장음표시 사용
21쪽
κ, ELAMEUrA ARITHMETICAE.nas unitates, 4-ndo ex ir, residuin habetisi. Tum vero notam superiorem p xime sequentem unitate mulctabis hane enim ea mutuam accepisti, ut denis mittatibus praecedentem augeres habebis ergo residunt Is ideoque residuum totum 1963a. 'emonstratio satis per so constat cum tinitates ab unitatibus auferantur, decades ad adibus e mam, quod in hoc exemplo numerus ῆ decem augeatur unitatibus, &numerus sequens a unitate mulaetur , ratio patet. Haec nempe unitas in numero cadi unitatum aequali est , eam scilicet, ruibus oesti e idem numerus 3 quare etiam- unitatem dumtaxat ille amittat , huic tamen decem accedunt . Simili modo si plures sequerentur cyphrae, e quibus proinde
nulla fieri potest subtractio ex numero pr
xime antecedenti mutua accipienda est umitas, quae in spham sequentem translata decem unitatibus sequivalet. Rutius ex illa d cade unitas in secundam cyphram transi. mir, atque ita deinceps. Quar patet , cyphram ultimam decem unxtatibus aes alam
esse, caeteras vero antecedentes aequari nou
nario. Itaque evidens est huius operationis ratio, hec vulgarium axiomatur ope facilius intelligitur. Ex additionis, , subtraestionis natura manifestum est, duas illas operationes sibi mutuam probationem conferre, Wisse invicem eonfirmare Etenim cum residuum in iubis, ctione sit ipsa numerorum differentia ; patet, minorem ma merum reflchio, sive differentiae
additum maior numero aequalem esse. Item se addido si plurium nuxnerorum ΗΚ '
22쪽
auferatur numerum alterum remanere, ne
cessum est. Si igitur explorare Velis , utrurn adduio rite minista sit, subtractione uten dum est contra autem ad explorandam tu tra ne inditio adhibenda.
imia praecedenti. toties sumitur numeriis multiplicandus, quoties unita continetur innumero, per ouem debet multiplicari Singulae notae in lingulas facile ducunt ur, si, meri breviorestant Sic nenio non videt, Ii 4 ductum, sive 4 ter sumptum I efficere. At si numeros pluribus notis constanses inustiplicare oporteat, horum alterutrum i fra alterum scribe, ita ut unitates unitatibus subiiciantur. Deinde notas omne superioris numeri per tingula inferioris multiplica, initio a postremis facto Decaulas, quae inter multiplicandum colliguntur, epone adjiciendas producto ex eadem numen ins j ris pota in mxime sequentem supratoris FaEta, quae einergunt ex singulis notis ins rioris in omnes superioris, infra lineolam Norsim notentur cita ut uniuscuhiique intra te iub)iciantur numero, per quem multjNHς tio per situr. Si horum omnrtim lumina
23쪽
1a ExtMENTA ARITHMETIC C. Multiplicandus proponatur nume
scribe igitur facto ex in et, quod est 6, ad)iciens I scribe 7 rursus dicia in M-ciunt o scribe o, ita ut multiplicatori subjaceat, facto sequent 4 in , quodiet , adiiciens et habebis 4; scri de igitur 4: seponenso, dic a in ceniciunt 8, adjecto 1 scribe 9 Demum ducta linea collige in unam summam hos numeros ita dispositos eritque Ioio3 productum quaesitum.
Demonstratio evidens est ex ipsa notarum arithmeticarum natura, si nempe in mem riam revocetur, numerorum charactere 4
euplo ita valere in locis anterioribus, quam in posterioribus illic enim manifestum iret, toties sum in producto numerum multiplicandum , quoties unitas continetur in hum ro, per quem fit multiplicatio
Numeras iniseras dimidene. Uarta Arithmeticae operatio vocatur ID Rusio. Cum numerus datu por, alium datum dividendus propon, lare, eo reducitur quaestio, ut inveniatur umiles in numero Uidendo contineatur divusor, totiesque auferatur atque totidem unia rates scribantur in numero, qui dcirco u
yis dicitur. Haec ergo genuina est divisonis
24쪽
Ε ALGEBRAE. 3 notio nempe dividendus est ad divisorem, ud quotus ei ad unitatem vel dividendus est ad uotum, ut divitor et ad unitatem.ExempL
ro dividendo uiris brem praefige lineola interjecti tum operationem instituens in primis notis dividendi, quae exhibeant quantitatem diviseri aequalem, velimxime majorem; cic, quoties 4ῖεontinentur in IOI, quotus erit a Scribe er-; a lineola pariter interje-3 , ex altera parte dividendi , Coo tactum ex et in vera aufer ex IOI residuo a notam appone , quae in dividendo proxime sequitur quantitatem ain divisam os. Dic iterum, quoties 4 continentur Io, quotus est , quem scribe, ut ante in factum ex Din M, seu ia aufere tueo. Residuo a adnecte sequentem notam dividendi 5 as dic iter'm, quoties q3 continentur in iv, quotus erit 3 , quem scribe cum aliis quot notis, aufer ex alues actum e 3 in D, sive et lue. Cum nihil ex ea divisione supersit pytet, numerum 33 illum accurate esse, qui oritur ex divisi e IOIO per 3. I ota operationis rati facile patet, si Mnimadvertamus, in hujusmodi operati me rem perinde se habere, ac si quaereretur , quota pars quantitatis alicujus singulis hominibus obveniret, si eam ex aequo tot lao nibus distribui oporterer, quot unitates con-t: ne divisor. Nam in tota operationis serie inqui Ius , quot nixates, decades is sa ulis
25쪽
14 ELε- rA ARITHMEma. gulis dari possint iisque datis, quae dari poΩ sunt, quot adhuc distribuendae supersint. Facella autem intelligitur post quamlibet sabu
ctionem peractam id , quod relinquitur, a tequam ulteriorem dividendi notam adjicias, divisore minorem esse oporte te; an sici siduum mitiale foret, vel inatus, divisor inquantitate iam divisae pluries contineretur ,
cum indicet munerus in quotum relatus.
Omnis dissicultas in eo sita est , quod inmeris hingioribus statim non pateat, quoties diuilbr in dividendi notis contineatur istentamine utendum est divisor nempe per numeros ab odis multiplicandus est, atrue numeri ex hac multiplicatione producti ebent eo arari cum dividendi notis in explaramium est , quinam ex illis numeris
sit proxime minor pones in quoto num e rum, in quem ductus diviser hunc efficit numerum, ipsum mero numerum ex divide di notis 1 auces . Caeterum qui in Arithmetica satis fuerit exercitatus, facile conjiciet ex primu utriusque numeri notis , divi dendi scilicet, divisoris, ipsum numerum pro quot eligendum. Probe autem observari debet in quoto no-- rarum valor , ut in aliis Arithmeticae op
rationibus am antea nionuimus; at in pra
senti operatione , quae est omnium difficillimi rem brevi exempla illustrabimus . Di .
