Antonii Marii Lorgna in publico militari Collegio Veronensi mathes. profess. De quibusdam maximis, & minimis dissertatio staticogeometrica

11쪽

reciproce ut numeri ponderum aequalium in N, D constitutorum. Quare erit punestum d commune gravitatis centrum aeque gravium ponderum A, B, C, D. Uerum

S ipsa PQ ad G se habet ut Q ad D, ut PQ ad PGita Nd ad ND. Igitur G quadrupla est ipsius PQ. Quare si uerint vires quotlibet in punctum aliquod dec. O.

E. D.

VII. Praestantissimum est lioc Theorema, cujus ope nullo fere negotio vires quotcumque in punctum agentes componuntur, atque media omnium tendentia determinatur molsu in Mechan s6 longo satis circuitu ad id demonstrandum usus est Maninus autem in Statices talem Cap. IV. ex Operos Theoremate, de quo infra, id ipsum derivavit. Verum ex constructione nostra prono quidem alveo fluit , atque elegans inde , mihique nova elicitur ratio , centrum commune gravitatis ponderum quotcumque aequalium in eodem plano positorum inveniendi, quam liceat nunciare.

PROBLEMA. VIII. Centrum commune gravitatis ponderum quotcumque aequalium in uno eo. demque plano constitutorum invenire.

Sunto A, B, C, D pondera aequalia Sumatur punctum aliquod ubi libet in eodem plano, uncti sique A, PB, PC, D, reliqua peragantur, quae in Lemmaetis con structione facta sunt. Eadem prorsus , qua ibi usi sumus, methodo demonstrabitur punctum d commune esse gravitatis centrum aeque gravium ponderum A, B, C, D. Igitur c.

IX. Si fuerint in eodem plano puncta quot-

vis, veluti totidem centra virium quae pun-

12쪽

ctum aliquod, pro distantiarum ratione sollieitent per necessariam , vel liberam directionem, in eo tantum id punctum conquiescet loco, ubi fuerit ad distantiam omnium

minimam a Communi gravitatis centro toti.

dem aeque gravium ponderum in ipsis pun

ctis constitutorum .

sit punctum A primum in necessaria directione attractum veluti si cogatur incedere per canale BC , extra quod egredi non possit, a viribus M, AN, AL AG atque in extremitatibus, , , , rectarum , per quas vires illae earumque directiones designantur, totidem posita eL se intelligatur pondera aequalia, quorum 'commune gravitatis centrum. Si vero a puncto P ducta ad Canalem recta omnium minima x, quae erit utique eidem Cantali normalis in A, Dico, punctum mobile in constitutum conquiescere . Producta enim AP ad partes

P, captaque Ad quadrupla ipsius A , designabit A

tam directionem, quam quantitatem vis omnibus simul aequi pollenti vi . Perinde igitur est ac si sola adesset vis Ad punctumqne A per directionem Ad sollicitaret. Et quoniam potentia qua iremitur latus Ca-

13쪽

nalis alia esse non potest , quam quae punctum sollicitat per directionem eidem Canali normalem , erit eadem Ad Canali BC normalis in A, potentia, qua premitu latus canalis, sive uua punctum A tentat recedere a necessaria diretiione BC . dulla igitur adest vix qu punctum inis constitutum sollicitetur per direenimnem necessariam BC, quaque promoveri possit ; ibi enim actio tota potentia omnibus aequi pollentis A in

premendo Canali exeritur od vero alibi quam in Acontingere nequit, nam ex alio quovis puncto D can, lix BC directio potentiae ex omnibus coalescentis D , quaeque vi Lemmatis per centrum P transire debet obliqua erit directioni necessariae BC , ideoque resolubilis in laterales, quarum una semper punctum D per Caianale promoveri poterit. In unico igitur puncto A directionis necessariae BC, ad minimam scilicet a communi gravitatis centro ponderum aequalium, L, G distantiam, punerum attractum immotum consistit.

Caeteris manem nus, subIatum concipiatur Canalem C. Iam libere punctum A ad commune gravitatis centrum aeque gravium ponderum , , , G accedere poterit, media virium dilectione P. Et quoniam nil impedit quominus cum ipso plane congruat, ibi tantum in directione libera, distantia puncti attracti a centro fiet omnium minima, ubi ipsa penitus evanuerit, scilicet in puncto P. Verum decrescente distantia AP, ipsa quoque jussiem P multiplex Ad in eadem proportione diminuitur: evanescente igitur AP, evanescet parititer ipsa A . Quare coincidentibus punctis A, P, nulla es amplius vis , quae ex potentiarum P , Ρ, Ρ, G compositione coalescat in P. Equi librantur ideo eaedem potentiae inter se mutuo in ipsi puncto P, punctumque A in constitutum conquiescit. Igitur si fuerint in eodem plano punt' quot vis c. E. D X. Perspicuum est , mei non monente , notissimum illud In comparabili Leunit, Theorem in hoc nostro

