Explicatio analytica constructionis universalis superficierum secundi ordinis quae analoga est constructioni curvae secundi ordinis per directricem et focum illi respondentem Dissertatio Mathematica

11쪽

i . . in eos ζ - cylindrus ellipticus. Ita enim excidit membrum in quo est X-, membra reliqua reStant positiva; itaque Secunt planum TZ o inniaque huic parallelu superliciem in aequatilius aeqimliterque silis ellipsibus, quarum maiores axes, quia l paral-I μleti sunt oxi I . Cylindri axis silus est in axi X, cum aequalio non pondeat ab x. Unicuique x extant singula contra, ergo innumerabilia supersicies habet centra , quae omnia sila sunt in svi cylindri. 4 d. - cos ζ el 1ιὸ α 1 - superficies hSperbolico -huperbolica, ut sub III. B. Si eo, quod cooniciens quantitalis nul x aut γ* evanescit, membrum constans aequalionis 5. in I. 2. in immensum crescit, hac aequali0ne uti iam non possumus, cum et axes supersici ci crescant in immensum, itaque centrum o quo oriuntur coordinalac immenso intervallo distat a superscie. Elendum cSi igitur iis aequalionis iransformationibus, quas habemus subii. ol 7. in g. 2. Erat autem altera haecce:

culus aequali 0nis natura demonstrat, superficies ea signisicalas una metro esse ad plana et XΥcl XZ, ergo, cum Sint orthogoni les coordinatae, unum sXem principalem Silam osse in axi X.

significallirque ea, si praeterea

7 a. sin εν, cos ζ sed sin υαl - supersicios et I ip t i co- par a bo i ica. Sectiones enim superficiei et omnium planorum parallelorum plano TZ, quoad thbetii, , ludi lii'βest x, sunt ellipses, quae degenerant in punctum in plano TZ ipso; sectiones planorum XΥol XL, Omniumque his parallelorum sunt parabolae, splarum axes paralleli sunt axi XI posilivarum

8. sin v in cos ζ - recta, Sila in axi X, quoniam aequalioni Secundum has conditiones satisfieri non potest nisi γ - Ο i Σ - Ο.7 b. sin i, - 1 ct cos ζ α1 - superficies elliptico parabolica, similiter atque sub 9 a. 9 a. sin ii - 1 et cos ζ - 1 - cylindrus parabolicus. 0uibus conditionibus salissit, si a - o et by - ο, i. e. Si planum datum Sub N. i. g. 1. est parallelum plano XI . Mutaturque a 'qualio ing T 2 xi X - οci demonstrat, omnes sectiones planas parallelas plano XZ formare aequales aequaliterque sitas

ll. Si volumus esse ιι - 1, ulendum est transformalione N. eipalis superscierum secundi ordinis. Quod si ponimus in

prout valet signum superius aut inserius eius memhri aequalionis 3., quod conlinet x.

12쪽

Cuius aequalionis natura demonstrat, superficies ea signiscalas symmetro esse ad plana XΥ olΥZ, ergo, cum Sint orthogonales coordinatae, unum axem principalem silum esse in axi Υ. Significaturque ea aequalione, si praeterea 10 a. sin ii α 1 et eos)ζ α1 - supersicios hyperbolico- parabolica. Planum XZ enim secat superficiem in duabus rectis, Omnia plana huic parallela in hSperbolis,

sunt; planum XΥ et huic parallela. secat eam in parabolis, quarum centrum infinito distans esti' pyyyς l his ui . ii 'l T , Ri lust plRnum ra ei liuio parallela secant eam in parabolis, quarum

centrum insinite distans est in parie jρ'' '' φ t quantitatum V. negativarum , in

10 l . sin υ- eos ς lamen in i superficies hyperbolico parabolica, similiter ac sub 11 a. 9 b. sin υ - 1 et eos ἔ- 1, idem valel, quod sub 9 a. , habemus ergo eundem cylindrum parabolicum. C. Praeter quantitates conflantes si , c0S ζ, Sin v mulari quoque potest xi . Non polust autem in universum citismodi mutuli O vim liabere nisi in dimen Siones superscierum, quum xi non inveniatur nisi in membro constanti. PeculiareS Bulem habemus casus, si xi in O; significaturque aequalionibus 1. 3. 4. Si praeler R

uae aequaliones, quum non pendeant ab I et egeant membro constanti, plana, quae desiniunt, se secant in axi Υ.

quum transeat aequalio in Z in o. 0uno diximus in paragrapho illa sint collata in breviario hocce.

14쪽

a. Quaeritur nunc, quid aequaliones 6. et 7. in s. 1. quid punctum datum, quid recta, quid planum datum significent, et per Se , et in relutione inter se mutua et si reseruntur adsequationem generalem Superficiei secundi ordinis. Erat autem data recla, axis Z primus. Punclo deinde x , es, et J, cuius distantiam parallelam plano dato constituimus esse in I, , id est commune cum Omnibus punctis eidem conditioni subiectis, ut sint sila in cylindro elliptico obliquo). Omissis enim accentibus, si magis generali in valet aequatio 6. g. l. transit inc D'ῖ - a c*γx b cDyὸ - 2ubxy i. mulando dein silum coordinatarum, ut in g. 2. in iransformalione aequationis generalis, i. e. Statuendo: X X cOSφ-ΥSinp, et riscosφ Sins, ac deinde t - - , facile perspicitur pro

dituram esse aequalionem huius forma caD a Φb εc )x Φ c Sin, sive, si respicis ad g. 2. N. 3. Iacos ci. c. aequalio cylindri, et quia quantitas D' secundum conditionem 8. in s. l. est variabilis, aequalio cylindri variabilis. Est autem haec aequalio ita transformala, ut axes principales curvae genitricis sint paralleli axibus coordinalis X et Υ, quoniam coordinalis orthogonalibus Susceptis, sola quantilatum variabilium quadrata inveniuntur. duas aequaliones, facile perspicitur, non mulari, Sive c positiva, Sive negativa Sit, i. e. sive aequalis plani g. l. N. l. data sit

BX Φ by - eZ - 0. 3Π0c m0do autem so habet hoc utrumque planum ad cTlindrum: Est eodem ei et plano XΥ intersectio, eaque novus axis F, at aequaliter ci contrario eSt inelinalum, ei alterius quidem inclinatio ζ, denotatur aequatione

alterius C aequalione

circulis, quorum radius in I '. Non possunt autem esse non poSilivae, a , b , c , quoniam, Si nega livae, imaginaria fierent plana 4. Ergo est curva cylindrum gignens ollipsis, itaque cylindrus est ellipticus, qui, quoniam non pendet aequalio a Z, normalis est in plano XΥ, et cuius axis est axis Z, i. e. linea data, quoniam initium coordinatarum est Silum in centro curvae genitricis. Deinde, quoniam eos λζα1, axis Iluius curvae paruliolus novo axi Υ maior PSi parallelo axi X. Valor Semiaxis maioris est

15쪽

Si eos ζ - 1 , sive a 3 in o et by - ο, utrumque planum in unum et in planum XX quidem coincidit, ol habemus cylindrum circularem, qui ost normalis in plano XΥ. Definiuntur porro puncta, quorum locus geometricus quaeritur ad eam quoque rationem, qua distant a puncto dato xi, ο, o . duae distantia significsta crat quantitate D; iam scimus omnia liaco punc in si in eSse in sphaera, cuius radius est I , euiusque centrum punctum datum xi, o, O . Nam si placet ponere in ilium coordinatariun in punctum datum, statuendo in a quatione T. g. 1. , quue omissis accentibus haec ostD x-Xi Φ TR in Z , 8. X m X - Xi, transit in Da in x - γδ in Z , i. c. in aequalionem sphaerae cuius in ilium coordinatariun est centrum et radius in D. Ei quoniam D, ob conditionem S. g. l. variari potest, linec aequalio est sphaerae variabilis. Propositum autem erat, invenire locum geometricum omnium pune loriuia, quae utrique nequalioni simul satisfierent, qualenus ιιD - D: thesis proposita igitur nulla alia est nisi. . Locum geometricum omnium intersectionum cylindri variabilis elliptici et sphaerae variabilis, quorum radii sint in ratione constanti, quorumque res p. i id em axes eadem quo centra - esse supersiciem secundi Ordinis. S. Iam videbimus punctum dulum , centrum Sphaerae variabilis ad lineam datam, axem olindri vari ubi is, ita se habere, ut pune lum datum sit alter lacus eius curvae secundi ordinis, quae nascitur intersectione supersei ei et plani XZ primi in. 9. g. l. ct linea data direetrix huic respondens. Statuendo enim in aequalisne 9. g. 1. ymo, invenimus huius curvae aequationem hanc: . l0ι - cy - μω lx -cu' Φ 2c xlx cui O; Υ o. 1. Cuius curvae siler semiaxis habet vulorem alter exuuin a Φe

0uem valorein si substituimus quanti tali z sequationis l. , nobis suppeditantur socorum coo dinatae

x in X, Lino et x Est autem abscissa puncti dati in X1, ergo punctum est lacus alter huius curvae.

16쪽

Statuendo deinde in aequalione 1. x in o habemus 2 - - xii 1; 5. i. c. ordinata puncti imaginarii curias l. in hac axi Z sili, aequalis est abscissae Dei. Ergo Iinea, quae iam est axis coordinataruin alter, i. e. linea data, est directrix, quae puncto dato eidemque soco allori respondet. - Aequalio universalis superficierum secundi ordinis, qualis cst in g. l. N. 9. demonstrat quantitatem c non inveniri nisi quadratam cui in I. an lec. in eγlindro variabili gignenti , itaque suturum fuisse, ut eandem nequalionem, eoque modo eas quoque, quae ab ea derivatae sunt g. 2. NN. 5. 6. 7., invenissemus, si pro plano dato N. i. g. l. in Φ by Φ ca o dulum fuisset , 6.ax -- by - eZ - Ο. Quae plana autem ad Vslemnia coordinatarum aequalionum 5. 6. 7. in I. 2. ita se habent: ut intersectio communis utrique et plano XΥ, parallela est axi Υ, et ut inclinatio eorum aequalis et contraria ad planum XΥ ut in g. antec. significatur aequationibus

Ordinatam incidentem in directricem euoao seeundi ordinis, aequalem esse distantiae soci respondentis ab illa multiplicatae eum ι -i, ita universo demonstrabimus. Requntio universa et ellipsis et hyperbolae, si initium coordinatarum in axi maiore, si vis in centro. est silum, haec est: αx Φ-- - δ o. Maiorem invenimus semiaxein esse

unde colligimus excentrici talem esse

Distantia directricis a eenlro est tertia proportionalis ad excentricitalem et ad senilaxem maiorem itaque - ΦQuem valorem si substituimus quantilati x in aequalione eurvae, habemus:

Quem valorem si substituimus quantilati x, habemus

et distantia directricis a soco est duod erat demonstrandum.

17쪽

et eosζ' -

Φ xysin ζ8 cael demonstrant, coussicientes quantilalum x ct γη esse inter se aequales, itaque et uiruntque planum et omnia huic parallela, superficies his aequationibus significatas, secare in circulis. Si cos ζ - 1, sive aὸ - ο el b o, utrumque planum in unum idquo in planum XΥ coincidit, quibus conditionibus videbamus, eγlindrum seri circularem, et supersiciem rotatoriam. Iam et hinc patet et ex eo quod diximus in I. praec., locum geometricum omnium intersectionum cylindri circularis variabilis et sphaerae v riabilis esse supersiciem rotatoriam secundi ordinis. v G. Definiendum nunc erit, quid significent quantitates constantes. duo consilio si prosic scimur ab aequatione 2. g. 2. sive

quippe quac valet in coordinatas orthogonales, edocemur eius forma, initium coordinatarum Silum esse in centro, axes coordinatarum in axius principalibus superficiei, itaque tria plana coordinalarum certam habere rationem ad supersciem, ergo pendere ac quantilalibus 6 constantibus. Nec non datae sunt quantitates 2 constantes: - et -

18쪽

quas habemus dividendo aequalionem i. per cD. Quid significent ita invenimus: Quaerentibus nobis utramquo directionem planorum eorum, quRQ seu ni superfui in cireusi nobis

quod esse non potest nisi aut cos pimo, et sinφimi, aut eos It i et Sin Ti O. lio est respuenda, quia ossicit

Allera conditio, qua axis novus Υ coincidit in priorem efficit, ut sil

Ouae conditiones eonveniunt binis directionibus planorum horum:

Est igitur Summa quadratorum ambarum constantium -- et E aequalis quadrato tangeniisgonometricae inclinationis planorum eoruin, quae secant superficiem in circulis. Est porro in aequalione 1

monstrabimus. Si transformamus aequalionem ita, ut initium coorui

19쪽

denuo habemus acqualionem 9. in g. 1. sive

a -c )xδε b*εi: ἰγν/-2ulixy Itaque se est ratio constans radiorum Stilia orae variabilis ad rudios cIlindri elliplici variabilis, cuius sectiones circulares eodem modo sunt inclinatae nil planum XΥ, quo Sectiones circularcs superficiei; in quibus centrum sphaerae variabilis est alter lacus eius curvae, quae nascitur secti Ono superficiei et, quod nunc est, pilani XZ, cuius directrix respondens est axis olindri variabilis. Quoniam per constantem μ est consillula ratio radiorum Sphaerae variabilis ad radios cylindri variabilis, in quo ratio axium elliplis gignentis pendet ab inclinatione sectionum circulurium in planum XΥ cla. g. q. N. 7. : constanti ιι cliam ratio axium supersciet ad inclinationem sectionum circularium in planum XΥ, constituta eSi cla. g. 3. . Superest denique constans Xi, quae est in solo membro constanti aequalionis 1. non potest igitur vim habere, nisi in dimensiones superscierum, si nihil mutatur in reliquis conditionibus, et eo, ut maior aut minor fiat esseere, ut superscies maior aut minor fiat, celerum sui similem teneat formam. - 0uod allinet nil hanc eonstructionem, Xi est distantia laci, de quo modo egimus, a directrice huic respondente. Aequalio generalis nostra Supersciorum secundi ordinis pendet igitur asi constantibus pliinurum coordinatarum definitorum; 2 constantibus - et - , quibus desuluntur inclinationes sectionum circularium in

planum XΥ; 1 constanti ιι, qua definitur ratio axium superficiei nil illam inclinationem; I constanti xi, qua definiuntur dimensiones superscierum, orgo a 10 constantibus. Quoniam aulem supersicios secundi ordinis novem constantibus salis est desinita η), complures harum decem eatenus sunt arbitrariae, ut binae singulis quantitatibus algobraicis sint aequales. Perspicuum est, nec ullum Sex conflantium, quae datae Sunt planis coordinatarum, nec ιι, quippe piae constituit rationem axium sit Sectiones circulares in una eademque superscie, a laarbitrarias esse posse. Quod aliter se habet in constantibus - ct - . In definienda inclina-

tione seelionum et rcularium ad planum XΥ rstio tantum habetur Summae quadratorum constantium ' cl - , quae aequalis cral quadrato langentis inclinationis ζ sectionum circularium ad planum axium principalium XI. Summa igitur ianium constans Sil necesse est, et est quidem

cis. Magnus anal. Geom. d. Ra vinea g. 56.

20쪽

sivo si rationem habemus aequalionis T.

hi quo membro cum inveniatur constans arbitraria seeundum antecedentia, altera quoque carbitraria insit necesse est, quae nulla esse potest nisi xi. Utraque cum inveniatur in numeralore, is lanium constans ponatur nec se ost, si vis

. in Pendet autem ab his arbitrariis cum silus plani, in quo est centrum sphaerae variabilis et axis cylindri variabilis, lum distantia eorum. Cuius plani aequalio, quae valebat in eoordinalis primis erat γ - o. Quam si transformamus secundum formulas, quibus usi Sumus ad transformandam aequalionem 9. in aequalionem 2. g. 2. hubemus

Transil lum tantum in ilium eo ordinatarum, si vel b ino vel a o, i. e. Si eoincidit in planum axium principalium vel XZ vel TZ. Unicuique horum siluum arbitrariorum alius axis cylindri variabilis et aliud centrum sphaerae Variabilis datum sit necesse est, ct nunc interest, constituero loca geometrica horuin axium et centrorum. Dalae crant in N. 4. eoordinatae axis cylindri variabilis aequalionibus

inVenimus locum geometricum reclarum datarum, sive axium cIlindrorum variabilium, Si climia hnamus ex utraque aequalione 9. et ex hac utraque quantitates - , - , Xi, et si deinde eoo

dinatas ci ci is ponimus esse variabiles resp. aequales x et T. Dehine habemus: