장음표시 사용
11쪽
Erunt igitur rectae BI, IH rectis BG, GH hoe est rectis
i. Mis. EF maiores . Igitur recta BI, recta BE maior est, ideoque Arcus B I arcu B E maior, & eorum dupla, Arcus BIGHarcubus BEF maiores erunt. Quod erat demonstrandum. ALITER. quales inter se sunt, erit punctum E medium arcus BEF. 'I. Diis. Igitur rectae BE, EF, hoc est, rectae BS, GH rectis BI, IF maiores sunt : demptisque aequalibus BG, BI, erit recta GH recta IF maior. Quare arcus GH arcu IF maior est. Additisque aequalibus arcubus BG, BI, erunt arcus B G. GH arcubus BE, EF maiores. Igitur, si coaptata in circulo recta, &c. Quod demonstrandum erat.
In Circulo A E B G coaptata recta A B secta sit in duas partes aequales in C, & duas inaequales in D. Et sint BE EF partibus aequalibus BC, C A, M BG, GH partibus inaequali. hus BD, DA aequales. Dico arcus BG, GHare ubus BE, EFmaiores esse. Ductis enim BF,BH, coaptetur recta BI ipsi BG aequalis cadetque I extra arcum BE, cum recta BI ma. ior sit quam recta B E: ergo cadet vel in F vel
extra, maior ι quare in troq; casu, arcus BG, G H arcubus B E, E Fmaiores erunt. Cadat igitur intra arcum EF connectaturque FI. Et quia rectae BE. EF ae-
12쪽
P Rop. IV. THIOR. Iv. si eoaptata in circulo redia quapiam lineasecta sit induvi pa
tra inaequatiter in vales: VM , quibus metas an qualesseb te tantur, arcubus, quibaes minus inaquales, mariores sunt.
In Circulo AEBG coaptata recta AB secta sit in duas partes inaequales BC maiorem, C A minorem: Et rursus in duas partes magis inaequales BD maiorem, DA minorem. Et sitit rectae BE, EF partibus BC, C A dc rectae BG, GH partibus magis inaequalibus BD, DA aequales. Dico Arcus BG, GH arcubus BE, EF maiores esse. Ductis enim BF, BI coaptetur recta BI rectae BC aequalis scadetque I extra ar- eum BE, cum recta BI maior sit quam recta BE, ergo cadet
vel in F, vel intra aut extra arcum EF. Si qui- dem cadat in F, erit arcus BG arcub' BE, EFaequalis: si extra, maior. Quare in utroque casu
Arcus BG, GH arcubus B E, E F maiores erunt, cadat igitur intra connectaturque FI. Et quia recta BE maior est recta E F, punctum medium arcus B E F erit in arcu B E, ideo que punctum E medio propius erit quis m I. Igitur rectae BE, EF hoc est rectae BG, GH rectis ΒΙ. I F maiores sunt; demptisq; aequalib' rectis BG, BI, erit recta GH recta IF maior. Quare arcus GH arcu I F maior est . additisque aequalibus arcubus BG, BI, erunt arcus BG, GH arcubus BE, EF maiores. Quod demonstrandum erat.
13쪽
Pstor. V. ΤΗxo R. V. Si costata in eireati recta quaepiam linea secta sit in tres partes equales, re tres inaequales: Arcus,quibus inaeqMlessubtenduntur, arcMbιοι, luιbus aequales, maιores punt. In Circulo ACB coaptata recta AB secta sit in tres partes aequales B D, DE, EA quibus aequales deinceps ponam tur BH,HI,IC;& in tres inaequales BF, FG,Gi
arcus B Κ L M arcubus BHIC maiores esse. Sit enim primum altera ex inaequalibus BF alteri ex aequalibus BD aequalis , erunt igiatur arcus bH, BK aequales. Et quia AD secta est aequaliter in E 3c inaequaliter in G, arcus quibus subteduntur partes A G, G D, ariscubus quibus A E. E Dmaiores erunt '. igitularcus KLM arcub'HIC ma, res stant, additisque aequalibus arcubus ΒΚ, BH,erunt arcus BKL Harcubus BHIC maior . Sεcvvno Nulla partium iuxqualium aeque
14쪽
I3tur tertiae parti. Necesse autem est ut una si minor 8cvna maior tertia parte: sit BF minor, FG maior, & sumatur BD aequalis tertiae parti. Quia ergo G F maior est quam BD, et it BG secta in F magis inaequaliter quam in D. Igitur arcus quibus subtenduntur GF, FB, arcubus, quibus G D, DB maiores sunt. M addito communi arcu cui AG subtenditur: Arcus quibus subtenduntur B F, FG, GA aria cubus, quibus B D, D G, G A maiores erunt. Sed hi maiores sunt arcubus B HICρεν primam huius prορ. partem. Igituraretis ΒΚ LM arcubus B HIC multo maiores erunt. Quod erat demonstrandum. P Rop. VI. THIOR. VI. Si eoaptata in circolo recta quaepiam linea secta sit in Lia Ο intres partes aequalis: arcus, quibus aequales duae se tenduntur, arcubus, quibus tres aequales, maiores seunr.
In Circulo ΑΒΚ coaptata recta AB secta sit in duas partes aequales in C, & in tres aequales in D, E, sintque rectae AEBF, FG ipsis BC, CA Mrectae B H, HI, IK ipsis
BD, DE, EA aequales. Dico arcus BFG arcu-htis B HIΚ maiores esse. Quia enim AB secta est in tres partes inaequales BD, DC, CA & in tres aequales BD, DE, E A: arcus quibus subtenduntur BD, DC, C A, arcubus, quibus BD, DE EA hoc est arcubus B HIN, maiores sunt . Sed arcus cui BC sbν-.ωbtenditur, arcubus, quibus BD, DC maior est : M addito a buisu
15쪽
eomum arcu eui subtenditur CA; arcus, quibus BC, A subtenduntur, hoc est,arcus BFG, arcubus,quibus BD, D C. CAmaiores erunt. Sed hi arcubus BHIK ostensi sunt maiores. Igitur arcus BFG arcubus B NIK multo maiores erunt. Quod demonstrandum erat. MA NIFESTUM I. Manisestum se, quae hactenus de recta in Circulo eoaptata demonstrata seunt. diametro conuenire, re quibuslibet re tuis non maioribus eum aptae sint in circulo coaptari. P Rop. VII. T, HEOR. VII. si ab υκο terminorum diametri alicuiuι circuli sumantur areus inaequales : quae ab altero termino ad finem minoris arem redia ducetur tinea, maior est ducta adfinem maioris arcus rem linea. Esto Circulus ACBD, cuius centrum E, diameter AB, a cuius termino B sumatur arcus inaequales BC minor, BD maior; di ab
puncta C, D rectae ducantur AC, A D. Dico
rectam C recta AD maiorem esse. Connectantur enim B C, B Dquibus a contro E parallelae agantur EF, EG
igitur arcus B careu BD minor est, erit recta BC recta BD minor. Ideoque EF ipsa EG minor erit. Igitur recta AC tecta AD maior est. Quod erat demonstrandum.
16쪽
PRop. VIII. PROBL. I. Si ab no terminorum diametri cuiu cunque circuli coaptentur deinceps duae recta tinea quarrae parra diametri aquales, a quarum fine ad alterum terminum diametri recta ducaruν linea : erit hae diametro longitudine commensurabilis. Oportet autem ipsam inis
Esto Circuli cuiuscunq; ABC diameter AC, cuius quartae parti ΛE aequales a termino Λ coaptentur deinceps rectet Λ G, G B, ac comi ectatur recta BC. Dico rectam BC diametro ACcommensurabilem esse longitudine, quam inuenire oportet. Connectantur
AB, GD, GC & ad AC perpedicu laris demiti tur GF. Quia igitur est ut AC ad AG, ita AG ad AF, estque AG ipsi AC
longitudine comensurabilis: igitur Λ F ipsi
AC seu FClongitud. commensurabilis erit. Et quia est ut AC ad GD, ita AB ad GF: erit quadratum GF quarta pars quadrati AB. Recta igitur BC diametro commensurabilis est longitudine, I 8. decimi. HANC autem ita inueniemus. Quia est ut AC ad AG, ita GC ad GF, erit GC ipsius GF qnadruplai sed ipsius GF dupla est ΑΒ, igitur recta GC ipsius AB dupla erit. Verum quadratum GC quadrato AC commensurabile est. Igitur Ec quadratum AB quadrato AC commensurabile erit. Rationales igitur sunt GC, AB Iongitudine inter se comm ensurabiles, ideoque quod sub ipsis continetur rectangu lum
17쪽
Isrationale erit, M. quadrato AC commensurabile. Est autem ipsum medium proportionale inter quadratum GC is Mquadratum AB 33. quare inuenietur 7 . At rectangulis lubGB, AC re sub AG, BC est aequale. Ptolem. magnie compositionA, cap. 9. lib. I. Dempto igitur rectangulo sub AC,GB ,
relinquitur rectangulum sub AG, BC 3 . Quo ad rectam
ΑGi applicato, orietur latitudo BC . . Inuenimus igitur,&c. Quod facere oportebat. COROLLARIVM.
Hi ne deducitur existente tecta AG data, dataeque diametro AC quomodocunque longitudine commensurabili, semper rectam BC ipsi AC eommensurabilem esse longitudine. .
P Rop. IX. THEOR. II. Si ab uno termino m diametri cuiuscunque circuli coaptentur deinceps tres rectae lineae sexta parti diametri equales, a quarum sine ad ali.ἱ extremum diametri recta ducatur lines. Erit huius quadratum quadrato diametri commensurabile. oportet autem ipsum inuisire.
Esto Circuli cuiuscunq; ABC diameter AC, cuius sextae
parti A F aequales a termino Λ deinceps coaptentur tres rectar AG, GH, H B, M connectatur BC. Dico quadratum BC quadrato AG comensurabile esse. Quod quidem inuenire oportet. Connectantur AB, AH, GB, HG Quoniam enim per Corozarium praeced. recta H C diametro AC longitudine commensurabilis est, erit quadratum HC quadrato AC commensurabile, igitur Sc reliquum quadratum AIq. hoc est rectangulum sub AH, GB quadrato AC commensurabile erit. Sed quod sub AH. GB aequale est duobus de sub AB, GH, de sub AG, HB Prolem. magnae compositionis, ea o. 9. lib. r. depto igitur rectangulo sub AG, HB seu quadrato AG . relinquetur rectangulum sub AB, GH quadra-
18쪽
to AC eo mensurabile. Quo ad rectam GH rationalem applicato, o
rietur latitudo AB ipsi Λ C longitudine commensurabilis. Igitur repotentia, igitur & reliquum BC quadratum
quadrato AC commensurabile erit. Hoc autem ita inueniemus. Posita diame. tro AC ε reperieturpe praeod. Pνον. rem HC El. cuius quadrato 32 . dempto ex quadrato AC 36. relinquitur 3l quadrato AH, seu rectangulo sub AH GB aequale. Λ quo si dematur rectangulum sub AG, H B. hoc est quadratum AG i, remanebit rectangulum sub AB, GH aI. quod ad rectam GH i applicatum, facit Iatitudinem ΛΒ α , cuius quadrato'dempto ex quadrato AC 36. relinquitur quadratum BC i XInuenimus igitur,xe.quod facere oportibat.
MANIFESTUM ILEIλο circulus AB C.euiae centrum D. Er diametre
Ac secta sit in partes aquales quarum sit CE ir. Ο ab H puncto ipsi Ac
nis tom, quod quadratum 3c s ad quadratum L P
19쪽
I metri .κc seueti ad I , ideoque quadratum B c eis Io ABequale est: Et recta E C quadranti circumferentia aequalis. Utνώmq; proximi, nempesecundum priorem limitem ab Archimeti consti
rigatur circumferentia Occurrens in B, connecta
turque B C. Manifestum. quod quadratum BC ecta quadratum diametri Cheut 213 ad 284: Ideoque quadratum B c cireulo B C aequale est; Et νιcta E C quadranti cireumferentia aqualis. Vtrumque proxim/, nempe secundum posscriorem limitem ab Archimede positum. Vnde se qui tui Q r a de ED si partium esse; Atque quadratum ED sueci. Quod quidem posita AD 3, inuenietur esse partium ut perspicuum est. P Rop. X. PROBL. III. Dato circulo, inuenire quadratum habens ad leadratum diametri rationem, quam II ad I . Sic datus circulus ABC, cuius centrum D, ducatur di meter AC, a cuius termino A, ipsi perpendicularis erigatur
tecta AE , de secta semidiametro DC bifariam in F, 1 ter-
20쪽
mino C ipsi CF, FD aequales eoaptentur deinceps duae rectae. CG, GH & connectatur AH quae semidiametro AD
maior erit, Vt patet. Et centro D, interuallo AH, arcus describatur secans A E rectam in E, ducaturq; recta DE quae circumferentiam Λ BC seca. bit in B, & connectatur BC. Dico quadratum B C ad quadratum AC rationem habere quam II ad I 4. Demittatur B I ad AC
perpedicularis. Quia igitur a termino diametri C. quartae parti diametri aequales coaptatae sunt deinceps duae rectae CG,
GH, erit recta AH , hoc est D E 3 . Ut autem DE ad DAP .F- . ita est DB seu DA ad DI: quare erit DI i , totaq; IC sed quadratum BC est ad quadratum AC, ut IC ad AC. Igitur quadratum BC est ad quadratum AC ut 3' ad 4. Verum ut 3 ad 4, ita est ir ad rq. Igitur quadratum BC est ad quadratum AC, ut H ad I . Dato igitur Circulo inuenimus, c. Quod faciendum erat. Pstor. XI. Psto a L. IV. Dato circulo inuenire quadratum habens ad quadratum diametri rationem quam 223 ad 184. Sit datus idem circulus ABC, cuius centrum D. Ducatur diameter AC, a cuius termino Α, ipsi perpendicularis eri-