Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, DE MUNDI SYSTEMATE LIBER TERTIUS.,
Prop. 21~30

Prop. XXI.? Theor. XVIII.

Puncta AEquinoctialia regredi, & axem Terrae singulis revolutionibus nutando bis inclinari in Eclipticam & bis redire ad positionem priorem.

Patet per Corol. 20. Prop. LXVI. Lib. I. Motus tamen iste nutandi perexiguus esse debet, & vix aut ne vix quidem sensibilis.

Prop. XXII. Theor. XIX.

Motus omnes Lunares, omnesque motuum inaequalitates ex allatis Principiis consequi.

Planetas majores, interea dum circa Solem feruntur, posse alios minores circum se revolventes Planetas deferre, & minores illos in Ellipsibus, umbilicos in centris majorum habentibus, revolvi debere patet per Prop. LXV. Lib. I. Actione autem Solis perturbabuntur eorum motus multimode, iisque adficientur inaequalitatibus quae in Luna nostra notantur. Haec utique (per Corol. 2, 3, 4, & 5 Prop. LXVI. ) velocius movetur, ac radio ad Terram ducto describit aream pro tempore majorem, orbemque habet minus curvam, atque adeò propius accedit ad Terram, in Syzygiis quàm in Quadraturis, nisi quatenus impedit motus Excentricitatis. Excentricitas enim maxima est (per Corol. 9. Prop. LXVI. ) ubi Apogaeum Lunae in Syzygiis versatur, & minima ubi idem in Quadraturis consistit; & inde Luna in Perigaeo velocior est & nobis propior, in Apogaeo autem tardior & remotior in Syzygiis quàm in Quadraturis. Progreditur insuper Apogaeum, & regrediuntur Nodi, sed motu inaequabili. Et Apogaeum quidem (per Corol. 7 & 8 Prop. LXVI. ) velocius progreditur in Syzygiis suis, tardius regreditur in Quadraturis, & excessu progressus supra regressum annuatim fertur in consequentia. Nodi autem (per Corol. 11. Prop. LXVI. ) quiescunt in Syzygiis suis, & velocissimè regrediuntur in Quadraturis. Sed & major est Lunae latitudo maxima in ipsius Quadraturis (per Corol. 10. Prop. LXVI. ) quàm in Syzygiis: & motus medius velocior in Perihelio Terrae (per Corol. 6. Prop. LXVI. ) quàm in ipsius Aphelio. Atque hae sunt inaequalitates insigniores ab Astronomis notatae.

Sunt etiam aliae quaedam nondum observatae inaequalitates, quibus motus Lunares adeò perturbantur, ut nulla hactenus lege ad Regulam aliquam certam reduci potuerint. Velocitates enim seu motus horarii Apogaei & Nodorum Lunae, & eorundem aequationes, ut & differentia inter excentricitatem maximam in Syzygiis & minimam in Quadraturis, & inaequalitas quae Variatio dicitur, augentur ac diminuuntur annuatim (per Corol. 14. Prop. LXVI. ) in triplicata ratione diametri apparentis Solaris. Et Variatio praeterea augetur vel diminuitur in duplicata ratione temporis inter quadraturas quam proximè (per Corol. 1 & 2. Lem. X. & Corol. 16. Prop. LXVI. Lib. I.) Sed haec inaequalitas in calculo Astronomico, ad Prostaphaeresin Lunae referri solet, & cum ea confundi.

Prop. XXIII. Prob. IV.

Motus inaequales Satellitum Jovis & Saturni à motibus Lunaribus derivare.

Ex motibus Lunae nostrae motus analogi Lunarum seu Satellitum Jovis sic derivantur. Motus medius Nodorum Satellitis extimi Jovialis est ad motum medium Nodorum Lunae nostrae, in ratione composita ex ratione duplicata temporis periodici Terrae circa Solem ad tempus periodicum Jovis circa Solem, & ratione simplici temporis periodici Satellitis circa Jovem ad tempus periodicum Jovis circa Solem, & ratione simplici temporis periodici Satellitis circa Jovem ad tempus periodicum Lunae circa Terram: (per Corol. 16. Prop. LXVI. ) adeoque annis centum conficit Nodus iste 9 gr. 34'. in antecedentia. Motus medii Nodorum Satellitum interiorum sunt ad motum hujus, ut illorum tempora periodica ad tempus periodicum hujus, per idem Corollarium, & inde dantur. Motus autem Augis Satellitis cujusque in consequentia est ad motum Nodorum ipsius in antecedentia ut motus Apogaei Lunae nostrae ad hujus motum Nodorum (per idem Corol. ) & inde datur. Diminui tamen debet motus Augis sic inventus in ratione 5 ad 9 vel 1 ad 2 circiter, ob causam quam hic exponere non vacat. AEquationes maximae Nodorum & Augis Satellitis cujusque fere sunt ad aequationes maximas Nodorum & Augis Lunae respectivè, ut motus Nodorum & Augis Satellitum, tempore unius revolutionis aequationum priorum, ad motus Nodorum & Apogaei Lunae tempore unius revolutionis aequationum posteriorum. Variatio Satellitis è Jove spectati, est ad Variationem Lunae ut sunt toti motus Nodorum temporibus periodicis Satellitis & Lunae ad invicem, per idem Corollarium, adeoque in Satellite extimo non superat 6". 22"'. Parvitate harum inaequalitatum & tarditate motuum fit ut motus Satellitum summè regulares reperiantur, utque Astronomi recentiores aut motum omnem Nodis denegent, aut asserant tardissimè retrogradum. Nam Flamstedius collatis suis cum Cassini Observationibus Nodos tarde regredi deprehendit.