14쪽

nostro generali contineri, quo scilicet ibi inter vires quo, libet in punctum agentes aequilibrium fieri, conficitur, ubi punctum illud sit commune gravitatis centrum t iidem aequalium ponderum existentium in extremitatibus rectarum easdem vires referentium, quodque in Epistola

ad misit suis data exposuit, Ma nonnullis postea satis

operose demonstratum est. XI. Hisce veluti Lemmatice praemissas, facillime identitas demonstratur puncti , ubi Vires quotlibet inter se mutuo aequilibrantur, cum puncto, in quo minimum ilia lud invenitur, de quo in Theorem. I. QII disseruimus, neutro ab altero pendente.

XII. Si vires quotlibet in eodem plano constituta punctum aliquod mobile trahant

per quamcumque direEtionem necessariam, vel liberam, ibi summa quadratorum, quae fiunt a rectis virium illarum trahentium quantitates, R directiones referentibus, est omnium minima, ubi punctum, quod trahitur manet immotum. Sint enim vires M, A NA , A , quae in punctum A per necessariam directionem BC , ex qua egredi non possit, simul agant pro distantiarum ratione, sitque P commune gravitatis centrum totidem aeque gravium ponderum in , , , G collocatorum, cta P omnium minima, quae a pufifto P ad Canale BC duci possunt.

Jam per ea, quae in primo lieoremate demonstrata sunt, summa quadratorinn, quae fiunt ex rectis LA, MA, NA, G est omnium minima; ex praecedenti vero, punctum mobile in A constitutum conquiescere debri P te igitur propositum quod ad directionem necessariam Patet

15쪽

tθ Patet etiam in libera Constituto enim puncto Ase, vitibus attracto in ipso gravitatis centro P, summa quadratorum ex P, p, P m fit per Theorema u. omnium minimc ibi autem vi Theorematis praecedentis, id punctum immobile consistit. Ergo si fuerint vires quotlibet c. Q. E. D. XIII. Puncta hactenu in eodem plano constituta supposuimus; erum id ipsum facile demonstrari potetit, si in diversis quoque quomodocumque planis sita concipiantur. Transeo itaque ad alia quaedam Theoremata

huc pertinentia, quorum consideratio, praecedentium occasione , animum subiit , quaeque hoc loco opportunissime cedere videntur.

XIV. Sit curva qualiscumque AMB per quam incedere concipiatur mobile M a viribus quotcumque P, Q, R MS de in eodem plano quomodocumque sitis , pro distantiatum ratione sollici.

tatum, extra quam vero egredi non possit

16쪽

mobile consistat: centro M atque intervallo quovis C describatur circulus CDEF, Qt punctis C , D, E, F pondera collo. centur rectis RM QM, singula singulis proportionalia , dico , rectam K

quae per commune grauuatis centrum hujusmodi ponderum in C, D, E, F constitutorum transit, normalem Te Curvae AMBin M.

Producatur ΚΜ , atque ad Ipsam normaIes a punctis P, E, S, F, R, C, , D ducantur refla G , - , SV, L, T, O, DI; Sumatur radiu M pro unitate, & quoniam ex imilitudineWTriangulorum C MRT, uti ad Co ita, ad m, normalis m, aequalis erit facto ex RΜ in Co eodem modo demo strabitur tecta ΟΝ, G SV aequales esse famis ex mi DI, ex mi Em, ex Smin L. Quoniam vero transit ex hypothest rectam per commune gravitatis

