Marini Ghetaldi patricii Ragusini Nonnullæ propositiones de parabola

2쪽

CHRISTOΡHORO CLAVIO

Mathematico stantissimo.

Marinus Ghetaldus s. P. D.

N tandem quem ab inuito expressisti primus ingenij mei de parabola foetus , ten pestiuamdlaam assecutum maturitatem Φquid si immaturum, S intompestiue prolatum,aliena culpa non meaὸ prodit nunc ἡ tenebris ad aliquam honoris lucem, noad plausum: stultus sim si ab imbecilliatate mea hoc impetrem, quid si a te doctissime Claui e imbecillitatem igitur reprehendant alij, non studium: irruant in alienam laudem inuidi,efferantur inopinatae praedae certissima spe, illorum audaciam, Vna.tua contundet auctoritas; nec dum lucem quaer offendam temere, pedemq; cum dedecore sineta spe laudis reseram . confb aui, & efinxi laboriosissime: studiosissime complexus sum: Qui diligentissime: vires, S: incrementum industriae debebunt meae, lucem tuae tum humanitati, tum beneuolentiae. piae fortasse cuiusdam impietatis specie re centem, & infirmum adhuc partum exponi noleba invidorum morsibus,& obtrectatesum calumnijs, cum interim paterer in tenebris illum, vel ad aeternam obliuionem, vel ad interitum consenescere. reuocas e tenpbris ad lucem, ad vitam ab inter tu;vt qui non iniuria perni iosam nobis industriam obiecisset, Iucem omnem, omnem uni tibi vita debere se nunc fateretur. parum ergo tibi videbatur,si aditum ad tua familiaritatem ii mini obscuro patefecisses, nisi eumdem ad sempitemam gloria, ad nominis immortalitatem incitasses Si aliorum idem quod tuum de me iudicium quid expauescamὸ tu mihi unus instar omnium;si uni tibi probatos industriae meae fructus intellexero,

A a quid

3쪽

iquid me beatius 3 effecisti iam ut non tam mihi sit ambigen hi

de posteritatis memoria, quam enitendum, Ut de me cocitatam apud te opinionem,apud ceteros tuear etiam,atque sustineam. Tenuitatis igitur meae conscius te unum laudis, & existimationis meae patronum adoptaui, ut qui ab invidorum morsibus,&calumnijs mihi timebam, nihil non expectarem ab honestissimo tuo patrocinio, Euocauit iam pridem e patria,quae non solum apud Italos; verum apud remotissimas etiam natione. ingeni, tui fama percrebuerat; quod passim in celeberrimis tuis monumentis admirabile ingenii tui acumen deprehenderam, quale illud coram,Deus immortalis ὸ vestigium illa praestantisi simi acuminis,ceterum praestantiora cohibere te, non ut opprimeres, sed ne illorum splendore aliorum tenuitatem perstringeres; in familiari congressu,quae decora, quae ornamenta allicere puto voluisti maximarum rerum copia, & amplitudin , allexisti,&hoc nomine obseruantiae in te meae fructum consecutum me maximum velim scias,quod beneuolentiς tuae,quod manitati debeo. Tuere per humaniter, quem, in usitato beneficio obligatum tibi voluisti : non vulgare patrocinium tantum ex ipsius sapientiae accersitum domicilio; non humile, non infirmum ad quam laudem non muniet aditum Θ obseruantiani igitur in te meam rudis hic , & impolitus ingenij mei scelus e Mathematicς disciplinae latibulis erutus declarabit: idem luce patrocinij tui cohonestatus, beneuolentiam erg 3 me tuam p tefaciet tintelligent sapientes viri, quo in numero habendus tu sis, quid ego tibi debeam; dum tu alijs,quam tenes amplissi. mam, non inuides gloriam, duin ipse laudem illam,quam extanti viri patrocinio non mediocrem mihi polliceor,vni tibi ac ceptam refero, sic fiet, Iet quem ego fructum ex obseruantia mea, tu ex optima tua voluntate cupiebas,utriq; noua hac, sed singulari amoris testificatione consequamur Uberrimum. Vale.

