Supplementa in Euclidem

31쪽

Seholium caeterum Ingenue fateor, quoniam veram tantum quaero, neque inani gloriae servio, theoremata XIV XV et XVI totius disputationis e ge areem, qua Xpugnata reliqua quoque eoncident. Quare rogo viros doctos, quia bus omnino operae videtur esse, quae disserui, examini subiicere, ut illa theor mala potissimum explorent atque excutiant. Etenim si illa impetum oppugnantium sustinuerint, quae sequuntur, nisi egregie fallor, manebunt immota. Sufficere quidem poterat ex theorematibus XI et VI alterutrum, verum dum nondum inportu navigamus, satius visum est, duabus ancoris niti Fortasse etiam doctior aliquis et ingeniosior ex iis, quae disputavi , errore meo monitus verum deprehendere poterit.

Theorema XVIII.

Supra rectam quamcunque potest triangulum construi aequi-erurum, in quo angulorum ad basin uterque sit maior dimidio recti. Fig. ISDemonstratio. Si data recta B, supra eam deseribatur triangulum aequIcrurum C AB ita, ut sit B A m. BC, ubi, denotet numerum satis magnum. Ad punctum Me mgatur tangens BD, quam crus Ac productum secabit Theor. XUII. , et a pun- et C demittatur perpendiculum CF ad tangentem B D. Iam vero tangens ad punerum C arcus B C radiora B ducti non potest cadere in perpendiculum C F, quia FG et propterea non potest esse DC F R , nam duo anguli in nullo triangulo possunt duos rectos conscere. Multo minus etiam cadere tangens ad pu erum C potest intra crura anguli DCI; reliquum igitur est, ut cadat infra F,

Corollarium. Facile inde potest deduci, summam angulorum in quocunque triangulo acutangulo maiorem esse recto.

Tlieorema XIX. Tangentes ad terminos euiusque quadrantis ductae se secabunt Fig. 7.

32쪽

Demonstratio.

Si angulus A in rectus, quem in duas partes aequales dividat recta T. eritque a mura. Recta autem ex puncto , quod a puncto B intervallo G Q. BC distat, sub angulo BGΕ Ε BG ducta secabit rectam B D Theor. XVIII. . Quare tangens D ad terminum quadrantis C ducta, secabit rectam Et puncto supra punctum K posito. Nam perpendiculum, a puncto E ad rectam BG demissum, cadet infra rectum D c, quia dic et F, et B a Q. B c. Sed in eodem puncto D rectam V tangens Am ad alterum quadrantis punctum secet noeesse est, quia triangulum B DC a triangulo BAD. Tangentes itaque ad terminos euiuacunque quadrantia se secabunt e. d. Theorema XX. Reeta ad terminum quadrantia sub angulo, reeti dimidio a

quali aut etiam minori, ducta secabit alterum crus quadrantis

productum. Fig. 3.

Demonstratio.

Sit A BC quadrans. Tangentea x et et ad terminos eius A et C duetae se secabunt Theor. XIX. . Sit punctum intersectionis L. Recta B ducta erit triangulum E A B- triangulo CB, ideoque UNA E BC R. Est autem Theor. II. . A D, B C. Sit itaque Bia in E ductaque rectaram erit triangulum Dini 2 triangulo in B, inde BAD EB Am R. Quare reta ad terminum alterutrum quadrantis sub angulo R, seu da ducta secabit auterum crus quadrantis productum e. d. