장음표시 사용
21쪽
sive si ponimus l- cos ζ et mulamus signa:
b aEliminando deinde ex his et ex aequalionibus 9. constantes arbitrarios - , X1 el - , coordinatae x et T puncti sunt variabiles, consequiturque inde, locum geometricum punctorum
sive si ponimus - fa - - cos ζ et mulamus signa: eos ζ ιι )xὸ Φ i ur' in μαγ i eos ς Est igitur locus geometricus punctorum, quaecunquo loco puncti dati data esse p0SSuni, linen Secundi ordinis, cuius centrum est in centro supersiciei, et cuius ines e0ineidunt in axes X et X supersiciei. Tres aequ3liones: a) aequalio curvae gignentis locum geometricum lineae datae N. 11.; b aequalio Feclionis principalis superficiei et plani XX, qualem invenimus, si ponimus in g. 2. N. b. z - ο , Si introducimus quantilalem ὁ N. 8. et si multiplicamus aequalionem per e0S ζ; Maequalio loci geometrici puncti dati X. 14.:
22쪽
eos c in cosὸ Statim cognoscitur primo: has curias eiusdem esse generis, et deinde: primae harum curiarum stant axem ulterum esse dimetri eis seelionis principalis XZ distantiam I a centro super- sciet, semiaxem ulterum, directricis sectionis prinei palis YZ distantiam I,' a centro superseiei; porro tertiae harum curvarum axes respondentes esse excentrici lutes respondentes Ε ut E . Quare aequaliones hanc induunt formam: D D γλ - DS' , B xῖ - Α yὸ - Αλουῖ, , lo G. Taxa in Eryz - ΕλE'λ. Inde cum facile eluceat cum am tertiam semper esse sitam intra secundam, pl8num Sub N. 10., in quo Sila est reola data et punctum simul datum, nunquam potest esse pinnum langens Supersiciem, neque unquam Silum esse cxtra Supersiciem. Hactenus respeximus unum tantummodo lacum eius curiae, quae intersectione plani N. 10. et Superficiei nascebatur, necnon directricem huic respondentem. Facile autem elucet,cumam N. 14. alterius quoque soci esse locum geometricum, et cylindrum M 11. eSSe locum directrieis isti respondentis, quum in his quoquo locis, si b o vel uino excentricitates Secti num principalium XL et TZ, ct distantiae respondentes directricum sint axes resp. cumae, quae complectitur socos et curvae gignentis cylindrum conlinentem directrices. Iam distant in qu vis plano 10. ambo soci et ambae directrices resp. aequaliter a vertice respondente curVRe intersecantis: ergo planum N. 10. eo desinitum est: quod normale est in plano XΥ; quod itper reclam in eo, quae secet ita curvas 15., ut partes reciae cum inter primam et alteram, tum inter alteram et tertiam sint aequales; quod lum demum it per centrum supersiciei, si eoincidit in altero planorum XZ vel TZ; quod semper denique secat plunum axium principalium XZ. Si a o simulque b)-o, in aequalione 10. evanescit membrum constans et irai Sit aequalio in
significantur aequationibus 15. circuli eoncentrici. Ilaque planum N. 10. it per centrum Supe sciet, si est rolatoria, quod simul est centrum circulorum concentricorum, et ad urbitrium eStinclinatum ad planum XZ. Facile igitur perspicitur Distantias punctorum omnium superficiei secundi Ordinis, parallelas directioni sectionum circularium adire cirrce, et a soco huic Te sp ndente curvae, qualis formatur intersectione pis ni, nuperrime descripti, cum superficie, - esse in ratione con StRnti.
23쪽
T. Iam Deillimo quae diximus in universum de quantitatibus constantibus referre possumus ad superficies singulas, quales distinguimus in s. 3.Λ. I. 1 a. In superficie ulliptica constans ιε, a qua pendebat ratio axium superficiei ad inclinationem sectionum circularium in planum XY minor urul, quam cosinus eius; i. e. radius sphaerae usi in bilis gignentis minor est, Semiaxi minore ollipsis gignentis cylindrum variabilem scis. g. l. N. S. et g. 4. N. 7. . Quia p0rro ιι α Sin ti, quuialitas d g. 6. N. 8. est positiva, axes sunt reales; in plano XZ, in quo Sunt normales sectiones circularps, silus est axis maximus et minimus superficiei et est quidem axis X, in quem inclinationem variuri constituimus, maximus. Sectio principalis plani XΥ, sive eius plani, in quo sili sunt axis maximus ct medius, quum sit ellipsis, locus quoquo geometricus punctorum datorum nec non curva gignens locum reclarum datarum sunt ellipses. II. 2 a. 3. 4 a. Si ιι γ eos ζ, Sed ιι α 1, inveniebnmus, prout δε o in sup orsicie elliptico- hyperbolica , prout d ino in cono , prout μαο in supersicio hyperbolico-hyperbolica : seclionem principalem χΥ esse hyperbolam, cuius axis realis silus est in axi X, aut duas reclas Se Seeuntes, aut hyperbolam, cuius axis realis est in axi Υ; significant orgo cliam duae reliquae aequulisneε N. 15. g. 6. , aut hyperbolas , quarum axes reales Sunt sili in axi X, aut binus reclus se Seconlus in eodem puncto, aut hyperbolus, quarum axes rentes siti sunt in axi T. Conditionc uulcm ιι cos ζ sed ιι α l significatur, radium sphaerae variabilis semper esse maiorem semiaxi minoro ollipsis gignentis cylindrum variabilem, mino-
Anno latio. Videbamus degenerare superscies hyperbolicas in conum, Si s sin i)--,Εvinei lur autem hac conditione, csso
quare iam non constantem arbitrariam. Est porro indeque N. 9. in I. 6.
Αequaliones N. 15. g. 6. transeunt in
O y - 2 X. Aequalio plani, in quo situs est centrum sphaerae Turiabilis et axis cFlindri variabilissimul data, N. 10. g. 6. transit in
ol demonstrat, qualiscunque sit xi, inclinationem eius ad planum XZ esse aequalem 90' minutos inclinatione rectae c., sive loci punctorum datorum, distantium auloni eius a centro coni esse arbitrariam. Qua ratione cum hoc planum loca et punctorum datorum et reclarum datarum semper secet, xi semper est realis Sive mo. Ergo his con-
24쪽
ditionibus propositis gignitur conus, qualiscunquo est distantia centri sphaerae variabilis ab axi cylindri variabilis. ill I. 6 b. Si si mi, i. e. si radius sphaerae vortabilis maior est radio cylindri variabilis, habemus superficiem h y pc r b olic o - hyp or b ol ies a ni et curvue N. 15. g. 6. sunt ellipSPS. IV. 1 b. 2b. 5. 4e. conditio peculiaris si intercedit, ut sil sin sint sive b ino, ergo) ig ζ, i. e. ut coincidat in planum XL illud planum, in quo est punctum datum et recta simul data: - habemus ib. superficiem ellipticam, si si in eos z; 2b. Superficium elliptico- hyperbolicam, si ιιῆ eos ζ scd in 1; 5. cylindrum h Υ p o μholicum, si λι- 1, i. c. si radius sphaerae variabilis aequulis est radio cylindri variabilis; qc. Superficiem hyperbolico- hyperbolica in cuius scolio principalis elliptica est Sila in plano ΥZ, Si ιιτ, 1. Curiarum signissicularum aequalionibus N. 15 a) ei c) in I. 6. non respiciendi sunt nisi fines axium X, in 1 b. 2 b. et 4 c. In N. 7. significantur iis binae rectae parullulue axi Υ. Anno latio. Anica relationes sectionum tircularium ad superscios erant simpliciores, quam quae mentione dignae fuissent; speciosi autem aliquid habemus in cylindro hyperbolico. Substituendo conditiones, quae in eo valuerant, in aequaliones 8. g. 5. habemus
sive - x Φ Υ - - γ. Evincitur autem hac aequalione sectiones circulares non esse reales, sed ii Perb0las sequi lateras, quarum axes sunt infinite magni.
i. e. ut planum, in quo situm est punctum datum et recta simul data, coincidul in planum axium principalium TZ, habemus: l c. o ll ip t oi d cni, si ιι α eos ζ; 6. cylindrum ellipticum, cuius axis est normalis in pluuo FZ, si si tacost , i. e. si radius sphaerast variabilis aequalis est semiaxi minori ellipsis gignentis cylindrum respondentem; 4 d. et e. superficie S , Spe bolic O-hFperbolicas, quamui sectiones prine ipales ellipticae sitae sunt in planis sul Zaut XZ Si aut ιε' cosyζ sed /ιλ α l, viii ιιδ s. -- curiarum signiscalarum aequalionibus N. 15. . ut c. in g. 6. non respiciendi sunt nisi sues axium T in 1 c. 4 d. et 4 e. In 6. significantur iis hinae reclao axi X paralleliae. Anno latio. Quamquam in a quatione coni ac cylindri et hyperbolici et elliplici decem constantium Singulae excidunt nam in prima constans iam non erat Brbitraria, quid
l ὶ - -- in altera fiebat - - o, in lenia - αα lg , quin b in o) lamen m e I eos ς ' e e o Viis artiitrium valere potest illud, quod significant aequaliones 15. g. 6., quoniam hi esSus pe-Puliares superficierum secundi ordinis ab octonis tantum pendent constantibus, itaque nonueSt arbitraria. Conus enim est des nitus estntro tribus constantibus) et linea Secundi ordinis quinque constantibus , in qua movenda est recta gignens ; cylindrus secundi ordinis definitus est directione sui axis tribus constantibus ci linea genitriee Seeundi ordinis quinque constantibus . B. I. Si μ*-cos ζ, i. c. si in universum sectiones principales XΥ el XZ sunt parabolae nequaliones 15. g. 6. ita quoque transformentur, ut transformabatur nequalio generalis
25쪽
duarum a est aequalio curvae gignentis erlindrum, qui contineι lineas datas; b seetionis principalis XI superficiei; O Ioci punctorum datorum. - In quas aequationes Si inserimus valores semiparametrorum sectionum principalium cum plant XY : p - ----, . tum XZ
ui demonstrant verticem parabolae a., a Vertice parabolae b., abesse dimidium semiparametrum p. i. e. distantiam directricis sectionis principalis XL; et verticem parabolae c., ab eodem distantiam soci respondentis. Aequalio plani arbitrarii g. 6. N. 10. , quod continet reelam et punctum simul data, in eoordinatis, qui nunc sunt transit in
T a. et b. Iam si sin s sive habemus superficiem ellipticu parabolicam, euius axis silus est in axi X. Radius sphaerae variabilis aequalis est an minori eylindri variabilis, quia tu cosy . Si ii Super a ' - Ο sive sin vincos degeneral snperscies ista in rectam, quae Fila est in axi X. Tum habemus δὸ - Ο cla. N. S. g. 6. 3 itaque transeunt aequationes ires. iii HO, Di Significunt axem X; aequutio N. 2. in x et signiscat axem L quare quan- illas ximo Sit neceSSe est, i. e. centrum sphaerae variabilis, euius radius aequalis est an min0ri ellipsis gignentis cylindrum variabilem, silum est in stri eius. Potest igitur Sphaera esindrum inlus tangere ibi lanium, ubi axis X seeat et sphaeram ei cylindrum, i. e. reela oriatur nece βοest, quae Sila est in axi X. 9 . Si y- 1, i. e. si sectiones circulares superficiei paralleIae sunt plano XL
26쪽
si igitur cγlindrus variabilis est circularis et radius sphaerae variabilis est aequalis rudio liuius cylindri, habemus cylindrum parabolicum, qui est normalis in plano M. Circuli sectionum circularium habent radios insinito magnos, sive degenerant in rectas, quod apparet, si ponimus 2 esse quantitalem constantem lindrum parabulicum habere possumus pro superlicie elliptico - parabolica rotatoria, ut facillime Bpparet. . II. Simulac fit ιι - l, i. e. simulatque in universum sectiones XY et TZ sunt parabolae, transformentur ita aequationes 15. g.6., ut ponam cst. g. 2. N. 7. Υ-IT Transeunt deinde, si insuper in
Radius sphaerae variabilis, quia ιι-l, semper est aequalis radio cIlindri elliplici variabilis.10 . et b. Iam si sin υα I et cos ζα 1, aut si sin v - cosὸς habemus supersi elem hSperbolico- parabolicam. Lineae 3. sunt parabolae. Est aequalio sectionum eircularium secundum aequalionem tertiam N. S. g. 5. x -- T odi. e. circuli insinite magni radii. 9 b. Si sin δυ-l et eos cini, caedem intercedunt conditiones, quae sub 9 a. Quoniam cγlindrus variabilis sit circularis, nihil interest, quomodo transformemus axes X et S inter se normales in ipsorum plano, quare is quoque lindrus parabolicus, qui est normulis in axi TZ, idem est, quam qui ost normalis in plano XZ sub N. 9 a.
27쪽
C. Si xi ino. coincidit centrum sphaerae variabilis in axem cylindri variabilis, et 10. si tu αcos ζ, i. e. si radius sphaerae minor est an minore ellipsis gignentis cTlindrum, tum tantum possunt se secare, si radii eorum sunt ins, i. e. in uno tantum puncto. 3 b. De cono conser, quae dicta sunt sub 3 a. , Si axis eius est in axi X. Si vero est μ2 1, i. c. si radius sphaerao variabilis maior est radio cylindri variabilis, facillime perspicitur, quomodo gignatur conus cuius axis est in axi g. 8 b. Si μδ-cos ζ, i. e. si radius sphaerae variabilis aequalis est axi minore, sphaera tangit lindrum in axi X tantum, ita quo gignunt reclam in axi X silam. 11. Si i. c. si radius Sphaerae acqualis est radio cIlindri, semper se intersccant in his duabus sectionibus cireularibus cylindri, quae secant hanc axem maiorem, Sive axem Υ, et sic efficiunt dua plana se intersecantes in axi T. 12. Si insuper et a-o et by ο, coincidunt hae duo plana in unum planum et in XX quidem. Cylindrus sit circularis et sphaera semper inlus cum langit in omnibus punctis communibus cum plano XΥ. Iam, Si respicimus thesim o geometria plana desumptam, cuius analogiam in hoc libello seculi Sumus, apparet, soco curvae respondere lineam secundi ordinis supersiciet; directrici, lindrum Secundi ordinis. Praeterea quod demonstrari potest e rationibus huius linea et huius
cylindri ad superficiem, similibus soci et directricis ad curiam, aliarum disquisitionum materiem mihi praebebit.
28쪽
Xalus ego sum Fabianus Carolas O ear a nilussct die XV. Iulii MDCCC u. Longosalissae, Thuringiae urbe, patro Christopho Mnesis, inalro Carolina milhelmina e genio Graeser, quos parentes Optimos adhuc sospites summa pietate venerari iuvat. Seholam Blochmannianam Dresilis ab undecimo anno per tres frequentavi annos et iam tum per virum clarissimum riters amor rerum mathematicarum mihi est insilus. In Lyceuin gentis murtebianae Rhodosciam inde deductus, quod sorebat sub rectoratu Dr. 'Vllhelm professoris maximam cepi voluptatem e scholis mathematicis et physicis praeceptoris dilectissimi Dr. Anim. Ibique septem e0mmoratus per nn nos, maturitalis testimonio impetrato in alviam academiam Lipsiensem me contuli, ubi anni MDCCCXXXVII. die XXVIII. mensis octobris a L A. Schiumg tunc temporis rectore magnifico in civium numerum reeeplus, disciplinas mathematicas et phSsicas per omnem vitam colendas mihi elegi. Assedi ibi in scholis habilis a cl. IIartenstein de introductione in philosophiam; a cl. Marbach de philosophia sun dumentali et logica; a cl. Eri annde chemia experimen inti theoretica et praclica; a cl. Fechner de physica cxperimentali universa ; a cl. Moebius de elementis astronomiae, de instrumentis astronomicis, nee non desectionibus coni; denique a cl. Drobisch do theoria combinationum, de geometria analytica, de calculo disserentiali et intcgrsit. Tribus semestribus ita peraclis transmigravi in hanc inclytam universitulem Rhenanam ; ibique civium numero adscriptus a viro cl. C. Matyer, tunc lemporis rectore magnilico et nomen apud virum cl. A. G. a Schleget, amplissimi philosophorum ordinis decanum, Sum proseSSus. Soholae, quibus hic per duos annos intersui, hac sunt. PsIchologiam ei historiam philosophiae inde a cantio docuit cl. Brundis; historiam inde a saeculo XVI. cl. Arna; hi floriam annorum modo praeterlapsorum et . Loebeli; physiologiam et anthropologiam ei. Nasse; Zoologiam et Zoolomiam et petresaelologiam cl. Goli uss; mineralogiam cl. ROS- gerath; denique mechanicam, theoriam curiarum, partes selectas e calculo integrali, iterumque geometriam analyticam ei. Plueher. Praeter has scholas mihi conligil, ut adscriberer sociis S minarii physici a v. cl. Derirano, lunc temporis directore. Cum praeceptoribus omnibus ob summa do mo merita gratias fgo maximas, tum lacero non possum, quin quinquevirum cl. cl. Plucher, Bischos sol usa, Treviranus, Metaeram, seminarii moderatorum, praecipue me devinctum et obstricium esse beneficiis iisdemque me perennem et habere et habiturum gratiam latear, quorum in rebus naturalibus eximia gavisus sim doctrina. Maxime autem duobus viris, nilem absenti quidem, Drobisch, altero Pluchor v. V. H. cl. ob praeclarum, qua me mathematicis rebus imbuerunt studium curamque, gralissimum publice d claro alque ossiciosissimum semper iri seriatum a me animum voveo. Cunctis Vero, quorum immensae benignitalis gratum, pium, memorem perflaturum me esse polliceor. Faxit Deus O. M., ut largissime contingant omnia, quibuscunque humana inesse censetur felicitas. -
29쪽
Lineam analytice esse definiendam hoc modo: e33e viam puncti se morentis, non Deum geometricum sinis lineae ad leges certas se immutantis, et sibi parallela se monentis. II. Figuras electricaa in tabula, quae dicitur Frankliniana, neo Symmeri, nec Franklini se ιentiam probare. III. Fulgurationes rase fulgura mmium remota. IV. In themiae parte, quae dicitur organica, non in anorganica, tractanda esse ,inanum eι ,earburetum hydrogenii in mata .
Dipersa ιantum alimenta ternare po33e vitam animanιium. VI. Fabulam esse, quod narratur, Archimedem mera Romanorum leaphiis incendisse.