Romae ix. Kal. Aprilis MD CIIIA .

4쪽

ERUDITO LECTORI.

A mis est humani ingenii,Lector Mmanissime, i quoplures, et maiores ei difficultates in praeclarissimarum rerum

indagatione praesiruuntur,eo ardentius ad eassuperandas incendatur in inmmetur . Quod nuper a me experimentos comprobatum in indaganda ratione parabaici θeculi fabricandi. Nam cum seuperioribus annis apud Plutarchum is Numa animaduertissem , ιn Graecia ignem quendam ren' em,qui a mulieribus quibusdam per aetatem ad eoniugium

ineptis custodiebatur,sicasu aliquo extinctus fuisset, non licuisse ex alio igne renouar edpuram et sinceram flammamὸ solis radjs excitandam fias eamq; ad rem illas quodaminiumento , et os scapham v stabano excavato ι modum turbinis rectanguli,quos aduersosta apponeretur, simiret, Ni radi, solares in circunferentiam inaeqs incidentes: concurrerent omnes ad centrum, et quam citissime anstamquamcumq, materiam inflammarent,quo loco Flutarchus

signiscat talias cula ad parabolae forma fuisse excavata,

quae ex turbinis seu eoni recti rectanguli sectione generatura ex Orontis inpraefatione libri desse culo ustorio didici se, inter omnia specula quae anellantur istoria ea facilius, in celerius flammam excitare,quae sic excavata sunt, νt in eorumsuperficiem radij solares incidentes ad Nnum certum communepunctum refrangantur in quo a Plutarcho non dissentit, nam id ei soli affirmat accidere δε eulo,quod in forma sectionis recti atque rectanguli coni, quaeparabola dicitur a 3 fuerit

5쪽

fuerit exeavatum . idem 3 ex Vitellione animaduertissem, qui ad construenda specula ignem celeriter generantia itiatur parabola coni recti rectanguli,cum de huiusmodi parab la generatione agit Propos δ. lib. primi ad quam se referein s s. prop. in sequentibus lib. s. νbi de praedictis speculis

multa comentaturi eo maius atque arvintius huiusmodi euli construendi, desiderium 1n me eLI excitatum, quo mai rem animaduertebam difficultatem. Qua in re cum a me ea opera esset nauata, ut tandem aliquando anno superiori propositumsim assecutus, ilia praeterea commodi accidit, tex accurata consideratione repererim, id non solum ei accido

respeculo, quod in formam parabolae recti atque rectanguli, coni est extauatum,sedpraeterea his, qua a parabola coni ae uti anguli, obtusi angulio scalent etiam fuerint descripta.

contra communem omnium sententiam,qui de parabola hu

usque scripserunt, in quod mentis humana intemgentiam superare Nidetur inuenerim,euiuscunqs coni parabolam eamdem esse,quae eoni recti rectanguli. Quae ut me nuper inuemla demonstrata nisi protulissem in medium inutiare morito visus essem communi omnium utilitati.

6쪽

PATRICII RAGUS INIPropossitiones de Parabola.

THEO REMA I. PROPOS. I. I sint duae parabolae, & ad diametrum unius

ordinatim applicentur quotcumque rectae lineae, totidem quoque ordinatim applicentur ad alterius parabolae diametrum , ita Visegmenta diametri unius, interiecta inter verticem , &applicatas, sint aequalia segmentis diametri alterius inter verticem, & applicatas interiectis,singula videlicet singulis,sint autem dc applicatae applicatis aequales,singulae,singulis, & anguli contenti applicatis, & diametro unius, quales angulis contentis applicatis, & diametro alterius. altera alteri parabolae eadem erit.

