Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, DE MUNDI SYSTEMATE LIBER TERTIUS.,
Prop. 39~40

Prop.? XXXIX. Prob. XIX.

Invenire Praecessionem AEquinoctiorum.

Motus mediocris horarius Nodorum Lunae in Orbe circulari, ubi Nodi sunt in Quadraturis, erat 16". 35"'. 16^{iv}. 36^v. & hujus dimidium 8". 17"'. 38^{iv}. 18^v. (ob rationes & supra explicatas) est motus medius horarius Nodorum in tali Orbe; fitque anno toto sidereo 20 gr. 11'. 46". Quoniam igitur Nodi Lunae in tali Orbe conficerent annuatim 20 gr. 11'. 46". in antecedentia; & si plures essent Lunae motus Nodorum cujusque, per Corol. 16. Prop. LXVI. Lib. I. forent reciprocè ut tempora periodica; & propterea si Luna spatio diei siderei juxta superficiem Terrae revolveretur, motus annuus Nodorum foret ad 20 gr. 11'. 46". ut dies sidereus horarum 23. 56'. ad tempus periodicum Lunae dierum 27. 7 hor. 43'; id est ut 1436 ad 39343. Et par est ratio Nodorum annuli Lunarum Terram ambientis; sive Lunae illae se mutuò non contingant, sive liquescant & in annulum continuum formentur, sive denique annulus ille rigescat & inflexibilis reddatur.

[Pictura]

Fingamus igitur quod annulus iste quoad quantitatem materiae aequalis sit Terrae omni PapAPepE, quae globo PapE superior est; & quoniam globus iste est ad Terram illam superiorem ut aC qu. ad AC qu. - aC qu. id est (cum Terrae diameter minor PC vel aC sit ad diametrum majorem AC ut 689 ad 692) ut 4143 ad 474721 seu 1000 ad 114585; si annulus iste Terram secundum aequatorem cingeret, & uterque simul circa diametrum annuli revolveretur, motus annuli esset ad motum globi interioris (per hujus Lem. II. ) ut 4143 ad 474721 & 1000000 ad 925275 conjunctim, hoc est ut 4143 ad 439248: ideoque motus annuli esset ad summam motuum annuli & globi, ut 4143 ad 443991. Unde si annulus globo adhaereat, & motum suum, quo ipsius Nodi seu puncta aequinoctialia regrediuntur, cum globo communicet: motus qui restabit in annulo erit ad ipsius motum priorem ut 4143 ad 443391; & propterea motus punctorum aequinoctialium diminuetur in eadem ratione. Erit igitur motus annuus punctorum aequinoctialium corporis ex globo & annulo compositi, ad motum 20 gr. 11'. 46", ut 1436 ad 39343 & 4143 ad 443391 conjunctim, id est ut 1 ad 2932. Vires autem quibus Nodi Lunarum (ut supra explicui) atque adeò quibus puncta aequinoctialia annuli regrediuntur (id est vires 3IT, in Fig. pag. 444. ) sunt in singulis particulis ut distantiae particularum à plano QR, & his viribus particulae illae planum fugiunt; & propterea (per Lem. I.) si materia annuli per totam globi superficiem, in morem figurae PapAPepE, ad superiorem illam Terrae partem constituendam spargeretur, vis & efficacia tota particularum omnium ad Terram circa quamvis AEquatoris diametrum rotandam, atque adeo ad movenda puncta aequinoctialia, evaderet quadruplo minor quàm prius. Ideoque annuus aequinoctiorum regressus jam esset ad 20 gr. 11'. 46". ut 1 ad 11728, ac proinde fieret 6". 12"'. 2^{iv}. Haec est praecessio AEquinoctiorum à vi Solis oriunda. Vis autem Lunae ad mare movendum erat ad vim Solis ut 6-1/3 ad 1, & haec vis pro quantitate sua augebit etiam praecessionem AEquinoctiorum. Ideoque praecessio illa ex utraque causa oriunda jam fiet major in ratione 7-1/3 ad 1, & sic erit 45". 24"'. 15^{iv}. Hic est motus punctorum aequinoctialium ab actionibus Solis & Lunae in partes Terrae, quae globo Pape incumbunt, oriundus. Nam Terra ab actionibus illis in globum ipsum exercitis nullam in partem inclinari potest.

