Ismaelis Bullialdi Exercitationes geometricæ tres. 1. Circa demonstrationes per inscriptas & circumscriptas figuras. 2. Circa conicarum sectionum quasdam propositiones. 3. De porismatibus. Astronomiæ philolaicæ fundamenta clariùs explicata, & asserta

2쪽

- Orbis no iri Gastici miraculum, qui per lon- 'gam ct ab antiquissimis temporibus deductam Veneris tui Regij seriem, inter plurimos Princi pes exortus, coelum, Unus ad picis; ct originisi Tuae sedes mente ac intellectu ad sublimia eue- .aus repetis ipse ego. vestigia tua legens ad res A i,

3쪽

coelestes contemplandas ab ipsa natura quasi manu duam, ad Celsitudinem Tuam Regiam

quoque accedo. In illis Uraniae atriis, equorum laquearibuτ ignes aeterni dependent, in

sanctis additis, conferentissuι secessibus illis, quos penetrare prophanis haud concessem, ad , Cepitudinem Regiam Tuam facilem aditum, edi mollia fandi tempora sum inuenturus. Officiis enim, quae Natalium tuorum flatus splendor, is selsitudine Regia Tua exigunt, functus es, naturae tua indolem aetherei spiritus illuc propellunt, υnde in te delapsi fluxere. Et 'Ut a curis grauioribus , quibus te sors nascendi implicuit, animum recrees, Astronomiae scientiarum omnium nobilissimae, quinque Principes maximὸ decet, arcana inquiris, maxima cum animi voluptate de illis disserentes audis ; Astronomicum studium iam promoues, . quise illi applicant, eis faues, Trique homtante ac promte coelum apud te colitur obseruatur. Duas postremas coram Celsitudine

Tua Regia eiu ne insu diligenter obseruat Solis Eclipses , huiusce tui erga Astronomiam aspectus te les luculentos habemus. Perge se

4쪽

citer, SERENISSIME PRINCEPs, θ' ummen tuum immortalitati etiam confima, qui animum immortalem a Deo accepisti. Nulli chira aenes durabiliores, nulli clariores, quam ista coelestia lumina ; caelorum prmitudini ac consanti durationi marmora cedunt; Nomen is

que tuum orbibin coelestibur, Astronomiae δε- dium fouendo, inseribe. Temporis organa sunt perpetua, qua nusquam usu, is quam rubigine teruntur, interea dum quacumque nata sunt, ad interitum deducunt, obliuione conterunt. In Heroicis virtutibus tuis,inis Auronomiam amore tuo fiduciam tantam habeo, ut nouas aliquot demonstrationes Geometricin Exercitationibus tribus comprehensi Celsitudini Tuis Regia a ferre audeam. Novam printeres,

nec sine aliquo ingenio fabricatam caelestem mmchinam adduco, Est sim in cono Asectam, ut ab que ipsa, appositisque per me axibus'π-tis motuum caelestium veritas calculo repraesentari nequeat. Compagem istius hiatu pamnulo laxatam, totam luxam ac demoliri quidam aggressunt, veram labanti opportunὸ subuenit iamque apti compactam istam, tisse

5쪽

queisnmissum' tam egregiὸ aggi utinata praedimi, ut veritate firmite subnixa similium xillationiis qua ari ant mentipo quoque a malignorum inuidia tutum O um putabo ,si cellitudo Tua Regia interessensens suos admittere velit, ac tanto honore au- Eum tueri. Hoc isfaci-,SE R E,Ν1ssi ME

6쪽

EXERCITATIO I.

CIRCA DEMONSTRATIONES

per inscriptas & circumscriptas figuras. AD LECTOREM.

AN N O am. liber a R. P. Andria Taequet Soe. Jesu

editus ex Belgio Lutetiam allatus est. Elementa Ge metriae planae ae solidat illi titulus est, quem imbi euolui , hunc virum ingeniosi simum , in eandem fere methodum ad δε- mon irationes quodam per inscriptas σ circumsicriptas figuras faciliusperficiendius, acante armos Mum ego de eneram, incidis comperi. Utriusque nostri ιδεημ - , quandam equidem inter se ilitudinem struant; neutrumIamen ab altero originem du-Msse, ut mer esse ac Ustra; sic omnibus recte iudicantibus maris amfore Α'ero. Mea, eum hactenus apud me latuerint,

flertissimo Tarii et O ignota f.isse, viamque ei non praemon bas' , renissimum esL Staber mihi lectus illius et ri liber, nurum

mutandi quicquam in meis occasionem praebuis. Benignum sto,equum Lectorem hac de re monitum propterea volos ne aut remal alio actum agere, aut aliena, interpolata 'lum, pro nouis me; que vendatisne videar. μιod tanquam turpissimum , miroque ingenuo re cordato indisnum facinus, admittere semper vitari : σ pauciora , dummodo mea sint publico profutura

