Marini Ghetaldi patricii Ragusini Nonnullæ propositiones de parabola

2쪽

CHRISTOPHORO CLAVIO

Mathematico praestantissimo.

Marinus Ghetaldus S. P. D.

N tandem quem ab inuito expressisti primus ingenij mei de parabola foetus ; tempestiuam dicam assecutum maturitatem ξquid si immaturum, &intempestiue prolatum,aliena culpa non mese prodit nunce tenebris ad aliquam honoris lucem, no. - ad plausum: stultus sim si ab imbecilliatate mea hoc impetrem, quid si a te doctissime Claui imbecillitatem igitur reprehendant alij, non studium: irruant in alienam laudem inuidi,efferant inopinatae praedae certissima

spe, illorum audaciam, Vna tua contundet auctoritas, nec, dum Iucem quaero,offendam temere, pedemq; cum dedecore sine spe laudis referam. conso aut ,& efinxi laboriosissime: studiosissime complexus sum: foui diligentissime: vires, & incrementum industriae debebunt meae, lucem tuae tum humanitati, tum beneuolentiar. piae fortasse cuiusdam impietatis specie recentem , & infirmum adhuc partum exponi noleba invidorum morsibus,&obtrectatorum calumnijs, cum interim paterer in tenebris illum, vel ad aeternam obliuionem, vel ad interitum consenescere. reuocas e tenebris ad lucem, ad vitam ab interitu;ut qui non iniuria perniciosam nobis industriam obiecisset, lucem omnem, omnem uni tibi vita debere se nunc fateretur .

parum ergo tibi videbatur,si aditum ad tua familiaritatem homini obscuro patefecisses, nisi eumdem ad sempiternam gloria, ad nominis immortalitatem incitasses λ Si aliorum idem quod tuum de me iudicium quid expauescam ξ tu mihi unus instar omnium;si uni tibi probatos industriae meae fructus intellexero,

A a. quid

3쪽

quid me beatius ξ effecisti iam ut non tam mihi sit ambigendude posteritatis memoria, quam enitendum, Ut de me cocitatam apud te opinionem,apud ceteros tuear etiam,atque sustineam. Tenuitatis igitur meae conscius te unum laudis, & existimationis meae patronum adoptaui, ut qui ab invidorum morsibus,&calumnijs mihi timebam, nihil non expectarem ab honestissimo tuo patrocinio. Euocauit iam pridem e patria,quae non solum apud Italos; verum apud remotissimas etiam nationes ingenii tui fama percrebuerat; quod passim in celeberrimis tuis monumentis admirabile ingenij tui acumen deprehenderam, quale illud coram,Deus immortalis vestigium illa pra tantisi

simi acuminis,ceterum praestantiora cohibere te, non ut opprimeres, sed ne illorum splendore aliorum tenuitatem perstringeres; in familiari congressia,quae decora, quae Ornamentaὸ allicere puto voluisti maximarum rerum copia ,& amplitudine , allexisti, & hoc nomine obseruantiae in te meae fructum cons cutum me maximum velim scias,quod beneuolentie tuae,quod humanitati debeo. Tuere perhumaniter, quem inusitato beneficio obligatum tibi voluisti: non vulgare patrocinium tantum ex ipsius sapientiae accersitum domicilio; non humile, non infirmum ad quam laudem non muniet aditum Θ obseruantiam

igitur in te meam rudis hic, & impolitus ingenij mei foetus e Mathematicς disciplinae latibulis erutus declarabit: idem luce

patrocinii tui cohonestatus , beneuolentiam erga me tuam patefaciet : intelligent sapientes viri, quo in numero habendus tu sis, quid ego tibi debeam; dum tu alijs,quam tenes amplissimam, non inuides gloriam, dum ipse laudem illam,quam extanti viri patrocinio non mediocrem mihi polliceo uni tibi acceptam refero. sic fiet, ut quem ego fructum ex Obseruantia mea, tu eX Optima tua Voluntate cupiebas,Vtriq; noua hac, sed singulari amoris testificatione consequamur Uberrimum. Vale.

Romae ix. Kal. Aprilis M D CIII.

4쪽

ξRUDITO LECTORI.

nissime. t quoplures, et maiores ei dis ficultates in praeclarissim arum rerum

indagaMone praesiruuntur,eo ardentius ad eas superandas incendatur in insi metur. Quod nuper a me experimoto

comprobatum in indaganda rationeparabolici jeculi δε- candi. Nam cum seuperioribus annis apud Plutarchum is a ammaduertissem , m Graecia ignem quendam'rem qui a mulieribus quibusdam per aetatem ad coniugium is custodiebatur,si casu aliquo extinctus fuisset , non lia se ex alio igne renouar eouram etsinceram flammam lis radij sexcitandam fuisse,eam' ad rem sitis quodam h umento myos Fcapham appellabant) excavato in more turbinis rectanguli,quos aduersosti apponeretur, si , Ni radij solares in circunferentiam indip incidentesurrerent omties ad centrum, et quam citissime appositam

mcumq, materiam inflammarent,quo loco 'Plutarchus

feat talia ste cula ad parabolae forma fuisse excavata, ex turbinisseu coni recti rectanguli sectione generatursae montis inpraefatione libri desseculo ustorio didici c' omnia specula quae anellantur istoria ea acilius, inius fiammam excitare,quae sic excavata sunt, Ni in eo- superficiem radi olares incidentes ad num certum, o runc functum refrangantur,in quo a Plutarcho non dis', nam id risu affirmat accidere speculo,quod in formania recti atque rectanguli coni, quae parabola dicitur, fuerit

5쪽

fuerit excavatum Ademq; ex Vitellione ammaduertissem, qui ad construenda specula ignem celeriter generantia mutis tur parabola coni recti rectanguli,cum de huiusemodi parabolae generatione agit Proposρδ . lib. primi ad quam se refert in I s.frop. in sequentibus lib. s. ubi de praedictis speculis

multa comentatur. eo maius atque ardentius huiusmodi si cuti construendi, desiderium in me en excitatum, quo maiorem animaduertebam disgcultatem. Qua in re cum a me ea opera esset nauata, ut tandem aliquando anno superiori propositum sim assecutus , illudpraeterea commodi accidit, tex accurata consitaeratione repererim, id nonflum ei accide-

respeculo, quod in formam parabolae recti atque rectanguli , coni est excavatum,sedpraeterea bis, quae a parabola coni aeutianguli,obtusiangulio scalent etiam fuerint descripta. contra communem omnium sententiam,qui de parabola ινγυque scripserunt, quod mentis humanae intelligentiam severare ,ridetur inuenerim,euiuscunq; eoni parabolam eandem esse,quae eoni recti rectanguli. Quae a me nuper inuemia, in demonstrata nisi protulissem in medium inuidire merito visus essem communi omnium νtilitati.

6쪽

MARINI GH ET ALDI

PATRICII RAGUS INIPropositiones de Parabola.

THEO REMA I PROPOS. I. I sint duae parabolae, de ad diametrum unius ordinatim applicentur quotcumque rectae lineae, totidem quoque ordinatim applicentur ad alterius parabolae diametrum, ita ut maenia diametri unius, interiecta inter verticem , δίplicatas , sint aequalia segmentis diametri alterius, inter racem,& applicatas interiectis,singula videlicet sinam sint autem & applicatae applicatis aequales,singulae,sm- & anguli contenti applicatis, & diametro unius, ae-iles angulis contentis applicatis, & diametro alterius ..ma alteri parabolae eadem erit.

IN T duae parabolae quarumnetri AB, CD, & ad AB,ordi- .m applicentur quotcunq; re-ineae GE, HB, totidem quoq; 'D, ordinatim applicentur I F, ita ut segmentis ΑΕ, ΑΒ, sintilia segmenta CF, CD, singu-ffelicet singulis, Sint autem splicatae, GE, HB , applicatis D, seqciales singulae singulis, gulus AEG, aequalis angulo Dico parabolam ΑGΗ , pace C IK, eandem esse. Puncturi, Posito in C, recta vero ii , in ipsa CD, punctum B, puncto D, congruet, quod AB,ipsi CDν

7쪽

a . I.

CD, sit aequalis;congruente autem AB, ipsi CD, congruet ΒΗ,ipsi DK, cum angulus ABH, sit aequalis angulo CDK, quare & Η, congruet ipsi Κ, est enim BH, aequalis D Κ:eadem ratione ostendetur & punctum G,

punicto I, congruere,& omnia puncta, quae sunt in una parabola omni-hus, quae sunt in alteri: quare & parabola parabolae congruet. congruente igitur parabola A CH, parabolae CIΚ, altera alteri eadem erit, quod erat ostendendum.

THEO REMA II. PROPOS. II. SI recta linea ordinatim applicata ad diametrum hnius parabolae sit aequalis rectae lineae ordinatim arplicatae ad alterius parabolae diametrum,sit autem & seMmentum diametri unius intericinam inter verticem , &applicatam ,aequale segmento diametri alterius inter ve licem,-applicatam interiecto, sitque angulus contentus applicata, & diametro Vnius,aequalis angulo contento applicata, & diametro alterius, altera alteri parabolae e

dem erit. SINT duae parabolae, quarum diametri ΑΒ, CD, & ad ΑΒ, ordinatim applicata HB, aequalis sit ipsi KD, ordinatim applicatae ad CD, sit autem & segmentum ΑΒ, diametri aequale segmento CD, diametri, & angulus ΑΒΗ, aequalis angulo CDK, Dico parabolam ΑΗ, parabolae CK, eandem esse , sumatur enim in diametro AB,

quodvis punctum Ε, & ipsi AE, aequalis ponatur CF, & ordinatim applicentur GE,IF, quoniam igitur aequales sunt AB, CDI &aequales quoque A E, CF, erit ut AB,ad CD,ita AE,ad CF,aequalis videlicet ad aequale,& permutado ut AB ad AE,ita CD,ad CF, ' sed ut AB,ad ΑΕ,ita est quadratu HB,ad quadratu GE, &'ut CD,ad CF, ita quadratum KD,ad quadratum ΙF,ergo ut quadratum HB,ad qua dratum GE, ita erit quadratum KD, ad quadratum IF, quam n ΗΒ, ad GE, ita ΚD, ad IF, & permutando vi HB, ad KD, ita GE, ad lF, sunt

8쪽

Urit autem ΗΒ, ΚD, aequales, ergo & GE, I F, erunt quoque aequales. RUare Ex antecedente Theoremate parabola ΑΗ, parabolae CK, ea-aem erit, quod erat Ostendendum.

THE 'REMA III. PROP. III. SI duae paraoolae recta latera aequalia habeant, anguli

autem, quos constituunt ordinatim applicatae cum diametro unius sint aequales angulis, quos ordinatim appliCatae cum diametro alterius constituunt, altera alteri Parabolae eadem erit.

Habeant duae parabolae,quarum diametri ΑΒ, CD, latera recta AE- CF, aequalia, anguli autem quos constituunt ordinatim applicatae cum diametro AB,sint aequales angulis,quos ordinatim applicatae cum diametro CD constituunt. Dico parabolam Α, parabolae C, eadem esse . Sumantur enim AB, CD, aequales,& ordinatam, applicentur GE, ΗΒ, quoniam igitur aequaIes stat AE,CF,& aequalos quoque AB,CD, rectagulum BAE, aequale erit rectaguloDCF, sed ' rectangulum BAE, ae. quale est quadrato GB, Eeetectangulum DCF, aequale quadrato ΠD,ergo quadratum GP,aequa te erit quadrato HD,quare di recta GB, aequalis rectae H D, sed & A B, aequalis est CD, & angulus ABG, aequalis angulo CDΗ, ergo ex antecedente Theoremate parabola Α, parabolae C, eadem erit, quod erat ostendendum.

THEO REMA IV. PROP. IV.CViuscunque coni parabola parabolae coni recti rectanguli eadem est.

II. t.

9쪽

IO PROPOSITIONES

SIT cuiustunque coni parabola ΑΒ,cuius diameter A C. Dico parabolam AT, paraboIae coni recti rectanguli eandem esse. Sumatur enim quodvis punctum B,in sectione,& ab eo ad AC,ordinatim applicetur BC,& sit primum angulus ACB, rectus, hoc est diameter AC, sit axis, &sumantur duae rectae lineae

inclinentur ad angulos rectos, iunctaque DF,producaturn fiat quadrato BC, aequale rectangulumDFG,

rallela GH, secet DE, productam in H, erit igitur angulus ad H, aequalis anguisio DEF,& ideo rectus, nam rectus est& ipse DEF, &quoniam aequales sunt DE EF, angulus ad D, aequalis erit angulo EFD, hoc est HGD, quare H D, aequaliSerit HG. Itaque circa diais metrum DC, destribatur circulus DIG, rectus ad triangulum DHG,& intelligatur conus,cuius vertex punctum H,basis circulus D IG.eries igitur iS conus rectus rectangulus , quoniam DΗ, aequalis est HG, dc angulus ad H, rectus. Deinde secetur conus per EF,plano secante circulum DIC, secundum rectam lineam IFK,perpendicularem ipsi DG,& faciat sectionem in superficie coni lineam IEΚ, ea igitur sectio erit Parabolamam eius diameter EF,parallela est Iateri HG, trianguli pcr

Et quoniam IF,perpendicularis est ad DG, diametrum circuli, rectangulum DFG, aequale erit quadrato IF, sed & quadratro BC, est

aequale, ex constructione, ergo quadratum IF, aequale erit quadrato BC,S. consequenter, recta IF, aequalis rectae BC. Et quoniam triangu-DU . tum D HG, rectum est ad circulum DIG, communi autem eorum se-

ED. ction DG,perpendicularis est IF erit ΙF, perpendicularis ad triangu- ' lum DHG, quare & ad omnes rectas lineas, quae ipsam IF, contingunt - dc in eodem sunt plano, ergo & ad EF, J itaque quoniam ordinatim applicata IF, aequalis est ordinatim ap-Plicatae BC,& segmentum EF, diametri interiectum inter verticem & pplicatam, aequale segmento ΑC, diametri inter verticem & applica-

10쪽

DE PARABOLA. ii

tam interiecto, est autem & angulus Eri, aequalis angulo ACB, uterque enim rectus est, erit ex Theorem. a. parabola IEΚ, parabolae BA,

Aliter existente angulo ACB , recto.

SIT parabola ut supra AB, cuius axis AC, latus vero rectum Aia ostendendum est parabolam AB,eandem esse parabolae coni recti rectanguli. Exponatur enim conus rectus rectangulus,cuiuS vertex punctum Η, basis circulus DIG, &secetur plano per axem,quod faciat sectionem triangulum H DG deinde sumatur HE, aequalis dimidia: AL, ipsi vero HG, agatur

parallela EF, & per ipsiam EF, secetur conus plano secante circulum DIC, secundum rectam lineam IFΚ, perpendiculatem acLud xx DG,& faciat sectionem in superficie coni lineam ΙΕΚ, eae igitur

ectio, erit parabola . M II. r.

zatur ad rectos angulos EM, &fiat ut rectangulum DHG, hoc istut quadratum Des, vel HG, sunt enim aequales DΗ,HG, ad quadratu DG, ita recta ΗΕ, ad EM, trit igitur EM,latuS rectum parabolae ΙΕΚ. Et quoniam rectuS est an- 1 Iulus H,quadratum DG,aequale erit quadratis DΗ, HG, sed quadra ADE. a D H, H G, siunt interse aequaliar ergo quadratum DG, duplum erit luadrati HG, vel HD, quare, S. LM, dupla erit ipsius ΕΗ, est . :nim EH. ad EM, sicut quadratum HG, vel HD , ad qua- qiratum DG. Sed dc AL dupla ponitur ipsius Em ergo EM, erit 'qualis ipsi ALEt quoniam triangulum D HG,rectum est ad circulum DIG, com-auni autem eorum sectioni DG, perpendicularis est ΙF, erit IF, per-D f endicularis ad triangulum D HG, quare &' ad omnes rectas lineas uae ipsam I F, contingunt, & in eodem sunt plano. ergo & ad EF. ar. Elo. Noniam igitur AL, latus rectum parabolae AB, aequale est ipsi EM, iteri recto parabola: IEΚ, & angulus ACB, contentus applicata, &iametro aequalis angulo EFI,contento applicata,& diametro: uterq;nim est rectus erit parabola AB, parabolae IEΚ,eadem

I. T.