Prop. XXIV. Theor. XX.

Fluxum & refluxum Maris ab actionibus Solis ac Lunae oriri debere.

Mare singulis diebus tam Lunaribus quàm Solaribus bis intumescere debere ac bis defluere patet per Corol. 19. Prop. LXVI. Lib. I. ut & aquae maximam altitudinem, in maribus profundis & liberis, appulsum Luminarium ad Meridianum loci minori quàm sex horarum spatio sequi, uti fit in Maris Atlantici & AEthiopici tractu toto orientali inter Galliam & Promontorium Bonae Spei, ut & in Maris Pacifici littore Chilensi & Peruviano: in quibus omnibus littoribus aestus in horam circiter tertiam incidit, nisi ubi motus per loca vadosa propagatus aliquantulum retardatur. Horas numero ab appulsu Luminaris utriusque ad Meridianum loci, tam infra Horizontem quàm supra, & per horas diei Lunaris intelligo vigesimas quartas partes temporis quo Luna motu apparente diurno ad Meridianum loci revolvitur.

Motus autem bini, quos Luminaria duo excitant, non cernentur distinctè, sed motum quendam mixtum efficient. In Luminarium Conjunctione vel Oppositione conjugentur eorum effectus, & componetur fluxus & refluxus maximus. In Quadraturis Sol attollet aquam ubi Luna deprimit, deprimetque ubi Sol attollit; & ex effectuum differentia aestus omnium minimus orietur. Et quoniam, experientia teste, major est effectus Lunae quàm Solis, incidet aquae maxima altitudo in horam tertiam Lunarem. Extra Syzygias & Quadraturas, aestus maximus qui sola vi Lunari incidere semper deberet in horam tertiam Lunarem, & sola Solari in tertiam Solarem, compositis viribus incidet in tempus aliquod intermedium quod tertiae Lunari propinquius est; adeoque in transitu Lunae à Syzygiis ad Quadraturas, ubi hora tertia Solaris praecedit tertiam Lunarem, maxima aquae altitudo praecedet etiam tertiam Lunarem, idque maximo intervallo paulo post Octantes Lunae; & paribus intervallis aestus maximus sequetur horam tertiam Lunarem in transitu Lunae à Quadraturis ad Syzygias. Haec ita sunt in mari aperto. Nam in ostiis Fluviorum fluxus majores caeteris paribus tardius ad [Greek: akmên] venient.

Pendent autem effectus Luminarium ex eorum distantiis à Terra. In minoribus enim distantiis majores sunt eorum effectus, in majoribus minores, idque in triplicata ratione diametrorum apparentium. Igitur Sol tempore hyberno, in Perigaeo existens, majores edit effectus, efficitque ut aestus in Syzygiis paulo majores sint, & in Quadraturis paulo minores (caeteris paribus) quàm tempore aestivo; & Luna in Perigaeo singulis mensibus majores ciet aestus quàm ante vel post dies quindecim, ubi in Apogaeo versatur. Unde fit ut aestus duo omnino maximi in Syzygiis continuis se mutuo non sequantur.

Pendet etiam effectus utriusque Luminaris ex ipsius Declinatione seu distantia ab AEquatore. Nam si Luminare in polo constitueretur, traheret illud singulas aquae partes constanter, absque actionis intensione & remissione, adeoque nullam motus reciprocationem cieret. Igitur Luminaria recedendo ab aequatore polum versus effectus suos gradatim amittent, & propterea minores ciebunt aestus in Syzygiis Solstitialibus quàm in AEquinoctialibus. In Quadraturis autem Solstitialibus majores ciebunt aestus quàm in Quadraturis AEquinoctialibus; eò quod Lunae jam in aequatore constitutae effectus maxime superat effectum Solis. Incidunt igitur aestus maximi in Syzygias & minimi in Quadraturas Luminarium, circa tempora AEquinoctii utriusque. Et aestum maximum in Syzygiis comitatur semper minimus in Quadraturis, ut experientiâ compertum est. Per minorem autem distantiam Solis à Terra, tempore hyberno quàm tempore aestivo, fit ut aestus maximi & minimi saepius praecedant AEquinoctium vernum quàm sequantur, & saepius sequantur autumnale quàm praecedant.

[Pictura]

Pendent etiam effectus Luminarium ex locorum latitudine. Designet ApEP Tellurem aquis profundis undique coopertam; C centrum ejus; Pp, polos; AE AEquatorem; F locum quemvis extra AEquatorem; Ff parallelum loci; Dd parallelum ei respondentem ex altera parte aequatoris; L locum quem Luna tribus ante horis occupabat; H locum Telluris ei perpendiculariter subjectum; h locum huic oppositum; K, k loca inde gradibus 90 distantia, CH, Ch Maris altitudines maximas mensuratas à centro Telluris; & CK, Ck altitudines minimas; & si axibus Hh, Kk describatur Ellipsis, deinde Ellipseos hujus revolutione circa axem majorem Hh describatur Sphaerois HPKhpk; designabit haec figuram Maris quam proximè, & erunt CF, Cf, CD, Cd altitudines Maris in locis F, f, D, d. Quinetiam si in praefata Ellipseos revolutione punctum quodvis N describat circulum NM, secantem parallelos Ff, Dd in locis quibusvis R, T, & aequatorem AE in S; erit CN altitudo Maris in locis omnibus R, S, T, sitis in hoc circulo. Hinc in revolutione diurna loci cujusvis F, affluxus erit maximus in F, hora tertia post appulsum Lunae ad Meridianum supra Horizontem; postea defluxus maximus in Q hora tertia post occasum Lunae; dein affluxus maximus in f hora tertia post appulsum Lunae ad Meridianum infra Horizontem; ultimò defluxus maximus in Q hora tertia post ortum Lunae; & affluxus posterior in f erit minor quàm affluxus prior in F. Distinguitur enim Mare totum in duos omnino fluctus Hemisphaericos, unum in Hemisphaerio KHkC ad Boream vergentem, alterum in Hemisphaerio opposito KhkC; quos igitur fluctum Borealem & fluctum Australem nominare licet. Hi fluctus semper sibi mutuò oppositi veniunt per vices ad Meridianos locorum singulorum, interposito intervallo horarum Lunarium duodecim. Cumque regiones Boreales magis participant fluctum Borealem, & Australes magis Australem, inde oriuntur aestus alternis vicibus majores & minores, in locis singulis extra aequatorem. AEstus autem major, Lunâ in verticem loci declinante, incidet in horam circiter tertiam post appulsum Lunae ad Meridianum supra Horizontem, & Lunâ declinationem mutante vertetur in minorem. Et fluxuum differentia maxima incidet in tempora Solstitiorum; praesertim si Lunae Nodus ascendens versatur in principio Arietis. Sic experientiâ compertum est, quod aestus matutini tempore hyberno superent vespertinos & vespertini tempore aestivo matutinos, ad Plymuthum quidem altitudine quasi pedis unius, ad Bristoliam verò altitudine quindecim digitorum: Observantibus Colepressio & Sturmio.

Motus autem hactenus descripti mutantur aliquantulum per vim illam reciprocationis aquarum, qua Maris aestus, etiam cessantibus Luminarium actionibus, posset aliquamdiu perseverare. Conservatio haecce motus impressi minuit differentiam aestuum alternorum; & aestus proximè post Syzygias majores reddit, eosque proximè post Quadraturas minuit. Unde fit ut aestus alterni ad Plymuthum & Bristoliam non multo magis differant ab invicem quàm altitudine pedis unius vel digitorum quindecim; utque aestus omnium maximi in iisdem portubus non sint primi à Syzygiis sed tertii. Retardantur etiam motus omnes in transitu per vada, adeò ut aestus omnium maximi, in fretis quibusdam & Fluviorum ostiis, sint quarti vel etiam quinti à Syzygiis.

Porrò fieri potest ut aestus propagetur ab Oceano per freta diversa ad eundem portum, & citius transeat per aliqua freta quàm per alia, quo in casu aestus idem, in duos vel plures successive advenientes divisus, componere possit motus novos diversorum generum. Fingamus aestus duos aequales à diversis locis in eundem portum venire, quorum prior praecedat alterum spatio horarum sex, incidatque in horam tertiam ab appulsu Lunae ad Meridianum portus. Si Luna in hocce suo ad Meridianum appulsu versabatur in aequatore, venient singulis horis senis aequales affluxus, qui in mutuos refluxus incidendo eosdem affluxibus aequabunt, & sic spatio diei illius efficient ut aqua tranquillè stagnet. Si Luna tunc declinabat ab AEquatore, fient aestus in Oceano vicibus alternis majores & minores, uti dictum est; & inde propagabuntur in hunc portum affluxus bini majores & bini minores, vicibus alternis. Affluxus autem bini majores component aquam altissimam in medio inter utrumque, affluxus major & minor faciet ut aqua ascendat ad mediocrem altitudinem in Medio ipsorum, & inter affluxus binos minores aqua ascendet ad altitudinem minimam. Sic spatio viginti quatuor horarum, aqua non bis ut fieri solet, sed semel tantum perveniet ad maximam altitudinem & semel ad minimam; & altitudo maxima, si Luna declinat in polum supra Horizontem loci, incidet in horam vel sextam vel tricesimam ab appulsu Lunae ad Meridianum, atque Lunâ declinationem mutante mutabitur in defluxum. Quorum omnium exemplum, in portu regni Tunquini ad Batsham, sub latitudine Boreali 20 gr. 50 min. Halleius ex Nautarum Observationibus patefecit. Ibi aqua die transitum Lunae per AEquatorem sequente stagnat, dein Lunâ ad Boream declinante incipit fluere & refluere, non bis, ut in aliis portubus, sed semel singulis diebus; & aestus incidit in occasum Lunae, defluxus maximus in ortum. Cum Lunae declinatione augetur hic aestus, usque ad diem septimum vel octavum, dein per alios septem dies iisdem gradibus decrescit, quibus antea creverat; & Lunâ declinationem mutante cessat, ac mox mutatur in defluxum. Incidit enim subinde defluxus in occasum Lunae & affluxus in ortum, donec Luna iterum mutet declinationem. Aditus ad hunc portum fretaque vicina duplex patet, alter ab Oceano Sinensi inter Continentem & Insulam Luconiam, alter à Mari Indico inter Continentem & Insulam Borneo. An aestus spatio horarum duodecim à Mari Indico, & spatio horarum sex à Mari Sinensi per freta illa venientes, & sic in horam tertiam & nonam Lunarem incidentes, componant hujusmodi motus; sitne alia Marium illorum conditio, observationibus vicinorum littorum determinandum relinquo.