[Pictura]

Designet jam APEp corpus Terrae figurâ Ellipticâ praeditum, & ex uniformi materiâ constans. Et si distinguatur idem in figuras innumeras Ellipticas concentricas & consimiles, APEp, BQbq, CRcr, DSds, &c. quarum diametri sint in progressione Geometrica: quoniam figurae consimiles sunt, vires Solis & Lunae, quibus puncta aequinoctialia regrediuntur, efficerent ut figurarum reliquarum seorsim spectatarum puncta eadem aequinoctialia eadem cum velocitate regrederentur. Et par est ratio motus orbium singulorum AQEq, BRbr, CScs, &c. qui sunt figurarum illarum differentiae. Orbis uniuscujusque, si solus esset, puncta aequinoctialia eadem cum velocitate regredi deberent. Nec refert utrum orbis quilibet densior sit an rarior, si modò ex materia uniformiter densa confletur. Unde etiam si orbes ad centrum densiores sint quàm ad circumferentiam, idem erit motus aequinoctiorum Terrae totius ac prius; si modo orbis unusquisque seorsim spectatus ex materia uniformiter densa constet, & figura orbis non mutetur. Quod si figurae orbium mutentur, Terraque ad aequatorem AE, ob densitatem materiae ad centrum, jam altius ascendat quàm prius; regressus aequinoctiorum ex aucta altitudine augebitur, idque in orbibus singulis seorsim existentibus, in ratione majoris altitudinis materiae juxta orbis illius aequatorem; in Terra autem tota in ratione majoris altitudinis materiae juxta aequatorem orbis non extimi AQEq, non intimi Gg, sed mediocris alicujus CScs. Terram autem ad centrum densiorem esse, & propterea sub AEquatore altiorem esse quàm ad polos in majore ratione quàm 692 ad 689, in superioribus insinuavimus. Et ratio majoris altitudinis colligi ferè potest ex majore diminutione gravitatis sub aequatore, quàm quae ex ratione 692 ad 689 consequi debeat. Excessus longitudinis penduli, quod in Insula Goree & in illâ Cayennae minutis singulis secundis oscillatur, supra longitudinem Penduli quod Parisiis eodem tempore oscillatur, à Gallis inventi sunt pars decima & pars octava digiti, qui tamen ex proportione 692 ad 689 prodiere 81/1000 & 89/1000. Major est itaque longitudo Penduli Cayennae quàm oportet, in ratione 1/8 ad 89/1000, seu 1000 ad 712; & in Insula Goree in ratione 1/10 ad 81/1000 seu 1000 ad 810. Si sumamus rationem mediocrem 1000 ad 760; minuenda erit gravitas Terrae ad aequatorem, & ibidem augenda ejus altitudo, in ratione 1000 ad 760 quam proximè. Unde motus aequinoctiorum (ut supra dictum est) auctus in ratione altitudinis Terrae, non ad orbem extimum, non ad intimum, sed ad intermedium aliquem, id est, non in ratione maxima 1000 ad 760, non in minima 1000 ad 1000, sed in mediocri aliqua, puta 10 ad 8-1/3 vel 6 ad 5, evadet annuatim 54". 29"'. 6^{iv}.

Rursus hic motus, ob inclinationem plani AEquatoris ad planum Eclipticae, minuendus est, idque in ratione Sinus complementi inclinationis ad Radium. Nam distantia particulae cujusque terrestris à plano QR, quo tempore particula illa à plano Eclipticae longissimè distat, in Tropico suo (ut ita dicam) consistens, diminuitur, per inclinationem planorum Eclipticae & AEquatoris ad invicem, in ratione Sinus complementi inclinationis ad Radium. Et in ratione distantiae illius diminuitur etiam vis particulae ad aequinoctia movenda. In eadem quoque ratione diminuitur summa virium particulae ejusdem, in locis hinc inde à Tropico aequaliter distantibus: uti ex praedemonstratis facilè ostendi possit: & propterea vis tota particulae illius, in revolutione integrâ, ad aequinoctia movenda, ut & vis tota particularum omnium, & motus aequinoctiorum à vi illa oriundus, diminuitur in eadem ratione. Igitur cum inclinatio illa sit 23½ gr. diminuendus est motus 54". 29"'. in ratione Sinus 91706 (qui sinus est complementi graduum 23½) ad Radium 100000. Qua ratione motus iste jam fiet 49". 58"'. Regrediuntur igitur puncta aequinoctiorum motu annuo (juxta computationem nostram) 49". 58"', fere ut Phaenomena coelestia requirunt. Nam regressus ille annuus ex observationibus Astronomorum est 50".

Descripsimus jam Systema Solis, Terrae & Planetarum: superest ut de Cometis nonnulla adjiciantur.

Lemma IV.

Cometas esse Lunâ superiores & in regione Planetarum versari.

[Pictura]

Ut defectus Parallaxeos diurnae extulit Cometas supra regiones sublunares, sic ex Parallaxi annua convincitur eorum descensus in regiones Planetarum. Nam Cometae qui progrediuntur secundum ordinem signorum sunt omnes, sub exitu apparitionis, aut solito tardiores aut retrogradi, si Terra est inter ipsos & Solem, at justo celeriores si Terra vergit ad oppositionem. Et è contra, qui pergunt contra ordinem signorum sunt justo celeriores in fine apparitionis, si Terra versatur inter ipsos & Solem; & justo tardiores vel retrogradi si Terra sita est ad contrarias partes. Contingit hoc maximè ex motu Terrae in vario ipsius situ, perinde ut fit in Planetis, qui, pro motu Terrae vel conspirante vel contrario, nunc retrogradi sunt, nunc tardiùs moveri videntur, nunc verò celeriùs. Si Terra pergit ad eandem partem cum Cometa, & motu angulari circa Solem celerius fertur, Cometa è Terra spectatus, ob motum suum tardiorem, apparet esse retrogradus; sin Terra tardiùs fertur, motus Cometae, (detracto motu Terrae) fit saltem tardior. At si Terra pergit in contrarias partes, Cometa exinde velocior apparet. Ex acceleratione autem vel retardatione vel motu retrogrado distantia Cometae in hunc modum colligitur. Sunto [Aries]QA, [Aries]QB, [Aries]QC observatae tres longitudines Cometae, sub initio motus, sitque [Aries]QF longitudo ultimò observata, ubi Cometa videri desinit. Agatur recta ABC, cujus partes AB, BC rectis QA & QB, QB & QC interjectae, sint ad invicem ut tempora inter observationes tres primas. Producatur AC ad G, ut sit AG ad AB ut tempus inter observationem primam & ultimam, ad tempus inter observationem primam & secundam, & jungatur QG. Et si Cometa moveretur uniformiter in linea recta, atque Terra vel quiesceret, vel etiam in linea recta, uniformi cum motu, progrederetur; foret angulus [Aries]QG longitudo Cometae tempore Observationis ultimae. Angulus igitur FQG, qui longitudinum differentia est, oritur ab inaequalitate motuum Cometae ac Terrae. Hic autem angulus, si Terra & Cometa in contrarias partes moventur, additur angulo AQG, & sic motum apparentem Cometae velociorem reddit: Sin Cometa pergit in easdem partes cum Terra, eidem subducitur, motumque Cometae vel tardiorem reddit, vel forte retrogradum; uti modò exposui. Oritur igitur hic angulus praecipuè ex motu Terrae, & idcirco pro parallaxi Cometae meritò [Pictura] habendus est, neglecto videlicet ejus incremento vel decremento nonnullo, quod à Cometae motu inaequabili in orbe proprio oriri possit. Distantia verò Cometae ex hac parallaxi sic colligitur. Designet S Solem, acT Orbem magnum, a locum Terrae in observatione prima, c locum Terrae in observatione secunda, T locum Terrae in observatione ultima, & T[Aries] lineam rectam versus principium Arietis ductam. Sumatur angulus [Aries]TV aequalis angulo [Aries]QF, hoc est aequalis longitudini Cometae ubi Terra versatur in T. Jungatur ac, & producatur ea ad g, ut sit ag ad ac ut AG ad AC, & erit g locus quem Terra tempore observationis ultimae, motu in recta ac uniformiter continuato, attingeret. Ideoque si ducatur g[Aries] ipsi T[Aries] parallela, & capiatur angulus [Aries]gV angulo [Aries]QG aequalis, erit hic angulus [Aries]gV aequalis longitudini Cometae è loco g spectati; & angulus TVg parallaxis erit, quae oritur à translatione Terrae de loco g in locum T: ac proinde V locus erit Cometae in plano Eclipticae. Hic autem locus V orbe Jovis inferior esse solet.

Idem colligitur ex curvatura viae Cometarum. Pergunt haec corpora propemodum in circulis maximis quamdiu moventur celerius; at in fine cursus, ubi motus apparentis pars illa quae à parallaxi oritur, majorem habet proportionem ad motum totum apparentem, deflectere solent ab his circulis, & quoties Terra movetur in unam partem abire in partem contrariam. Oritur haec deflexio maximè ex Parallaxi, propterea quod respondet motui Terrae; & insignis ejus quantitas meo computo collocavit disparentes Cometas satis longè infra Jovem. Unde consequens est quòd in Perigaeis & Periheliis, ubi propius adsunt, descendunt saepius infra orbes Martis & inferiorum Planetarum.

Confirmatur etiam propinquitas Cometarum ex luce capitum. Nam corporis coelestis à Sole illustrati & in regiones longinquas abeuntis diminuitur splendor in quadruplicata ratione distantiae: in duplicata ratione videlicet ob auctam corporis distantiam à Sole, & in alia duplicata ratione ob diminutam diametrum apparentem. Unde si detur & lucis quantitas & apparens diameter Cometae, dabitur distantia, dicendo quod distantia sit ad distantiam Planetae in ratione integra diametri ad diametrum directè & ratione dimidiata lucis ad lucem inversè. Sic minima Capillitii Cometae anni 1682 diameter, per Tubum opticum sexdecim pedum à Cl. Flamstedio observata & micrometro mensurata, aequabat 2'. 0". Nucleus autem seu stella in medio capitis vix decimam partem latitudinis hujus occupabat, adeoque lata erat tantum 11" vel 12". Luce verò & claritate capitis superabit caput Cometae anni 1680, stellasque primae vel secundae magnitudinis aemulabatur. Ponamus Saturnum cum annulo suo quasi quadruplo lucidiorem fuisse: & quoniam lux annuli propemodum aequabat lucem globi intermedii, & diameter apparens globi sit quasi 21", adeoque lux globi & annuli conjunctim aequaret lucem globi, cujus diameter esset 30": erit distantiae Cometae ad distantiam Saturni ut 1 ad [sqrt]4 inversè, & 12" ad 30" directè, id est ut 24 ad 30 seu 4 ad 5. Rursus Cometa anni 1665 mense Aprili, ut Author est Hevelius, claritate sua pene fixas omnes superabat, quinetiam ipsum Saturnum, ratione coloris videlicet longè vividioris. Quippe lucidior erat hic Cometa altero illo, qui in fine anni praecedentis apparuerat & cum stellis primae magnitudinis conferebatur. Latitudo capillitii erat quasi 6', at nucleus cum Planetis ope Tubi optici collatus, plane minor erat Jove, & nunc minor corpore intermedio Saturni, nunc ipsi aequalis judicabatur. Porrò cum diameter Capillitii Cometarum rarò superet 8' vel 12', diameter verò Nuclei seu stellae centralis sit quasi decima vel fortè decima quinta pars diametri capillitii, patet Stellas hasce ut plurimum ejusdem esse apparentis magnitudinis cum Planetis. Unde cum lux eorum cum luce Saturni non rarò conferri possit, eamque aliquando superet; manifestum est quod Cometae omnes in Periheliis vel infra Saturnum collocandi sint, vel non longe supra. Errant igitur toto coelo qui Cometas in regionem Fixarum prope ablegant: qua certè ratione non magis illustrari deberent à Sole nostro, quàm Planetae, qui hic sunt, illustrantur à Stellis fixis.

Haec disputavimus non considerando obscurationem Cometarum per fumum illum maximè copiosum & crassum, quo caput circundatur, quasi per nubem obtusè semper lucens. Nam quanto obscurius redditur corpus per hunc fumum, tanto propius ad Solem accedat necesse est, ut copia lucis à se reflexa Planetas aemuletur. Inde verisimile fit Cometas longe infra Sphaeram Saturni descendere, uti ex Parallaxi probavimus. Idem verò quam maximè confirmatur ex Caudis. Hae vel ex reflexione fumi sparsi per aethera, vel ex luce capitis oriuntur. Priore casu minuenda est distantia Cometarum, ne fumus à Capite semper ortus per spatia nimis ampla incredibili cum velocitate & expansione propagetur. In posteriore referenda est lux omnis tam caudae quàm capillitii ad Nucleum capitis. Igitur si imaginemur lucem hanc omnem congregari & intra discum Nuclei coarctari, Nucleus ille jam certè, quoties caudam maximam & fulgentissimam emittit, Jovem ipsum splendore suo multum superabit. Minore igitur cum diametro apparente plus lucis emittens, multò magis illustrabitur à Sole, adeoque erit Soli multò propior. Quinetiam capita sub Sole delitescentia, & caudas cum maximas tum fulgentissimas instar trabium ignitarum nonnunquam emittentia, eodem argumento infra orbem Veneris collocari debent. Nam lux illa omnis si in stellam congregari supponatur, ipsam Venerem ne dicam Veneres plures conjunctas quandoque superaret.

Idem denique colligitur ex luce capitum crescente in recessu Cometarum à Terra Solem versus, ac decrescente in eorum recessu à Sole versus Terram. Sic enim Cometa posterior Anni 1665 (observante Hevelio,) ex quo conspici caepit, remittebat semper de motu suo, adeoque praeterierat Perigaeum; Splendor verò capitis nihilominus indies crescebat, usque dum Cometa radiis Solaribus obtectus desiit apparere. Cometa Anni 1683, observante eodem Hevelio, in fine Mensis Julii ubi primum conspectus est, tardissimè movebatur, minuta prima 40 vel 45 circiter singulis diebus in orbe suo conficiens. Ex eo tempore motus ejus diurnus perpetuo augebatur usque ad Sept. 4. quando evasit graduum quasi quinque. Igitur toto hoc tempore Cometa ad Terram appropinquabat. Id quod etiam ex diametro capitis micrometro mensurata colligitur: quippe quam Hevelius reperit Aug. 6. esse tantum 6'. 5" inclusâ comâ, at Sept. 2. esse 9'. 7". Caput igitur initio longe minus apparuit quàm in fine motus, at initio tamen in vicinia Solis longe lucidius extitit quàm circa finem, ut refert idem Hevelius. Proinde toto hoc tempore, ob recessum ipsius à Sole, quoad lumen decrevit, non obstante accessu ad Terram. Cometa Anni 1618 circa medium Mensis Decembris, & iste Anni 1680 circa finem ejusdem Mensis, celerrimè movebantur, adeoque tunc erant in Perigaeis. Verum splendor maximus capitum contigit ante duas fere septimanas, ubi modò exierant de radiis Solaribus; & splendor maximus caudarum paulo ante, in majore vicinitate Solis. Caput Cometae prioris, juxta observationes Cysati, Decem. 1. majus videbatur stellis primae magnitudinis, & Decem. 16. (jam in Perigaeo existens) magnitudine parùm, splendore seu claritate luminis plurimum defecerat. Jan. 7. Keplerus de capite incertus finem fecit observandi. Die 12 mensis Decemb. conspectum & à Flamstedio observatum est caput Cometae posterioris, in distantia novem graduum à Sole; id quod stellae tertiae magnitudinis vix concessum fuisset. Decem. 15 & 17 apparuit idem ut stella tertiae magnitudinis, diminutum utique splendore Nubium juxta Solem occidentum. Decem. 26. velocissimè motus, inque Perigaeo propemodum existens, cedebat ori Pegasi, Stellae tertiae magnitudinis. Jan. 3. apparebat ut Stella quartae, Jan. 9. ut Stella quintae, Jan. 13. ob splendorem Lunae crescentis disparuit. Jan. 25. vix aequabat Stellas magnitudinis septimae. Si sumantur aequalia à Perigaeo hinc inde tempora, capita quae temporibus illis in longinquis regionibus posita, ob aequales à Terra distantias, aequaliter lucere debuissent, in plaga Solis maximè splenduere, ex altera Perigaei parte evanuere. Igitur ex magna lucis in utroque situ differentia concluditur magna Solis & Cometae vicinitas in situ priore. Nam lux Cometarum regularis esse solet, & maxima apparere ubi capita velocissimè moventur, atque adeo sunt in Perigaeis; nisi quatenus ea major est in vicinia Solis.

Corol. 1. Splendent igitur Cometae luce Solis à se reflexa.

Corol. 2. Ex dictis etiam intelligitur cur Cometae tantopere frequentant regionem Solis. Si cernerentur in regionibus longè ultra Saturnum deberent saepius apparere in partibus Soli oppositis. Forent enim Terrae vicinioris qui in his partibus versarentur, & Sol interpositus obscuraret caeteros. Verum percurrendo historias Cometarum reperi quod quadruplo vel quintuplo plures detecti sunt in Hemisphaerio Solem versus, quàm in Hemisphaerio opposito, praeter alios procul dubio non paucos quos lux Solaris obtexit. Nimirum in descensu ad regiones nostras neque caudas emittunt, neque adeo illustrantur à Sole, ut nudis oculis se prius detegendos exhibeant, quàm sint ipso Jove propiores. Spatii autem tantillo intervallo circa Solem descripti pars longè major sita est à latere Terrae quod Solem respicit; inque parte illa majore Cometae Soli ut plurimum viciniores magis illuminari solent.

Corol. 3. Hinc etiam manifestum est, quod coeli resistentia destituuntur. Nam Cometae vias obliquas & nonnunquam cursui Planetarum contrarias secuti, moventur omnifariam liberrimè, & motus suos etiam contra cursum Planetarum diutissimè conservant. Fallor ni genus Planetarum sint, & motu perpetuo in orbem redeant. Nam quod Scriptores aliqui Meteora esse volunt, argumentum à capitum perpetuis mutationibus ducentes, fundamento carere videtur. Capita Cometarum Atmosphaeris ingentibus cinguntur; & Atmosphaerae infernè densiores esse debent. Unde nubes sunt non ipsa Cometarum corpora, in quibus mutationes illae visuntur. Sic Terra si è Planetis spectaretur, luce nubium suarum proculdubio splenderet, & corpus firmum sub nubibus prope delitesceret. Sic cingula Jovis in nubibus Planetae illius formata, situm mutant inter se, & firmum Jovis corpus per nubes illas difficilius cernitur. Et multo magis corpora Cometarum sub Atmosphaeris & profundioribus & crassioribus abscondi debent.

Prop. XL. Theor. XXI.

Cometas in Sectionibus conicis umbilicos in centro Solis habentibus moveri, & radiis ad solem ductis areas temporibus proportionales describere.

Patet per Corol. 1. Prop. XIII. Libri primi, collatum cum Prop. VIII, XII & XIII. Libri tertii.

Corol. 1. Hinc si Cometae in orbem redeunt, orbes erunt Ellipses, & tempora periodica erunt ad tempora periodica Planetarum in ratione sesquialtera transversorum axium. Ideoque Cometae maxima ex parte supra Planetas versantes, & eo nomine orbes axibus majoribus describentes, tardius revolventur. Ut si axis orbis Cometae sit quadruplo major axe orbis Saturni, tempus revolutionis Cometae erit ad tempus revolutionis Saturni, id est ad annos 30, ut 4[sqrt]4 (seu 8) ad 1, ideoque erit annorum 240.

Corol. 2. Orbes autem erunt Parabolis adeo finitimi, ut eorum vice Parabolae absque erroribus sensibilibus adhiberi possunt.

Corol. 3. Et propterea, per Corol. 7. Prop. XVI. Lib. I. velocitas Cometae omnis erit semper ad velocitatem Planetae cujusvis circa Solem in circulo revolventis, in dimidiata ratione duplicatae distantiae Cometae à centro Solis ad distantiam Planetae à centro Solis quamproximè. Ponamus radium orbis magni, seu Ellipseos in qua Terra revolvitur semidiametrum transversam, esse partium 100000000, & Terra motu suo diurno mediocri describet partes 1720212, & motu horario partes 71675½. Ideoque Cometa in eadem Telluris à Sole distantia mediocri, ea cum velocitate quae sit ad velocitatem Telluris ut [sqrt]2 ad 1, describet motu suo diurno partes 2432747, & motu horario partes 101364½. In majoribus autem vel minoribus distantiis, motus tum diurnus tum horarius erit ad hunc motum diurnum & horarium in dimidiata ratione distantiarum respectivè, ideoque datur.

Lemma V.

Invenire lineam curvam generis Parabolici, quae per data quotcunque puncta transibit.

Sunto puncta illa A, B, C, D, E, F, &c. & ab iisdem ad rectam quamvis positione datam HN demitte perpendicula quotcunque AH, BI, CK, DL, EM, FN.

[Pictura]

Cas. 1. Si punctorum H, I, K, L, M, N aequalia sunt intervalla HI, IK, KL, &c. collige perpendiculorum AH, BI, CK &c. differentias primas b, 2b, 3b, 4b, 5b, &c. secundas c, 2c, 3c, 4c, &c. tertias d, 2d, 3d, &c. id est, ita ut sit HA - BI = b, BI- CK = 2b, CK - DL = 3b, DL + EM = 4b, - EM + FN = 5b, &c. dein b - 2b = c &c. & sic pergatur ad differentiam ultimam, quae hic est f. Deinde erecta quacunque perpendiculari RS, quae fuerit ordinatim applicata ad curvam quaesitam: ut inveniatur hujus longitudo, pone intervalla HI, IK, KL, LM, &c. unitates esse, & dic AH = a, - HS = p, ½p in - IS = q, 1/3q in + SK = r, ¼r in + SL = s, 1/5s in + SM = t; pergendo videlicet ad usque penultimum perpendiculum ME, & praeponendo signa negativa terminis HS, IS, &c. qui jacent ad partes puncti S versus A, & signa affirmativa terminis SK, SL, &c. qui jacent ad alteras partes puncti S. Et signis probe observatis erit RS = a + bp + cq + dr + es + ft &c.

Cas. 2. Quod si punctorum H, I, K, L, &c. inaequalia sint intervalla HI, IK, &c. collige perpendiculorum AH, BI, CK, &c. differentias primas per intervalla perpendiculorum divisas b, 2b, 3b, 4b, 5b; secundas per intervalla bina divisas c, 2c, 3c, 4c, &c. tertias per intervalla terna divisas d, 2d, 3d, &c. quartas per intervalla quaterna divisas e, 2e, &c. & sic deinceps; id est ita ut sit b = {AH - BI} ÷ HI, 2b = {BI - CK} ÷ IK, 3b = {CK - DL} ÷ KL &c. dein c = {b - 2b} ÷ HK, 2c = {2b - 3b} ÷ IL, 3c = {3b - 4b} ÷ KM &c. Postea d = {c - 2c} ÷ HL, 2d = {2c - 3c} ÷ IM &c. Inventis differentiis, dic AH = a, - HS = p, p in - IS = q, q in + SK = r, r in + SL = s, s in + SM = t; pergendo scilicet ad usque perpendiculum penultimum ME, & erit ordinatim applicata RS = a + bp + cq + dr + es + ft, &c.

Corol. Hinc areae curvarum omnium inveniri possunt quamproximè. Nam si curvae cujusvis quadrandae inveniantur puncta aliquot, & Parabola per eadem duci intelligatur: erit area Parabolae hujus eadem quam proximè cum area curvae illius quadrandae. Potest autem Parabola per Methodos notissimas semper quadrari Geometricè.

Lemma VI.

Ex observatis aliquot locis Cometae invenire locum ejus ad tempus quodvis intermedium datum.

Designent HI, IK, KL, LM tempora inter observationes, (in Fig. praeced. ) HA, IB, KC, LD, ME, observatas quinque longitudines Cometae, HS tempus datum inter observationem primam & longitudinem quaesitam. Et si per puncta A, B, C, D, E duci intelligatur curva regularis ABCDE; & per Lemma superius inveniatur ejus ordinatim applicata RS, erit RS longitudo quaesita.

Eadem methodo ex observatis quinque latitudinibus invenitur latitudo ad tempus datum.

Si longitudinum observatarum parvae sint differentiae, puta graduum tantum 4 vel 5; suffecerint observationes tres vel quatuor ad inveniendam longitudinem & latitudinem novam. Sin majores sint differentiae, puta graduum 10 vel 20, debebunt observationes quinque adhiberi.

Lemma VII.

[Pictura]

Per datum punctum P ducere rectam lineam BC, cujus partes PB, PC, rectis duabus positione datis AB, AC abscissae, datam habeant rationem ad invicem.

A puncto illo P ad rectarum alterutram AB ducatur recta quaevis PD, & producatur eadem versus rectam alteram AC usque ad E, ut sit PE ad PD in data illa ratione. Ipsi AD parallela sit EC; & si agatur CPB, erit PC ad PB ut PE ad PD. Q. E. F.

Lemma VIII.

Sit ABC Parabola umbilicum habens S. Chordâ AC bisectâ in I abscindatur segmentum ABCI, cujus diameter sit I[mu] & vertex [mu]. In I[mu] productâ capiatur [mu]O aequalis dimidio ipsius I[mu]. Jungatur OS, & producatur ea ad [xi], ut sit S[xi] aequalis 2SO. Et si Cometa B moveatur in arcu CBA, & agatur [xi]B secans AC in E: dico quod punctum E abscindet de chorda AC segmentum AE tempori proportionale quamproximè.

