장음표시 사용
11쪽
Ionge aliam mei et angulorum rationem. Quae res minus animadvorsa in causa fuit, quominus intelligeretur, theorema illud Euclideum Elem. I. I. ux conversum
I. e. 29 non posse demonstrari, nisi vel tacite vel verbis expressis ponatur, parallelas eandem inter se distantiam servare, seu esse aequi distantes. Etenim qu dde uno tantum valet puncto, id ita converti nequit, tamquam valeat de omnibus. Quum vero illae conditiones ubique locum hiscant, si sumas, parallelas esse aequi- distantes necesse quoque erat illud assumi ad conversionem theorematis demonstrandam. Atque hoc fecit quoque Euclides mio ma suum undeclinum in auxilium voeando ' , quod verum csse ita tantum potest, si parallelae sunt aequid istantes, illo igitur assumto hoc quoque erat assumtum. Sed quod equidem nondum a viris doetis animadversum legi, in omnibus rectis, quas sumas in eodem plano ita essed uetas, ut in utramvis partem productae se non secent sive illae aequi distantes sint, sive convergant, sive divaricent, unum alicubi punctum est in medio positum parallelarum intervallo, ad quod illae conditiones spectant, quare recte poterat tu Iud quidem theorema converti, verum, quia ratio alet, qua possis illud punctum invenire, non in universum demonstrari convergentibus enim aut divaricantibus
p 1rallelis, quum situs illius puncti pendeat a lege, qua convergant aut divaricent, huius autem legis possit esse insinita ratio per se patet situm seu locum illius pnneti non posse determinari. Aliter se res habet i aequidistantibus, ubi illud pum. lliget . . in exicomatb. p. in artieulo Parallelen ait Proetum enunciationem Euclidis undecimam inter postula referre immo censet Proclus eam ex postulatis esse rei ieiendam esse enim theorema multis dissicultatibus obseptum, quas inlemaeus in quodani volumine solvere sibi proposuerit in quo demonstrando multis definitionibus et theorematibus opus sit. Notandum quoqtie, quod ex eodem Proclo liquet vocem ιτημια, postulatum, duplicem vim habuisse vel apud geometras alteram, qua nunc vulgo usurpatur, aueram qua utitia quoque Cicero de Offic. III. . . D geometrae sotiis non omin
plicent. Hoc viri Cicero geometram in aliqua a dena onstrarina uti ante concessis, aut postulare ut lio vel illud sibi oncedatur non quia id demonstrari non possit, sed quia demonsdratiam iam sit, idque, rim demonstrandum sibi Mim serit, eo nitatur. Hae ratione utitur, ut tempori pareat, aut rit satietati auditorum oecurrat, quorum id tantum scire interest, de quo quaeratur. Haec ratio comprobatur quoque m lentibus e eomparatione institura Nam honestatem propter Se esse expetendam . id lio postulat sibi concedi probarum iam erat in libris de Finibus. Diluei ditis idem expressit Cieero Tus Q. V. 7. minis ometrae. rivm aliquis orer Dotans si ti id a mem
Oxyticant, da - πιιι mihi scriptum est. Gregorius quoque in Suo uel id notat. sal nonnullis libris seriptis illud axioma inter pos: nlata relatum invenisse. Prius hac voisca abutuntur nostri, in toros sormularaim, quas acuminis et erudit mnis ostentandae causa ex libris genis ulius Regiomantani sunt aucupati, quasque ubique solent ineulcare.
12쪽
etum, quum a nulla huiusmodi lege pendeat, nusquam non potest esse. Simplicius egerunt duumviri, Posidonius et Geminus, ' dicentes, parallelas esse aequi distantes Uerum haec commoditas, desiniendo comparata, cum hoc incommodo erat con . iuncta, quod ostendere non poterant, rectas huiusmodi esse posse, nec satis est in hac re ad formam rectae confugere animo impressam, quum id agatur, ut ex natura rectae aliis demonstres, desinitionem illam cum notione rectae lineae nece
sario convenire id quod, ut supra ostendimus, fieri nequit. Aliorum quoque tentamina ad Euclidis rationem vel emendandam vel supple dam, sive nova rectae lineae desinitio fuerit proposita, sive novum axioma aliquod constitutum, sive de quadam rectarum aequali positione praeceptum, plerumque in recessu abcnt sumtum illud, parallelas esse aequidistantes, etiamsi verbis utuntur non aperte hoc declarantibus. Ad hoc probandum paucis defungemur exemplis. Proetus igitur demonstrationem auspicatur hac nunciatione: Si ab uno pumeto duae rectae angulum aciente in sinite producantur, ipsarum dus tantia omnem sinitam magnitudinem ex e edit. Hoc verum est, si parali lae vel aequid istantes sunt vel divaricant, salsum, si convergunt. Demonstrari quis dem potest, quemadmodum clavius fecit, distantiam rectarum augeri, verum ne id quidem potest ostendi, eam vel maxime remotam a vertice duplo maiorem fieri, quam data aliqua, quae propius abest a vertice. Hoc Clavium fugit. Qua nunci tione non contentus Proclus alterum abhibet: Si duarum parallelarum rectarum alteram recta aliqua secat reliquam quoque productam secabit. Quum hoc autem salsum ait, si ponas, parallelas divaricare patet illis duobus assumtis sumtum quoque esse, parallelas esse aequi distantes clavi ratio hoc nititur: Lian ea, cuius omnia puncta a recta, quae ii eodem plano existit, aequalia
. Posidonii rationem affert Proeliis in extremo libro II. oramentarii sui in Euelidis eleis
menta Parallelas esse, quae nequo e vergant equo divaricent in eodem plano inter quas omnia perpendicula a punctis alterius ad alteram demissa sint aequalia, inter quas vero decrescatit eas convergere. Perpendiculum enim et altitudinem arearum et interis valla lineariim posse finire. Quapropter quum perpendicula aeqii alia sint, aequalia quoque isse rectarum intervalla, crescentibus vero perpendiculis vel descrentibus etiam inister valla mint i et convergere rectas inter se in eam partem, in quam perpendicula minuatitur. Hactenus Posidonius. Niror nemini Graecorum in mentem venisse parallelas quoque posse divaricare et quidem ab ea reeta, ad quam ductae sint, in partes contrarias semper, quantii equidem me legero memini hoc tantum sumunt, possaea convergere versus easdem partes. Inde perspicuum est eos Ius tribuisse formae et im: gini reetae, ira ni par erat parallelarum rationem e monstraturis. Forma enim
recta in consilium adhibita omnes tricas in quibus aliquis possit haerere, sponte evane cunt.
13쪽
ter distant, recta est. Quod si cum forma rectae lineae mente conrepta contuleris, satis probabile videri potest, verum geometrarum morositas in probabilitate non solet acquiescere, omnisque huius rei demonstratio nullum reportet exitum, nisi hi quoque sumseris, parallelas esse aequi distantes. Eiusdem generis est axioma, quod Robertus Sinisonus, clarissimus olim et acutissimus inter Britannos geometra, in Euclide auo anglice verso excogitavit: Nullam rectam a recta aliqua in eodem plano sita, ad quam inclinet prius divaricare posse, quam eam secuerit nec, si divaricet, rursus convergore. Habetis eandem cantilenam, aliis tantum verbis expressam, qua concessa concesseritis quoque, parallelas posse nec convergere ne divaricare. Etiam ars tentus, cuius merita de omni re geom trie unusquisque lubenter agnoscit, quum existimat, ex notione o tionis duarum rectarum rem posse confici, et ponit rectas duas eiusdem ad tertiam posutionis etiam ad quartam eandem habere positioncm salsus est, si sal umest, parallelas aequi distare. Recentiorum conatuum, qui quidem mihi vel ex scriptis ipsis vel e ephemer liti innotuerunt, eadem sere ratio est, iam prinei piis, quibus nituntur, habent inelusum, quod inde volunt eruere. Quae quum ita sint, cardo rerum in eo verti videtur, ut doceas, parallelas
esse aequidistantes; quo acto statim potest ostendi, esse posse rectangulum, inde- qne nullo negotio potest deduci, summam angulorum in quocunque triangulo esse duobus rectis nequalem hoc autem demonstrato omnis di multas, quam parallelarum ratio hactenus exhibuit, est discussa. Novam igitur, et, quantum equidem scio, non tentatam adhuc rationem ingrediamur, fortasse non infructuosam, etiamsi votis nostris eventus minus responderit. Quaeri autem potest, an non absurdum sit, statuere parallelas vel conτergere vel divaricare, quum . quod saeia ut ad unam partem rectae, ad quam ductae sunt, idem ad alteram partem facere necesse sit, et ex figura seu imagine rectae iam satis adpareat, eam, si ad alteram rectam in eodem plano sitam, ut hoc utar, dextrorsum inclinet sinistrorsum divaricare debere. De absurdo iam supra vidimus,
quale tandem id sit, quod hoc nomine signent geometrae etiam de imagine rectae et ratione ex ea aliquid colligendi quae dicenda erant, dicta sunt. Praeterea quo que nemo negabit, aut ponendum esse, parallelas posse vel convergere vel divarieare, aut hoc restare, ut paradietas aequidistantes esse largiamur. Atque, si hoc
14쪽
a nobis impetraverimus, nihil erit, quod in Euclide magnopere desideremus, pra
te quam quod, ut ille theorema suum undetrigesimum adhibito axiomate undecimo demonstrare conatus est, nos ratione inversa et rectius et diseiplinae accommodatius axiomatis veritatem ex theoremate ostendamus. Quo facto doctrinae evidentia
gloria, quam sibi geometria semper vindicavit, non deflorescet illa quidem, nam qua in parte laxior videbitur eius rigor phantasia suscipiet patrocinium semper tamen eius studiosis, qui ipsa disciplinae sorma, non dotibus externis, sunt allecti, scrupulus iniicietur, quem magnoqere cupient exemtum, et, quod imaginis contemplatio persuadet, id rationi et intelligentiae numquam probabitur. Quod si contra
malumus assensum nostrum argumentis extorqueri, quam persuasionum levitati e dere, nec, quae assirmentur, fieri posse, indicta causa absurditatis damnare, sed
examini subiicere diligenti quamquam inveniamus disquisitionem ipsam multis dis seultatibus obseptam et in mari versemur seopulorum plenissimo, ad quos naufragia saeta sint plurima, tamen animum non despondeamus, nam, ut utar Sophoclis verbia
Uerum quidem est, inquirentibus in naturam parallelarum, et diversarum tionum aliam post aliam excutientibus, quum quasi in conspectu nostro rectae cur varum indolem induant, totque alia portenta et prodigia existant, oculos ipsos r tioni dem negare cogitandum tamen semper, illa ludibria eiusmodi esse, ut a surditatis non possint accusari nisi plane axiomati aut theoremati demonstrato G pugnent. In hoc negoti diuicillimum est, attendere animum, ut nihil admittas, quod vel ipsum, vel per ea, quae inde colligantur, iis contrarium sit, quae posueris, saepeque longa argumentationum serie deducta, quum iam existimes, tandem aliquando aliquid deprehendisse, quod vere absurdum voces, re accuratius inspeetamus ridiculus proeurrit ex monte parturiente. Quod omen ut longissime absit ab hac scriptura vehementer equidem cupio. Ipse quoque toties vana spe delusus t tam rem iam dudum abiecissem, nisi tempore semper redeunte, quum geometriae elementa a principio essent tradenda, recordatio otii in hanc rem frustra insumticum indignatione coniuncta studium meum denuo excitasset ad eundem lapidem vi ribus intermi sione renovatis volvendum. Neque tamen, id quod ingenue fateor. eo usque progredi potuissem, si modo aliquatenus progressus sum, nisi adiutus opsin viri acutissimi et in hoc quaestionum genere tractando exercitatissimi HellNagii
15쪽
Med. r. Duel Henburgens a consillis et Archiatri, quorum communieare neest ea, quae vera mihi deprehendisse videbar, quique qum quasi opponentis paries
tueretur saepius me aberrantem in rectam viam reduxit, et, etiamsi totius rationis omniumque theorematum inventi mea est, secit tamen monendo, ut in argu mentorum delectu et cautior essem et religiosior. Ut tandem argumentandi ratio, quam secutus sum, commodius perspiciatur et perspecta diiudicetur, eam paucis verbis adumbratam oculis Vestris subiiciam. Nulla definitione usus sum, meis quidem rebus accommodata, sed non in re et natura posita nullum axioma munm induxi, quo ea probanda vel eas vel industria iam involuta lateat, enius auetoritatem nescias an alii sint agnituri nullam argumentationem adhibui ex sorma rectae repetita, quae absurda vocet, quibus apud geometras huiusmodi nomen adline non haeserit, ed iis tantum praesidiis instructus, quae Euclides in elementis suis vel invenit vel digessit, rem toties quaesitam veterum severitati convenienter explorare sum onatus. Hoc quoque mihi propositum fuit, ut non probabiliter tantum dissererem, quod parum est quum in
omni doctrina, a ratione prosecta, tum in nostra disciplina, quae certa tantum et secessaria admittit, sed ut vel maxime invitis assensum extorquerem. Quod si minus conse tus sum, nam errare humanum est, nec geometrae ab hac imbeeillitate eommuni sunt immunes, oleum et operam me perdidisse prositebor, eademque, nareliquoriam, mei quoque conatu oblivione sepeliantur. Parallelarum desinitionem
adoptavi eam, quam Euclides dedit, quum simul ostenderit, tales posse describi. Quoniam antem in ea desinitione nihil insit, quod prohibeat, quominus statuamus, eas vel convergere vel divaricare quaesivi primum, ut nihil praetermitterem, quod a cultore nostrae disciplinae vel rigidissimo posset desiderari an sieri posset ut parallelae versus easdem partes et convergerent et divaricarent. Quod num docuis-s2m fieri non posse illam quaestionem institui, num convergerent. Cuius rei inquisitio non diu me torsit, intellexi enim statim, si id ponerem ex iis, quae inde
sequerentur, demonstrari posse, eas non convergere. In vestigatio tertia erat mai
ris momenti longeque dissicilior, me quidem per complures annos exercuit. Etenim si semel statuas . parallelas divariore, nulla causa est eur neges , eas ita divarucare, ut perpendicula inter illa quavis data tandem magnitudine maiora fiant. Quo in genere etiam hoc rem reddebat perplexiorem, quod ab una parte mens nasi a consuetudine oculorum erat revocanda, ab inera insuit ludibria vitanda, quibus
16쪽
mentis acies plerumque praestringi magis solet, quam ad id, quod in re et veritate
sit, perspiciendum acui. Quamquam enim parallelae hae ratione videntur fieri aseus circulares, tamen rationi, quae iudex in hae causa sedere debet, ostendi non potest, eas in curvas abiisse, quoniam notae et discrimina, quae habent rectae et curvae, non sussiciunt ad alteras ab alteris distinguendas. Omnis de hac re in mentatio , quam institui nititur theoremate, quo perhibetur, summam angulorum in quoeunque triangulo acutangulo maiorem esse recto. Quare mihi pro se quisque animum adtendat ad id velim, severeque et diligenter id excutiat, nam veritatis mihi maior cura est quam victoriae. Si hoc salsum est, tota disputatio concidit et ad incudem linum est roracanda Quum, ud ostendimus, parallelis divaricantibus summa angulorum in quocunque triangulo minor sit duobus rectis, vel terminus debet esse aliquis, infra quem illa summa nota descendat, alioquin minor esse o sit angulo quovis dato, id quod ridiculum quidem videri, absurdum vero dici non potest, vel iter institutum omnino mutandum aliudque Ingrediendum est. Quod si autem hoc comprobatum fuerit, spero et ea vera fore, quae inde sunt deducta. Ad demonstrandum parallelas esse aequi distantes, inquirendum etiam in hoc, qua nam sit illius lineae natura, quae per puncta transeat pari intervallo a recta aliqua distantia et in eodem plano sita positis parallelis divaricantibus. Equidem arbitror, planum esse factum, illam lineam nullam esse posse nisi alteram ex parallelis. Ex hae brevi disputationis delineatione unusquisque sacile potest perspicere, non uno et altero, sed pluribus theorematibus opus suisse ad rem conficiendam, quamquam non negaverim, brevius et elegantius idem potuisse ostendi ab acutiore et in hoc negotio magis exercitato. Nihil est tamen, quod verear, ne numerustbeorematum mihi fraudi sit futurus, nedum suspicionem moturus apud viros doctos, malis avibus totam rem a me esse susceptam. Habetis, Viri Illustres et Doctissimi quae praemonenda duxi; quod reliquum est Vos rogo etiam atque etiam, si res ita comparata sit, ut cogat os sententias contra me erre, ne Vestra in me benevolentia, qua me adhuc dignati estis, ideirco minuatur. Valete plurimum mihique et meis studiis, ut facitis, lavete.
17쪽
Parallelae rectae lineae sunt, quae quum in eodem ain plano et ex miraque parte in infinitum producantur, in neutram sibi mutuo incidunt. Euclid. defin. 54. Interprete clavio. S es est ii m. Huiusmodi paradietas duci posse ostendit Euclides lib. I. Theor. 13. I9. Propos. N. M. Theore in I.
Parallelae ad aliquam rectam ductae ad aliam quoque rectam, quae mediam, ad quam duetae sunt, transit, sunt normales. Fig. I. Demonstratio.
Sint rectae A B, G C ad rectam cssi parallelae, ideoque AB c GCBm2 R. Dividatur rectam in duas partes aequales in puncto F, ab eoque demittantur perpendicula D et E a rectas AB et G Iam quum sit B c F, D BIFCE, DB IEC, erit triangulum DBi triangulo CE indeque FB DE. Reetae igitur D et E ham rectam eniciunt, ad quam rectae A Det a sunt normales. Q. e. d. Corollarium. Quaecunque igitur va'ent de arallelis et e G C ad metam C B ductis, ea valent etiam de rectis A D et G ad reetam Da normalibus
18쪽
Reeta per terminos duorum perpendi eu Iorum aequalium ad aliquam rectam demissorum et eum ea in eodem plano ait rum, dueta erit illi reetae paraue Ia Fig. 2. Demonstratio. Rectae in et CD sint perpendieula ad reetam x et Inter se aequales. R etae N et x dividantur in binas partes aequales punctis E et F. Iam vero dueti reeiis F, F, C erit triangulum ABF triangulo CD, inde BF Fc et triangulum BFΕ triangulo FC, Inde B EF FEC R. Porro BFE E FC AFB DF C, indeque FE DFE R. Unde apparet, reetam C rectae A messe parallelam. Q. e. d. corollarium I. Iisdem positis erit a D G cet. Corollarium . Perpendieula in et D inter parallelas C et Aia recta EF ad quam ductae sunt, eodem intervallo ΕΒ EC in utramque a tem remota eiusdem sunt magnitudinis, aut A B DC. Corollarium S. Reetis in ei ci aequalibus et ad rectam Am normalibus, ductaque recta C, erit rectam per puncta E et , quibus rectae cetis D in binas partes aequales divisae sunt, ducta, ad utramque, et ad c et adini normalis. Seholium. mo adtinet ad perpendicula inter parallelas ducta, eorum
tio potest esse quadruplex. E enim , vel eo maiora fiunt, quo remotiora sunt a recta, ad quam ductae snnt parallelae, , vel eo minora, , vel crescunt simul et ccrescunt, , vel eadem semper manent. Verum ex corollario 2 theorematis praecedentis patet, quodcunque eorum lacum habeat, id locum habere ad utramque partem rectae, ad quam parallelae ductae sunt, quandoquidem perpendicula inter parallelas, eodem ab illa recta intervallo demissa, eiusdem sunt magnitudinis.
Theorema III. In omni quadrangulo rectangulo, si deseribi potest, lateraupposita inter se sunt aequalia. Fig. 5.
19쪽
Deem o, s. r a Di α- si ABCD mistisangulum rectangulum. Recta B producta duratur Am. Non potest esse A D. - Ε, hoe enim sumto erit Coroll. I. Theor. H. DAE. Tin id quod nequit, quum sit per hypothesu D B A. Dueatur A . Non magia potest esse AD FC, nam hoc posito erit Coroll. I. Theor. II. DAF- CFA, Rod locum habere non potest, quum sit per hypothesi DAM AEBA. Restat igitur ut sit AD BC, et pari ratione
Coneos so quadrangulo rectangulo conces fium est quoque summam angulorum cuiuscunque trianguli eas duobus rectis
Si met D est quadrangulum rectangulum, erit Theor. III. Ami' et et AD BC. Dueta recta AC erit triangulum A B Ca triangulo in C. Quum autem summa angulorum in quadrangulo reetangulo sit. R', erit summa angulorum in triangulo rectangulo, quod dimidium quadrimguli est R. Quod si autem umma angulorum in triangulo rectangulo est ma , quum unumquodque triangulum per perpendiculum aliquod in duo triangula rectangula possit dividi, mei summa angulorum in quocunque ungulo Iara a R - 2 R. s. e. d. Theorema V. In omni quadrangulo rectangulo, si describi potest, perpe die via omnia sunt aequalia. Fig. 5. e mira o. Sit CD quadrangulum rectangulum, et B F AD GD - Η C, ducanturque rectae EF, G erit Coroll. I. Theor. II. AEF BF Ε, Ham G H. Iam vero potest esse ΑΕ vel .R. vel , . Sit A E erit
20쪽
m BG. Eris igitur H GF vadem hum obtusangmium ductaque recta Gerit triangulum H G triangulo EG, summaque angulorum in alterutro tria gulo, in contra Theor. V. Idcire non potest esse ALFς Quod iis namus EF simili ratione sequetur, summam angulorum in alterutro tria gulo esse rara, contra Theor. V. Inde olligitur, esse Α EI B TE AE, indeque e Theor. III. FE BA GH Q. e. d. Corollarium I. Si di in F in erunt coroll. 5. Theor. II. AE A DF et Ec DF quadrangula rectangula, et propterea Theor. m. AB EF CD.
Perpendicula in te parallela in alterutra parte rectae, ad quam ductae sunt, non possunt crescere et rursus decre cerae, nec vicissim decrescere et rursu crescere. Fig. 6. Demonstrati .
Sint rectae Am et DC ad reetam B normales Ideoquo inter se parallelae. Ponamus fieri posse, quod in theoremate negatur, erunt alicubi duo perpendicula recta Aa ad rectam DC demissa. D et G. inter se aequalia Segmentis x et D G tu binas aequales partes, punctIs E et , divisis ductaque recta ΕΗ, erit Coroll. 5. Theor. II H mram Em R, et E BC quadrangulum reo angulum, atque ex Theor. V. G ΕΗ m BC, FG-ΗGFm R, inde quia coroll. 2. Theor. II. est D AD GFa, erit etiam DAT R. Propterea quoque Ai Emm FG B C, omniaque perpendicula inter parallelas Amet DC aequalia. Quod quum sit contra hypothesin, non potest fieri, quod ita theoremate negatur. Q e. d.
. Seholium Quum igitur perpendicula Inter duas paralleIas, quo longius areeta, ad quam ductae sumi, demittant , non possunt crescere et rursus cere eere, ne victi,im decrescere et rursus crescere restat triplex perpendiculorum ratio. a Si perpendienta, quo longius a meta, ad quam parallelae ductae sunt, dia stant, eo magia decrescunt, hoe necesse est seri ad urramque partem rectae, ad quam ductae sunt, Schol ad Theor. II. dicunturque parallelae convergere.