Hactenus causas motuum Lunae & Marium reddidi. De quantitate motuum jam convenit aliqua subjungere.

Prop. XXV. Prob. V.

Invenire vires Solis ad perturbandos motus Lunae.

[Pictura]

Designet Q Solem, S Terram, P Lunam, PADB orbem Lunae. In QP capiatur QK aequalis QS; sitque QL ad QK in duplicata ratione QK ad QP & ipsi PS agatur parallela LM; & si gravitas acceleratrix Terrae in Solem exponatur per distantiam QS vel QK, erit QL gravitas acceleratrix Lunae in Solem. Ea componitur ex partibus QM, LM, quarum LM & ipsius QM pars SM perturbat motum Lunae, ut in Libri primi Prop. LXVI. & ejus Corollariis expositum est. Quatenus Terra & Luna circum commune gravitatis centrum revolvuntur, perturbabitur motus Terrae circa centrum illud à viribus consimilibus; sed summas tam virium quàm motuum referre licet ad Lunam, & summas virium per lineas ipsis analogas SM & ML designare. Vis ML (in mediocri sua quantitate) est ad vim gravitatis, qua Luna in orbe suo circa Terram quiescentem ad distantiam PS revolvi posset, in duplicata ratione temporum periodicorum Lunae circa Terram & Terrae circa Solem, (per Corol. 17. Prop. LXVI. Lib. I.) hoc est in duplicata ratione dierum 27. hor. 7. min. 43. ad dies 365. hor. 6. min. 9. id est ut 1000 ad 178725, seu 1 ad 178-8/11. Vis qua Luna in orbe suo circa Terram quiescentem, ad distantiam PS semidiametrorum terrestrium 60½ revolvi posset, est ad vim, qua eodem tempore ad distantiam semidiametrorum 60 revolvi posset, ut 60½ ad 60; & haec vis ad vim gravitatis apud nos ut 1 ad 60 × 60. Ideoque vis mediocris ML est ad vim gravitatis in superficie Terrae, ut 1 × 60½ ad 60 × 60 × 60 × 178-8/11 seu 1 ad 638092,6. Unde ex proportione linearum SM, ML datur etiam vis SM: & hae sunt vires Solis quibus motus Lunae perturbantur. Q. E. I.

Prop. XXVI. Prob. VI.

Invenire incrementum areae quam Luna radio ad Terram ducto describit.

[Pictura]

Diximus aream, quam Luna radio ad Terram ducto describit, esse tempori proportionalem, nisi quatenus motus Lunaris ab actione Solis turbatur. Inaequalitatem momenti (vel incrementi horarii) hic investigandam proponimus. Ut computatio facilior reddatur, fingamus orbem Lunae circularem esse, & inaequalitates omnes negligamus, ea sola excepta, de qua hic agitur. Ob ingentem verò Solis distantiam ponamus etiam lineas QP, QS sibi invicem parallelas esse. Hoc pacto vis LM reducetur semper ad mediocrem suam quantitatem SP, ut & vis SM ad mediocrem suam quantitatem 3PK. Hae vires, per Legum Corol. 2. componunt vim SL; & haec vis, si in radium SP demittatur perpendiculum LE, resolvitur in vires SE, EL, quarum SE, agendo semper secundum radium SP, nec accelerat nec retardat descriptionem areae QSP radio illo SP factam; & EL agendo secundum perpendiculum, accelerat vel retardat ipsam, quantum accelerat vel retardat Lunam. Acceleratio illa Lunae, in transitu ipsius à Quadratura C ad conjunctionem A, singulis temporis momentis facta, est ut ipsa vis accelerans EL, hoc est ut 3PK × SK ÷ SP. Exponatur tempus per motum medium Lunarem, vel (quod eodem fere recidit) per angulum CSP, vel etiam per arcum CP. Ad CS erigatur Normalis CG ipsi CS aequalis. Et diviso arcu quadrantali AC in particulas innumeras aequales Pp &c. per quas aequales totidem particulae temporis exponi possint, ductâque pk perpendiculari ad CS, jungatur SG ipsis KP, kp productis occurrens in F & f; & erit Kk ad PK ut Pp ad Sp, hoc est in data ratione, adeoque FK × Kk seu area FKkf ut 3PK × SK ÷ SP id est ut EL; & compositè, area tota GCKF ut summa omnium virium EL tempore toto CP impressarum in Lunam, atque adeò etiam ut velocitas hac summâ genita, id est, ut acceleratio descriptionis areae CSP, seu incrementum momenti. Vis qua Luna circa Terram quiescentem ad distantiam SP, tempore suo periodico CADBC dierum 27. hor. 7. min. 43. revolvi posset, efficeret ut corpus, tempore CS cadendo, describeret longitudinem ½CS, & velocitatem simul acquireret aequalem velocitati, qua Luna in orbe suo movetur. Patet hoc per Schol. Prop. IV. Lib. I. Cum autem perpendiculum Kd in SP demissum sit ipsius EL pars tertia, & ipsius SP seu ML in octantibus pars dimidia, vis EL in Octantibus, ubi maxima est, superabit vim ML in ratione 3 ad 2, adeoque erit ad vim illam, qua Luna tempore suo periodico circa Terram quiescentem revolvi posset, ut 100 ad 2/3 × 17872½ seu 11915, & tempore CS velocitatem generare deberet quae esset pars 100/11915 velocitatis Lunaris, tempore autem CPA velocitatem majorem generaret in ratione CA ad CS seu SP. Exponatur vis maxima EL in Octantibus per aream FK × Kk rectangulo ½SP × Pp aequalem. Et velocitas, quam vis maxima tempore quovis CP generare posset, erit ad velocitatem quam vis omnis minor EL eodem tempore generat ut rectangulum ½SP × CP ad aream KCGF: tempore autem toto CPA, velocitates genitae erunt ad invicem ut rectangulum ½SP × CA & triangulum SCG, sive ut arcus quadrantalis CA ad radium SP. Ideoque (per Prop. IX. Lib. V. Elem. ) velocitatis posterior, toto tempore genita, erit pars 100/11915 velocitatis Lunae. Huic Lunae velocitati, quae areae momento mediocri analoga est, addatur & auferatur dimidium velocitatis alterius; & si momentum mediocre exponatur per numerum 11915 summa 11915 + 50 seu 11965 exhibebit momentum maximum areae in Syzygia A, ac differentia 11915 - 50 seu 11865 ejusdem momentum minimum in Quadraturis. Igitur areae temporibus aequalibus in Syzygiis & Quadraturis descriptae, sunt ad invicem ut 11965 ad 11865. Ad momentum minimum 11865 addatur momentum, quod sit ad momentorum differentiam 100 ut trapezium FKCG ad triangulum SCG (vel quod perinde est, ut quadratum Sinus PK ad quadratum Radii SP, id est ut Pd ad SP) & summa exhibebit momentum areae, ubi Luna est in loco quovis intermedio P.

Haec omnia ita se habent, ex Hypothesi quod Sol & Terra quiescunt, & Luna tempore Synodico dierum 27. hor. 7. min. 43. revolvitur. Cum autem periodus Synodica Lunaris verè sit dierum 29. hor. 12. & min. 44. augeri debent momentorum incrementa in ratione temporis. Hoc pacto incrementum totum, quod erat pars 100/11915 momenti mediocris, jam fiet ejusdem pars 100/11023. Ideoque momentum areae in Quadratura Lunae erit ad ejus momentum in Syzygia ut 11023 - 50 ad 11023 + 50, seu 10973 ad 11073, & ad ejus momentum, ubi Luna in alio quovis loco intermedio P versatur, ut 10973 ad 10973 + Pd, existente videlicet SP aequali 100.

Area igitur, quam Luna radio ad Terram ducto singulis temporis particulis aequalibus describit, est quam proximè ut summa numeri 219-46/100 & Sinus versi duplicatae distantiae Lunae à Quadratura proxima, in circulo cujus radius est unitas. Haec ita se habent ubi Variatio in Octantibus est magnitudinis mediocris. Sin Variatio ibi major sit vel minor, augeri debet vel minui Sinus ille versus in eadem ratione.

Prop. XXVII. Prob. VII.

Ex motu horario Lunae invenire ipsius distantiam à Terra.

Area, quam Luna radio ad Terram ducto, singulis temporis momentis, describit, est ut motus horarius Lunae & quadratum distantiae Lunae à Terrâ conjunctim; & propterea distantia Lunae à Terrâ est in ratione compositâ ex dimidiatâ ratione Areae directè & dimidiatâ ratione motus horarii inversè. Q. E. I.

Corol. 1. Hinc datur Lunae diameter apparens: quippe quae sit reciprocè ut ipsius distantia à Terra. Tentent Astronomi quàm probè haec Regula cum Phaenomenis congruat.

Corol. 2. Hinc etiam Orbis Lunaris accuratiùs ex Phaenomenis quàm antehac definiri potest.

Prop. XXVIII. Prob. VIII.

Invenire diametros Orbis in quo Luna absque excentricitate moveri deberet.

[Pictura]

Curvatura Trajectoriae, quam mobile, si secundum Trajectoriae illius perpendiculum trahatur, describit, est ut attractio directè & quadratum velocitatis inversè. Curvaturas linearum pono esse inter se in ultima proportione Sinuum vel Tangentium angulorum contactuum ad radios aequales pertinentium, ubi radii illi in infinitum diminuuntur. Attractio autem Lunae in Terram in Syzygiis est excessus gravitatis ipsius in Terram supra vim Solarem 2PK (Vide Figur. pag. 434. ) qua gravitas acceleratrix Lunae in Solem superat gravitatem acceleratricem Terrae in Solem. In Quadraturis autem attractio illa est summa gravitatis Lunae in Terram & vis Solaris KS, qua Luna in Terram trahitur. Et hae attractiones, si {AS + CS} ÷ 2 dicatur N, sunt ut 178725 ÷ ASq. - 2000 ÷ {CS × N} & 178725 ÷ CSq. + 1000 ÷ {AS × N} quam proxime; seu ut 178725N in CSq. - 2000ASq. in CS, & 178725N in ASq. + 1000 CSq. × AS. Nam se gravitas acceleratrix Terrae in Solem exponatur per numerum 178725, vis mediocris ML, quae in Quadraturis est PS vel SK & Lunam trahit in Terram, erit 1000, & vis mediocris SM in Syzygiis erit 3000; de qua, si vis mediocris ML subducatur, manebit vis 2000 qua Luna in Syzygiis distrahitur à Terra, quamque jam ante nominavi 2PK. Velocitas autem Lunae in Syzygiis A & B est ad ipsius velocitatem in Quadraturis C & D ut CS, ad AS & momentum areae quam Luna radio ad Terram ducto describit in Syzygiis ad momentum ejusdem areae in Quadraturis conjunctim; id est ut 11073CS ad 10973AS. Sumatur haec ratio bis inversè & ratio prior semel directè, & fiet Curvatura Orbis Lunaris in Syzygiis ad ejusdem Curvaturam in Quadraturis ut 120407 × 178725ASq. × CSq. × N - 120407 × 2000AS qq. × CS ad 122611 × 178725ASq. × CSq. × N + 122611 × 1000CS qq. × AS, id est ut 2151969AS × CS × N - 24081AS cub. ad 2191371AS × CS × N + 12261CS cub.

Quoniam figura orbis Lunaris ignoratur, hujus vice assumamus Ellipsin DBCA, in cujus centro S Terra collocetur, & cujus axis major DC Quadraturis, minor AB Syzygiis interjaceat. Cum autem planum Ellipseos hujus motu angulari circa Terram revolvatur, & Trajectoria, cujus Curvaturam consideramus, describi debet in plano quod motu omni angulari omnino destituitur: consideranda erit figura, quam Luna in Ellipsi illa revolvendo describit in hoc plano, hoc est Figura Cpa, cujus puncta singula p inveniuntur capiendo punctum quodvis P in Ellipsi, quod locum Lunae representet, & ducendo Sp aequalem SP, ea lege ut angulus PSp aequalis sit motui apparenti Solis à tempore Quadraturae C confecto; vel (quod eodem fere recidit) ut angulus CSp sit ad angulum CSP ut tempus revolutionis Synodicae Lunaris ad tempus revolutionis Periodicae seu 29 d. 12. h. 44', ad 27 d. 7 h. 43'. Capiatur igitur angulus CSa in eadem ratione ad angulum rectum CSA, & sit longitudo Sa aequalis longitudini SA; & erit a Apsis ima & C Apsis summa orbis hujus Cpa. Rationes autem ineundo invenio quod differentia inter curvaturam orbis Cpa in vertice a, & curvaturam circuli centro S intervallo SA descripti, sit ad differentiam inter curvaturam Ellipseos in vertice A & curvaturam ejusdem circuli, in duplicata ratione anguli CSP ad angulum CSp; & quod curvatura Ellipseos in A sit ad curvaturam circuli illius in duplicata ratione SA ad SC; & curvatura circuli illius ad curvaturam circuli centro S intervallo SC descripti ut SC ad SA; hujus autem curvatura ad curvaturam Ellipseos in C in duplicata ratione SA ad SC; & differentia inter curvaturam Ellipseos in vertice C & curvaturam circuli novissimi, ad differentiam inter curvaturam figurae Spa in vertice C & curvaturam ejusdem circuli, in duplicata ratione anguli CSP ad angulum CSp. Quae quidem rationes ex Sinubus angulorum contactus ac differentiarum angulorum facilè colliguntur. Collatis autem his rationibus inter se, prodit curvatura figurae Cpa in a ad ipsius curvaturam in C, ut AS cub. + 16824/100000CSq. × AS ad CS cub. + 16824/100000ASq. × CS. Ubi numerus 16824/100000 designat differentiam quadratorum angulorum CSP & CSp applicatam ad Quadratum anguli minoris CSP, seu (quod perinde est) differentiam Quadratorum temporum 27 d. 7 h. 43', & 29 d. 12 h. 44', applicatam ad Quadratum temporis 27 d. 7 h. 43'.

Igitur cum a designet Syzygiam Lunae, & C ipsius Quadraturam, proportio jam inventa eadem esse debet cum proportione curvaturae Orbis Lunae in Syzygiis ad ejusdem curvaturam in Quadraturis, quam supra invenimus. Proinde ut inveniatur proportio CS ad AS, duco extrema & media in se invicem. Et termini prodeuntes ad AS × CS applicati, fiunt 2062,79CS qq. - 2151969N × CS cub. + 368682N × AS × CSq. + 36342ASq. × CSq. - 362046N × ASq. × CS + 2191371N × AS cub. + 4051,4AS qq. = 0. Hic pro terminorum AS & CS semisummâ N scribo 1, & pro eorundem semidifferentia ponendo x, fit CS = 1 + x, & AS = 1 - x: quibus in aequatione scriptis, & aequatione prodeunte resolutâ, obtinetur x aequalis 0,0072036, & inde semidiameter CS fit 1,0072, & semidiameter AS 0,9928, qui numeri sunt ut 69-11/12 & 68-11/12 quam proximè. Est igitur distantia Lunae à Terra in Syzygiis ad ipsius distantiam in Quadraturis (seposita scilicet excentricitatis consideratione) ut 68-11/12 ad 69-11/12, vel numeris rotundis ut 69 ad 70.

Prop. XXIX. Prob. IX.

Invenire Variationem Lunae.

