장음표시 사용
81쪽
GPD,cb aequilis angulo A, pro ut libet . hoc est siue angulus GFD, vergat ad partes D, siue ad partes C, pro vi mauis videbitur expedire. Ducatur item per B, c) rectae CD, parallela BE , quae secet FG , in GaRuritis per D , vel C, ducatur ipsi FG, da parallela DE, Oc-I . currens rectae BG , produetae in E; Eritque in angulo GFD, qui dato angulo rectilineo A, factus est aequalis, constittitima parallelogrammuni GFDE, quod dico esse aequale triangulo BD. Probatur. Ducatur enim recta BF. e 4r- rLlQuoniam vero parallelogrammum GFDE, e duplum est trianguli DAP, & triangulum BCD duplum 3λρνi. l est eiusdem trianguli DBF, cst quod sint super aequalibus basibus, & in eisdem parallelis; Erunt paralle- ς ε ον; logrammum G FDE, & triangulum BCD, cq aequa 'Ilia inter se. Cum igitur angulus GFD , tactus sit aequalis angulo A, constat propositum. Quo circa dato triangulo aequale parallelogrammum constituimus in dato angulo rectilineo. Quod erat faciem dum .
In omni parallelogranam complementa eo αquae circa diametrum sunt parallelogrammorum, inter se sunt aequalia.
TN parallelox rammo ABCD, sinr circa diametrun
parallelogiamma AEFG, GHFI, & coinplemen.
82쪽
blementa GFID, EBHF, ut in 36. definitione dixi.
mus. Dico comple. menta haec inter se V esse aqualia . Prohatur . Cum enim
triangula ABC, CDA, ca aqualia isnt; Itemque tri, lansula AEF,FGA; si naee ab illis de-
nebunt trapez ia EpCA, GFCD, aequalia: iunt autem&αὶ triangula FlC, FΗC, aequalia equare si detrahantur ex trapezijs, cd remanebunt aequalia complementa EFHB, GFID. In omni igitur parallel grammo complementa, &c. Quod ostendendum
PROPOS. M. PROBE I a. Ad datum rectam lineam,dato triangulo aequale Parali graminum applicare in dato 'angulo rectilini. DAta recta linea sit A, datum triangulum B, &datus angulus rectilineus C. Oportet irritur sonstituere parallelogrammum aequale triangulo B, angulum habens squalem angulo C,&vnum latus aequale rectae Α.Constituatur triangulo
83쪽
langulo C, aequalem, producaturqxie. sed H,ut FR. sit aequalis per Η, b) ducatur HI, para I- l tela ipsi fE, occurrens ipsi DE,productae in I. Exten-. ε datur deinde ex I, per F, diameter I F, occurrens re s 3 Φη .le ae DG, prodiitiae in K; & c per Κ, ducatur KL. lntallela ipsi GH, secans I Η, protractam in L , pro- ducatiarque EF, ad Μ. Daco parallelogrammuni lLMFH, esse id, Quod quaeritur. Habet enim latus. .ueFH, aequale datae rectae Α, & angulum ΗFM, angulo. s νη sidato C, aequalem, cum angulus HFM, cd aequalis sit angulo EFG, csunt enim ad verticem9 & angulus EFG, factus est aequalisangulo C; Denique paralla logrammum LM FH, aequale est triangulo. aequale sit complemento DEFG , quod sau a eret: - - l aequale triangulo R. Ad datam igitur rectam lineam, i dato triangulo.&ς. Quod er/t iaciendum . .
Ad datam rectam lineam, dato rectilineo aequale
parallesogramin im constitu e Fla' in dato angulo rectilineo , O Vamuis Euclides proponat hoe problema absolute non astringendo nos ad certam aliquam rectam lineam datam, ve in praecedenti propos. te cerat a tan quia in sequemtibus. freque te surpatur in data tecta linea, placuit, ipsem proponere una
linea. sit ergo re,a data EF, rectilineum ABC, rei datus angulus D.Oportet igitur ad datam rectam Eri
84쪽
costituere parallelogrammum aequale rectilineo ABC, quod habeat angulu, a ualem angulo clineum intri angi ita A, B,&C. Deinde tria insulo A, caa aequale parallelograminum constituatur CFGH, super rectam EF, habens angulum F, angulo D,aequalem . Item super rectam H G , parallelogrammum G HIX , aequale triangulo B , habens angultim G, aequalem angulo D. Item super rectam IK, parallelogrammum IKLM aequale triangulo C ,habens angulum Κ , aequalem angulo D : & sic deinceps procedatur si plura fuerint triangula in dato recti Iineo : factumque erit, quod ictbetur. Nam tria parallelo. gramma constructa, quae quidem aequalia sunt rζct i luneo dato Λw,conficiunt totum unum parallelogrammum , quod silc demonstiatur . Duo anguli EFG, H G Κ, c b a inter se sunt aequales, cum uterque sit aequalis angulo D. Addito igitur communi angulo F G Η , eriint duo anguli EFG, FGH, cc qui duobus rectis aequiu lent, a I ae Inale duobus angulis H G Κ, FGH ; ideoque hi anguli duobus etiam
rectis aequales erunt: e quare FG,GΚ, unam rectam lineam efficient. Eadem ratione ostendemus E H, HI, unani rectam lineam etficere, propterea quod suo anguli E G , III K , aequales inter se sunt, g cum sint aequales oppositis angulis aequalibus EFG, HGΚ, 0& duo anguli HlΚ, II G , duobus sunt rectis aequites&c. Cum igitur EI, FK, sint parallelae , imatemque . EF, IK, quod utraque parallela sit rectae hi G ; parallelogrammum erit EF XI. Eodem modo demonstrabitur parallelogrammum IX LM,adiunctu parallelisammo EF . I, constituere totum unum parallelogrammum EFIM . Ad datam ergo rectam lineam E F , dato rC-ctilineo A Is C , constituimus aequale parat IOgrain naum EF LM, habens angulum F aequalein angulo D, dato. Quod erat essiciendi ιm . - 34 .pri.
85쪽
PROPOS. 46. PROBL 14. Α data recta linea quadratum describere.
- .ic Moporteat quadratum I describere. Ex A, &B, fa educantur AD, BC, i perpendiculares ad AB, sintque ipsi AB, aequales,con nectanturque recta CD. Dico ABCD , esse quadra tum. Probatur. Cum enim anguli Α ,& B , sint recti, b erunt AD, BC, paralle lae r sunt autem 3t aequales, quod utraque sit aequalis ip
DC , parallellae sunt , &aequalest & ideo parallelo crammum eth ABCD, in quo cum AD , , Cy, aequales sint ipsi AB, omnes quatuor lineae aequat existunt: sunt autem δe omnes quatuor anguli recti, eum C, & D, cd) aequales sint oppositis rectis A,& 3. Quadratum igitur est ABCD, ex definitione , ac pro inde a data recta linea descriptum fuit quadratum .
In rectangulis triangulis, quadratum, quia glatere rectium angulum subtendente descii bitur, aequale est eis, quae a lateribus re etiam angulum continentibus describuntur, quadratis.
N triangulo ABC, angulus B AC, sit rectus fa do scribantuique stiper AB,AC, BC, quadrata ABFG, ACHI,
86쪽
ACHI, BCDE, Dico quadratum BCDE , descriptum super latus BC,quod
angulo recto oppo nitae , aequale esse duobus quadratis
ABFG, ACHI, quae super alia duo Iat ra sunt descripta, siue haec duo latera aedualia sine , siue inςqitalia.Probatur. lDucatur enim recta l
secans BC , in I, &itingatur rectae AD,
denique modo IA, &AB, una linea recta erunt. Rursus quia anguli ABF, CBE, sint aequales, cum snt re-lcii, si addatur communis angulus ABC, da fiet totussu angulus CBF, toti angulo ABE, aequalis; similiterque totus angulus BCH, toti a neu lo ACD. Quoniam igitur duo latera ΑΒ , BE , trianguli ΑΒΕ, aequalia sunt duobus lateribus D, BC, trianguli FBC, utrunqs virique , Ut constat ex desinitione quadrati et sunt autem, re anguli ABE, FB C, histe lateribus contenti aequa les, ut ostendimus, se erunt triangula ME , FBC, aequalia . Est autem quadratum , seu parallelogram mitin Atti FG, fa duplum trianguli FBC, cum sint in ter parallelas BF, CG, & seper eandem basin BF: Et p rallelogrammum BET L , duplum trianguli ME, eo quod sint inter parallela, BE, AIc, & super eandem b sin BE ; Quare aequalia erunt qliadratuin ABFG, & g parallelo raminum BEXL . Eadem ratione ostemnetur , aequa Ita esse quadratum ACIII, de parallelogrammuna CDXL; ha sunt enim rursus triangula o D, ECB , aequalia ideoque eorum dupla , Parallo E a Io.
87쪽
PROPOS. 46. PROBL. 14.l Α data recta linea quadratum describere.
SIt data recta AB, super quam oporteat quadratum describere. Ex Α, & B, fa) educantur AD, BC, i perpendiculares ad AB, sintque ipsi ΑΗ, aequales,connectanturque recta CD. Dico ABCD , esse quadratum. Probatur. Cum enim anguli Α, & B , sint recti, b erunt AD, BC, parallelae: sunt autem 3e aequales, quod utraque sit aequalis ip
DC, parallellae sunt , &aequalest & ideo parallel grammim es ABCD, in quo cum AD , DC, CB, aequales sint ipsi AB, omnes quatuor lineae aequales existant: sunt autem & omnes quatuor anguli recti, eum C, & D, cd aequalm sint oppositis rectis A,& B. Quadratum igitur est ABCD, ex definitione , ac proinde a data recta linea descriptum fuit quadratum . od iaciendum erat .
In rectangulis triangulis, quadratum, quod a latere rectum angulum submadente describitur, aequale est eis, quae a lateribus rectum angulum continentibus describuntur , quadratis.l F N triangulo ABC, angulus B AC, sit rectus faJ dm I scribanturque super AB,AC, BC, quadrata ABFG,l ACHI,
88쪽
ACHI, BCDE, Dico quadratum BCDE, descriptum
seper latus BC,quod angulo recto oppo nitar , aequale esse duobus quadratis
super alia duo Iat ra sunt descripta, siue hae duo latera ae4ualia sint , fiue
inς qual ia.Probatur. Ducatur enim recta
.secadsi . in I, &iungatur rectar AD,
AE, CF, ΒΗ. Et quia duo anguli BAC , BAS , sunt
tecti, O) erunt rectae G A, AC, una linea recta 3 eodemque modo ΙΑ, & ΑΒ, una linea recta erunt. Rur-ssus quia anguli ABF, CBE , sint aequales, cum sint re- leti, si addatur commiinis angulus ABC, dὸ fiet totus angulus CBF, toti angulo ABE, aequalis; similiterque totus anguIus BCH, toti amulo ACD. Quoniam g tur duo latera AR , BE , trianguli ABE , aequalia sunt duobus lateribus D, BC, trianguli FBC , utrunqs virique , et constat ex definitione quadratie sunt autem, di anguli ABE,FBC, hisce lateribus contenti aequa les, ut ostendimus , 6 erunt triangula ME , FBC, aequalia. Est autem quadratum , seu parallelostram Mum ABFG, fa duplum trianguli FBC, cum sint in ter parallelas BF, CG, & super eandem BF: Et parallelogrammum BExL, duplum trianguli ME, eo quod sint inter parallelas BE, ΑΚ, &super eandem basin BE A Quare aequalia erunt ouseratiim ABFG, α g parallelogrammum BEΚL . Eadem ratione ostem detur , aequalia esse quadratum ACIII, & parallelo gratnmum CDXL; h a sunt enim rursis triangula AcD, H , aequalia ideoque eorum dupla , parallo
89쪽
loorammum videlicet CDΚI, & quadratam ACHI.' aequalia erunt. Quamobre totum quadratum BCDE, quod componitur ex duobus parallelogrammis RE KL, CDΚΙ , aeqitale est duobus quadratis ABFG , ACHI. In recta noulis eroo triangulis dec. God elatu inon- strandum.
signes in Geometria bonum erit non solum ipsura bene intelligere , verum etiam diligenter aduertere ea, quae a P. Clauio circa hoc Theorema in su is comenta4' . . ' rijs adiunguntur squia breilitatis gratia omittuntur.
Si quadratum, quod ab uno latere trianguli describitur, aequale sit eis, quae a reliquis trianguli lateribus describuntur quadratis sangulus comprehensus sub reliquis duobus trianguli lateribus, rectus est .
DEtur triangulum ABC, sitque quadratum lateris AC, aequale Quadratis reliquorum laterum BA, BC. Dico angulum ABC, esse rectum . Probatur. Ducatur namque BD, c a J perpendicularis ad B A . Maequalis tectae BC , connectaturque recta O Quoniam igitur in triangula ABD , angulus ABD , rectus eit; b erat quadratum rectae
AD a quale quadratis rectam rum BA,BD 2Est autem quadratum rectae BD, quadrato. rectae BC . πquale, ob line rum aeqtialitatem; quare qua dratum rectae AD, quadratis rectatum B Α,BC qua te er ita Cum
90쪽
Cum eroo quadratum rectae AC, eisdem quadratis rectarum BA, BC , aeqitale ponatur ue sc) erunt uuadrata rectarum AD. AC , liner se aequalia , ac propterea &rectat ipsae AD, AC, aequales . Quoniam igitur lateis ra BA, BD i trianguli ABD, aequalia sunt lateribus BA , BC , trianet illi ABC; & basis AD , ostensa est aequalia basi AC; d) eriint anguli ABD, ABC,aequae les: Est autem angestus ΑBD, rectus ex constructio ne. Igitur & angulus ΑΒ C, rectus erit. Si igitur quadratum , quod ab uno laterum trianguli describ, tur M. Quod demonit ranaum erat.
Nouem modis diro triangula inter se coin-
parauit Euclides in hoc libro . Primum, quando duo latera duobus lateribus aequalia sunt, utrumque utrique, continentque augulum angulo ualem, μὰ colligit aequalitatem basium,reliquorumq; angulorum,atque adeo tot rum triangulorum. Secundo, quando duo latera duobus lateribus aequalia sint, utrumque utrique , basi'luelb basi est aequalis, b infriaequalitatem angulorum illis lateribus comprehensbrum . Vbi alii etiam concludunt cequalitatein reliquorum an gulorum totaque triangula probant aequalia. Tertio, cum duo latera duobus lateribus stima qualia utrumque quo, comprehendunt autem angulos inaequales , sico 'ostendit basia