[Pictura]

Jungatur enim EO secans arcum Parabolicum ABC in Y, & erit area curvilinea AEY ad aream curvilineam ACY ut AE ad AC quamproximè. Ideoque cum triangulum ASE sit ad triangulum ASC in eadem ratione, erit area tota ASEY ad aream totam ASCY ut AE ad AC quamproximè. Cum autem [xi]O sit ad SO ut 3 ad 1 & EO ad YO prope in eadem ratione, erit SY ipsi EB parallela quamproximè, & propterea triangulum SEB, triangulo YEB quamproximè aequale. Unde si ad aream ASEY addatur triangulum EYB, & de summa auferatur triangulum SEB, manebit area ASBY areae ASEY aequalis quamproximè, atque adeo ad aream ASCY ut AE ad AC. Sed area ASBY est ad aream ASCY ut tempus descripti arcus AB ad tempus descripti arcus totius. Ideoque AE est ad AC in ratione temporum quamproximè. Q. E. D.

Lemma IX.

Rectae I[mu] & [mu]M & longitudo AIC ÷ 4S[mu] aequantur inter se. Nam 4S[mu] est latus rectum Parabolae pertinens ad verticem B.

Lemma X.

Si producatur S[mu] ad N & P, ut [mu]N sit pars tertia ipsius [mu]I, & SP sit ad SN ut SN ad S[mu]. Cometa quo tempore describit arcum A[mu]C, si progrederetur ea semper cum velocitate quam habet in altitudine ipsi SP aequali, describeret longitudinem aequalem chordae AC.

Nam si velocitate quam habet in [mu], eodem tempore progrediatur uniformiter in recta quae Parabolam tangit in [mu]; area quam Radio ad punctum S ducto describeret, aequalis esset areae Parabolicae ASC[mu]. Ideoque contentum sub longitudine in Tangente descripta & longitudine S[mu], esset ad contentum sub longitudinibus AC & SM, ut area ASC[mu] ad triangulum ASCM, id est ut SN ad SM. Quare AC est ad longitudinem in tangente descriptam ut S[mu] ad SN. Cum autem velocitas Cometae in altitudine SP sit ad velocitatem in altitudine S[mu] in dimidiata ratione SP ad S[mu] inversè, id est in ratione S[mu] ad SN, longitudo hac velocitate eodem tempore descripta, erit ad longitudinem in Tangente descriptam ut S[mu] ad SN. Igitur AC & longitudo hac nova velocitate descripta, cum sint ad longitudinem in Tangente descriptam in eadem ratione, aequantur inter se. Q. E. D.

Corol. Cometa igitur ea cum velocitate, quam habet in altitudine S[mu] + 2/3I[mu], eodem tempore describeret chordam AC quamproximè.

Lemma XI.

Si Cometa motu omni privatus de altitudine SN seu S[mu] + 1/3I[mu] demitteretur, ut caderet in Solem, & ea semper vi uniformiter continuata urgeretur in Solem qua urgetur sub initio; idem tempore in orbe suo describat arcum AC, descensu suo describeret spatium longitudini I[mu] aequale.

Nam Cometa quo tempore describat arcum Parabolicum AC, eodem tempore ea cum velocitate quam habet in altitudine SP (per Lemma novissimum) describet chordam AC, adeoque eodem tempore in circulo cujus semidiameter esset SP revolvendo, describeret arcum cujus longitudo esset ad arcus Parabolici chordam AC in dimidiata ratione unius ad duo. Et propterea eo cum pondere quod habet in Solem in altitudine SP, cadendo de altitudine illa in Solem, describeret eodem tempore (per Scholium Prop. IV. Lib. I.) spatium aequale quadrato semissis chordae illius applicato ad quadruplum altitudinis SP, id est spatium AIq. ÷ 4SP. Unde cum pondus Cometae in Solem in altitudine SN sit ad ipsius pondus in Solem in altitudine SP, ut SP ad S[mu]: Cometa pondere quod habet in altitudine SN eodem tempore, in Solem cadendo, describet spatium AIq. ÷ 4S[mu], id est spatium longitudini I[mu] vel M[mu] aequale. Q. E. D.?