7쪽

ad inquam aequalitatis. aucta vero C I in infinitum minorem ra- . tiouem teneat ad eandem Q quam aequalitatis. Dico, qubd magnitudo B, ad quam coparantur duae magnitudines & ad cuius aequalitate magis ac magis accedunt,aequalem esse magnitudini

AEquales factae sint inter se imminuta AE, & aucta C I, 3e sint tunc ΑΗ ,CM, aequales sint etiam factae magnitudini B,

si tunc non teneant ad inrationem aequalitatis, vel maiores vel minores ipsa B magnitudine factae tenebunt. Maiores factae ra. tionem aequalitatis primum teneant si fieri potest. tunc maior AE quam B rationem aequalitatis ad Q tenebit; quod est contra hypothesim . tunc enim posita est ΑΕ maiorem habere rationem ad inquam aequalitatis. maior quoque facta esset C Iquam B, & ad Q maiorem teneret raetionem quam aequalitatis, quod utrumque etiam est contra hypothesim. Non erunt ergo fingulae AE, CI maiores magnitudine B, quando rationem aequalitatis tenebunt ad magnitudinem Q. Sed si fieri potest, teneant rationem aequalitatis ad Q, minores factae quam B. tunc C I minor quam B , ad tenebit rationem aequalitatis, quod est contra hypothesim; nam minorem rationem tunc habere ad Q: posita est C I. & AE minor facta enset quam B, dc ad Q minorem teneret rationem quam aequalitatis. quod utrumque est etiam contra hypothesim . Non erunt ergo A E, CI minores magnitudine B. quando rationem aequalitatis tenebunt ad Q Ergo magnitudines AE, CI ad magnitudinem a rationem aequalitatis tenebunt, quando aequales erunt magnitudini B. ergo B ad inationem tenet aequalitatis.& ideo B,&Q aequales erunt. Qsod erat demonstrandum. PasPOSITIO II. SI duae sint ut in antecedenti magnitudines A E, CI ad aliam Bcomparatae. o maior A E in inflisitum imminata maior sis quam B. o minor CI in infinitum aucta minor sit quam B. iis vero A Esec imminuta per i in rurione maiori ad D, quam N ad O. simu que C I in infinitum auctas in ratione minora ad D, quam N ad O.

Duo ma Imaenem B tenere raIisnem ad D eandem, ac tenet N ad O.

DEMONSTRATIO. I QvA L Es factae Α E, C I inter se & datae B sint A H,

ILCM. si tunc non teneat utraque ad D eandem rationem, Exercit. i BDiuitigod by GOrale

8쪽

ac Nad O. vel maiores vel minores ipsa B factae tenebunt. teneant si fieri potest, quando maiores erunt. tunc maior AH quam B eandem rationem tenebit ad D, ac N ad O. quod est contra hypothesim, eo quod maiorem tunc tenere AH posita sit. facta etiam maior CI quam B, maiorem teneret ad D rationem, quam N ad O. quae minorem semper habere posita est..utrumque igitur est contra hypothesim. Maiores itaque quam B, positae A H, CM eandem ad D rationem non tenent sin-

.gulae, quam N ad O. Sed si fieri potest minores factae AC,

CI quam B eandem rationem teneant ad D, quam N ad O. tunc maior AH minor facta quam B, eandem rationem tenebit ad D, quam N ad O, quod est contra hypothesim . nam S maiorem semper habere posita est ; Sc minor facta quam B minorem haberet rationem ad N i D, quam N ad O. CI vero minor quam B, eandem rationem teneret ad D, quam N ad O. quod est etiam Contra hypothesim , nam minorem ad D rationem te nere tunc posita est. Minores itaque quam B, factae A E, C I, eandem rationem non habent ad D, quam N aa O. ergo ΑΕ imminuta &CI aucta eandem rationem ad D tenebunt, ac N ad O, quando aequales B fuerint factae. quare B ad D, eandem rationem tenet, ac N ad O. Quod erat demonstrandum.

