장음표시 사용
131쪽
dem basim BC, & eandem altitudnem AD, a c illa habentis. CompIeatur pa inum ΚBCE, ducaturque Vtcumque HG pa lata diametro DA , fiue CE, quae secet parabolam in I, & lineam AC in H , & ex I ducatur ordinatim apis plicata IL, qtuu eifficiet par-muLG . , ia a abscis a DA ad abscissam AL , seu b ob par-ma CE ad I, se habet ut qiia-tum DC ad qua tum LI, seu ut ei a ualis in par-inis quadrati AE ad AG , vel ob similitudine in e triangulorum ut qlia- tum
C Eadqii tum H G . ergo ut rectCE ad I G, ita est quadratum CE aqua-tum H G; & noc sequitur ubi cumquα ducatur intercepta recta li Ma HI G pa ta basi CE Consi derentur iam quatuor figurae aeque altae stiper eisdem basibus constitu tae; prima est trilineum AI CE, se cuncta par intim DE , tertia est pyramis vertice A, & basi quadrato
ipsius CE , Oe quarta est prilina DAEC mper eadem basi quadrati ex CE ; suntque tales figurae a prV-liter analogae, quia semper recta CE ad ΙG intercepta in trilineo est ut qua dratum balis CE ad qua-tuin ipsius HG interceptae in pyramidae & aeque
a bala remotae. Igitur e trilineuin
132쪽
demonstrare diuersa via, & breuiori.
pars piismatis ADCE eam continentis . et So qualium partium trili- neu AICE est a partes erit parali I gramum DE sex: & proinde si miparabola AICD erit qpartes , triangulum ADC exit partes 3, cum sit semissis par-mi DE; & in eademi proportione erit duplum ad duplum nempe parabola BAC erit sexquitertia trianguli BAC quod &c.
SPH ERA ET CYMNDRO . . Peris de sphaera & cylindro
sar sufficit dixisse , quod Phoenix ingeniorum Archimedes iusserit
sepulcro eius apponi columnam habentem globum superimpositum svi ut Viatoribus & posteris se tam clari initenti autnorem extitisse memoriam reduceret . ex tali lumna Cicero sepulcrum Archim dis agnouit siracusis. Praecipuas huius operis propositiones conatus sum
133쪽
Si semicirculo, vel segmento in inori adscribantur duo polygona tegularia inter se similia a quaternatio mensurata. & reuoluatur uniuersa figura circa axim ; descript ierunt duo solida composita ex conis,M Diistris conicis,unum sphaerae ci circumscriptia alterii instriptu. ho- rum Vnu quodque vocetur figura s
lida obaerasis. PROPOSITIO I. Tab. IV -
13. Si triangulum ABC , pa muri ABGF,&mistum infimum trianguli ABHD,cuius opposita latera ,
AD , B H sint pa ta habuerint eamdem, Vel equales altitudines AB iα rectae IK pa lar basibus sint inter se aequales & secent bifariam altili dines seu latera AB, D H, AC. Diaco spatia FB, DB , AGC aequolia esse. Quia rectae o ADF & BHC parallelae sunt interse, ergo . triangu-
inter se aequalia, 'b aestualitatem homologorum latenim FΚ , & EG- addito communiter trapeti, ARGnerit trialum ABC aequaIe pa mo BF. Simili modo tri-la FTD, G aequalia sunt inter se , & addito communi trapetio ADTGB erit
134쪽
fructum AD HB aequale eidem parnio BF ; & proinde tri-lum quoque aquale erit frusto ADHB. vocetur recta IΚ basiti intermedia. PROPOSITIO II. Tab. Ir. μι.
s tam altitudines AB , & DE inter se , quam intermediae bases HI, KL in quales fuerint;habebut binae figura: quaeq; inter se comparatae Cametroportionem quam rec luna ΑΒ ini I ad DE in KL sub altitudinibus ,
di sub intermedi)s basibus earum omprehensa.
p rallelis ipsis AB, DE complean- parma BM, EO; & quia a pa EM, EO compositam pro-nem 'abent ex rationibus basium,& altia udinum , erunt inter se ut rect-lum AB in HI ad rec-lum sub DE in L ; & est b tri-lum AB C aequalemo BM , atq; frustum vel par- mum DEFG aequale par-mo EO, ereo triangulum ABC ad fiustum elpa mum DEFG erit ut rectan- I pultim ex AB in HI ad rectangulum
PROPOSITIO III. Tab. IV. Fig. x5. a7.18. 19. Poligonum regularei ΜNOUSuius laterum multitudo sti par ad superficiem pristinatis absque basibus , aut pyramidis , vel frusti eius AGKLD , quorum bases GKL
135쪽
similes sint polygonoΜNO,eandeι proportionem habet quam quadra tum radii PE polygoni ad rec-lum sub altitudine AH luperficiei solidi in latitudinem BD basis eius inter mediae CFD diuidentis bifariair a omnia latera solidi . Fiat figura RST V concentrica, &proinde similis ipsis ΜNO a , & CFID cuius perimeter secet omnes radios ut PZ bifariam in X, de compleantur triangula PMN, PNO&c. Quia in duabus figuris planis P MN, & AGK reetae lineae RS & CF pat-lae basibus secant bifariam ala histri tituri sues P Ζ, ΑΗ, ergo a figurPMN ad AGK est ut rect-lum in RS ad rectangulum AH in CF; suntque b RS &CF latera homolo ga similium polygonorum , igitur R Sad CF erit ut cathetus XV ad cathetum BD ; &ideo ut rectangulum PZ in XV vel in ZP ei aequalem , seti ut quadratum ZP ad rectangu- tum AH in BD itae erit triangulum PMN ad figuram AGK; suntque superficies integrae polygoni, & curiuslibet solidorii in aeque multiplices earundem figurarum PMN & AGK ob similitudinem earum ergopolygonum MNO ad superficiem totam AGKLD cuiuslibet ex dictis solidis,est ut quadratum radij PZ ad recitangulum stib altitudine AH in , BD latitudinem basis intermediae
136쪽
ao. ar. Adscribere duo prismata in crlindro, tuas pyramides in cono, cito frusta pyramidalia in conifritilo ASTM,quorum axes XY, binses circuli STM , ita ut superficies circumscripta ad inscriptam eandem proportionem habeat quam Polygo num CFD circumscriptum circulo PsNID basis intermediae ad poly- 'onum PNZ eidem inscriptum bis cantia altitudines superlicierum adscriptarum figilrarum . Circulo basis S HI Ma circum- Rex scribantur figurae similes circum- scriptis circulo PAND intermediae sectionis, quorum omnia latera ho- moloeta parallela sint inter se, ut sunt GK, CF: per quae b ducantur plana contingentia solida rotunda , ' quae in cylindro erunt par-grammata, in cono erunt tri-gula, in frusto; .cbni erunt trapetia , & erunt simi- lia,&tot numero quot sunt latera circumscripti poly oni, &omnia component superliciein prismatis circa cylindrum, superficiem pyramidis circa Conum, & frusti pyr missis circa coni frustum , cum in
coniungentibus angulos aequales stamiliter positos, se mutuo secent plana figurarum compraehendentim s
137쪽
solida ipsa . Postea per oninia late. ra basi intermediae inscripta,quorum unum est PN extendantur plana parallela planis circumscriptis; pari modo ex eis fietii superficies prinia tis , Pyramidis, & fietisti pyramidalis inscriptae eisdem rotundis figuris; a centro E intermediae basis ad G nes angulos circumscriptarum figu- rarum coniungantur rectae EA , EB, FH, EG, ΕΚ & c . quae secent re- etas in planis inscriptis designatas in
llela basi AH . cum sint communes ' l
sectiones planorum aequidistantis in i factae a plano EAH; ergo d AH ad li
4 II. - est ut BE ad OE, seu ut CF ad
e PN , ob similitudinem triangulo . sum, & sic in omnibus reliquis. qua- are a rectangulum AH in CF ad ei
ut triangulum CFE ad ei simile tri- irangulum P NE . suntque superficies rintegraei solidorum adscriptoriun figuris rotundis, & polygona ad-
scripta circulis basium intermedia- φrum aeque multiplicia figuraru silmiliti AGK, QST, CEF,N PEN. igitur superficies circum scripta cuili set ex solidis rotundis ad inscriptam ei similem ean lem hi oportionem habet, quam circunscii tu polygonum basi intermedia: circiit ri a j polygonum eidem inscriptum. quod erat faciendum . Gro'.
138쪽
i eius frusto quae similis sit circuni- scriptae minorem esse superficie ro tunda selidi. ia altitudo eius QRb altitudine sistidi rotundi
praeterea ab eadem rotuni cie comproelienditur .
2O. 21. 2a. Quilibet circulus p b n i d ad supei iciem cumam citiusti, et cylindri, coni aut fruiti conici AS est ut quad tum ex a b radio illius ad rectanguluna sub altitudine AH superficiei rotundae in dianae trtim BD circuli basis intermediae cuiuslibet solidorum . : Adscribantur a circulo pb id duo polygona regularia inter se si milia cfa, & pni, quorum disse- entia minor sit quacumque mazni- tudine data; & in solidis b adlcri bantur prismata, pyramideS, aut eo una frusta similia inter se , quorum has es intermedia: CFD UNI similes sint polygonis adscriptis circulo pia i , erit e pol ygonum c f di circumscri tum circulo ad circum
dum ambientem ut quadratum radii L. circuli b a ad rectangulum sub AH la BD: pariterque polygonum p n i
139쪽
circulo inscriptum ad figuram QSTL solido inscriptam se habet vi quadi altimo a ad rectangulum in OD , seu ut quadratum b a ad reti gulum AH iii BD. sunt igitur duae magnitudines prima superficies circuli p b n i d, secunda superficies rotunda ASHTD , & proportio data Padrati b a ad rectangulum AH
in BD , & duae aliae figurae circurnis scriptae eandem datam rationem ha bentes sunt una maior es prima p b
pra primam minori quocumque da- . inscriptae eandcim d
to ; Sc. duae figurae inscriptae eandem datam rationem habentes sunt una minores prima & secunda defectu a prima minori quolibet dato. Igitura, V. d prima area circuli pbni ad se cundam solidi supernciem rotundam ASHI D eandem proportio- nem habet, quam quadratum circu-
Ii radina b, ad rectangulum AH in BD quod erat &c.
Cον uarium i. Ex hac propositio- ine deduci x quod si circuli radi s rab a fuerit naedius proportionalis anter solidi rotundi latus AH , &di metrum intermediae basis BD erit circulus b n d p aes ualis superficiei Cumae eliisdem solidi. Quia quadratum b a aquale erit rectangulo AH in BD , & ideo eah- idem aequalitatis rationem habebit
140쪽
A, ehimedis rasi circulus b n d p ad superficiem cuse: 'am eiusdem solidi.
coraliarium ID Et circulus basis lindri ad eius curuam superficiem erit ut quassitum radij basis ad rect-lum sub latere , & eodem diametro contentum . quia in cylindro infima 'li basis aequalis est basi intermediae. corollarison III. Et circulus basis corii ad eius curuam superficiem 'l: est ut radius circuli basis ad latus
Quia circulus basis coni ad eius' icumam superficiem est ut qua-tum radij HY basis coni seu BD ei et qualis diametri basis intermediae ad j rectangillum AH in eandem BD &
l: ideo erit i H Y ad HA. 'PROPOSITIO VI. Tab. I . Fig.
a3. aq. Si iuperficies coni,vel frusticonici HGFE tetigerit conuexam
spherae ACUD superficiem in K, IV periphaeria intermediae basis illius. Dico quod superficies illa cu ua HGPE aequalis erit superficiei
circuli , cuius radius X medius prop-lis est inter sphaerae diametrum
AV , & altitudinem FT coni vel stulti . In Circulo ACD per axim sphae- rae AV dueto extendatur diameter IRP , & RR; & compleatur parati