Altitudo o D quam-mmima evadat tandemque evanescat ; α quoniam in λει - φαλ rectis o C. OS, Q S, C Q aequales sunt, anguliae CSO, M aequalis DFs fit se rectus. Rusque complementum ad duos rectos D grad. a 3s. Dueatur ad F D rem quael set C E 3c evaneseente o D resistentia rami uuncati quem figura C F D tarea os rotata describit, erit ita sito genere minima is3 , ide6que minor quam resstentia eoni truncati ex revoliuione morae CED eirca os geniti; iubdue tur utrinquε resistentia circuli quem recta D E rotando describit l, & resistentia sis. perseiei ex rotatione figurae C F Ε eirea O S, minor erit quam resistentia annulieonici quem in eadem revoliuione de
280쪽
DE Mo- consequens est, quod si solidum ADB C convoluthone figu-τU CDR rete ellipticae vel ovalis A DB E circa axem AB iacia generetur, generans a rectis tribus FG, GH, HI inpun- Speusti Boc I, ea lege ut G H sit perpendicularis ad axem in
SEO: VII. puncto Contactus B, & FG, H I cum eadem G H contineant
muratia pateat, clemonstrandum est resistentiam superficiei - per rotationem figurae FG B cire, axem AB mmitur,mnorem esse resiste A superficiei quam an eadem revolutione amri F A, deserm
p aydae, evanescimi. Iline retaemia an nuli circulant quem remi N m , rotando describit, exponetur per disseremiamp ον- ρανἀx. Rusistentia cireuli ramo p ιν
mustentia circuli radio P m descripti , remanebit resistentia annuli elicularis mrotatione rectae qn genitim o avdae cum in xyr ),n m ad n η , seu FS. ac F E , sive x ad x, ut illius annuli rementia ad resistentiam sit perscies eκ revolutione rectae rem genitaeo haec res stentia erit ut , par dx. Quare resiste ita superficiei quam figura n m N eirea ΕΒ rotata destribu, exponarer per quaint ratem p ar dy- ς par dx, Zc, sumptis Dei tibiis, harum resistentiatiun sumatur per i tum arcum B N exponetur per , payy p a κ B N P aream, cui nihil addendum est nec lubduc dum cum facta ν -o, haec