Animaduersiones super resolutione geometrica duarum mediarum continue proportionalium d. Nicolai Coppolæ ... Panormitani ... edite a Io. Baptista Boccabadato Mutinensi eiusdem cel. serenissimæ mathematico

3쪽

ANIMADVERSIONES

Supet Resolutione Geometrica duarum mediarum continue proportioni si uis

FRANCISCI SECUNDI

5쪽

I. V. D. Panormitanus a Cessitudine Tua Serenissimi, Iiteratum generosissima Pr motrier, Tuque benigno nutu mandas, ut eius, tum Resolutiones Geomeetricae dux rum mediarum inter dua datas continuὴ proportionalium, tum insignis Viri D. Didae Merino De jas Equitis S. Iacobi Examen,perpensionesque super e dem Resolutione, quod utrumque impressum est a triti Eoe anno isso. considerentur ut siquid, data vera tam insigni Problematis Resolutione omissum sit in demonstratione, suppleatur; sin vero minus legitima sit eadem Re, solutio, demonstretur. Ut igitur mandatis,quibus imbecillitatem meam condecorasti, col et pondeam,has meas cogi tationes super proposita Resoli itionis methodo ex ponam. Proponit igitu D. Coppoti, quod inter duas datas Am BG duae mediae continuae proportionales tali methodo in 'ueniantur . Iuxta methodum Prop. 3. 6. Elementorum 1'. uter

datas AB, BG sit media proportionalis Geometricae D, vel B F. c. Inter trane mediam II D, vel BE, ML tam B C, sit media pro poetionalis BF vel BG.

6쪽

3 Inter .in anuentari dam BD, vel BE A L: Inuentam, mediam BF, vel BG, sit media proportionalis BFG vel BI. '. Interrita inventam mediam DF vel BG, in uentam mediam B H, vel B, , si media proportionalis BO, cui aequalis fiat ΒΚ, Κ veto fiat aequalis 1 . inuentaem

diae Bri, vel BI. Dicit D. A lictor Resolutionis quod dimidium rectae PQ, e ille et dimidium aggregati mediar ' in nrae B H, vel BI, vel ΚΩ, inuentae BD, velari,sei et recta Bridimidii rectri Q, est seeunda ex mediis continue proportionalibus inter datas AB, BC. Itaut si inter hane secun dam ex dicti medij BP,&datam AB sit media proportio natis B L, erunt in continua Analogia BA, BL BP, BC. Pro demonstratione huius Resolutionis constituit D. Au ctor Pernendiculares Tu aequalem DP, BS aequalem BC,

Oppenit primo D Rojas non ella demonstratum, queia vere AL, T so Parallelae, ideo non posse deduci ex di

ctis Elementis, quod si, ut A B ad BI, ital , vel B P, ad BS, vel BC. α' Quod quatenus esset uti A ad B L, ita B adras,

non per hoc est probataea proportionalitas, de continua

Analogia, qua requiritur in Problemate. Est enim proportionalitas, ut m ad B L ltam P ad BG inter quatuor quantitates quidem, sed discontinua.

7쪽

sa hac proporticum l. t. t , uti A ad B L , ita BP ad BG, licet discontinua sit etiam admittendaeontinua. Est enim

ex suppositione ut BA ad BL,ita BP ad BC. Sed exeon muctione est ut BA ad B L, ita B L ad iuri ergo tecti. I. erit ut B ad BP, ita BP ad BC. Ergo sunt in continua Analogiam Α, BL BI, BC. Tota igitur dissicultas consistit in hoe , an sicilicet rectae AL, T Sin Parallelae,&ideo an ex supradictis Elementi dedueatur quod sit, v I A ad Bl , ita et ad BS, vel Blad B C, e et proportiona: itas sit discontinua.

D. Auctor Resblutionis respondendo perpensi nibu D.

I xaminatoris conatur demonstrare Parallelismum recta

rum A , T S. Ducta enim Ti perpendiculari ad AB,du istisque tectis I S, TL, deo S, supponit quod rectae TI

se mutuoi meis cent in puncto io, de ideo radi s io, vel io Sint dit describere circulum Scio S, quo mediante conatur demonstrare Ouadrilaterum esse Parallelogrammum, e ideo rectas, VL, vel Aa,&a Sese Patal. telas. Sed quid quid sit de ordine de mons rationis, prius v detur probandum, quod rectae, S, T se se aequaliter interia secent Patet enim, quod si Ouadrilatera sint Paralles o gramma eorum diametri se aequaliter interseeant,des dia medii se aequaliter interiecerit, Quadrata te a sunt Parallelogramma Sed una Hypotesse ili: obanda, ut alia dedu- il diu sed quia inutilis est perquisitio, quae versatur smplieitercisca formam Demonstrationis Propositio enim potest esse ver j, licet non sit demonstrata, eum sit talis ante ominem demon irationem, αἰ deo falsitas Propositionis daeducatur, non

8쪽

non impugnando demonstrationem, sed ipsus falsitatem probando ideo demonstrationem ordiar, ex qua appareat huius Resolutionis fallacia. Ut vero in re satis inuolutat euioribus quam possin, ideo Analyticis urar sormis liceat easdem quantitates a D. Auctore suis caracteribus con notaras, aliis ea racteribus,a stractas quantitates raptimentibus, ad usu in Ana:ytica foret

maeconia dare.

Sit igitur AC maior data a. ti Cminor data site Nediat'. inuent BD vel BG sit lMedia Lia inuetita BF vel BGsste Media 3'. inuenta BF vel B sitfEt media ' inuenta BO sit Talis ergo secundum hane formam est Resolutio D.

Auctoris Inter datas extremas a maiori, de minori, dentur duae media continuo proportionales. Inter datas extremasae. Ne sit primo media propolliona Inter mediam 1'. inuentam ι, uec minorem extremam datam est 1'. media proportionali se . Inter mediam 1'. inuentam L,&mediam 2'. tiruentam est 3'. media proportionalis .

Inter mediam Σ'. inutiata me, mediam inuentam fmi'. media proportiona S Dicit D. Auetor Resolutionis,quod dimidium aggregati mediae 3 . inuentae ΑΛ inuentae. , se ilicet ψ f se uest secunda ex med ijs continuo proportionalibus itiner datas X temasa,& c. Quod an verum sit considerandum est.

Dentur

9쪽

Delitur igitu quatuor qua, titates eoiuinuo propistilona les abra De inter datas extremas a maiori,&em in orti possunt enim dari, dantur, licet tentando, secundum meth dum Platomis, Malias methodos. Et quia secundum Res Iutionem D. Auctoris ψ- εωρ supponitur secunda ex duabus continuo proportionalibus inter a dei se vero est secunda ex dictis med ijs continuo proportionalibus,etite' - fidem, vel aequali Se. Si vero Ffl-Fg sunt tres quantitates se, tin A-r thmetica Proportione, quod demonstratur. Si enim ἀ-ferit duplieando utrumque terminum s eLt auferendo comunitere erit f -e e, iterum ata ferendo eo muniter erit f-e- . Sed se est dissetentia inter Lde est disserentia intergo aequalis est differentia terf&. . inter &ξ ergo tres quantitatem, id sunt in Arithmetica Proportione E. D. Qua preptet si tum ex suppositione quod hae tres intimitate se, g sint Arithmeticae Proportionales, tum ex tarma in thodi huius Re tritionis, demonstrαurbas easdem quantitates non esse Arithmetice propciit onales, erit euidens quod

fasenon est aequali e Gideo quod neque est secunda

ex mediIs proportionalibus com linio inter extremas a De. Liceat velo pi Adaei toti mella odo demonstrationis 1 equentia Lemmata praeponere.

productum extremarum minor quadrato mediae Di se ferent a vero erit quadratum disserentiarum earunde in quatit irat tim

10쪽

sice minor quantitas, e disserentia sit o. Erit m

quantita se, media et i, maior extrema et Eo. Est ergo productum extremarum, se ille et maioris quantitatis in norem ei Ἀ-, quadratum mediae cessi Σeolost. Ex quo patet quod produ stum ea trematum cessit ei mauis est quadrato mediae e et eo εσο,&d gerentia ei ει qua dratum se ille et disserentiarum iE. De

Muna quantitas produeensia, maior sit alia quantitate producente b, erit eadem maior quantitas a maior quoque latere eiusdem tradriti nempe es minor vero quantitas prc- ducensi, erit quoque minor latere eiusdem quadrati nem se. Sunt enim, ex Hypotes AH Gergo per i . s. est ut ad e, ita e adi , quare componendo est vita Ee ad e, ita ei ει ad Sed quia ex Hypotesia est maior ό, erit assi maiore Φωrgo per i . . ea maiori Rursusqu: aest, ad irae ad b, erit per conuersonom rationis, ut ast ea da, itae ἡρόν ade, sed assi est maior e te ergo per i maiore Ergo est maiore, everὁ est maior s. : E. V:

DEMONSTRATIO. PArs prima Demonstrat Onias.

ix sunt continuo Proportionaei es a , c, e

Et qui secundum melliodum Resolvit nis sunt continuo proporti i alesa, A, eli per