SINT duae parabolae quarum diametri AB, CD, & ad AB,ordinatim applicentur quotcunq; re

ctae lineae GE, HB, totidem quoq; ad CD, ordinatim applicentur lF, KD, ita ut segmentis Α Ε, ΑΒ, sint aequalia segmenta CF, CD, singu-Ia videlicet singulis, Sint autem di applicatae, GE, HB , applicatis IF, Κ D, aequales singulae singulis,

S angulus AEG, aequalis angulo CFI. Dico parabolam AGH, parabolae CIΚ, eandem esse. Punctii enim Α, posito in C, recta vero li

7쪽

a . Ia

CD, sit aequalis;congruente autem AB, ipfi CD,congruet ΒΗ,ipsi DK, cum angulus ABH, si aequalis angulo CDK, quare S Η, congruet ipsi Κ, est enim B H, aequalis DK. eadem ratione ostendetur & punctuin G, puncto I, congruere,& omnia puncta, quae sunt in una parabola omni-hus,quae sunt in altera: quare & parabola parabolae congruet. Congruente igitur parabola AGH, parabolae CIΚ, altera alteri eadem is erit, quod erat ostendendum.

THEO REMA II. PROPOS. II. SI recta linea ordinatim applicata ad diametrum hnius parabolae sit aequalis rectae lineae ordinatim adiplicatae ad alterius parabolae diametrum,sit autem & segmentum diametri unius interiectum inter verticem, dc applicatam,aequale segmento diametri alterius inter verticem, dc applicatam interiecto, sitque angulus contemtus applicata, & diametro Vnius aequalis angulo contento applicata, & diametro alterius , altera alteri parabolae e

dem erit.

- SINT duae parabolat, quarum diametri AB, CD, & ad AB, ordinatim applicata HB, aequalis sit Aipsi KD, ordinatim applicatae ad CD, sit autem & segmentum AB, diametri aequale tegmento CD, diametri, & angulus ABH, aequalis angulo CDK,Dico parabolam Ο ΑΗ, parabolae CK, eandem ess , sumatur enim in diametro AB, quodvis punctium E, & ipsi AE, aequalis ponatur CF, & ordinatim applicentur GE,IF, quoniam igitur aequales sunt AB, CD, &aequales quoque A E, CF, erit ut AB,ad CD,ita AE,ad CF, aequalis . . videlicet ad aequale,& permut do ut AB, ad AF,ita CD,ad CF, sed ut ΑΒ,ad AE,ita est quadratu HB, ad quadratu GE, &'ut CD, ad CRita quadratum ΚD, ad quadratum IF,ergo ut quadratum HB,ad qua dratum GE, ita erit quadratum KD, ad quadratum IF, quare Ut ΗΒ, ad GE, ita TD, ad IF, & permutando vi HB, ad KD, ita GE, ad ΙF.

8쪽

DE PARABOLA ν

sent autem HB, XD, aequales, ergo & GE, IS erunt quoque aequales: quare ex antecedente Theoremate parabola ΑΗ, parabola: CK, eadem erit, quod erat ostendendum.

. . . . .

THEO REMA III. PROP. III.

SI duae parabolae recta latera aequalia habeant, anguli

autem, quos constituunt ordinatim applicatae cum diametro unius sint aequales angulis; quos ordinatim applicatae cum diametro alterius constituunt, altera alteri parabola: eadem erit.

Habeant duae parabola quarum diametri AB,CD,latera recta ΛΕ- CF,aequalia, anguli autem quos constituunt ordinatim applicatae cum diametro AB,sint aequales angulis ,q uos ordinatim applicatae cum diametro CD, constituunt. Dico parabo- Iam A, parabolae C, eadem esse . Sumantur enim AB, CD, aequales,& ordinatim applicentur CB,ΗΒ, quo- vitam igitur aequales sunt AE,CF,& aequales quoque AB, D, rectagulum BAE, aequale erit rectaguloDCF, sed rectangulum BAE, ar- . , TI. quale est quadrato GB, de ΑΡΞ rectangulum DCF, aequale quadrato HD,ergo quadratum G B, aequale erit quadrato HD,quare & recta GB, a qualis rectae Η D, sed & Α Β, aequalis est CD,& angulus ABG, aequalis angulo CDΗ, ergo eX an- . tecedente Theoremate parabola Α, parabola: C, eadem erit, quod erat ostendendum .

THEO REMA IV. PROP. IV.

Viuscunque coni parabola parabolae coni recti rectanguli eadem est. B ' sit

9쪽

1o PROPOSITIONES

SIT cuiuscunque coni parabola AB,cuius diameter AC.Dico parabolam ΑΕ, parabolae coni recti rectanguli eandem esse. Sumatur enim quodvis punctum B,in sectione,& ab eo ad AC,ordinatim applicetur BC,& sit primum angulus ACB, rectus, hoc est diameter AC, sit axis,&sumantur duae rectae lineae DE, EF, aequales ipsi AC,&inclinentur ad angulOS rectos, iunctaque DF,producaturin fiat quadrato BC, aequale rectangulumDFG,& per G,ducta ipsi FE, parallela GH, secet DE,p ductam in H, erit igitur angulus ad H, aequalis anguis Io DEF,& ideo rectuS,nam rectus est& ipse DEF, Aequoniam aequales sunt DE EF, angulus ad D, aequalis erit angulo EFD, hoc est ΗGD, quare H D, aequalis erit HG. Itaque circa diametrum DC, describatur circulus DIG, rectus ad triangulum DF G, di intelligatur conus,cuius vertex punctum H,basis circulus DIG.eri igitur iS conus rectus rectangulus, quoniam DΗ, aequalis est HG, ω angulus ad H, rectus. Deinde secetur conus per EF,plano secante ei culum DIG, secundum rectam lineam IFΚ, perpendicularem ipsi moa... & faciat sectionem in superficie coni lineam IEΚ, ea igitur sectio erit parabolamam eius diameter EF,parallela est Iateri HG; trianguli per

Et quoniam IF,perpendicularis est ad DC, diametrum circuli , re- ctangulum DFG, aequale erit quadrato IS, sed & quadratro BC, est quale, ex constructione, ergo quadratum IF, aequale erit quadrato ita& consequenter, recta IF, aequalis rectae BC. Et quoniam triangu-Dof . tum D HG, rectum est ad circulum DIG, communi autem eorum se-1 3. Eie. ctioni DG,perpendicularis est IF. erit IF,perpendicularis ad triangu-

. iis tum D lG, quare &-omnes rectas lineas, quae ipsam IF,contingunt'& in eodem sunt plano, ergo & ad EF. Itaque quoniam ordinatim applicata IF, aequalis est ordinatim applicatae BC,& segmentum EF, diametri interiectum inter verticem α paclicatam, aequala segmento AC, diametri inter verilaem & applica- , Id tam, Tisis co

10쪽

tam interiecto, est autem & angulus EFI, aequalis angulo ACB, uterinque enim rectus est, erit ex Theorem. a. parabola I , parabolae ΒΑ,

Aliter existente angulo ACB, recto.

sΙΤ parabola ut supra AB, cuius axis AC, latus vero rectum ΑL. ostendendum est parabolam AB, eandem esse parabolae coni recti rectanguli. Exponatur enim conus rectus rectangulus,cuius vertex punctum H, basis circulus DIG, &secetur plano per axem,quod faciat sectionem triangulum H DG deinde sumatuet ΗΕ, aequalis dimidiae AL, ipsi vero HG, agatur parallela EF, & per ipsam EF, secetur conus plano secante circulum DIG, secundum rectam lineam IFΚ, perpendicularem ad DG,& faciat sectionem in superficie coni lineam IEΚ, ea igitur sectio ; erit parabola ω,

Deindea puncto Ripsi EF,du.catur ad rectos angulos EM, &fiat ut rectangulum DΗG, hoc est ut quadratum Des, vel HG, siunt enim aequales DΗ,ΗG, ad quadratu DG, ita recta mi ad EM, erit igitur EM,latus rectum parabolae ΙΕΚ. Et quoniam rectus est ansuluilf,quadratum DG,aequale erit quadratis DH,ΗG, sed quadra AMYta DΗ,HG, sunt Interse aequaliar ergo quadratum DG, duplum erit quadrati HG, vel MD, quare, & EM, dupla erit ipsius EH, est enim Eri , ad EM , sicut quadratum HG, vel HD ad qua- ' dratum Dat Sed & AL, dupla ponitur ipsius Em ergo EM, erit

II. 1.