장음표시 사용
11쪽
Aum,oe caua emicirculi E B peripheriam, alioqui dicta recta intercipi non potest, mi ex demonstratis patet. Hinc omnibus ipsi Happlicatis. Fit haec applicatio tribus datis rectis, inueniendoequartam proportionalem: fiat igitur primum, ut AH ad B H, ita E F ad aliam, quae sit N F, eritque N F, latitudo orta ex appljcatione B H in E F , fiat deinde vi Α H ad A B , ita B D , ad aliam,
quae sit B L. estque haec latitudo orta ex applicatione .
AB in BD. Iam ex primo meo lemmate erunt rectangula N B F; & L B C, aequalia δ Ἀθ ολου quacunque alia sic intercepta , sectaque pro ratione A H ad B H, ex eadem aetesi, rectangula sub segmentis ad B punctum, rectangulo L B C, aequalia erunt, si igitur inter LB, BC, media inueniatur proportionalis, . O, erit o quadratum, rectangulo N B F, aequale. Oportet latitudinem ortam ex applicatione B H , in E RLatitudo orta ex applicatione B H in EF, est ipsa N F, at ea quae oritur ex applicatione A B in B D , est BL, ut ostensum est rectangulum autem sub BL, B C constitutum cit aequale quadrato ipsius o. aio rectam N F, non minorem esse debere, dupla ipsius O rectangula si quidem omnia, sub interceptarum
segmentis ad B punctum, quum similiter sectae sunt, pro ratione A H ad B H , & multatae segmentis sim libus ipsi A B, aequalia sunt sigillatim rectangulo
I. B C, id est quadrato O: minimae vero coecticientes rectangulorum aequalium, sunt latera aequale quadratum comprehendentia, non potest igitur segme-
tum cuiusuis interceptae ipsi NF simile minus esse
12쪽
duplo ipsius o recta: unde sequitur, si fiat vi H B adHA ita dupla ipsius O ad aliam, quae sit P,esse P, in-
reineptarum omnium minimam. ut post clarius ontendetur.
Tum altera extremarum, diuisa nempe priori latitudine. Prior latitudo erat ipsa N F, quae ita secanda est ex praedemonstratis, ut recta O, potens rectangulum L BC, inter eius partes media sit proportionalis, sint hae partes N B, B F, altera extremarum s si nimirum recta intercipienda, ipsis datis C A, aut tangenti corinnatae non congruat, quod si congruit factu quod iubetur maiore quidem quam B C, at minore qua est tangens a puncto B, inter B. &punctum contingentiae in circumserentia CKD, est namque horum segmentorum tangens maximii, BC minimii) su blata ex recta data intercipienda, reliquum segmentum rectae scilicet intercipiendae) minus esse deberrecta A B, alioqui in circulo A E B intercini non posset, siquidem A B maxima esst interceptarum in semicirculo AEBὶ at maius segmento dictae tangentis inter B punctum,&cauam semicirculi AEBperipheriam: rectae enim inter puta ctum A, de cauam
femicirculi ΑΕΒ peripheriam interceptae , quo ipsi
A B propiores eo maiores remotissima vero ab ipsa A B, quae inter datos semicirculos intercipi possit est ipsa tangens continuata , quare reliquum datae segmentum , dicto tangentis segmento , minus esse
Iam diducto velo, & etet eseos involucris explici- dctarminatione, quid pronucia determinasseno
13쪽
me Lunc casum Z Equidem aperte satis Zete eos vim intelligenti, quae dum ad certam nos adstringit factionem, ipsium problema determinat, demonstratque postibile & impossibile, Imo exhibet ipsam
minimam , qua data, statim se prodit maxima, ab ea quippe utravis remotissima, quod ut ostendamus O , agere liceat, de symptomata acuratius consi
Est primum O recta semper minor recta a puncto B circulum C F D tangente , quoniam B L, minor est ipsa B D, ex constructione, & proptereaiectangulum B D C, id est quadratum tangentis, maius rectangulo L B C, id est quadrato ipsius O, sit autem B L maior ipsa B C, & erit quoque O eadem maior, potest ergo inter punctum B, & circumferentiam C F D, intercipi recta ipsi O aequalis: sit ea verbi gratia ipsa FB, quae proci ucatur donec circumferentiam AEB, secet in E,& fiat ut AH ad B H, ita E F ad N F, erit igitur ut demonstratum est. F B Nrectangulum, quadrato O, id est F B, aequale, rectη igitur FB, B N aequales erunt. Intercipiatur iam quς-
uis alia, ut d R, & fiat ut A H ad B H, ita ad s erit igitur QB vel maior ipsi FB, si nimirum
inter FB & tangentem cadat vel minor, si inter FB,& B C. sit primum B Q maior quam B F: sunt ex habita hactenus etetesi, rectangula N BF id est quadrarum BF, & s B Q. , aequalia, quoniam igitur triu proportionaliu B Q , B F,Bs, BQ maior est media B F, erit Suma extremam Q S, maior mediae dupla, id est ipsa
J N est autem exconstr ictione QS ad 5 R, Vt F
14쪽
ΑpoLLONII REDI VIVI. is . ad N E, & permutando QS ad F N, ut S R ad N E. atqui QS ostensa est maior ipsa FN,ergo & S R ipsa
NE, & tota Q. tota FE maior erit: eodeque modo si
interponatur QB minor ipsa C F,& fiat ut A H ad G uita A C ad MC, ostendetur composita ex extremis M C , maior mediae dupla, id est ipsa N F, totaqueC A, tota F E maior. Sit iam B L , ac proinde & O non maior ipsa B C: vel igitur a qualis, vel minor, si fuerit B L aequalis ipsi s C, erit O eidem a qualis, & tum ostendetur modo quo supra, ipsa C λ minima. sin minor, tum p sita O recta media, erit B C maior extremarum, &B L minor,ac proinde quoque in reliquis rectangulis ualibus, qualia sunt is F, F B N , erunt B F , B innatores extremae, & quoniam ex quatuor proportionalibus C B M, QBS, maxima est Q', erit minima B S, totaque QI, tota C M maior erit, ex 2s. s. Euclid. in eodemque modo ostendetur &QR maior quam C A vel F E, atque adeo a minore scin
per remotiorem, propinquiore maiorem esse , & si quidem C A fuerit minima, erit tangens a puncto Bmaxima at F E existente minima , erunt intercepta rum segmenta omnia a puncto B versus tangentem continuo maiores, ac proinde & ipsa tangens omnium maxima, eique coeffciens reliquarum coefficientiu in minima: composita vero ex tangente & sibi coeficiente,maxima ab illa parte, ac proinde tangens continuata, interceptarum ab hac parte maxima. at vero posita eadem O media qquali ipsi BF e Iuut interceptarum seginenta a B puncto versus BC
15쪽
continuo minores extremae, ac proinde B C minima.
quare & ei coeffcies adeoque & composita ex ijs denae maior quam composita ex alijs coefficietibus ad has ce mediae partes, totaque C A maxima erit. hinc etiasequitur u proportionales fuerint BC, BF, B Qquales esse QR, C A, rectangula quippe CBM, S, aequalia, sub aequalibus erunt lateribus, atque adeo proportionalibus existentibus CB, BF & tangente a puncto B, erit Utraque C A, & tangens ut dictum
est incontinuata,maxima. at B C maiore existente ter
tia proportionali ipsis, tangenti a puncto B, & B F rc ctis, erit dicta tangens m axima, quippe tertia ei prOportionali minima existente, ac proinde & ipsa tangente maxima. at eadem BC minore existente eadem
tertia proportionali, erit C A interceptarum maxima , quippe BC , proportionalium minima ac pro
pterea eius coefficiente maxima.
Ex praedemonstratis paret,quomodo duob' oblatis huius nodi semi circulis facile sit maximu& minimudeterminare, facili ab analysi ad synthesin regrestu:
adeoque id χτ,ν & Geometram se prςbere analystam: nam postquam dis ad demonstrationem suam firmandam demonstrarit & sumpselit, que admodum a nobis praemissiim est) rectangula omnia Q. Bs, PBM,CMA quadrato O siue rectangulo L BC esse aequalia, sic statim minimam concludet: si quidem B L non minor fuerit ipsa B C, erit A C omnium minima, ac proinde ab ea remotissima, ipsa scilicet tangens mMtima , ut ostensum a nobis est, et B L maiore existente ipsa B G, fiat rectangulo L B C, . aequale
16쪽
aequale quadratum O, quae quidem O , semper minor est tangentea B puncto , ut demonstratum est:&in hoc casu maior ipsa B C, fiatque vi H B ad HAita O dupla ad P. dico P csse minimam intercepta 'rum. intcrcipi enim pose sic ostenditur, fiat B F ipsio aequalis, & producatur donec secet circumferentiam A E B, in Ε, &fiat ut A Had B H, ita EF ad N F, & erit ex demonstratis N B F rectangulum, ςqua te quadrato ipsius BF, ergo rectae N B, BF aequales, est autem N F ad F E, ex constructione vi H B ad HA, atqui vi H B ad HAita NF siue o dupla ad P, stinc igitur F E & P rectae,aequales: intercepta itaque est FErecta ipsi P aequalis. esse aute minima, demostrabitur ut supra: ite utru data AC, an ipsa tangens per B pibctum continuata, maxima sit, an Vtraque, ut iam ostensum est. Itemque si offeratur alia, maxima in terceptarum minor, minore maior, problemati hoc
modo satisfiet. sit ea TX recta, & fiat ut AB ad B H, ita T V ad V X, deinde sat rectangulo LBC, siueo quadrato aequale rectangulum X Z V,&quoniam
recta TX maior est minima, erit altera extremarum
V Z vel Z X maior ipsa O,altera minor, deinde quonia est minor maximi:, quti similiter siccabitur maxima, ut secta est T X, in V, & reliquum eius stamen. tum secabitur in partes coatinentu rectangulu m ii' si V Z X rectangulo,aequale, crit vel iij ius maius scgmentum, istius maiore, maius, Ut quum maxima est tangens a puncto B, potest igitur inter minim ii terceptae segmentum a puncto B in semicirculum C
17쪽
KD,&eundem circulum tangentem ab eodem pucto, intercipi recta eidem maiori segmento rectar in aercipiendae aequalis, intercipiatur, & producatur in circumferentiam circuli A E R B, qualis recta ostendetur rcctast BR ipsi TX. qualis, eodem modo quo iam ostensum est rectam F E, esse minimam. vel erit minus segmentum rectae V X minus quidem recta O, at maius minore segmento maximae, α tunc si A C maxima fuerit, poterit dictum minus segme- tum rect UX, intercipi inter rectas BF, B c , intercipiatur producaturque in circumserentiam A E R B, &ostendetur eodem quo prius modo , recta sic in
tercepta ipsi P X aequalis: intercepta itaque est recta data, quod erat faciendum.
HInc sequitur si huiusmodi recta quae intercipi
possit fuerit minor utraque ipsarum AC, & ta gente circumferentiamCΚD a B puncto, posse duobus modis eam intercipi, priori si maius extremum intercipiatur inter tangentem & BF, altero si minus extremum intercipiatur inter BF & B C, cst igitur hic casus 3 ι, quod animaduertis. Detit o-Pςxς pretium. Eadem methodo ostedemus & detcrminationem quam paginis vicesima tertia,& vicesima quarta, mei
libelli ego adhibui, pro instituta mihi getest susscie tem esse re legittimam, atque adeo vel leui adhibito
LX mine, Geometrice maximum & minimum inli-
18쪽
neis, inde definiri posse, quemadmodum iam a nobis in hoc stiperiori casu praestitum est. sed ne nobilis sinae huius scientiae studiosis ullo modo desimus age experia'ur, & repetatur figura paginae vicesimae tertiae, sintque semicirculi quales illic requiruntur AF E, B G D, & fiant aequales A C,D E, adeoque &reliqua construantur prout illic praescriptum est. Analogitanis ordinatus ex illic firmata zelesi fuit differentiam rectangulorum IH vel FG in compo-ditam ex BD, BC,&BD in I B, esse ad rectangulum A B in B E ut recta B C ad rectam I B: unde determinationem elicuimus ut sequitur.
Hinc ipsi B D applicatis rectangulis G F in compositam ex B D, BC , B in B E, oportet latitudinem prio rem, non minorem esse dupla rectae quaepotest rectangulum
ex latitudineposteriore , in rectam B C, tum altera extra marum non minore ipsa B, nee maiore media propor-sionali inter B G sublata ex rem data, reliquum figmentum ipsa B C maius esse non debet , alioqui recta data interponi non pol st, zi ex demonstraris liquet.
19쪽
Hinc ipsi B D applicatis rectangulis. Fiat applicatio ut supra,tribus scilicet datis inueniendo quartam proportionalem , &sit primum ut B D ad compositam ex B D, B C ita IH vel G F , ad aliam, quae ut aequalis compositae ex lH, I Κ , critq;ca latitudo ex prima applicatione. sit secundo vi B Dad B E, ita A B ad aliam quae sit A L, tum inter A L &B C media sit proportionalis O. ex primo nostro lemate erit rectangulum sub LB&composita ex I Κ, B H, aequale rectangulo sub A L, B C, sive quadrato
ipsius o. atque ita χ, ῆιλου de quibusvis alijs interceptis, similiterque aha ctis, id est, si fuci it tota intcrcepta ad adiectam ipsi IK similem, ut BD ad B c. nam quoniam est ut B D ad compositam ex B D Ac ita iH ad compositam ex IH&i k,erit&diuidedo ut BD ad B Gita i H ad I h. erunt rectangula sub similibus segmetis, ipso quadrato,vel rectangulo lub A L, B caequalia segmentaque inter B punctum & circumferentiam AIR erunt extrema proportionalium, seu alitarum latus rectangulorum aequalium. Oportet latitudinem prior m. Latitudo prior erat composita ex IH, ik, latitudo posterior AL,rci tangulum vero sub AL,Bc, postsi est aequale quadrato O,& quoniam O quadratum semper est aequale rectangulo sub l B & composita ex iis, ΒΗ, ut ex Zetesi constat. in non potest recta hia minor
esse dupla ipsius o. hinc sequitur ipsus O duplam multatam segmento simili ipsi ili, id emi diuidatur ipsius o dupla,pro ratione B c ad BD partem ipsi BD
umilem esic omnium interceptarum minimam. data
20쪽
autem minima,maxima init quae ab ea fuerit remo. tissimari utramuis partem, ut post ostendetur.
Quoniam enim recta inter B punctum & circumferentiam AIR, est semper altera coecta cientium, non potest ea aut minor esse recta A B, aut maior recta tangente QB vel BR hoc autem segmcnto subia toex recta intercipienda , eius rcliqua pars debet in . scribi circulo B H C: quare recta B C maior esse non potest, ,alioqui dictam rectam inscribi impossibile est. atque ita a me determinatum est problema:&ex .facto parabolismo statim prodit minima, aqua remotior ab utrauis parte semper propinquiore maior est, & remotissima maxima. hoc Vt minutius & per partes ostendanaus, longiore opus est examine,quod
tamen inire non grauabor.' Quoniam igitur est ut BD ad ΒΕ, ita A B ad A L, erit rectangulum sub BD, A L rectangulo sub B E, AB id est quadrato rectae tangentis circulum B G Din. B puncto , & in circumfercntia A FE terminatiae quale: sit ea tangens QB vel BR. Iam si BC, BD aequales fuerint, erit recta O dictae tangenti aequalis, qua ultimam statuimus interceptarum inter dictas circumferentias & ad B punctum pertinentium ver
sus A partes. aliae . si quidem factione Geometrica non indigent ὶ si . non sunt aequales sit BC minor quam BD, eritque quadratum O, quadrato dictae
tangentis minus. aut igitur BC ipsa AB minor, aut . non minor erit: sit primum non minor, & vel maior