17쪽

T7 centrum ponderum C, D, E, F, rectis RM, M,PΜ, Sm proportionalium, erunt, ex staticis, facta ex PMin EH, ex Sinin F ex una parte, aequalia facti ex . in DI, ex Μ in C ex altera. Igituris summa normalium G S ex una parte aequalis erit summa no malium ex altera, utpote iisdem factis sing Iae ingulis aequales. Quare ex statices principiis transisebit etiam eadem M per commune gravitatis centrum ponderum aequalium in P, Q, R, S constitutorum, scilicet in ipsis vitium centris. Erit igitur ex mcedentibus recta, media directio virium M , - , Μ, Μ, quae cum ex hypothesi in maequilibrentur, erit eadem ΜΚ eurvae AM normalis in . Si igitur fuerit AMBcurva qualiscumque kc. Q. E. D. XV. Mire cum iis haec consentiunt, quae Marchio m- D talius in Analysi infinite parv. f. II. Probi x demon stravit, etiamsi puncta P, R, SAEc soci non sint, &curva AMB sit qualiscumque. Ex hoe enim, quod demonstravimus , Theoremate, recta Κ, utva normalis in puncto equilibrili , ita est positione constituta, ut facta ex minari, ex SΜin F ex una parte aequentur facti ex . in I, exin in Co ex altera, hoe est PQ in SM. FL . . DI 'M. CO ideoque transit ipsa per comin mune gravitatis centrum ponderum in C, D, E, F collocatorum, atque iis quantitatibus proportionalium , per quas normales CC DI, FH, L multiplicantur. Itaque super curvam AB, sumatur arculus h infinite parvus, ductisque Ph, i , Rh Sh, centris P, Q, R, atque intervallis PM. M RΜ, Μ describantur arculi circulare Mr,mq, p, s & quoniam anguli Milo vir cti sunt, demto utrinque communi angulo IM , anguli MI, Mh, in Triangulis DI, M erunt aequales, itidemque anguli in I, ω utpote recti . Quare Triangula MI, Μ erunt similia. Eodem modo demonstrabitur Triangula MEH it , item Triangula

18쪽

Is M , pli , atque clangula FΜ, sh esse inter se similia. Cum em hypothenuis C, MD, ME, MFin Triangulis CG, DI, MEΗ, MFL sint inter se in quales , atque itidem hypothenus in sit Triangulis omnibus Μph inm, rh, sh communis, erunt di serentiae rh , h, h, sh rectarum Μ QM, Μ, SMinter se invicem ut normales in DI, C , L. Si igitur occi normalium dilatentiae iisdem proportionales substituantur , ita quoque normalis, erit constituta ut m m in Sin. sh - Μ. O RM. phis o Tram sit ideo ipsam per commune gravitatis centrum Omderum iis quantitatibus proportionalium, per quas differentia rectarum in Sin Q , Μ multiplicantur, atque super ipsas in puncti iisdem E, F D, C collocatorum quae quidem est regula obpitaliana Haec cum superioribus conserens in id, quod sequitur, incidi inherrimum, atque generale.

THEO REM A V.

XVI. Vires quotcumque Asin, AE , AG

M. in unum idemque punctum mobile prodisian

19쪽

distantiarum ratione insimul agentes inter se mutuo aequilibrentur in puncto A. Cen. tro A, atque intervalIo quolibet AC deseri batur Circulus CBI, atque in punctis C, B, I, super AH, AG AE , si opus productas pondera constituantur Viribus trahentibus AH, AG AE proportionalia , dico, idem punctum A commune esse gravitatis centrum ejusmodi ponderum in C, B, I constitutorum Producatur AE , iunctisque GE , Em, BD, ipsi GE

ducantur parallelae R BKL quoniam ratione aequili-hri unaquaeque Potentia aequalis est,is contraria ei oua oritur ex aliarum compositione , rectam prost

cta hiseeabit E in F , rectasque I, B eidem GKparallelas in Q. , S. Triangula igitur Sin, ut erunt similia , ideoque ut B ad I ita S ad 1, vel QR ipsi in aequalem. Ita vero B ad Q ut AB ad AR, velut A ipsi AB aequalis ad AM; Sed ut A ad A ita AE ad AG ita initur B ad I ut AE ad G , scili

20쪽

cet in reciproca ponderum in B. constitutorum ratio ne Quare erit punctum P commune gravitatis centrum ponderum , es, atque ideo in ipsa P erit commune gravitatis centrum trium ponderum B, C, . Rursus iuncta IC , ratione aequilibrii, A producta rectam Embifariam secare debet in D. Eodem igitur modo, sectam esse C In L in reciproca ponderum in I, C constitutorum ratione, demonstrabitur. Quare in ipsa B erit quoque commune gravitatis centrum trium ponderum B, C, L. Necessario igitur id gravitatis cenis 3 rum erit in puncto A , utpote utrique ipsarum CP, B commune. Si vires ideo quotcumque &c. Q. E. D. XUL Extat igitur Malter Cano generalis pro m tuo dignoscendo Potentiarum quotcumque aequilibrio qui ab illo Lesbiatiano, quem f. X. memoravimus non

pendet.

Caeterum notatu dignum est , quod si in punEt Asuerint inter se mutuo aequilibrata vites AH, AG, AE, vel in centris vitium H, G. statuas pondera aequalia, vel in super easdem in M, AR, si opus productas, ad aequales ab A distiantias , pondera coli ces ipsis viribus singula singulis proportionalia, unum