장음표시 사용
111쪽
Gis E. 3 D. 33. F. 7VNitatum, quae denominantur solidis imparium ab unitate sit asIumpta B; cuius ordinis numerus E;&ipsi B, succedentes in infinitum C ; sit citam D , quadruplus quadrati E, unitate minutus ; I F, duplus E,auctus unitate. Dico B, ad C, esse ut quadruplus F, ad D. Ag- gregentur in A, tuin B, tum quae ipsam B, praecedunt a prima: quia E, est numerus ordinis B est etia multitudinis collectarum in A: fiat G, aequalis quadrato E, aucto duplo lateris eiusdem; quoniam igitur B, ad A, sunt ut sex. Pr. is a. cuplum E , auctum 3i videlicet ut triplus F, ad planum G Di sunt autem A. ad C, ut quadruplum G, ad 3 & , dividendo per η. vi G, ad ' ι & multiplicando per D , ut 'planum G D. ad triplum D, denominatum per q; ergo ex aequo B, ad C,sunt ut triplus F, ad triplum D, denominatum per ε; di diuidendo per 3, ut F, ad D, denominatum per ; & multiplicando per Α, Β, ad C , sunt ut quadru plus F, ad D. Quod,&c.
Vnutatum, qua denominantur I dilidis omnium imparium ab unitate, quotlibet assumpta
non a prιma, ad succedentes in mimitu sunt, ut planus numerι assumptarum, Si numeri bInarro maioris . auctus duplo plani sub numeras asiumptarum, fraceden-num , ad planum 1tib numero praceden-
112쪽
Naue Vuadraturatium; s numero binario maiore auctumhmper fractione in qua s. denominatur
VNitatum, quae denominantur solidis omnium im parium ab unitate sint assumptae E, non a prima in multitudine numeri B; quas in infinitum succedentes C i& praecedentes D, in multitudine num eii A; sit autem L, planus numeri B, & numeri binario maioris ι &M, duplus plani sub numeris A, B ; & F, planus numeri A, & numeri binario maioris. Dico E, ad C, esse,ut aggregatum L, M, ad F, auctum. unitatis. Fiat G, nou nario maior duodecuplo ipsias F; & H, productus ex aggregato A, B, in numerum binario maiorem; & I, no Pr. 3. r. venario maior duodecuplo ipsius H: constat D, aequales esse F, denominato per Gi & D, E, simul aequales H, deis Pr. 4.t. nominato per I;& E, aequales nonuplo excessus H, F, denominato per planum GI; sit Κ, excessus H, I; ergo E, ad aggregaras Α, Ε, sunt ut nonu plus Κ, denominatus plano G,ad H, denominatum per I; & multiplicando per I, ut nonu plus Κ, denominatus per G,ad H; & multipli. cando per q. ut q ater nonuplus, vel ter duodecuplus Κ, t. is.1. denominatus per G, ad quadruplum H; sunt autem aggregatae A, Ei ad C, ut quadruplus H , ad 3; ergo exaequali E,ad C, sunt ut ter duodecuplus Κ, denominatus per G, ad 3; & diuidendo per 3 ; ut duodecuplus K, d nominatus per G, ad unitatem; & multiplicando per G, ut duodecuplus K, ad G, vel ad duodecuplum F,au ctum 9,&
113쪽
ρ;&diuidendo per Ia. ut Κ, ad F audium Q. , vel ἰ: &quoniam sunt quatuor magnitudines A, a regatum ex A, B, & numeri binario maiores ipsis, eodem excessB B, sese excedentes; ergo planum sub maioribus, videlicet H, excedit planum sub minoribus, videlicet F, plano sub B, & aggregato ex maxima, & minitna, videlicet ex b nario,B,& duplo A; planum autem sub B,& composito ex binario, & B, est L 3 & planum sub B, & duplo A, est M; ergo excessus H, F, videlicet Κ , est aequalis aggregato L, M ; ergo E, ad C, sunt ut aggregatum L, M, ad F, auctum Quod,&c.
Unitatum, qua denominantur solidis numerorum Arithmetice di positorum ab unita te, quotlibet alumpta a prima Iunt aquales fractioni, cuius numerator en multia 'plex plani bub multitudine a suptarum, oeexcessu aucti excestu, oe binario, per eam-
de multιtudinem; denominator vero multiplex numeratoris per duplum compositi ex quadrato, re numero excessus, auctus diu plo quadrato compositi ex eodem excessu, oe unitate.
114쪽
SIut A, unitates denominatae solidis numerorum Ar thmetice dispositorum ab unitate cum excessu B, sumptae in multitudine numeri C; sit autem D, planum C B; & D, auctus B, sit E; quo singulis duabus unitatibus aucto fiant F,&G: constat G, es eaequalem plano C B, aucto B, & binario: & quia C, est multitudo A; &terni Arithmetice dispositi denominant singulas A s ergo numerus binario maior C, est multitudo eorum, qui adhibetur in denominatione sumptarum A; & propterea C, multitudo est intermediorum, praeter extremos; sed quot sunt intermedij, totuplex est excessus penultimi, &vnitatis ad excessum consequentium ; ergo planum B C, videlicet numerus D, est excessus penultimi, & unitatis ;& D, auctus B, videlicet E, est excessus ultimi,& unitatis; & E, auctus unitate videlicet F, est ultimus;& G a Pgregatum extremorum F, & unitatis: ex ductu G, in C, Pr. a. i. fiat H; constat etiam H, esse duplum aggregati intermediorum . Sit I, duplum compositi ex quadrato,& num oro B; & ex ductu H, in I, fiat K; & compositum ex B, &unitate sit L ; constat L, et se secundum Arithmetice dis positorum ab unitate. Dico A,aeduales esse H, denominato per compositum ex Κ,& duplo quadrati L. Fiat N, compositus ex D,& unitate ; constat N,esse penultimum Arithmetice dispositorum ab unitat ergo dispositionis Apitii et ica 'prami int unitas; S: L , ultimi uero N,& F;& extremi unitas,&ῆ: qyoniam unitas ad duplum B; pr. . ,. Vel hi, ad duplum plani B H: .el dimidium FI,ac planum B H, est ut ageregatum inte mediorum ad excesium plani N F, super L, planum unitatis, &ta est autem aggregatum
115쪽
Arithmeticae. 87gatum intermediorum dimidium Hi ergo excessus plani N L, super L, est planum B H,& planum N F, est aequa Ie plano B H,& L ; & solidum L N F, est aequale solido
L B H, aucto quadrato L; quoniam autem L, est aequalis B, & unitati; planum L B, est aequale composito ex quadrato B, & numero B; videlicet dimidio I; ergo solidum L BH, est aequale dimidio plani HI; uid licet dimidio K; ergo solidum LN F, uel planoplanum unitatis, L, N,& F, est dimidium Κ, auctum quadrato L; ergo Asunt aequales dimidio H, denominato per dimidium Κ, auctum quadrato L; & multiplicando utrumque numerum fractionis per a. sunt aequalcs H, denominato per Κ, au ctum duplo quadrato L . Quod,&c.
mutatum, qua denominantur solidis omnium Arithmetice dispositorum ab unitate, quot-Get assumpta a prima sunt minores unitate denominata duplo compostr ex quadra- ιο, α numero excessus.
qualibet multitudine a prima;& sit D,duplum compositi ex quadrato, & numero excessus dispositionis Arithme. ticae . Dico C, minores esse unitate denominata D. Sit Ep
116쪽
E, mul tiplex plani multitudinis assumptarum , aucti nu. mero excessus, & binario, per eamdem multitudinem;&
Pr. 2o. 1. ex eodem cAcestu ,& unitate; ergo C, sunt aequales E, denominato per F, auctum G ;&C, ad unitatem iunx ut E ; denominatus per F, auctum G, ad unitatem; uid licet ut E, ad compostum ex F. & G; habet autem E, ad compositum ex F , & G, minorem proportione quam E, ad F;& E , ad F, est ut unitas ad Di uel ut unitas de. nominata per D , ad unitatem; ergo C , ad unitatem habent minorem proportionem, quam unitas denominata per D, ad eamdem unitatem ; ergo C, sunt minores uni. tale denominata per D. Quod, &c.
Pros Vnde confiat unitates denominatas selidis omn1um numerorum Arithmetice disposiatorum ab Φnitate in infinitum dispositas,o' aggregatas esse finita extιnsionis.
Pr,iGr. Patet etiam, quod unitates denominata sol dis omnium numerorum ab unitate siqnt sualiqua multitudine a prima, qua implent propositam extensionem minorem extensio ne dispositarum earundem in ιψοιίum. Ir Probi.
117쪽
Tatis tribus numeris, quartum inuenire, qui non minorem primo dato metiatur per pla
num sui ipsius, re alterius dati , auctum
SInt B, C, D , tres numeri dati, opportet inuenire quartum, qui metiatur numerum non minorem dato B, per planum sui ipsius, di C, auctum D. Aggregati ex quadrato D, & quadruplo plani BC, sit radix quadrata E ; quae diuidatur per duplum C , ut fiat quotiens Fr item D, diuidatur per duplum C, ut fiat quotiens G, & sit A , non minor excessu F, G . Dico A, metiri numerum non minorem B, per planum AC, auctum D. Quoniam A, non est minor eκ cessu F, Gue ergo aggregatum A G, non est minus F; & multiplicando per duplum C, duplum aggregati ex planis AC, GC, non est minus duplo plani FC: & quia G, est quotiens diuisionis D. per duplum C; duplum plani G C, est numerus Dritem quia F, est quotiens diuisionis E, per duplum C; duplum plani FC, est E; ergo aggregatum ex duplo plani AC, & D, non est minus E ; & quadratum aggre gati ex duplo plani A C, & numero D, videlicet aggregatum ex quadruplo plano 'lani quadratorum A, C, &quadruplo lolidi A CD, & quadrato D, non est minus quadrato E, videlicet aggregato ex quadrato D,& qua-
118쪽
so Duae ad ιadraturae druplo plani B C;& dempto prius communi quadrato D, nec non d idendo perquadruplupa Co aggregatum solidi sub C,& quadrato A, deplani A IV, non est minus B: sed A, metitur aggregatum solidi sub C, & qua.drato A , & plani AD, per planum AC, auctum D; ergo
A, metitus numerum non minorem B, per planum AC , auctu in D. Quod,&
Vnitates denominata solidis omnium num rorum Arithmetica dispositionis ab Umtate , di sita in infinitum , oe aggregata ij sunt aquales unitati denominata per du- plum compositi ex quadrato π num roexcessus consequentiu eiusdem dispositionuή
SInt in A, dispositae in infinitum, & aggregatae unita tes denominatae solidis omnium numerorum Arithmeticae dispositionis ab unitate; & sit L, duplus compositi ex quadrato, & numero excessus consequentium eiusdein Arithmeticae dispositionis; & M, sit unitas denominata per L. Dico, quod A, est aequalis M. Alias, erit A , maior, vel minor M. Sit maior; igitur in aliqua multitudine sumptae a prima unitates in A , dispositae implent M: sit huiusmodi multitudinis numerus B, qui unitate
119쪽
e Arithmetica. y tunitate adiecta fiat C; ergo aliquot unitates in A, dispo- Dessio. sitae sumpti a prima in multitudine numeri C, simi maiores M; quod est absurdum: non est igitur A , maior M. Pr. H. a. Sit minori & data proportione minoris inaequalitatis A, Pr. 1 f. i. ad M, inueniatur altera maior, quae sit numeri I, quem L , metiatur per D , ad Ε, numerum unitate maior cm;&& ipsius D, fiat multiplex F, per N, quadratum compinsiti ex excessii consequentium, & unita ic; & datis tribu S Pr. 12.2.
numeris F, exussu dispositionis O, & P, aggregato ex O, & binario, quartus inueniatur G, qui metiatur numerum non minorem P, per planum CD, auctum Pir&sumantur unitates in A, dispo tar a prima in multitudine numeri G i & assiumptarum summa sit Hi consat H , es te portionem ipsius Ai& aequalem I ryducto ex num Pr. . a. ro G, in planum GC , auctum P, denominato per multiplex eiusdem prodiibi secundum L , uictum N : quia autem productus ex G , in planum GO, auctum P, non est minor F; etiam denominatus per sui ipsius multiplice Pr. 4. i. secundum L , auctum N, non est mmor F, denominato per multiplicem F, secundum L, auctum N ; & diuidem do utrumq, numerum nactionis per N, non est minor D, denominato per multiplicem D, secundum L,atrictum unitate , est autem I, multiplex D , secundum L;&I, auctus unitate est Ea ergo H , non est minor D, denomia nato per E et sed, quia I , ad I , est ut unitas ad I; vel ut M , unitas denominata per L, ) adunatatem ;& I, ad E, maiorem proportionem habet, quam Α, ad M; ergo ex aequo in perturbata D, ad Ε, vel D, denominatus per E, ad unitatem habet maiorem proportione, quam A; maior igitur est D ,dςnominatus per E, quam A ;&non est H , minor D, denominato per Ea ergo H , est maior A , pars toto, quod est absurdum: non igitur A, minor est M , neque maior et ergo A, cst aequalis M. Quod, dcc.
120쪽
Unitates denominata seolidis numeroru Arithmetice dipositorum ab unitate , quotlibet assumpta a prima ad succedester in infinitum siunt, ut productus ex plano excessus consimentium Arithmetire disspositorum, oe multitudinis assumptarum ducto in seipsum auctum eodem excessu, oe binario, ad compositum ex eodem excessu , σ
SIot R, quotlibet unitates denominatae solidis num rorum Arithmetice dispositorum ab unitate, cum excessu B, sumptae a prima in multitudine numeri A; se te sentes vero in infinitum sint dispositae ,& aggregataetas ι & planum AB, sit D; & D, auctus B, & binario sit C; & exductu C, in A, fiat L ; & ex L, in B, fiat E: constat E, esse productum ex D, in C: sit F, compositus ex B,& unitate. Dico R, ad S, esse, ut E, ad F. Duca tur F, in B, ut fiat It constat I, esse compositum ex quadrato , & numero B: ducatur etiam F, in E , ut fiat Getquoniam E, est productus L B; ergo G, est productus LB F ; est autem I, productus B F , ergo G, est productus. ' a M: