Marini Ghetaldi patricii Ragusini Nonnullæ propositiones de parabola

1쪽

siligo ν

2쪽

CHRISTOPHORO CLAUIO

Mathematico p stantissimo.

Marinus Ghetaldus S. P. D.

N tandem quem ab inuito expressisti primus ingeni j mei de parabola scelus; tempestiuam dicam assecutum maturitatem quid si immaturum, & intempestiue prolatum,aliena culpa non mea prodit nunce tenebris ad aliquam honoris lucem, no- -- ad plausum: stultus sim si ab inbeeilli tate mea hoc impetrem, quid si a te doctissime Claui e imbecillitatem igitur reprehendant alij, non studium: irruant in alienam laudem inuidi,efferantur inopinatae praedae certissima

spe, illorum audaciam, una tua contundet auctoritas; nec, dum lucem quaero,offendam temere, pedemq; cum dedecore sine spe laudis reseram. consormavi,& estinxi laboriosissime: stu- diosissime complexus sum: foui diligentissime: vires, & incrementum industriae debebunt meae, lucem tuae tum humanitati, tum beneuolentiae. piae fortasse cuiusdam impietatis specie recentem , & infirmum adhuc partum exponi noleba invidorum morsibus,& obtrectatorum calumnijs, cum interim paterer in tenebris illum, vel ad aeternam obliuionem, vel ad interitum consenescere. reuocas e tenebris ad lucem, ad vitam ab interitu;ut qui non iniuria perniciosam nobis industriam obiecisset, lucem omnem, omnem uni tibi vita debere se nunc fateretur.

parum ergo tibi videbatur,si aditum ad tua familiaritatem ii mini obscuro patefecisses, nisi eumdena ad sempiternam gloria, ad nominis immortalitatem incitasses λ Si aliorum idem quod 'tuum de me iudicium quid expauescam tu mihi unus instas omnium;si uni tibi probatos industriae meae fructus intellexero,

A a quid

3쪽

quid me beatius p effecisti iam ut non tam mihi sit ambigendii

de posteritatis memoria, quam enitendum, ut de me cocitatam apud te opinionem,apud ceteros tuear etiam,atque sustineam. Tenuitatis igitur meae conscius te unum laudis, & existimationis meae patronum adoptaui, ut qui ab invidorum morsibus,&calumnijs mihi timebam, nihil non expectarem ab honestissimo tuo patrocinio, Euocauit iam pridem c patria,quae non solum apud Italos; verum apud remotissimas etiam nationes ingenij tui fama percrebuerat; quod passim in celeberrimis tuis monumentis admirabile ingenij tui acumen deprehenderam, quale illud coram,Deus immortalis vestigium illa praestantissimi acuminis,ceterum praestantiora cohibere te, non ut opprimeres, sed ne illorum splendore aliorum tenuitatem perstringeres; in familiari congressu,quae decora, quae ornamentae allicere puto voluisti maximarum rerum copia, & amplitudine , allexisti, & hoc nomine obseruantiae in te meae fructum consecutum me maximum velim scias,quod beneuolentiς tuae,quod humanitati debeo. Tuere perhumaniter, quem inusitato nescio obligatum tibi voluisti e non vulgare patrocinium tam tum ex ipsius sapientiae accersitum domicilio; non humile, non

infirmum ad quam laudem non muniet aditum ξ obseruantiam igitur in te meam rudis hic , & impolitus ingeni j mei foetus e Mathematics disciplinae latibulis erutus declarabit: idem luce patrocini j tui cohonestatus , beneuolentiam erga me tuam pa tefaciet : intelligent sapientes viri, quo in numero habendus tu sis, quid ego tibi debeam; dum tu alijs,quam tenes amplissimam, non inuides gloriam, dum ipse laudem illam,quam extanti viri patrocinio non mediocrem mihi polliceor,vni tibi acceptam refero. sic fiet, Vt quem ego fructum ex obseruantia smea, tu ex Optima tua Voluntate cupiebas,utriq; noua hac, sed singulari amoris testificatione consequamur Uberrimum. Vale.

Romae ix. Kal. Aprilis M D CIII. :.

4쪽

ERUDITO LECTORI.

A mis es humani ingenii, Lector bumanissime. t quoplures, et maiores ei difficultates in praeclarissimarum rerum

indagaraoneprie iruuntur,eo ardentius

ad eas superandas incendatur in inmmetur. Quod nuper a me experimm

es comprobatum in indaganda rationeparabolici I ecutis bricandi. Nam cum severioribus annis apud Plutarchum in Numa animaduertissem, ιn Graecia ignem quendampere nem,qui a mulieribus quibusdamper aetatem ad coniugium ineptis custodiebatur,sicasu aliquo extinctus Iussit, non liacuisse ex abo igne renouari, puram et sinceram flammam e solis radiis excitandam fuisse,eamq; ad rem ibos quodam instrumento e os scapiam appellabano excavato in mo dum turbinis rectanguli,quos aduerso soli apponeretur, fierer, ut radij silares iacircunferentiam Undiqs incidentes concurrerent omnes ad centrum, et quam citi me appositamqωamcumq, materiam inflammarent,quo loco plutarchus

signiscat talias cula ad parabolae forma fuisse excavata, quae ex turbinisseu coni recti rectanguli sectione generaturam ex Orontis in praefatione libri des ecusivstorio didicisse,

inter omnia specula quae appellantur clinoria ea facilius, celerius flammam excitare,quae sic excavata sunt, ut tu eorum superficiem radimures incidentes ad Nnum certum, o communepunctum refrangantur,in quo a Plutarcho non difsentit, nam ideoli affirmat accidere speculo,quod in forma sectionis recti atque rectanguli coni, quaeparabola dicitur, fuerit

5쪽

fuerit excavatum . idemq; ex Vitellione auimaduertissem, qui ad construenda specula ignem celeriter generantia ititur parabola coni resti rectanguli,cum de huiusemodiparab lae generatione agit Propos.s s. bb. primi ad quam se refert in sy.prop. in sequentibus lib. s. Hi de praedictis speculis

multa comentatur.eo maius atque ardentius huiusmodi θ tuli construendi, desiderium in me ect excitatum , quo malo rem ammaduertebam difficultatem. Qua in re cum a me ea opera esset nauata , ut tandem aliquando anno superiori propositumsim assecutus, ilia praeterea commodi accidit, tex accurata consideratione repererim, id non solum ei accide-

respeculo, quod in formam parabolae recti atque rectanguli , ni est excavatum, horaeterea bis, quae a parabola coni acutianguli,obtusianguli,in scalent etiam fuerint descripta.

contra communem omniumsententiam,qui de parabola bu 6que scripserunt , in quod mentis humanae intestigentiam superare Nidetur inuenerim,cuiuscunq; coni parabolam eamdem esse,quae coni recti rectanguli. Quae a me nuper inuemla,m demonstrata nisi protulissem in medium inuidere merito visus essem communi omnium νtilitati.

6쪽

TRICII RAGPropositiones de Parabol

THEO REMA I. PROPOS. I. I sint duae parabolae, & ad diametrum unius

ordinatim applicentur quotcumque rectae lineae, totidem quoque ordinatim applicentur ad alterius parabolae diametrum, ita ut diametri unius, interiecta inter verticem, &applicatas, sint aequalia segmentis diametri alterius, inter verticem,& applicatas interiectis,singula videlicet sin mus,lint autem & applicatae applicatis aequales singulaea n

gulis, & anguli contenti applicatis, & diametro unius, aequales angulis contentis applicatis, & diametro alterius. altera alteri parabolae eadem erit.

SINT duae parabolae quarum diametri AB, CD, S: ad AB,ordia ri tim applicentur quotcunq; lineae GE, HB, totidem quoq; ad CD, ordinatim applicentur lF, KD, ita ut segmentis Α Ε, ΑΒ, sint aequalia se menta CF, CD, singula videlicet singulis, Sint autem S applicatae, GE , HB , applicatis F, KD, aequales singulae singulis,

7쪽

CD, sit aequalis; congruente autem AB, ipsi CD,congruet ΒΗ, ipsi DK, eum angulus ABH, sit aequalis angulo CDK, quare & H, congruet ipsi

Κ, est enim BH, aequalis DK:eadem ratione ostendetur & punctum G, pumno I, congruere,& omnia puncta, quae siunt in una parabola omnibus, quae sunt in altera : quare & parabola parabolae congruet. congruente igitur parabola AGH, parabolae Cin, altera alteri eadem erit, quod erat ostendendum.

THEO REMA II. PROPOS. II. SI recta linea ordinatim applicata ad diametrum hnius parabolae sit aequalis reste lineae ordinatim am

plicatae ad alterius parabolae diametrum,sit autem &s mentum diametri unius interiectum inter verticem, dc applicatam, aequale segmento diametri alterius inter verticem, & applicatam interiecto, sitque angulus contentus applicata, & diametro Vnius:aequalis angulo contento applicata, ta diametro alterius, altera alteri parabolae eodem erit. SINT duae parabolae, quarum diametri AB, CD, & ad M, ordinatim applicata HB, aequalis sit ipsi KD, ordinatim applicatae a CD, sit autem & segmentiim AB diametri aequale segmento CD, diametri, & angulus ABH, aequa- Iis angulo CDK, Dico parabolam AH, parabolae CX, eandem ess , sumatur enim in diametro AB,

quoduis punctum Ε, & ipsi ΑΕ,

aequalis ponatur CF, & ordinatim applicentur GE,IF, quoniam igitur aequales sunt ΑΒ, CD, &aequales quoque AE, CF, erit ut AB, ad CD,ita AE,ad CF, aequalis p . 3- videlicet ad aequale,& permutado Vt AB, ad M, ta EUγ μ. Vi . His

' Ρ ita quadratum KD, ad quadratum IF, ergo ut quadratum rid, siqua' 'φ dratum CE, ita erit quadratum KD, ad quadratum IR quare Ut rina ad GE, ita KD, ad IR di permutando vi HB, ad KD, ita GE, ad l Γ,

8쪽

DE PARABOLA.' s

sunt autem ΗΒ, ΚD, aequales, ergo & CE, a F, erunt quoque aequales: quare ex antecedente Theoremate parabola AH, Parabolae cΚ, ea Minerit, quod erat ostendendum.

THE PREMA

III. PROP. III.

SI duxparabolae recta latera aequalia habeant, anguli

autem, quos constituunt ordinatim applicatae cum diametro uniustitit aequales angulis, quos ordinatim applicatae cum diaAetro alterius constituunt, altera alteri parabola: eadem crit.

Habeant duae parabolae,quarum diametri AB, CD, latera recta ADCF, aequalia, anguli autem quos constituunt ordinatim applicatae cum diametro AB,sint aequales angulis quos ordinatim applicatae cum diametro CD, constituunt. Dico parabo iam A, parabolae C, eadem esse . Sumantur enim AB, CD, aequales,& ordinatrio applicentur GEME, quo niam igitur aequales sunt AE,CF,& aequales quoque AB,C D, recta tum BAE, aequale erit recta loDCF, sed rectangulum BAE, ae- quale est quadrato GR, 3erectangulum DCF, aequiae quadrato Hinergo quadratum GP,aequale erit quadrato HD.quare S recta GB, aequalis rectae H D, sed de A P, aequalis est CD,& angulus ABG, aequalis angulo CDH, ergo ex antecedente Theoremate parabola A, parabolae C, eadem erit, quod erat ostendendum.

THEO REMA IV. PROP. IV. Viu sicunque coni parabola parabolae coni recti re

9쪽

ro PROPOSITIONE s

S IT cuiuscunque coni parabola AB,cuius diameter AC.Dico pa rabolam AT, parabolae coni recti rectanguli eandem esse. Sumatur - enim quodvis punctum B,insectione,&abeo ad AC,ordinatim applicetur BC,& sit primum angulus ACB, rectus, hoc est diameter Ac, sit axis, &sumantur duae rectae linea:

DE EF, aequales ipsi AC,&ines inentur ad anguloS rectos, iunctaque DF,producatur,& fiat quadrato BC. aeqtiale rectangulum DFG, S per G ducita ipsi FE, parallela CH, secet DE.pr ductam in H, erit igitur angulus ad H, aequalis anguialo DEF,N ideo rectus,nam rectus est& ipse DEF, de quoniam aequales sunt DE EF, angulus ad D, aequalis erit angulo FFD, hoc est HGD, quare id D, aequalis erit HG. Itaque circa diametrum DG, describatur circulus DIC, rectus ad triangulum DHG, S intelligatur conus, cuius vertex punctum H,basis circulus DIC .erit, igitur is conus rectus rectangulus, quoniam D H, aequalis est HG, Nangulus ad H, rectus. Deinde secetur conus per EF,plano secante Cir culum Di C, secundum rectam lineam II X,perpendicularem ipsi D & faciat sectionem in superscie coni lineam lΕΚ, ea igitiir 1ectio erit parabolamam eius diameter LI parallela est lateri HG, trianguli per

Et quoniam IF.perpendicularis estod DC, diametrem circuli, rectangulum DPG, aequale erit quadrato IF, sed N quadratro AC, est aquale, ex constructione, ergo quadratum IIS, aquale erit quadrato BC,3 consequenter, recta IF, aequalis rcctae BCaiat quoniam trianguis rus luna DHG, rectum est ad circulum D lG, communi autem eorum si 3 i. Eis. ctioni DC, perpendicularis est IE 'erit lF, perpcndicularis ad triangu-vo ' lum DHG, quare & ad omnes rectas lineas, quae ipsam IT,contingunt . in eodem sunt plano, ergo & ad EF. . I que quoniam ordinatim applicata IF, aequalis est ordinatam applicatae BC,& legi nentum EF. diametri inrerrectum inter verticem dc applicatam,aequale segmento AC, diametri inter verticcm di applica-

10쪽

tam interiecto, est autem & angulus EFI, aequalis angulo ACB, nerque enim rectus est, erit ex Theorem. i. parabola I , parabolae BA, ceadem

Aliter existente angulo ACB, recto.

SIT parabola ut supra AB, cuius axis AC, latus vero rectum Aia ostendendum est parabolam A B eandem esse parabolae coni recti rectanguli. Exponatur enim conus rectus rectangulus,cuius vertex punctum H, hasis circulus D IG,&. secetur plano per axem,quod faciat sectionem triangulum H DG deinde sumatur HE, aequalis dimidiae A L. ipsi vero HG, agatur

parallela EF, & per ipsam EF, secetur conus plano secante circulum DIG, secundum rectam litaneam IIJΚ, perpendicularem ad DC,& faciat sectionem in superficie coni lineam IEK, ea igitur

sectio, erit parabola .

Desnde a puncto E, ipsi EF,du.eatur ad rectos angulos EM, &fiat ut rectangulum DF G, hoc est ut quadratum DΗ, vel HG,

sunt enim aequales DH, HG, ad quadratu DC, ita recta ΗΕ, erit igitur EM,latus rectum parabolae IEΚ. Et quoniam rectus Cri ,1 fgulus H,quadratum DC aequale erit quadratis DH, HG, sed quadra , aera DH HG, sunt interie aequalia: ergo quadratum DG, duplum erit quadrati HG, vel MD, quare, A. LM, dupla erit ipsius E V. est Q enim EH . ad. EM , scut quadratum HG, vel HD , ad dratum DG. Sed & ΛL, dupla ponitur ipsius ΕΗ, ergo EM, aequalis ipsi A L. Et quoniam triangulum D HG,rectum est ad circulum DIG, communi autem eo in sectioni DG perpendi laris est IF, erim F. per-PJ pendicularis ad triangulum DHG, quare &' ad omnes rectas lineas quae ipsam lF, contingunt, At in eodem sunt plano. ergo &ad EF. Quoniam igitur AL, latus rectum parabole AB, aequale est ipsi EM.' lateri recto parabolae IE K. & angulus ACB, contentus applicata, Scdiametro aequalis angulo EFI,contento applicata, c diametro: uterq; enim est rectus,erit parabola AB, parabolae IE eadem . . B x SED