videndus proponatur numerus Io per ristatim patet, in quoto contineri centenarios,
d adai di unitates Dividatur iam 4 per
a quotus erit et, qui per a multiplicatus producit , quo subtracto ex 4 fit o. at nemo ad notam tequentem , hoc est dia Idi
26쪽
x o E. IS vidi debet io per a Statim autem videor in io decies non contineri quMe scributiv o in quoto tum ut indicetur, quorum nullam decadem continere, tum ut primae quot nota et suus servetur centenarii valor. Tandem progrediendum ad 6, qui numero 'areedentici apponstur, divisoque Iopera. , babetur quotus , ideoque quotus totus erizo8. in generatim nitelligitur , qua de
res cyphras aliquando scribi oporteat. Hac divisione peracta, nulla relinquitur in dividendo notari s autent aliquid residui ex postrema iubtractione supersit, quot adjicien 'da est fractio rata si in exemplo praecedenti haberetur numerus i per a dividen dui, ita ut numerum I ex aequo maii-nibus a partiri debeas , snguli acciperent nummos οὐ dimidiam partem nummi,
Ex hactenus explicatis eneratura etiam
pater, satis esse primam dividendi notam per primam di visoris notam dividi s in diavisore dividendo idem sit notarum numerus. Verum si dividendus plures contineat notas, persaepe necesse est duas primas dividendi notas primae divis is nota sui33, ct idque fieri debere ridens est, quoties datus notarum nummus in divisere majorem habet alorem , quam habeat aequalia notarum numerus in dividendo verum si duae
. adhibeantur dividendi totae, per primam dimviseris notam diviso temper fieri potest. Quare generatim ostenditus, sumptis in dia videndo is notis .quot sunt in divisore, vel etiam quod aliquand neeesse est, aeto in ηλ piser adj,βη , notarun pudVrum
27쪽
4 Ei,M,NTA ARITHMETICAE. in quot unitate excedere residuum notarum numerum in dividendo. Inde autem lacile colligitur, nullum in quoto numerum novehario maiorem esse posse frenum divitor decies aequalis esse non potest assumptae dividendi parti. Nam si divitor decies sumatur, nota una augetur at pars divadendi l . sumpta habet notarum numerum notarum diviseris numero aequalem , vel unitate maiorem. In primo calu evidens est, divadendi partem assumptam minorem esse divisore
decies sumpto, cum notarum numerum a
beat unitate minorem in secundo casu pars dividendi assumpta, si nota una verius dextram minuatur, minor fit ivisore. Quare dividendus hac nota iterum uetus minor est divisore decies sumpto. Diuisionis rite peractae argumentur, habe bis, ii diviserem in quotum ducas, redeatque divisus numerus ; nam si redeat, manis etiam est, alictabi eliorem esse admisia sum quod quidem patet ex ipsa divisionis naturas cum dividendus toties contineat diavisorem, quoties unitas continetur in qu
IO quare cum quotus Xprimat, quoties diviser contineatur in dividendo, si divisor per quotum multiplicetur, dividendum ipsum restitui necesse est. Caeterum patet, si iubserem accuratum habere non licuit, facto ex divisere in quotum addendum esse residuum ex ultima diuisionis subtractione, ut
redeat divisa quantitas. Contraria ratione
evidis est, multiplicationis rite peracta ha- heri argum entum, si produini di,idaturre maltiplicandum , aut per numerum multi lisiamremis in imo catu quotiis sat muti
tisii Mos , in eas autem altero su est
28쪽
ΕT ALGEBRAE. x multiplicandus. Cum enim diyisio sit mul tiplicationi contraria , per divisionem resolvitur, quod in multiplicatione componitur, contra Caeterum in multiplicatione, divisione compendia plurima usus docebit; hinc monere fatis erit, multiplicationis per plures cyphra faciendae compendium ab ri, si in produm scribantur tot cyphrae, quot occurrunt in multiplicando,, multiplicatore famul multiplicatio autem aliarum notarii fiat secundum regulas praedictas. Item in divisione, si divisor, dividendus cyphras contineant, in dividendo delendae sunt tot crithrae, quot occurrunt in divis re, quae etiam in ipso divisore delerita bent in reliqua operatio peragenda, ut antea. Notandum autem eii, compendium illud valere dumtaxat, si cyphrae fuerint ut timae tum divisoris, tum dividendi notae; quod quidem manifestum est ex cyphrarum
Scholium. In praesenti capite sermonem habuimus dumtaxat de numeris homogeneis, sive ejusdem speciei a pari facilitate innumeris eterogeneis, seu diversae speciei
absolvuntur operationes arithmeticae. Ant quam vero operationes illas explicemus, definiendum est, quid per numerum concre-rum , quid per Hiracitum intelligant Arithmetiei. Numerus concretus dicitur, Guo res
aliqua determinata designatur, ita si dicas tres homines, tres horas, tres pedes c. At
si numerum 3 generatim enuntiaveris, nec rem aliquam designaveris, numerus vocatur
abstractus Jam in numeris dirersae speciei additio, subtractio facile intelligunti et AProbe tenenda est jerta numeroruna spe cies:
29쪽
18 ELEMENYA ARITHMETIC R. eiis ita si addi debeant lineae , milices, pedes, ex pedae sciendum est, lineas a Dulicem Inum aequare, pollices a pedem num, . δ exapedam ex pedibus 6 conitare. Ubi autem in linearum additione summa fiditur, quae I excedit tot unitates intei pollices referri debent , quot sunt numeri
duodenarii ; quod vero reliquum est, seu quod duodenario minus est, in linearumco lamna scribi debet 3 ita deinceps de alia qualibet numerorum ecie. Similiter insu tractione cita patet operationis ratio, si qua titas subtrahenda E. G linearum numerus, iusto major sit iam ex quantitate praecedenti, pollicum scilicet, mutuo accipienda est unitas, quae duodenario numero sequi valet, atque ita reliqua operatio peragenda Illud imicum est discrimen inter op ationes arithmetica in laturieris abstractis , atque he
terogeneIs peragendas, quod cilicet in nu merorum ab tractorum additione, vel sub . tractione u sitas mutuo accepta Gadi sequi- valeat; at in numeris eterogeneis unitas. quae mutuo accipitur, eum retinet alorem, qui specie suae respondeat. Haec de additi subtraestione .
Quod multiplicationem spectat, improprre omnino a quibusdam Aritlimeticis proponi
videtur concretoruni numerortu multiplica
tiones. Ita ineptum est: quod faciunt ali sui , quaerere productum ex nummis 3 iu iliis , assibus Din nummos 3, ullos 3 as 3 Etenim in eo sita est multiplicatio .
ut data quaedam quantitas datis vicibus sumatur, ac proinde multiplicator debet estis nin ius abstractus. Qua ratione autem quantitates diversa specie per numerum abstractum
30쪽
ctum multiplicentili , mi paret , si
maius fit numero duodenario 1 interpollice rejici debent tot unitates . quot uni numeri duodenarii ; quoiu meqIeliquum est, inter lineas scribendum. Porro quamvis in multiplicatione numerus abs ractus esse debeat multiplicator res tamen aliter se habet
tu numerus concretus , ivisor autem vel
coneretus, vel abstractus si potest. Itala vidi possunt nivnro 6 per nummos λ, hoc est , investigari potest, quoties a contineatur in quotus cerit numerus abstractus Potest etiam dividi numerus concretus per Mnim in abstractum iti trummos o dividere possimus per 3 , hoc est investigare possumus tertiam parteiri a nummi, quo tus erit numerus concretus , nempe nurnu is a Iani ut perspicua habeatur divisionisis tio, ad ipsam definitionem redeamus. Indi, visione scilicet dividendus est ad divisorent, ut quotus est ad unitatem , dividendus est ad quotum, ut divitor ad unitatem, Pr autem obis vari deben x ij x duae propor lionei licet ima , adesinue videamur
Dividendus tanquam numerus concretuSsemper habetur, concretus autem, vel abstractus
esse potest numerus divisor. In o casu quotus erit numerus ainractus, di locum habet prima proportio cin casu altero , ubi nempe civis r est numesis, abii aus, quotus est nise -- -- , pros Orti . altera quidem omnia exemplo facile lices . intelligere. Si νὴ mi 6, M odividantur per nummos um itident concretum AEu0tus erit nivmerus abstractus 3: