장음표시 사용
421쪽
Sed sit si fieri potest AE minor quam circii inserentia
BC. sumatur recta Eo maior qui leni quam EA. minor himedis ero quam arcus BC. a puncto B dii catur BQ aequi distans ipsi AE. Rursus quia in circulo BC sumpta est BP. diametro minor,tangatque B circulum in B.& minor sit ratio BA. ad EO. quam ΒΚ. ad ΚA est enim ut BA. ad AF. ita BK. ad ΚΑ.&BA. ad AE minorem quantitatem maior est ratio,quam B A. ad Eo quae maior posita est
potest igitur a centro A. duci quaepiam recta AV ad B irangentem circuli, ita ut R. inter circulum BC.&ductam , .Atili FBE. intercepta ad lineam BV . partem contingentis,inter ςdi dui' am contactum,habeat candem rarioncm quam BA. ad EO. Secet autem eadem ducta Quadi a tricem in T. tan gentem Quadratricis in . circulum in R. tangentem
circuli in V. Quoniam igitur est ut S R. ad BV. ita A. ad EO. erit permutando vi R. ad AB. id est ad A R. ita BV. ad EO. sed B V. ad Eo maior est proportio quam arcus BR ad arcum BC. nam tangens BV est maior arcu BR.&EO minor arcu BC. ex hypothesi igitur maior critratio S R. ad A R. quam BR ad BC. sed est, ex descriptio hxuus, ne Quadratricis ut BR. ad BC. ita BY ducta TY. perupcndiculari ad AB. ex T. puncto Quadratricis ad BA. Igitur maior est ratio S R. ad A R. quam BY ad AB. sed BY. ad AB. maior est ratio quam XY. ad XA ducto sinu RX. arcus B R. id est quam RT. ad RA. igitur maior est ratio R. ad RA. quam RT ad RA. maior ergo est S R. quam RI .mus dest absurdum cum sit minor. Nam S.est in linea tangcnte,quae vicinior peripheria existit, qu a Quadrarricis punctum T. Cum igitur AE neque maior, neque minor sit quam arc BC. aequalis crit. Qu9d erat
422쪽
o rui ac recti proportio promota. THEOREM A XXIII. PROPOS. XXIV.
PRopositum sit idem aliter demonstrare.
Sit Quadrans ABC cuius ceutrum A. basis AC. latus erectum B in , G. quo Quadratrixeu secet in B puncto in quo eandem Quadratricem tangat recta FBE. Dico quod recta FBE secans AE. basim Quadratricis in E abscindit rectam AE aequalem arcui Quadrantis C. Inscribatur eidem Quadranti spiralis ABH. quae, ut patet ex descri-i8 hutiis pilone,transibit per B in quo puncto Quadratri spiralem contingit. Cum igitur, ex hypothesi recta FBE. Qua dratricem contingat in B. tota, puncto B. Xcepto, cadet extra Quadratricem; quia Quadratri spiralem an itin B.tota extra eam cadit,ac solo puncto B concurrit: tur etiam recta FE tota extra spiralem cadit, nec nisi puncto B.cum ea congruit:tangit igitur FE spiralem in B. Ma-
, ', pis positione spiralium Alchim
dis, quod recta AE.arcui BC. aequalis existit. Quod erat.
Eiusdem propositionis alia demonstrinio.
Sit rursus Quadrans ABC cuius centi uin A. basiis Ac latus erectum AB. in quo uti iratrix BG. cum ccet in B puncto, in quo eandem Quadrati iccin anaat Dico
quod recta FBE secans AE. basim Quadratricis prodii
423쪽
JSD . bl enim AE non sit aqualis arcui Quadrantis sit eadem aequalis AG.4 ducatur GBM. item spirales ABH. patet eX2I. huius quod X BG. tangit Quadratricem in B. seri&ponatur FBE. tangere eandem Quadratricem in B. uar gitur BG. FBE. Quadratricem tangunt,igitur vir que exti a Quadratricem cadit, ac in solo puncto B conia
nit; sed' Quadratrix spiralem tangit in B. igitur tota, uti isti ηςςp Q im cadit, ergo utraque rectata
I DE KBG. extra spiralcm cadit, solo puncto B conu nit,ideoque illam contingit in B. Quod est absurdum,non enim duae rectae spiralem in eodem puncto contingunt. Er huisi go recta AE.est aequalis arcui Quadrantis BC. Quod erat demonstrandum.
THEO REMA XXV. PROPOS. XXVI. Si perpendicularis ad tangeluem Quadratri cis ex puncto contactus ducta basim Quadrantis productam secet erit pars dictae basis inter centrum Quadrantis,&ductam aequalis basi Quadratricis.
Sit circulus I BC cuius centrum A. diamte ΗC. latus
erectum AB. diuidens a cum BC. in duos Quadran
illitis quidem basis stiA istius autem .
Quadrantis Ac Quadratrix CBD cuius basis Ausecapa
424쪽
Curtii ac re isti proportio promota
secans circulum in B. Tangens Quadratricis in puncto B sit B E. secans basim AC. productam in E.&e B ad:BE. ducatur perpendicularis I E secans bassim AC. produci am,i Pronun in F secabit autem cum angulus BEF. sit acutns,& FBE. rectus Dico rectam AF. esse aequalem AD. basi Quadratricis Constat enim ex Pappo lib. q. p. 16. clauio p. q. de Quadratrice,basim Quadratricis esse tertio loco proportionalem arcui Quadrantis,4 ipsius semidiametro nimium ut BC.ad BA.ita BA.ad AD. Cum autem rectangulum ad B. sit triangulum FBE.&in basim FE demissa per-8 6 pendicularis EA.erit ut EA. ad AB. ita AB.ad AF at vero 'inhula, EA. est aequalis arcui Quadrantis, Ut igitur BC. ad M. itai BA. ad AF ergo ut M.ad AD.ita BA.ad AF. quare a qua les sunt A D. AF Qu9derat demonstrandum.
PROBLEMA II. PROPOS. XXVII Vadratricem disserentialem delineare.
Sit semicirculus D. cuius centrum A. diameter CD. perpendicularis AB. L quae eum diuidat in duos Quadrantes
quorum latus et cctu commune AB. bases A C. AD. Conu Erlatur recta C A circa Titicem sint punctu immobile C. ita ut in toto motu secet latus ercetum AE ascendendo per G. F. E. It moueatur item A D. ita ut in toto motu secet perpcndiculariter idem latus et cetum AB. arcum Quadrantis
DB ascendendo in N IM HI . c. Ita aulcm fiat geminus ille motus, ut quaeratio lateris ci cisti SA ad par
425쪽
tem abscissam GA a recta CG eadem sit arcus Quadratis BD ad arcum sectum DN. Item in illis motibus produ-CG. F. CE occurrant perpendicularibus,seu sinibus qui arcus proportionales abscindunt ex arcu Quadrantis in punctis 4 P. O. punctum concursus describet vestigio suo lineam curuam RQPOB. extra Q ladrantem ABC. Et quidem quod concurrant lineae 4 IN patet, quia cum angulus CAG sit rectus, erit CGA.acutus,ideoque&aequalis ad verticem ΚG acutus erit, est autem GΚ ectus , concurrent igitur G Quod Ver 13. pron. concurrant vltra Quadrantem ABC ita probatur Qu'-niam peripheria Quadrantis BD.&latus erectum AB. si militer diuid tintur, perpendicularis NK. auferet ex latere recto rectam B. minorem ipsi GB punctum igitur .cadet subjunctum . ideoque recta CG producta occurret ipsi K. vltra AB in puncto QOHanc autem lineam Quadratricem Differentialem vocamus , eo quod eius basis, ut postea ostendemus , sit differentia arcus Quadrantis, eius semidiametri.
THEOREM A XXVI. PROPOS. XXVIII. Inus Quadratricis differentialis basi vicinior
remotiore maior est. In figura superiori, Quadratricis BPR. sint simis ΚαIP. ille basi vicinior, hic remotior. Dic Κ esse maiorem quam I P. Qu'niam, ex descriptione, estit arcu BD. Σ .huiues. ad arcum MD. ita BA. ad AF erit conuertendo ut arcus
MD ad arcum BD ita AF ad AB. sed ut BD arcus ad aracum D N ita ae descriptione , BA ad AG ergo ex aequalitate est ut arcus MD. ad arcum, D. ita AF ad AG. sed maior est ratio MD. ad N D. quam IA ad A. sunt e Corol. i. it. nim IA KA. sinus recti arcuum MD. N D. Igitur maior huius.
426쪽
io Curui ac recta proportio promota.
conuertendo, ac diiudendo minor ratio IF ad FA quam. ΚG ad GA. Vt autem IF ad FA. ita I P. ad A. aequiangula enim sunt triangula AF PIF ob rectos ad A. a.&ί equales ad verticem F. ut KG ad GA. ita K ad CA aequiangula enim sunt, ob eandem caUsam, triangula CAG QKG. ergo minor est ratio I P. ad A. quam Κ ad CA minor igitur est IP. quam KQ Nd erat d
COROLLARIV s. H ' spare bas adratricis di erentialis esse omnium, iusinuum , maximum beliquorum maiores gre e propinquiores nerint.
PROBLEMA IIL PROPOS. XXIX. Vadiatricem Arithmeticam describere.
bit Quadrans ABC cuius centrum A. latus erectum AB. basis AC in quo Quadratrix prima seu Geometrica
BNF. Iam vero proposita linea motu triti reectarum perficietur. Primo circa centrum A. tanquam cardine moueatur semidiameter AC ita ut continuo irradratricem
siccet in varijs punctis L. M. .'c.' erit extremita SC Qtiadrantem CB. perincuriat, per puncta D. E. U. B. c. per quae ductae perpenci: cularcs ad AB. nempe DR ES XT. quae sunt sinus complemeiatorum arcuum DC EC XC. etiam continuo cum dictis punctis moueantur; denique rei ha A. circa verticem iunctum, in quo basis Marcus Quadrantis coeunt,
427쪽
moueatur sursum simul cum punctis, in quibus semidiameter AC. AD AE Quadratricem primariam secat,&Occurrat perpendicularibtis, seu sinibus in punctis A.G. describet punctum illud concursus meam curvam HGB. quam Quadratricem differentialem libet nuncupare, eo quod eius basis, ut postea ostendemus, arcui Quadrantis,&eius semidiametro sit tertio loco Arithmetice proportionalis.
DIfferentiae sinuum Quadrantis, 3 QEa
dratricis Arithmetica sunt aequales sinibus u adratricis disserentialis.
Sit in superiori schemate semicirculus CB in cuius centrum A. quem diuidat linus AB. erectum super basim in duos Quadrantes ABC. AB c in primo sint duae Quadratrices, altera Geoluetrica BF. altera Arithmetica H. Ducatur semidianacter A D. secans Q Ladratricem primam in L.&circulum in D. hinc perpendicularis DRd secans ' mu latus AB in R. alterum Quadrantem inta cui Occurrat CL. recta in V. erit O punctum Quadratricis Arithmeticae. Rursum edi L. ducatur ad AB. perpendicularis LV. crit ut BA. ad AU. ita arcus BC. ad arcum CD seu arcus huius. R ad arcum de Qu ire si connectatur CV.&producaturcium Ecet Dd. in Z erit L.punctum Quadratricis differen ' tialis, atque ideo erit DR sinus arcus DB. in Quadrant CB. GR. sinus in Quadratrice Arithmetica BH. rectavero OD. differentia sinuum DR OR. denique R Z.erit sinus in v id ratrice disterentiali BXYZ descripta per punctia a ZYX modo27. huius explicato. Dico RZ rectam, esse 27. huius. rectae O. aequalem Qu9niam parallelae sunt DO CA. earunt in ta angulis DLO ALC. anguli D. O. angulis A. C.&anguli ad verticem L. aequales, aequi angula igitur sunt
428쪽
i Curui ac recti proportio promota.
dicta trianguli, quare ut CA ad OD. ita AL ad L. sed ut A L. ad DL ita in triangulo AD R. in quo positae sunt DR. LV. parallelae ad R. it A V. ad 'R. ita CA. ad RZ qui angula enim sunt ri tangula A V. ZRV. ob eandem rationem, qua diximus csse quiangula CLA. OLD. y go ut C A. ad D. ita A. ad RZ a quales igitur sunt OD. Z. Eodemque modo ostin tenuis SY esse aequalem ipsi EZ atque ita in eliquis. Quod luit
HIn eu denter deducitur differentias sinuum 'adram iis, es Quadratricis differentialis se aequales inibus Euadratricis Arithmericae nima in rc Fam Ad di ferentiam sinus d. an 'adrante si inus Z in 'adratrice differentiati e e .equalem sinui O s uadratrIcis Ari-rhmetica BH. aequales enim seni R. d. igitur ablatis ZZ.ODO quae modo ostens sunt aequales , se persant D. T. inter se aequales.
EX dictis etiam colligitur ratio qua altera ossertorum
.isadratricum ex altera descrIbatur. Si enim rectico Ce sursum tua moueatur continuo ad AB. perpendrcularis virerisIs Aa RZ. T. TX interceptis inter Iasus ercectum, se adratricem sterentialem Ea aequales sint CH DO. EL. FG. ab arcu Agadrantis describerti ae adrat=ix Arithmetica HB. Et contra si eadem Ce modo inforta moueatur urrectis CH. DO. EL FG aequales sint a. EZ.ST. TX de neabitur ad trixae ferentialis Ba.
429쪽
DEntique etiam ex demo balis deduci posset, tam figuram Ba Iarere erecto AB. linea curua BZa basi AEAE contentam me aequalem Aurae BC cententae linea cur--HB Arcti. Erantis . O recta CH quam ura AB QDurar HBA. eo quod lineae Aa ZZ.ST. TX lineis ΗC. OD. E. F. item rectaeae. ZE T c. b. rectis HA. OR.IS.GT aequales ni ideoque trapezia ab dis constituta quaelibet aequalia sint eadem ratione quaprop. I 8 superioris libri probata I, ex postgonis in circulo, atque eli, analogi , ipsoru circulorum, atque em mm analogia inique aequalitas. mae etiam siqueretur Auram HBa. Marianti me aequalem. Se volumus haec tantam innui e , Ut ea ,sibuerit, demon
s ei cui amplius quam nobis oti, fuerit.
THEOREMA XXVIII PROPOS. XXXI. Asis tuadratricis disserentialis est aequalis
excessiti, quo arcus in adrantis in quoia scribitur, sua semidiametro maior est. Sint eadem omnia quae duabus superioribus proposi tionibus. Dico basim Aa seu CH. Qi adratricis disse, entialis a. csse,
V qualem excessui,quo arcus Quadratis BC. suam semidiametrum AE superat seu Getam a. esse aequalem arcui Quadrantis BC. Est enim ut AC.
adHC. id est ad Aa illi aequalem, ita AF ad FC. ut paulo post ostendemu componendo,&per conue sonem
430쪽
i rui ac recti proportio prori ora
i sionem rationis, est a C. ad A. vi CA. ad AF sedit A.
16. Cla semidiameter adrantis ad AF basim Quadratricis it: arcus Quadrantis BC ad semidiametrum CA. igitur tela, aC ad A. ita arcus Quadrantis BC ad eandem C A. a'-' quales igitur sunt recta a C. Marcus il adrantis BC est autem Aa. excessus quo Ca. id est arcus Quadrantis superat semidiametrum A. Quare patet id quod propositum
Quod autem sit ut AC.adHC ita AF ad FC. ita demonstratur. Si non sit eadem ratio AC ad C. quae AF. ad FC. erit vel minor, vel maior . Sit primo minor: ideoque fiat ut AF ad FC. ita AC. ad quampiam minorem par huius sa CH verbi gratia ad Do est enim maior quolibet sinu sequente O FI. G. erit igitur ut A F. ad FC. ita AC. ad DO. sed ut A C. ad DO. ita A L. ad L D. 'quiangula ex s. i. nim sunt triangula A L. ODL ob angulos aequa es ad ' verticem L. alternos ad D. A. M. C. inter parallelas cohol. i. O CA. ideoque Ut CR. ad OD, ita AL ad DI estis. huius igitur ut A F. ad FC. ita A L. ad I D. sed AL .maior est quam
IDL minor quam CF. maior igitur est ratio L. ad
I D. litam AF. ad I C. sed&probata est qualis. QiIod est absurdum; Non igitur minor est ratio AC. ad H C. tua AF. ad FC. Sed dicatur esse maior . erit ergo AF ad C. minor ratio,quam AC. ad CH Fiat igitur ut A C. ad c H. ita recta quaepiam Ag maior quam AF ad g si cnim druidatur AC caproportione litiae est A C. ad CH in g. puncto, cum maior sit ratio AC ad CH. a iam AF ad C. erit maior ratio Ag ad C. quam AF adi C. cadet is itur punctum g interi. c. si enim caderet in ipsum punctimi F. sic t ut A F. ad ΓC. ita AC ad CC quod est absurdum,
&contra hypothesin: si interpuncmi F. g. est et minor ratio Alg. ad G C. quam Ab ad FG quod etiam est absumdum tacentro A. distinuia Ag. describa iurarcus L .secans QSiadratricem in L. secabit autem, cum continuo husiis uti, dra tacita radi augeatitur in Quydrante, quare si non