Damiani Scognamiglio medici Neapolitani De planarum aequationum resolutione. Epistola ad illustriss., & excellentiss. d. Paulum Francone Saliceti marchionem

11쪽

Eecellentissimo Signore DAmiano Scognamiglio supplicando espone 1 RE., coῆ

me desidera dare alle stampe un'opuscoletio intitot to Damiani Munam lio Medici Neapolitani. De Planarum AEquationum Resolutione epistola supplica V. E. concederii laticenZa, ut Deus, &c.

M.A. .nNicolaur Cirido videatae inscriptis reserat. GASCON R. GUERRERO R. ARGENTO R. Provisium per S. E. Neap. IS. Julii I7II. Masellanus

Spemb. Duae SNicolai non interfuit Excellentiss. Domine Iustu Exc. T. legi libellum, cui titulus Damiani Scognam glio Medici Neapolitani.De Planarum AEquationum Resolutione, mole sane exiguum, sed penitioris Geometriae gemmis elegantissime distinctum: quumque in eo nihil occurrerit, quod Regiae Iurisdictioni adversetur, typis committi posse reor. Neapoli 3 o. Iulij i ia.

Addicti . Servus Nicolaus Cyrillus. Visa relatione imp rimatur, G in publicatione fructu Regia Pragm.

GASCON R. GUER RERO R. ARGENTO R. Provisum per S. E. Neap. 3. Augusti i i asellanat Memb. Dux S. Nicolai non intersuit

Prod

12쪽

Propositio XVIII. Lib. X. Elem. Evcl.

SI bypothenuis trianguli rectanguli applicetur parallelogrammum deficiens figura quadrata,aequale quadrato dimidii unius ex lateribus,angulum rectum com prehendentibus. in partes longitudine commensurabiles ea fuerit divisa, erit reliquum latus eidem longitudine commensurabile. Et si hypothenusa: trianguli rectanguli applicetur parallelogrammum deficiens figur1 quadrata, aequale quadrato dimidii unius ex lateribus, angulum rectum comprehendentibus ,& reliquum latus fuerit ei longitudine commensurabile erit divisa in partes longitudine commensurabiles.

Sit parallelogrammum CDA, sive CF aequale quadrato dimidii CB, scilicet quadrato CL, sive LB, & sint par- tes hypothenusiae CD, DA; Sumatur CE aequalis DA,& quia CD, DA sunt ex hypothesi inter se longitudine commensurabiles, erit CD , CE , ac proinde DE, hoc est AB,reliquo trianguli lateri, longitudine cam- mensurabilis. Rursus quia ex hypothesi BA, sive ED est longitudine commensuriabilis AC, erit similiter longitudine commensurabilis CE, DA simul sumptis, & quia CE, DA sunt inter seiungitudine commensurabiles, erit ED uni ipsarum longitudine commensurabilis,ac proinde CD longitudine commensurabilis D A.

Propositio XIX.

SI bypothenusiae trianguli rectanguli applicetur parallelogrammum deficiens figura quadrata,aequale quadrato dimidij unius ex lateribus, angulum rectum comprehen B denis

13쪽

dentibus, & in partes longitudine incommensurabiles ea fuerit divisa, erit reliquum latus eide in longitudine incommensurabile. Et si hypothenusiae trianguli rectanguli applicetur parallelogrammum deficiens figura quadrata, aequale quadrato dimidij unius ex lateribus, angulum rectum comprehendentibus, & reliquum latus fuerit ei longitudine incommensurabile, erit divisa in partes longitudine incommensurabiles. Demonstratio eodem ratiocinio perficitur,ac praecedens,mutatis tantlim ijs, quae mutari necelse est. Veritas praecedentis propositionis in numeris patet, si ponatur hypothenusta CR Io, di latus CH 8, erit quadratum ejus dimidii i6, partes hypotbenula CD 8, & DA a , reliquum ver, latus B A 6. Alterius propossitionis veritas elucescit, si ponatur hypothenusa C A S, ct latus CS 6, quadratum enim dimidi j dicti lateris erit 9, partes vero hypothenusia: CD Φ -, α

DA - - , , reliquum vero latus B A vis, hypothenusiae longitudine incommensiurabile. Notandum tamen, quod haec propositio locum habet, si hypothenuta , ct unum ex lateribus trianguli rectanguli sint rationalia, seclis verb si irrationalia, ut videre est, si ponatur hypothenusia unum ex lateribus V reliquum latus erit 3s longitudine commensurabile o , licet partes hypothenusiae, sub quibus continetur parallelogram -- aequale quadrato dimidi j alterius lateris, nimirum quadrato dimidii ντ, hoc est v, sint longitudine incommensurabiles secundum Euclidem: eae namque sunt'Φ UT

Quomodo autem inventae suerint, sequens Problema indica. bit Propositum numerum in duas partes dividere, uir ctangulum sub ipsis contentum,sit aequale dato numero. Numerus propositus sit 3 , datus vero Φ , erit AEquatios e - κ ae Α, & resoluta per regulas artis dabit κ ae 4 , unde altera pars erit I, quae problemati satisfaciunt.

Ad ertenda,quo ut possibile sit problema,numerus ab hu

14쪽

tus seu comparationis homogeneum, non debet exeedere quadratu dimidi, numeri radicum, quod patet ex ag Sexti

Ut autem habeamus triangulum rectangulum 1emper nu-

meris explicabile, ita procedemus. Sit hypothenusa AC 8, ponatur CB,

unum ex lateribus x , erit reliquum latus v 6 - α , ac proinde habebitur IZquatio 6- ---x' an quadrato. Fingatur latus hujus quadrati tali pacto, ut inventa AEquatio, in qua reperitur ignota duarum dimensionum, reducatur ad ignotam unius , quod fiet, si ponatur latus praedictum 8 - axet habebitur enim loco primae haec altera AEquatio 64- κ' M 64- 3axq. 4κλ ,& resoluta invenitur x an q, ac Proinde κ' m- , unde trianguli latera in numeris erunt 8 , , & a . Sed si loco hypothenusae datum sit unum ex lateribus,ta cilior evadit problematis resolutio. Sit datum latus O, ponatur alterum x, erit AEquatio 36 Φ re ae quadrato hypothenusiae Fingatur latus hujus quadrati κ Φ Α, & invenietur nova AEquatio 36 - κῆ ae I 6Φ8πη- κ' , cujus radix x zo π,

scilicet se, unde ejus quadratum V , di hypothenusia m& per consequens erunt triangul Hatera 6 Haec methodus est generalissima, aperitque viam ad shlutionem infinitorum problematum, praecipud ad illud Petri Fermatii propositum Anglis Geometris, ut habetur in fine

ejus Epistolae ad Kenelmum Digby, scriptae die et O. Junii

I 637. Pag. Ι9 1. Dato quovis numero non quadrato, invenire quotcumque quadratos numeros , qui in datum ducti, adscita unitate, conficiant quadratum; V.G. sit datus numerus I 69, quaeritur quadratus,qui in eum ductus, adscita unitate, conficiat quadratum. Ponatur quanitus quadratus x' , erit AEquatio I 49x' - Iad quadrato.

15쪽

Fingatur latus quadrati praedira Φ3x, invenietur altera AEquatio I 69x' in s M I Φ Ο ΗΦ 9κ , di reducta , Ρ-bebitur ejus radix x a - , cujus quadratum abductum in i 69, dat numerum ab , eiq; addita unitate, habetur numerus quadratus , cujus radix - , di haec solutio est generalissima. V Quia occasione problematis supra propositi,incidimus in sormulam AEquationis planae ax- κ' m ag , non abs re erit tradere hic methodum resolvendi formulas omnes Planarum AEquationum una,& generalissima Via.

Formulae igitur planarum AEquationum ad quatuor omneS reduci possunt

Ut autem pricis earum natura ,&constitutio dignoscatur, nonnulla de natura AEquationum libabimus , quae sparsim apud Vietam,Cartesium, aliosque reperiuntur. Cam notum sit, aequationem esse comparationem duarum quantitatum aequalium , varie denominatarum; Notan-clum prim6 erit, quod ignota quantitas AEquationis, quae literis alphabeti exprimi solet x.F. z. &c., tot diversis Ualoribus , seu radicibus constare potest, quot dimensiones in ea reperiuntur, veluti AEquatio in m 1κ - 6 duabus r-dicibus constat, quia duae in ea ignotae quantitatis diruensiones habentur. .

Hoc ex ejus natur 1, & constitutione manifestum est. Ponatur E. G. xa a,&κπι3, multiplicetur x - a per x 3,& habebitur proposita AEquatio κλ - 3κ Φ6 a O, scilicet κ' as 3κ -- 6, unde valor ejus duobus modis rapi

mi potest, scilicet per a , di per 3.

Notandum secundo, quod hae radices si fuerint quantitates Positivae, dicentur verae, si negativae, falsae; Si enim multiplicetur x Φῖ per κ - 2,habebitur AEquatio κ' Φ κ--6,

quae exprimitur per a , di ' 3, ct in ea valor 2 est verus, 'ra est falsus. ω-

16쪽

Notandum tertib,quoa in quasbet AEquatione tot verae ello possunt radices , quot in ea signorum Φ, α - Variationes immediate sequentes reperiuntur, tot autem falsee , quot continuationes signorum , sive Φ, siUe - inveniuntur;Sic in AEquatione supra proposita κ' - 3κ Φ 6 ae o, duae sunt verae radices, quia duae signorum variationes immediate sequentes habentur, in alia vero AEquatione κ' Η- η - 6 mo una est falsa Ob x- Φ x , di reliqua ve

re duabus radicibus, una scilicet vera, nempe majori, reliqua autem falsia , quae est minor. Hoc ita ex ejus natura, & eonstitutione clarum fiet. Ponatur x M s , scilicet x - 3 M o, quae indicat veram radicem, & similiter κ m -- g , scilicet x Φ 3 M O , quae de monstrat falsam radicem: si inter se ducantur x - s M OR κ ε 3 M o, habebitur AEquatio κλ - 2κ - II GI O,

bus radicibus , prima falsa , nempe majori, reliqua Vera,

minori. Xertiam vero σω - κ m ag, sive α σκ Φ ag M ., duabus Veris. Quarta deniq; ax l x M - a , si PE -- κλ -aκ - sy ao O,

duabus falsiis. Regula eas omnes resol vendi unica, eademq; est, ut diximus. Disponatur quaelibet formula, ut ignota quantitas sempersit ex una, nota vero ex altera parte aquationis,nimirum

Perficiatur postmodum quadratum ii lius partis, in qua reperitur ignota quantitas , addito u trique parti AEquationis quadrato dimidii quantitatis c ognitae secundi termini, . di sie

17쪽

Secundae formulae radices erunt

18쪽

nariae eadem ratione,qua in ptaeceden ii formula diximus. Ut exposita exemplis clariora fiant, proponatur sequens problema. Dividere datum numerum S in duas partes , ita ut quadratum majoris partis minus rectangulo dati numeri,ac eadem maiori parte,sit aequale num mPonatur major pars x , erit AEquatio Iuxta problematis conditiones κδ -8πω Io, quae per regulas supris traditas,

dabit valorem radicis x, sive majoris partis dati numerim i cujuS quadratum 2 Φ 8 rio, ex quo si auferatur rectangulum ex dato numero, α majori parte, scilicet 3a φ 8gia, supererit numerus Io, satisfactum erit problematio Sed si dividamus datum numerum, ita ut quadratum majoris partis minlis rectangulo partium, sit m Io, aquatio eri ac - 8κ m Io, scilicet x - 4x M a , cujus valor est s. . Advertendum, quod licet AEquatio appareat secundi gradus, Ist tamen simplex, cum valorem habeat rationa Iem, & ita intelligendum est de omnibus cujuscum vi gradus AEquationibus, radicem rationalem habentibus, cum per divisionem, ad simplices siemper reduci possint i Si vere, dividendus sit datus numerus 8 in duas partes, ut quadratum majoris partiS una cum rectangulo contento ex dato numero, α eadem majori parte sit ae io, incidemus in secundam sormulam aquationis κ' Φ 8κ au Io, cujuS radix - ψ q. UTV satisfaciet problemati. Et si,ut supra,quadratum majoris partis una cum rectangulo partium dati numeri ponatur ae Io, problema evadet simplex, & AEquatio erit 3x ae Io, cujus valor I dabit problamatis resolui nemo 'Si demum quaeratur rectangulum ex dato numero, & maio- fa Urte, minus quadrato ex eadem majori parte ae Io, habebimus tertiam aequationis formulam 8κ -N' M ao,

19쪽

mebit numerus IO.

Sed si loco numeri Io ponatur 7, AEquatio erit α' - 8xin 7 M o, ejusq; radices rationales, scilicet 7, 2 I, major tamen ' dabit problematis iliationem,nam ex rectangulo in 8, hoc est ex s 6, ablato quadrato ex 7, videlicet 49, supererit 7. Pro quarta irmula idem problema smiliter proponi potest rnam si proponatur dividere 8 in duas partes, ut quadratum majoris una cum rectangulo ex dato numero, eademque majori parte ilvant debitum ducatorum Io. AEquatio erit x' -8κ m-- I O, cujuSValor - 64. Wς, nam quadratum ejus 2 a --8 additum rectangulo - 3a Φ 8 conficit debitum ducatorum decem, sci

Si tamen ponatur debitum ducatorum T , valor x erit qui problema solvit. Verum si debitum sit maius 36, E. G. I 8, impossibile erit problema,& radices falsae evadent imaginariae, ut dictum est in tertia formula; Sunt enim - 4 Φ a , & - - - a, quae nullo modo exprimi possunt, & haec pro Re- lutione Planarum AEquationum dicta sussiciant. Pro coronide notandum, ad haste formulas reduci omnia . problemata plana , etiam illa, quae a clarissimis Viris dim- . cillima, ni velimus dicere, impossibilia existimata suerunt, ut praecipue est illud Clavij in suo de Algebrae TractatucaP. 3I , num. 58, cujus tenor talis est, ejusque resolutio vix comprehendi potest. Duo hoci, habent duos numeros aureorum , quorum summo o summo quadratorum ex ipsis procreatorum subiram relinquis 78. Addita vero ad num ram ex eoram multiplicatione roductum, facit 39.

uaeritur qui sint isti numeritHanc quotioncm per sequentem Agaram explicabimur, ubi quadratum reri AC divistiis en in duo quadrata, ta duo complemento, suorum quodlibet inter duo quadrata medium

20쪽

diam proportionale es, ut in lemmate propos 54. lib. I o. Eucliae demons rapimus , G supra quoque in numeris in

Lemmate innigmatis 26. cap.3 o. ofundimus.Ponatur ergo minor namerus Iri, nimirum linea AB, G major IA, n

mirism linea BC. Samma autὸm ex ipsis consata, nimirum Linea AC ponatur IB. Eritque qaadratum rem AB IPEt quoniam summa numero- Arum I ubtracta ex duobus quadratis rectariam AB, BC Brelinquit 78. Facient duo i

D quadrata 78 q. t B: ita enim s ex illis demetur I Rrelinquentur 78. Igitur quadratum rectae BC erit 78' ΙΛ - I q. Si eniis duo C quadrata faciunt 8 in sue, ut diximu1, crusolum quadratam rem BC784. IBIq. Deinde qui, summa numerorum AP, SQ nimirum IR addita ad productum ex eorum multiplicatione, ides ad complementum AD, facit 39, erit complementum hoc 39- i B. itis namque s addatur I S, flet ipsam complewentum 89- auia vero quadratum rects AC, quae Palet Id, consat eκ duobus quadratis rectarum AP, Λ ides ex 8 Φ id, Gex duobus complementis , hoc es cx 78 - 2B, estque 'quadratum reri AC ex IBpocreatum I Fq, erit AEquatio in-tὸr i Eq, G I36 - id, qui numerus confatur ex 8 i B, ides ex duobus quadratis, ta ex duobus complementis, hoc es ex 8 - 2B. Hujus autΘm numeri I 36 - IB. radix nFaliter inve labitur, quam ex n mero II 6- De,acs hic aequalia esset i q, nimirum hoc pacto.Semissis numeri radicum est v ad cujus quadratum H additis I 36, hoe fit num mi estis radice quadrata - si dema tur praedictasmi ι τ , remanebit praetium I me, hoc es 2, at tantuw valet recta AC, hoc est IN, summa numerorum IM, G IA.