PROPOSITIO III. SI duae fuerint magnitudines ad alia- comparatae, quarum una maior imminuam Abtructione partium excessus in ratione Fubmulti-Fla continua. altera minor augeatur additione partium defectus in eadem siubmultipla ratione continua, o adi us aequatitatem magis ac magis in in latium accedunt. sp bile esst eas magnitudini , ad quam comparantur, additione ac sui ractione aequales fleri ut, id est in eodem progres Iovis Iermino continuae additionis ac sebtructions aequale

9쪽

SIN et ΑΕ, C I comparatae ad aliam B. quarum AE maior.ia

excedat magnitudinem B quantitate E H. imminuatur Vero fit. νat. subtractione in infinitum partium excessus E H in ratione sub- io. multipla, ut subdupla, continua, nempe partium EF , FG. altera vero CI minor quam magnitudo B, quantitate IM augeatur additione in infinitum partium defectus I M , in eadem ratione submultipla continua, nempe IK, KL. 5 ad aequalitatem B propius ac propius in infinitum accedant. Dico, quod illae magnitudines subtractione & additione eiusmodi partium,' simul, id est in eodem termino progressionis continuae subtractionis & additionis partium , aequalitatem magnitudinis partium adsequentur, quando illam adsecuturae sunt. Cum enim partes excessus EF in eadem ratione submulti

pia acceptae sint, ac partes dcfectus I M. erit EF ad FG , ut ΙΚad KL, tisic deinceps in infinitum, in eademque ratione erit residuum GH ad residuum LM. ac EG ad I L. Scin residuo GH tot sunt progressionis termini, quot in residuo LM. in eadem ergo ratione distabunt puncta G, L, a punctis HM. In uno itaque de eodem progressionis termino, id est simul, aequabuntur magnitudini B, imminuta AE & aucta CI, quando aequalitatem adsecuturae sunt. Quod erat demonstrandum. PROPOSITIO IV. SI duae t , ut in antecedenti, magnitudines A E, CI ad B comparata , oest A E maior, CI vero minor. Ost ΕΗ id quo AE cedit B. M vero IM id quo CI descis . R. oe in ratione submuis pia partium excessus ΕΗ imminuatur AE; smul vero augeatur CI in eadem rationesubmultipla partium defectus IM. O ad aqualituum magnitudin, B in infinitum accedant. posita magnitudo E , ad quam comparantur , rationem habebit datam ad aliam magnitudinem D, ad quam etiam primo positarum magnitudinum altera , quantumuis imminuta

maiorem rationem data ratione tenet; altera quantumuis aucta, minorem semper rationem ima. es autem ratio data N ad O.

10쪽

inter se subtractione & additio inne , & factae AH, CM, aequales etiam

magnitudini B. si tunc non teneant singulae ad D rationem eandem ac Nad O. vel maiores vel minores magnitudine B factae tenebunt. sed proposit. 1. huius ostensum est , neque maiores neque minores factas, esse ad D in ratione N ad O. quare etiam in eadem ratione fore ad D quando aequales erunt ipsi D. demonstrationis enim medium idem est; etsi in secunda proposit. subtractio ac additio partium excessus ac defectus in eadem ratione submultipla positae non sint. sed in illa, ut in hac, in eodem progressionis termino,&simula quari Β, positae sunt AE, CI. Sed directe etiam idem demonstrari potest. Cum ergo A E,

C I ad aequalitatem magnitudinis B tendant,& AEquantumuis imminuta maior sit quam B. CI vero quantumuis aucta minor sit quam eadem B. simulque AE maiorem rationem sem. per teneat ad D, quam N ad O. altera vero magnitudo C I simul minorem rationem semper teneat. facta siit C M maior quam B ; ipsa imminutae A E aequalis In aliquo puncto fiet, tuncque ad D maiorem tenebit rationem quam N ad O. cum AE per subtractionem imminuta 8c aequalis facta C I, quae peradditionem aucta cst, maiorem rationem ad D semper teneat quam Nado maior existens quam B.

Facta sit vero AE minor quam B, ipsa auctae C I aequalis in

aliquo puncto fiet, tuncque minorem ad D tenebit rationem quam N ad O. cum C I per additionem aucta, & aequalis facta AE , quae per subtractionem imminuta est , minorem rationem teneat ad D, quam N ad O , minor existens quam B. conuertitur ergo in puncto aequalitatis cum B , ratio maioris inaequalitatis AE ad D, ad rationem minoris inaequalitatis vice versa ratio minoris inaequalitatis C I ad D conuertitur ad ra-Diuitiaco by Cooste