[Pictura]

Oritur haec inaequalitas partim ex forma Elliptica orbis Lunaris, partim ex inaequalitate momentorum areae, quam Luna radio ad Terram ducto describit. Si Luna P in Ellipsi DBCA circa Terram in centro Ellipseos quiescentem moveretur, & radio SP ad Terram ducto describeret aream CSP tempori proportionalem; esset autem Ellipseos semidiameter maxima CS ad semidiametrum minimam SA ut 69-11/12 ad 68-11/12: foret Tangens anguli CSP ad Tangentem anguli motus medii à quadratura C computati, ut Ellipseos semidiameter SA ad ejusdem semidiametrum SC seu 68-11/12 ad 69-11/12. Debet autem descriptio areae CSP, in progressu Lunae à Quadratura ad Syzygiam, ea ratione accelerari, ut ejus momentum in Syzygia Lunae sit ad ejus momentum in Quadratura ut 11073 ad 10973, utq; excessus momenti in loco quovis intermedio P supra momentum in Quadratura sit ut quadratum Sinus anguli CSP. Id quod satis accuratè fiet, si tangens anguli CSP diminuatur in dimidiata ratione numeri 10973 ad numerum 11073, id est in ratione numeri 68-5958/10000 ad numerum 68-11/12. Quo pacto tangens anguli CSP jam erit ad tangentem motus medii ut 68-5958/10000 ad 69-11/12, & angulus CSP in Octantibus, ubi motus medius est 45 gr. invenietur 44 gr. 27'. 29": qui subductus de angulo motus medii 45 gr. relinquit Variationem 32'. 31". Haec ita se haberent si Luna, pergendo à Quadratura ad Syzygiam, describeret angulum CSA graduum tantum nonaginta. Verum ob motum Terrae, quo Sol in antecedentia motu apparente transfertur, Luna, priusquam Solem assequitur, describit angulum CSa angulo recto majorem in ratione revolutionis Lunaris Synodicae ad revolutionem periodicam, id est in ratione 29 d. 12 h. 44'. ad 27 d. 7 h. 43'. Et hoc pacto anguli omnes circa centrum S dilatantur in eadem ratione, & Variatio quae secus esset 32'. 31". jam aucta in eadem ratione, fit 35'. 9". Haec ab Astronomis constituitur 40', & ex recentioribus Observationibus 38'. Halleius autem recentissimè deprehendit esse 38' in Octantibus versus oppositionem Solis, & 32' in Octantibus Solem versus. Unde mediocris ejus magnitudo erit 35': quae cum magnitudine à nobis inventa 35'. 9" probe congruit. Magnitudinem enim mediocrem computavimus, neglectis differentiis, quae à curvaturâ Orbis magni, majorique Solis actione in Lunam falcatam & novam quam in Gibbosam & plenam, oriri possint.

Prop. XXX. Prob. X.

Invenire motum horarium Nodorum Lunae in Orbe circulari.

[Pictura]

Designet S Solem, T Terram, P Lunam, NPn Orbem Lunae, Npn vestigium Orbis in plano Eclipticae; N, n, Nodos, nTNm lineam Nodorum infinitè productam, PI, PK; perpendicula demissa in lineas ST, Qq; Pp perpendiculum demissum in planum Eclipticae; Q, q Quadraturas Lunae in plano Eclipticae & pK perpendiculum in lineam Qq Quadraturis intrajacentem. Et vis Solis ad perturbandum motum Lunae (per Prop. XXV. ) duplex erit, altera lineae 2IT vel 2Kp, altera lineae PI proportionalis. Et Luna vi priore in Solem, posteriore in lineam ST trahitur. Componitur autem vis posterior PI ex viribus IT & PT, quarum PT agit secundum planum orbis Lunaris, & propterea situm plani nil mutat. Haec igitur negligenda est. Vis autem IT cum vi 2IT componit vim totam 3IT, qua planum Orbis Lunaris perturbatur. Et haec vis per Prop. XXV. est ad vim qua Luna in circulo circa Terram quiescentem tempore suo periodico revolvi posset, ut 3IT ad Radium circuli multiplicatum per numerum 178,725, sive ut IT ad Radium multiplicatum per 59,575. Caeterum in hoc calculo & eo omni qui sequitur, considero lineas omnes à Luna ad Solem ductas tanquam parallelas lineae quae à Terra ad Solem ducitur, propterea quod inclinatio tantum ferè minuit effectus omnes in aliquibus casibus, quantum auget in aliis; & Nodorum motus mediocres quaerimus, neglectis istiusmodi minutiis, quae calculum nimis impeditum redderent.

Designet jam PM arcum, quem Luna dato tempore quam minimo describit, & ML lineolam quam Luna, impellente vi praefata 3IT, eodem tempore describere posset. Jungantur PL, MP, & producantur eae ad m & l, ubi secent planum Eclipticae; inque Tm demittatur perpendiculum PH. Et quoniam ML parallela est ipsi ST, si ml parallela sit ipsi ML, erit ml in plano Eclipticae, & contra. Ergo ml, cum sit in plano Eclipticae, parallela erit ipsi ML, & similia erunt triangula LMP, Lmp. Jam cum MPm sit in plano Orbis, in quo Luna in loco P movebatur, incidet punctum m in lineam Nn per Orbis illius Nodos N, n, ductam. Et quoniam vis qua lineola LM generatur, si tota simul & semel in loco P impressa esset, efficeret ut Luna moveretur in arcu, cujus Chorda esset LP, atque adeò transferret Lunam de plano MPmT in planum LPlT; motus Nodorum à vi illa genitus aequalis erit angulo mTl. Est autem ml ad mP ut ML ad MP, adeoque cum MP ob datum tempus data sit, est ml ut rectangulum ML × mP, id est ut rectangulum IT × mP. Et angulus mTl, si modo angulus Tml rectus sit, est ut ml ÷ Tm, & propterea ut IT × Pm ÷ Tm id est (ob proportionales Tm & mP, TP & PH) ut IT × PH ÷ TP, adeoque ob datam TP, ut IT × PH. Quod si angulus Tml, seu STN obliquus sit, erit angulus mTl adhuc minor, in ratione Sinus anguli STN ad Radium. Est igitur velocitas Nodorum ut IT × PH & Sinus anguli STN conjunctim, sive ut contentum sub sinubus trium angulorum TPI, PTN & STN.

Si anguli illi, Nodis in Quadraturis & Luna in Syzygia existentibus, recti sint, lineola ml abibit in infinitum, & angulus mTl evadet angulo mPl aequalis. Hoc autem in casu, angulus mPl est ad angulum PTM, quem Luna eodem tempore motu suo apparente circa Terram describit ut 1 ad 59,575. Nam angulus mPl aequalis est angulo LPM, id est angulo deflexionis Lunae à recto tramite, quam praefata vis Solaris 3IT dato illo tempore generare possit; & angulus PTM aequalis est angulo deflexionis Lunae à recto tramite, quem vis illa, qua Luna in Orbe suo retinetur, eodem tempore generat. Et hae vires, uti supra diximus, sunt ad invicem ut 1 ad 59,575. Ergo cum motus medius horarius Lunae (respectu fixarum) sit 32'. 56". 27"'. 12^{iv}½, motus horarius Nodi in hoc casu erit 33". 10"'. 33^{iv}. 12^v. Aliis autem in casibus motus iste horarius erit ad 33". 10"'. 33^{iv}. 12^v. ut contentum sub sinibus angulorum trium TPI, PTN, & STN (seu distantiarum Lunae à Quadratura, Lunae à Nodo & Nodi à Sole) ad cubum Radii. Et quoties signum anguli alicujus de affirmativo in negativum, deque negativo in affirmativum mutatur, debebit motus regressivus in progressivum & progressivus in regressivum mutari. Unde fit ut Nodi progrediantur quoties Luna inter Quadraturam alterutram & Nodum Quadraturae proximum versatur. Aliis in casibus regrediuntur, & per excessum regressus supra progressum, singulis mensibus feruntur in antecedentia.

[Pictura]

Corol. 1. Hinc si a dati arcus quam minimi PM terminis P & M ad lineam Quadraturas jungentem Qq demittantur perpendicula PK, Mk, eademque producantur donec secent lineam Nodorum Nn in D & d; erit motus horarius Nodorum ut area MPDd & quadratum lineae AZ conjunctim. Sunto enim PK, PH & AZ praedicti tres Sinus. Nempe PK Sinus distantiae Lunae à Quadratura, PH Sinus distantiae Lunae à Nodo, & AZ Sinus distantiae Nodi à Sole: & erit velocitas Nodi ut contentum PK × PH × AZ. Est autem PT ad PK ut PM ad Kk, adeoque ob datas PT & PM est Kk ipsi PK proportionalis. Est & AT ad PD ut AZ ad PH, & propterea PH rectangulo PD × AZ proportionalis, & conjunctis rationibus, PK × PH est ut contentum Kk × PD × AZ, & PK × PH × AZ ut Kk × PD × AZ qu. id est ut area PDdM, & AZ qu. conjunctim. Q. E. D.

Corol. 2. In data quavis Nodorum positione, motus horarius mediocris est semissis motus horarii in Syzygiis Lunae, ideoque est ad 16". 35"'. 16^{iv}. 36^v. ut quadratum Sinus distantiae Nodorum à Syzygiis ad quadratum Radii, sive ut AZ qu. ad AT qu. Nam si Luna uniformi cum motu perambulet semicirculum QAq, summa omnium arearum PDdM, quo tempore Luna pergit à Q ad M, erit area QMdE quae ad circuli tangentem QE terminatur; & quo tempore Luna attingit punctum n, summa illa erit area tota EQAn quam linea PD describit; dein Luna pergente ab n ad q, linea PD cadet extra circulum, & aream nqe ad circuli tangentem qe terminatam describet; quae, quoniam Nodi prius regrediebantur, jam verò progrediuntur, subduci debet de area priore, & cum aequalis sit areae QEN, relinquet semicirculum NQAn. Igitur summa omnium arearum PDdM, quo tempore Luna semicirculum describit, est area semicirculi; & summa omnium quo tempore Luna circulum describit est area circuli totius. At area PDdM, ubi Luna versatur in Syzygiis, est rectangulum sub arcu PM & radio MT; & summa omnium huic aequalium arearum, quo tempore Luna circulum describit, est rectangulum sub circumferentia tota & radio circuli; & hoc rectangulum, cum sit aequale duobus circulis, duplo majus est quàm rectangulum prius. Proinde Nodi, eâ cum velocitate uniformiter continuatâ quam habent in Syzygiis Lunaribus, spatium duplo majus describerent quàm revera describunt; & propterea motus mediocris quocum, si uniformiter continuaretur, spatium à se inaequabili cum motu revera confectum describere possent, est semissis motus quem habent in Syzygiis Lunae. Unde cum motus orarius maximus, si Nodi in Quadraturis versantur, sit 33". 10"'. 33^{iv}. 12^v, motus mediocris horarius in hoc casu erit 16". 35"'. 16^{iv}. 36^v. Et cum motus horarius Nodorum semper sit ut AZ qu. & area PDdM conjunctim, & propterea motus horarius Nodorum in Syzygiis Lunae ut AZ qu. & area PDdM conjunctim, id est (ob datam aream PDdM in Syzygiis descriptam) ut AZ qu. erit etiam motus mediocris ut AZ qu. atque adeo hic motus, ubi Nodi extra Quadraturas versantur, erit ad 16". 35"'. 16^{iv}. 36^v. ut AZ qu. ad AT qu. Q. E. D.?