Bernardi Nieuwentiit Analysis infinitorum seu Curvilineorum proprietates ex polygonorum natura deductæ

171쪽

'ap. II. Analysis In nitorum i 3

Ac litterae, quantitatum arpositarum potestatem designent item i, - rum haec binomii, lineola superinducta noti dignitatem generalem significat reli-g , siant lingulae ad locum uenis in spatio mensit rabilem riualia sunt rectangu- m, triangulum , parabcloide quaecunque, it hyperbolis ornata ; quae hoc in exemplo

utum considerabimus. Dico, si fiat ora curvilineum, cujus applic γ, quadraturam admittere, consequentiae ratio g. I. cum annexis corollariis manifes aest. Ex Gr factis mi item sina nihilo aequa-us, omnibus'. ad dignitatem p evectis, ac idem in analogismum resolutis, fietu': st Unde posito rursum d I, enae haecce , cum ' ipposita sit unius dimeniis , intea potestatum exponentes aequatio seu t- p et v denique a simplicissimis incipiamus, assumtis b ,

- v, et rar, Oritu proportio nova lae,facto, i in sequentem abibit quae , signo negatiV retento, est curViu a Clarci lusis mensurati. Sic pro varia tum quantitatum , tum eXpo- .ntium assumtione variae continuo enascuntur

172쪽

curvarum proprietates , quae omnes sunt pa

Sch l. Quanta vero hinc theorematum, ac mensurabilium curvi meorum copia enascatur, nulli non manitellum esse potest; qui ex aliis tum potestatum, tum reliquarum quantitatum, hypothesibus alias in infinitum oriri curvas; tum pro singulis, in aequatione generali, fractionum numeratoribus, quotlibet terminorum, simpliciter cum determinatis continentium, aggregata tuto assumi posse perspexerit. modo haec sequentia observentur ne plures uno terminos ipsi fractionum denominatores contIneant I. ne potestas per desgnata, nisi per numerum amrmati-Vum aut integrum explicetur caeteris db s, c. supponentis beneplacito relictis, Quod, si secus haec sese habeant, ac deveniatur igitur ad

hanc aut similem aequationem 3 aut AM nulla adhuc hic regula tradita est nisi forte inter subno

male reperta ex s. 8. mensuram invenirent qua omnium re valorem absolutum indagare possimus nisi adhibita prius reductione, quam per divisiones Mercator, perexeractione inclytus Nemon ad optatam metana perduxerunt. utraque haec, una divisionis tum extractionis operatio potestatum in inomiis designatione perficitur uti mox subnectendo theoremate patebit.

2I. Est autem theorema hujusmodi sit binomium quodcunque et, sevchendum ad potestatem quamcunque designatam ' erita possito termino huius potestatis in ordine primi In cuj iis genitura. haec , quae sequitur, generalis pro terminorum reliquorum genituris con

173쪽

sit inveniendis regula. Assumto quolibet te exponens ipsius et multiplicetur per genia tram esus dem termini ac productum divid per numerum loci, quem assumtus terminus. Ordine potestatis obtinet habebitur geni- a termini sequentis. Ex Gr et, sit attollendum ad potestatcnil adratam erit I . terminus Iu tum 4 per I ltiplicetur , ac productum divisum pero. sim terminus sit ordine primus P erit sequentis in geniturari: adeoque In termi- II hic denuo multiplicato 3 per rei pro-ulum a quod divisum per a cum terminusi ordine secundus dabit sequentis seu tertii ge-uiram 6, qui idcirco fiet α 6 Vα, α, & sic Hendo obtinebitur levi opera binomii cujus-xique quaelibet potestas. Quare si . feletida sit ad dignitatem p erit terminorum hanc nponentium series ea, quae sequitur. Et

174쪽

Et sic pergendo, donec ingeniturarum pro- gressione numerus ipsi, ex supposito aequalis ex ipso di subducendus veniat unde isthaec genitura, caeteraeq. eam subsequentes nihil aequa les evadent, adeoq reliqui termini evane

