장음표시 사용
11쪽
structionem tam angulus A ME, quam angulus A ME aequalis angulo AN M. Quare per corol. 2. prop. 2. utra libet ex directionibus Α M , A m corpus abibit in N. Cor. i. Si autem detur directio AM , & quaeratur A N amplitudo projeetionis in recta A D , cujus pqsitio datur in plano verticali E A M ; invenietur, si produc a D A indefinite in C , fiat segmentum circuli A M E continens angulum aequalem angulo C A E , & directionem A M secans in M, ducaturque MN parallela EA. Erit enim angulus AN M aequalis externo , &opposito CAE, nempe
angulo A ME per constructionem . Cor. 2. Erit tam in casu propositionis, quam in casu corollarii primi recta A N tangens ipsius circuli, per pro p., lib. cum angulus A M E in alterno segmento sit in utroque casu aequalis angulo E A C. Cor. Erit igitur dimidium arcus A M mensura anguli
M A N, quem facit chorda cum tangente : cumque ob A E, M mparallelas arcus AM aequetur arcui E cujus dimidium mensurat angulum EAm ad circumferentiam , erunt aequales ipsi anguli M A N . m A E. Ac proinde directiones A M , A m, quarum altera cum recta A D contineat angulum aequalem ei, quem altera facit eum verticali A E, eandem habebunt projectionis amplitudinem in eadem recta AD. Cor. 4. Si recta I B secans A E bifariam & ad angulos rectos in I occurrat circulo in B, recta autem BD normalis ad I B ipsum circulum tangat in B; erit A D maxima distantia . ad quam corpus cum ea velocitate projectum pervenire potest in recta A D , directio autem erit AB; si enim quacunque alia directione AM vel Amprojiciatur; recta m MN transibit per N intra A & D. Quare ad omnia puncta N inter A & D poterit corpus pertingere duplici di rectione AM, Am, ad punctum D unica AB: puncta autem ulteriora erunt extra jactlim.
Cor. s. Si recta AND fuerit horigontalis; erit A E normalis ad tangentem AD; quare circuli diameter erit ipsa AE , centrum vero in I, & A D parallela. & aequalis radio I B sive I A. Maxima igitur amplitudo projectionis in plano hori Zontali per punctum projectionis transeunte aequalis erit dimidiae A E, scilicet dimidiae mensurae projectionis. Cor. 6. Cum arcus B A, B E aequales sint; erit eadem demonstratione Corollarii angulus B A D aequalis angulo B A E, adeoque & alterno A B D, ac proinde & angulus E A D bifariam sectus a directione A B , & triangulum A D B isosceles. Erit igitur maxima amplitudo projectionis in recta per punctum projectionis tramseunte, & jacente in eodem verticali plano cum directione , ubi directio ipsa secat bifariam angulum, quem eadem recta facit cum verticali , & ipsa maxima amplitudo A D erit aequalis rectae D B normali ad I B secantem bifariam ec ad angulos rectos mensuram projectionis AE.
12쪽
Ex hac propositione potest erui constructio instrumenti expediti i-simi pro utroque tormentorum genere, quorum altero pyroboli emit tuntur altero ferrei globi, ac primum quidem vulgo dicimus Mortarida Bombe , alterum Cannoni. Fiat ex crassiore materia circulus A M E Z divisus in i 8 o. partes aequales cum regula AOI ipsum contingente
in A immobili, vel simul compacta ex eadem materia, & longa circiter ita ut aequet circuli diametrum , ac circa punctum A girare possit altera regula ACH longior circuli diametro, ex cujus puncto C pendeat filum CP cum pondere P. Numeri autem divisionum collocentur intra ipsum circulum ab A per M versus E. Usus instrumenti est aeque facilis , ac ejus constructio . Ita collocetur , ut latus A O dirigatur ad scopum , quod facile praestabitur ope duplicis pinnulae collocatae circa A &c, regula autem mobilis A C jaceat vericialis, quod indicabit peudulum C P radens latus in C. Si autem E sit concursus ejusdem lateris cum circulo, apte tur in circino proportionis ipsa A E ad tot partes, quot pedes, vel passus continebat mensura projectionis determinata in Scholio postprop. a. ,& ex eodem circino capiatur A N respondens pedibus, vel passibus contentis in distantia A N fig. 6. itum regula ACH ita circumis ducatur, & abeat in Ae δεῖ ut penduli est filum transeat per N, quod filum si circulo occurrat in M , & m ι partes arcus A M , qui aequatur arcui E m. ob A E, M in parallelas, indicabunt gradus assumendos in arcu D F fig. pro tormentis emittentibus pyrobolos, partes autem A hi. quae aequantur partibus EM, idem indicabunt pro tormentis emittentibus globos ferreos . Demonstiatio patet ex constructione: Cum enim sit A E ad A N in eadem ratione tam in sig. 6. , quam in 7., atque angulus E A N utrobique aequalis, similes erunt eae figurae ; quare arcu S E mEm M similes in utraque figura; dimidium autem arcus Em, vel E m M, quod est mensura anguli E A m vel E A M figurae 6., sive anguli E A B, vel D C P figurae s. , erit tot graduum , quot partes sunt in arcu Em, vel Em M figurae 7., cum singulae ex iis partibus contineant binos gradus.
Distantia vero AM vel A m exhibebit tempus juxta Schol. post
Instrumentum fere omnino simile ex hac eadem Theoria excogitavit Blondellus, quo tamen utitur inverso, atque ita, ut non sit satis nosse distantiam directam AN scopi, sed requiratur distantia horigon talis, quae sine nova trianguli resolutione non invenitur. Eodem instrumento poterit pariter determinari mensura projectionis, quae per calculum trigonometricum exhibita est in Scholio
post prop. a. Si enim dirigatur latus A O ad scopum, sumaturque AM vel Am tot partium , quot graduum erat angulus E AN infig. q. , & silum c p traiisieus per M vel m, occurrat rectae A O in Natum
13쪽
tum erigatur regula A EC insitum verticalems oportebit in circino applicare AN ad eum numerum partium aequalium, qui exprimit quot pedes , vel passus contineat distantia A N figurae ., &videre , quot partes aequales contineat chorda A E in eodem eircino tot enim passuum vel pedum erit mensura projectionis. Licebit pariter definire maximam projectionem in recta AD figurae 6. juxta corol. q. hujus prop., adducto nimirum filo CP ad T R ita , ut circulum contingat in B , & rectae Α O occurrat in Dinam A D ope circini proportionis exhibebit maximam amplitudinem
Si quis circino proportionis uti nolit, is dividat in partes aequales quotlibet latus regulae AC, ac tangentem A O s etsi ex amplitudine projectionis A N fig. q. quaeratur ipsius projectionis mensura A E, faciat ut partes A N fig. . ad partes A E, ita passus vel pedes A Nfig. 4. ad passus vel pedes A E; dc viceversa, si ex data mensura pro jectionis quaeratur punctum N pro inveniendis punctis M , m. Si amplitudinem datae projectionis in dato plano transeunte per ipsius projectionis punctum libeat desinire ope iurmulae traditae it Scholio post prop. a. s ponatur mensura projectionis eritque exsormia a tradita b T quare a Sunt autem m, , p, sinus angulorum AMN, MAN, MNA, qui dantur ex directione projectionis , & plano s a vero est amplitudo quaesita.
In recta indefinita datis punctis Α, Β , oporteat invenire pun-I 8. ctum R ita , ut rectangulum sub A R & R B sequetur rectangulo subidi s. datis rectis. Secta A B bifariam in C, centro C intervallo C A de. scribatur circulus A M B. Inter illas datas rectas inveniatur media proportionalis, cui aequalis fiat recta B D normalis ad A B. R8. Jam si punctum R inveniri debet extra puncta A B, centro C intervallo CD inveniantur puncta R, r, quae erunt quaesita punctita . Nam ducta per C recta D-M , quae circulum secet in m M , & con- , junctis plinctis R M, rm, in triangulis C B D, C mr, C M R, praeter angulum ad C vel communem, vel aequalem ad vertitem , latera C B, C M, Cm aequalia sunt per circulum, & latera CD, Cr, CR aequalia per constriictionem s quare Stota triangula, & latera R M , r M. B D aequalia erunt, & anguli ad M, & m aequales angulo recto C B D, ac proiiacle erunt M R, mr tangentes, & per pr. 36. lib. y rectangulum sub AR, &RBaequale quadrato M R, sive BD, seu per constructionem rectangulo sub datis rectis: & eadem
est demonstratio pro puncto r. F.9- Si vero punctum R quaeratur intra puncta A B, ducatur recta D I parallela diametro B A , quae si circulo occurrat in m , dc M , inde demittantur MR, mr normales ad A Bs eruntque puncta R, r
14쪽
quaesita . Demonstratio patet. Nam in rectangulo B M erit M R αB D , & , ob circulum , erit rectangulum sub A R , & R B aequale
quadrato M R, sive BD, seu per constructionem rectangulo subdatis rectis: 8c eadem est demonstratio pro puncto r. Cor. Patet primum casum admittere semper duas solutiones ;cum B D sit tangens , adeoque punctum D extra circulum , punctum autem C intra ipsum. In secundo casu si rectangulum datum deficita quadrato dimidiae datae rectae A B , erunt duae solutiones s si aequatur ipsi, erit unica utroque puncto R, r abeunte in centrum C ; si
ipsum excedit, casus evadit impossibilis. Si enim erigatur radius C Hparallelus tangenti B D occurrens rectae DMin Ii in rectangulo B Ierii C I α B D ῶ quare si B D est minor C H , seu dimidiae rectae A R, recta D I bis occurret circulo ; si eidem aequalis sit, continget redi aD Ι circulum in H, punctis M I m Η coeuntibus i si vero B D ipsam C H excedat, recta D I extra circulum cadet.
Problemata omnia, quae in Analysi sunt seeundi gradus, huc reducuntur, quod Veteres non ignorasse , Ostendit Hali ejus in Scholici generali post primum Apollonii librum de sectione rationis, quem ipse , cum jam periisse censeretur, ex Arabico Codice latine reddi.dit s ubi affirmat Reduxise Zeures probismata plana omnia ad has duas
formalas; sempe ut cognito dati recta usi summa, vel disserentia lateriam , insevirentur Iatera simiuatim. Has autem formulas construxisse
ope pro p. et S., & 29. lib. 6. Euclid. , quarum particularis casus est.
Ad datam retiam applicare datum rectantulum defieiens, vel exeedens quadrare , quod eodem recidit. Male tamen ibidem reprehendit Tuque tum , CBalsum , Er eorum asseclas , qui eas propositiones ex elementis rejecerint. Facilius enim construuntur per hoc Lemma, quod eruitur ex notissimis circuli proprietatibus. Hac eadem constructione utimur in Analysi, ubi occurrat aequatio secundi gradus, re hanc ipsam praefixit Hugo de Omerique Analysi suae Geometricae, ubi idem sic proponit: Iuvenire duas rediar reeiprocias diatis, quaναμ detur summa, veι uiserentia . Id autem opus longe praestantissimum nullis unquam laudibus satis efferri potest . Atque utinam lucem aliquando aspiceret altera operis pars, in qua problemata solida eadem certa methodo ae admirabili illa elegantia resolvuntur simul, & construuntur ipso auctore teste, quo in Irrima parte problemata plana. Dicitur autem apud ejus Viduam ineuitum tam egregium opus Gadibus asservari.
15쪽
Eio. Data proffectisnis mensura A E , disectione A M, splano quocunqMe , invenire punctum plani in quod
Uoniam corpus a sola gravitate deflectitur perpendiculariter ad horizontem per coroll. a. lemm. a. s semper erit in plano verticali transeunte per directionem A M , 8c per verticalem A E . Cadet igitur alicubi in N in recta P N , quae sit communis intersectio ejus plani verticalis cum dato plano, quae interse cito dato utroque plano datur. Plures autem sunt casus.
Tio. i. Sit P N parallela verticali A E , & secet directionem A M in M . Fiat EA. AM :: A M. M N; & cadet in N per pro p. a. Fit . a. Sit PN parallela directioni AM , & secet verticalem A Einfra A in P , c si autem supra A secet, patet casum &re impossibilem). Fiat PN media proportionalis inter E A & AP, eritque punctum N quaestum s nam completo parallelogrammo A P N M , erit AMz: PN, & AP MNs quare EA. AM:: A M. MN,
Fiet. I. Transeat recta P N per A, & cum directione A M eonstituat angulum M A N infra angulum E A M si enim recta A N caderet intra angulum EAM s patet in ipsa nullum posse occurrere quaesitum punctum . Ipsi MAN fiat aequalis ex eadem parte rectae AEangulus A EM, & demittatur MN parallela E As eritque punctum N quaesitum punctum. Nam ob angulos quoque alternos NMA, MAE aequales, similia erunt triangula E M A, A N M ; quare A E. AM:: A M. MNs Casus vero coincidit cum casu corollarii ta
Ria. q. Occurrat P N directioni prosectionis in I, & verticali E A in i .P vel infra punctum A ut in fig. II., vel supra ut in i 4., &quaeratur N. Concipiatur solita NM , &fiat angulus A EB aequalis angulo AI Pita, ut recta E B subtendat vel angulum I A P ut, in f iq. , vel ipsi aequalem ad verticem ut in fig. i p., ac proinde triangula E AB, I A P similia sint. Cum autem ob M N, AP parallelas sint etiam similia triangula I A P, IM Ni erunt etiam similia E AB, I M N. Quare AE. AB:: IM. MN, Sed per pro p. 2. est A E. A M :: A M . M N. Ergo ex aeuuo A M . A B t: I M . A M , & dividendo B M.AB:: IA. A M. Quare rectangulum sub B M & .
A M aequale erit rectangulo sub datis rectis A B & I A. Dantur autem puncta A & B s igitur dabuntur per lemma f. etiam duo puncta M & m , vel unicum, vel nullum s & ex eodem lemmate patet con structio , 8c per regressum demonstratio . Cor. i. si ducatur AC parallela ipsi IN, cui oecurrat recta
16쪽
B C parallela verticali E Aierit angulus B A C aequalis angulo AI Piii terno & opposito in fig. i 3. , alterno in fig. 34.s quare per casum I. corpus caderet in C. Inde autem facile eruitur debere incidere in rectam P N in si g. it. post verticalem B C , in fig. iq. ante eandem. Quare punctum M in fig. ig. erit quaerendum extra puncta A, B s infig. I 4. intra eadem . Cor. a. Dabuntur igitur per coroll. Iem m. s. in figura II. duo
puncta M, m, quorum primum dabit punctum N pro casu projectionis per A M , alterum dabit punctum ' pro casu projectionis per Α At infig. ia. si ree angulum lab A B Sc I A fuerit majus quadrato dimidiae A B, nullum invenietur punctum Mi si aequetur ipsi, erit unicum in media ABi si ab ipso deficiat, duo puncta invenientur. Cor. q. Quoniam quadratum dimidiae. AB est e A B q. erit rectangulum sub IA & A B ad quadratum dimidiae AB, ut A I ad quartam partem A B , dividendo nimirum utrinque per A B. Si igitur I A fuerit major quam quarta pars ipsius A B, corpus ad rectam PI non pertinget s si AI fuerit quarta pars ipsius AB, corpus rectam PI tantum continget in unico puncto N, quod invenietur facta I N aequali I P s erit enim ibi A M dimidia AB, adeoque dupla Aliqua re A I aequalis I M , & ob triangula similia A I P, M I N, erit I P aequalis IN. Demum si A I fuerit minor quarta parte A B; duo erunt puncta M, m , adeoque duo puncta N, Π, ita tamen, ut corpus primo impingat in N ir at si ibi sit excavatum foramen permittens liberum transitum . decidat in n. Cor. 4. Si recta P N fuerit hori Zontalis, & A I quarta parsi is rectae AB; erit A P maxima altitudo, ad quam ascendet corpus supra hori Zontem. Erit autem angulus quoque A B E rectus ob similia triangula ABE, AP Is&si fiat angulus rectus A IO, erit A O. A E:: A I. A B . sive A O quarta pars ipsius A E, puncta vero, IB erunt ad semicirculos quorum diametri A O , A E.
Cor. Quoniam recta A B abeunte in rectam verticalem A si, puncta I P abeunt in os si projectio verticalis esset corpus ad Operveniret, unde recidens in A, per eosdem gradus velocitatem recuperans, per quos amiserat, habebit in A velocitatem, cuni qua projectum fuit. Demonstratur igitur iterum , quod demonstratum est in coroll. r. pro p. a. , nimirum mensuram projectionis A E esse quadruplam ejus altitudinis, ex qua grave delapsum acquireret velocitatem velocitati projectionis aequalem.
Cor. 6. Si ducatur BQ perpendicularis ad A E, & BC parallela EA, A compleatur rectangulum A C; erit BQ aequalis ipsi C A , quae est amplitudo ejus projectionis in recta AC parallela PN, sive horigontali. Ae A Q erit quadrupla A P ob similia triangula API, A QB , & A B quadruplam A I. Igitur si diametro AEst semicirculus , &ex occursu directionis cum ipso , nempe ex pun'cto B, ducatur recta B Q normalis ad .diametrum, erit maxima alti ludo corporis supra hori Zontem quarta pars ipsius A Q, & ampli'tudo
17쪽
tudo projectionis in horizonte erit ipsi B Q aequalis.
Cor. 7. Variato autem angulo E A B, erunt amplitudines horizontales ut ipsae BQ. Cumque eadem sit earum ratio , manentibus angulis E AB, quaecunque diameter. pro A E substituatur s in quocunque semicirculo faciat chorda cum diametro angulum ipsi E AB aequalem, & ab altero chordae extremo demittatur normalis ad diametrum , exprimet ipsa rationem amplitudinum hori Zontalium.
6. Ex hoc postremo corollario faeile demonstratur usus instrumentia Torricello excogitati, quod etiam Bion tellus proponit, & laudat. Regulae GL longiori adnectatur semicirculus G H D , in quo sit radius C H normalis ad diametrum D G , qui radius dividatur in quotcunque particulas aequales, Sc agantur quotcunque rectae FO diametro parallelae , ipsi radio C H occurrentes in punctis I: ex G autem filum pendeat cum pondere . Jam immissa parte regulae A L intra os tormenti ante explosionem , & notato puncto F, notetur quot particulas contineat pars C I radii C Η respondens puncto F, & notetur quot pedum vel passuum fuerit amplitudo horizontalis. Eritque in omni alio casu ut haec amplitudo ad amplitudinem illius casus, ita haec CI ad aliam CI pro eodem casu. Quare si detur in alio casu distantia scopi in horigonte , innotescet ipsa CI per regulam trium, ac punctum F , R directio. Si autem detur directio in alio casu , dabitur punctum F, &recta CI, ac per regulam trium amplitudo Pro jectionis in horizonte. Pendet autem tota demonstratio ex eo, quod
ipsa IC aequetur perpendiculo F R demisso ex F in diametrum , Nangulus D G F aequetur angulo E A G , quem facit directio A G cum
verticali A E. Licet etiam Ioco divisonis radii C H dividere circunferentiam D H G in gradus , & gradus D F eruere ex tabula sinuum . Cum enim FR sit sinus arcus D F; erunt amplitudines hori rota tales ut arcuum D F sinus s quare semel ad notato arcu D F& amplitudine hori Zontali , per regulam trium eru-tur vel nova amplitudo pro novo arcu DF,
vel novus arcus DF pro nova amplitudine. Torricellius in binos gradus dividit semicircunferentiam G F D, adscriptis numeris a Gyer F versus D usque adso. , ut partes FD exhibeant angulum dire clionis cum verticali, & residuae F G elevationem supra hori Eontem, ac tabellam profert, in qua, unitati respondet sinus duorum graduum, binario quatuor graduum, & ita porro, quam tabellam Galilaeus tradiderat ad eruendas elevationes directionis supra horigontem , dcquam proponit Blo ellus, ac Bion in inlim me utorum constructione
3cussi. Sed pranerquamquod extra planum hori Zontale alius adhuc cal cuius requiritur ad directionem determinandam , videtur instrumen
tum propositum in scholio post prop. I. longe utilius lare vel ex eo
18쪽
capite, quod in quocunque plai ci jaceat scopus, determinat ut dire- quaesita absque ulla supputatione per iacilem constructionem.
Hactenus praecipua problemata circa motum gravium in spatio non resistente projectorum soluta sunt absque ullo usu conicarum sectionum , ut oporte illa, cum omnia problemata proposita sint plana . Et in his quidem omnibus quaerebatur determinatum quoddam punctum . Sunt autem alia plura omnino non dontemnenda , in quibus loca quaedam potius quaeruntur, quam puncta determinata, quae sine conicorum doctrina solvi non possunt a cum in ipsas incidant conicas sectiones. Hujusmodi sunt I. Determinare naturam curvae, quam grave describit. a. Determinare spatium omne solidum, ad quod pervenire possit corpus ex eodem puncto cum eadem velocitate egrediens, variatis utcunque directionibus , unde etiam profluet determi. natio punctorum omnium, quae in dato plano sunt intra jactum. Et primum quidem a Galilaeo determinatum passim traditur, alterum vero nusquam legimus . Conicorum autem doctrinam de sumemus
ex Quadratura circuli Gregorii a S. Vincentio, & ex Analysi HODpitalit.
Determinare cumvam, quam granis projectum describit. GRave proiectum per A B describat curvam A N C. quaeritur
ejus natura . Dico esse parabolam, cujus tangens sit directio A B , diameter recta verticalis E A R, diametri vertex A, parameter A E quadrupla ejus altitudinis . ex quo grave libere decidens acquireret eam velocitatem, cum qua projicitur. 'Demon stratur. Erecta ex quocunque puncto N curvae recta N M verticali, est per prop. a. AE. AM:: A M. MN. Igitur punctum N est addictam parabolam . Constat ex Greg. a S. Vinc. lib. s. pr. 29I., Mconstat ex natura ordinatarum ad secundas diametros, quibus ordinatis ipse A M parallelae essent & aequales, M N vero parallelae SP aequa les abscilΙis.
Parabolae vertex N & occursus cum datis planis determinata sunt in pro p. 4. cum corollariis. Facile autem demonstratur, velocitatem in singulis punctis ei se in ratione inversa sinuum eorum angulo rum, quos in iisdem punctis efficiunt tangentes parabolae cum rectis verticalibus, sive ejusdem parabolae diametris; dc latus rectum esse quadruplum rectae O P.
19쪽
In Parabolis omnibus, quae variatis directionibus describerentur , eadem erit parameter A E diametri ad punctum A pertinentisscumque omnis diametri vertex distet a foco per quartam suae para. metri partem, per pro p. iaῖ. lib. s. Gregorii a S. Vinc. omnium parabolarum soci atque distabunt a puncto A, adeoque omnium parabolarum soci erunt ad superficiem sphaerae, cujus centrum Α, radius A O quarta pars ipsius A E.
Cum omnis diametri vertex aeque distet a ac adirectriisce ; per def. i. lib. r. Hospitali i) erit omnium parabolarum directrix recta eadem ducta per O perpendicularis ad O A , sive horia on- talis. Omnium vero parabolarum vertices N erunt ad superficiem sphaeroidis ellipticae genitae ex revolutione ellipseos AN O circa axem coniugatum A O cujus axis transversus sit ipsius A O duplus. Patet ex corollario I.& 4. pro p. . Nam si corpus contingat rectam PNhorigontalem in N , erit N vertex parabolae s erit autem per coroll. pro p. . P N dupla P I, ac per cor. 4. angulus AIO rectus, & punctum I ad circulum , cujus diameter A O . Quare PI ordinata ad circuli diametrum erit ad P N constanter ut I. ad a. . ae propterea sper pro. Is a. l. q. Greg. a S. Vinc. punctum N ad ellipsim, cujus alter axis
A O, alter ipsius A O duplus, quod etiam Blondellus ostendit. Cum vero parameter cujuscunque diametri sit tertia proportionalis post ipsam & diametrum conjugatam , erit parameter axis A O ipsius quadrupla, nempe illa mensura projectionis A E.
Determinare solidum continens puncta omnia , ad quae possit
pertiriere corpus ex dato puncto eum data
velocitate egrediens. Ri Rojiciatur corpus ex A quacunque directione, sitque mensura
projectionis A E; quaeritur solidum continens omnia puncta, ad quae possit pertingere, variatis utcunque directionibus. Parabola m O M cujus focus A vertex O in ea altitudine, ex qua corpus libere decidens acquireret velocitatem , cum qua projicitur, revoluta circa axem O A G describat cono idem parabolicam OM H m: dico ipsam continere puncta omnia quaesita. Demoustratur. In qua cunque recta indefinita A D maxima amplitudo projectionis est, per cor. 4- pro p. p. in eo puncto D, ex quo educta D B normalis ad rectam I B secantem bifariam , 8c ad angulos rectos in I menturam projectionis A E aequetur AD; ita ut ad omnia puncta intra A D possit corpus pertingere , puncta autem ulteriora sint extra jactum. Erit autem punctum D per def. r. lib. i. Hospit. ad parabolam A DM, cujus focus A directrix I B axis recta ad I B normat is, adeoque recta O A G per def. I. a. q. ejusdem . Ejus autem parabolae vertex est in
20쪽
punctoo , quod bifariam secat rectam A I normalem ex se eo indi- rectricem, & latus rectum A E quadrupla ipsius A O per cor r. post definitionem 8. & perde f. s. ejusdem . Giret jam parabola O DMcirca axem O G , & patet cono idem genitam debere in sua superficie
continere omnia puncta D , in quocunque plano jaceant, ac intra se puncta omnia quae sint intra jactum . Cor. Si igitur in dato plano quaerantur omnia puncta , quae sunt intra iactum s oportebit determinare eiusdem plani inter inctione inicum eadem conoide , qua inventa , solvetur problema.
PROPOSITIO VII. ἰExplicare sectiones comidis Parabo ae .
r.'Ecetur conois parabolica per axem O G plano OG Η ; stelio O S Η erit parabola aequalis genitrici OF M. Nam ubi in hujus revolutione ipsius planum OG M congruit cum plano se ctionis O G H , congruet & perimeter O G M cum perimetro OSII. a. Secetur plano F Ss perpendiculari ad axem OG , oc sectio erit circulus, cujus centrum T in axe , radius T F intersee io ejus planicum plano parabolae genitricis. Nam in hujus revolutione puncto F transeunte in S, &s, ordinata T F describit circulum FS f. ti Secetur plano DK L parallelo alie ui ex planis O G H per axem;& sectio D C L erit parabola genitrici aequalis . Si enim sectio m O M per axem O G, quae per numerum primum erit parabola, occurrat sectioni DKL in recta DK, & sit eidem perpendicularis s erit ipsa D K axi O G parallela i cum planorum parallelorum O G H, D Κ L, cum eodem plano in O M intersectiones O G, D K debeant est e parallelae . Secetur jam per quodcunque punctum Q rectae D K conois ipsa plano F Ss perpendiculari ad axem, ac proinde ad totum planun m OM,& patet ex n. a. sectionem scire circulum, cujus diameter FTferit ad axem normalis 3 ac intersectio Q C cum plano D Κ C, eidem O M perpendiculari, erit perpendicularis ipsi plano m O M, ac proinde tam rectae D Κ, quam rectae fF ; erit igitur , ob circulum, quadratum Q C aequale rectangulos P. Sed in parabola mo Meum recta Q D sit parallela axi T O , est per cor. q. pro p. i 3 . lib. a. Hospitali iὶ rectangulum subfQ&QF aequale rectangulo sub QD&AE latere recto parabolae . Erit igitur quadratum Q C aequale re ctangulo sub D Q ia latere recto parabolae genitricis s quae est praecipua affectio parabolae habentis idem latus rectum . . Secetur demum quocunque plano obliquo n C Ns eritque sectio Ellipsis; nam intellecta similiter parabola in O M , & circulo fC F, erit C Q normalis tam ad circuli diametrum 1 F, quam ad sectionis axem n N. Est autem per illud idem corol. 4. Hospitalii rectangulum sub no & Q N aequale rectangulo sub Q D, & parametro