Potest si numeri fracti modum, ut . proponi, ad extra tiones radicum perficiendas; tum: instar numeri negativi p,quod divisioni bus inseruit: hoc pacto nova in his casibus geni turarum terminorum tabula efformari r. Hinc primo hyperbolici spatii asymtorii te interjecti, Fig. XXX. mensura per infinitam se

riem explicatur facto enim . D A , ac BO erit. 8 beet λ; quaeruntur

jam cposita e asymtoti infinitesima homnia ν, seu spatium, BD 'O Uversus Vinterminabile Quare Iuxta Cl Meuasorem dividendum venit peris , seu quod ex potestatum deno latione cognitum est, is est multiplicandum iii

, , ' ; cum mutatio signi exponentis ex assim malivo in negativum, quantitatem praepositata vertat ex divisore in multiplicatorem contrconsulantur lemmata O, SI, seqq. Ut ergo evehatur ad potestatem -icrit' et 1, terminorum geniturae successiv

175쪽

fmtum Hinc, quantitatibus, quarum ex-nentes negativi sunt, ad divisores reductis, gulis' terminis per risultiplicatis emerget.

Adeoque omnia Serici terminorum,quom singuli in e ducti sunt ac per 'et omnia i

'x'-x dos continuando seriem infinitum. g. 3. Tumin eodem sontestaturit infinita ries, in Figura XXXII, quamlibet quadrantis irculi OF portionem determinans. Sit enimidius AO unde I

rmr' x x dignitatem l evecta, hinc de- ribendo ex eodem g a I. Potestatem binomii xx juxta exponentem , hoc est facto rr, c j et xx erunt,manentibus genituris, illibet exponentes , qui ipsi et, s adhaerent,: et multiplicandi, cum sperquantitates,lae numerum binarium pro exponenti habent

176쪽

i Anes sis In sinitorum. Ap.IL

designentur adeoque progressio potestatis

- c. unde posito p Pac ipsis Q&c per numeros explicatis siet, mr xx Ix - x x&c hoc est secundum sua omniafit

xima a uir, dabitur totius quadrantis circuli per infinitam hanc seriem dimensio.

Schol. Quomodo vero , divisione ac extractione hoc modo instituta, semper series inveniri possit, quae omnium re, seu curvilinei dati cujuscunque valorem absolutum comprehenda , modo ipsit uso valor per quantitates determinatas ac interceptam, efferri possit, Jlicet cu)us vis generis symmetriis fractionibusque implicitus erudi-sima sua dissertatione prosecutus est l. D. Gregorius: quo lectorem curiosum remittimus. Neque aliud quid ad absolvendam per infinitas series omnium curvilineorum quadraturam rellare videtur , nisi ut ipsa applicata modo statim recensito possit determinari. Decreveramque huc spectantia nonnulla hisce annectere, nisi, felici omines, cum haec praelo submittenda essent, me honore praesentiae sua dignatus insignis Mathematicus Mal reel anglico adiomate celeberrimi Nemoni cogitata circa serierum proprietates in publicum emisia esse as. severasset quare cum nihil nisi omnibus numeris absolutum e tanti viri lucubrationiblis prodeat, meis edendis, ii de demonstrationi g. 2 i. addenda supersedi nulliis dubitans, quin ibi loci proflande tractata reperiantur, ad alia me consero.

177쪽

Hactenus quidem ea praecipue curvilineorum symtoma-a, quae ex ordinaria infinitefirmarum triga,e, , , seuriangulo D H enasci videbantur, discussimus, uti totolliujus capitis decursu tum s. 7, 3, c. videre est quotliam vero non hae tantum in singulis curvis, sedi inqui-,uslibet praeterea lineis subtangentibus, tangentibus, no malibus ac subnormalibus caeterisque innumeris suae consi-lerari possunt infinitesimae, quale specimen Cap. I. s. 78, 9,ic exhibuimus nova hic sese pandit, curvilinea ansmutandi mensurandique methodus, ac theorematumion exigua multitudo.

lubnormalis R. l, curva Ai: c, crescet a per

laespectivam infinitessimam P m, per VH a c

QP: e. unde να B Eta sq, ἡ Α, P i. Sic d TC ac in i , ipsisSE V respective normales sunt infinitesimae crescit per infinitesimam 'o , sic in caeteris. Quae a runc succrescant curvilineorum proprietates uno aut altero exemplo declarabo. et s. Si P a curva subtangentialis hoc est cujus applicatam et curvae ADE subtangenti res-

178쪽

pectivae TQ seu i perpetim adaequatiar erit B Pα t e in , adeoque W9α i; facta subtangentimo: b, es h t: a e uia de ta et he hi, sed tum re, ergo rem he hi, quare facti Q 3αT8α Ilo, donec cnata sint curvilinea AZ AFB erit hoc di omnia hi, illud omnia e .utriusque summa aequalis curvilineo exposito EP seu omnibus re, unde hoc theorema Si in qualibet curva AED E ad applicatam EI Ordinetur curvilineum subtangentiale P a II, hujusque inquiratur subtangens erit expositum curvilineum AE semper aequale duorum curvilineorum summae AZPoc A FG; quorum haec est proprietas, ut applicatarum α3 τ' singulae, utrique subtangentis respectivae extremitati insistentes , inventae curvae subtaim gentialis subtangenti Ire jugiter adsequentur. N. B. quomodo jam,curvae ADE proprietate cognita, caeterarum relationes inter applicatas interceptasque constitutae inveniri possint, cublibet mediocriter in analysi versato plusquam cognitum est. 26. Sit, Fig. XLII, idem curvilineum APE,

item duo alia AG PM MFν, quorum alte.

rum ad interceptam, Aq, alterum ad subtan gentis abscissam AT, at x ordinatum

est sintque in utroque respectivae applicatae

179쪽

semper aequales tandem subtangens rimi applicetur in T, I , ad secundi inter-leptam AT; item subtangens secundi O adrimi interceptam Q iras ue, donec exorta sintuo noVa curvilinea A, Ia F, B dc A P. Dicolaec ultima sibi mutuo perpetim aequari. Vocatis enim TO:n; m , si I , G, I 3, F, quae est infinitesima, qua bin utroq

:xplosis ex aequationum lege infinitesimis, cDhti veritas elucescet. 28. Sit idem curvilineum A 'E, item aliud id undem axem positum, AG cujus haec it proprietas, ut m jugiter adaequetur prioris lubnormali mi: l hujus indagetur subtangens

180쪽

aequetur inventae subtangenti quamobrem quadrilineum, o, 13, omniam es demonstratio patet,curvarumque omnium relationes ex curva AP proprietate cognita manifestae sunt.

et . Quod hic circa infinitesimas T, i, dc-ο, praestitum est, eodem modo circa caetera, verbi gr u seu D E a C obtine: factisque 6, λω7,9,αh; erit spatium MN B , omnia h/ I acies omnia hu; sed de his in specie alibi

latius a cum punctum N, determinatum per intersectionem curvae A in dotangentis G, ipsam tangentem dirimat in duas partes quarum prior N aequatur curvae AD E et e , unde NBns 4;suffecerit hic modum indicasse, quo innumeri generis curvilinea transmutantur.3 o. Quomodo vero hinc multa curvilineorum spatia adnotam redigantur mensuram, ex methodo g. II adhibita innotescet facta enim qualibet hypothesi hemti, erit facta πια h. Hur, i, spatium Azy omnia he, dc BF,aa,A: Omnia mi sumtaque ad curvilineum quadrabile erit: ipsa ad curvilineum notum. Qtiopacto autem ex data binveniatur et, s quentia manifestant. Cum hic infinitesimae eo sint adhibitae, notum est eas constituere subtangentis Q incrementum , quare des ibaturalia curva G, in qua semper πια TQ

erit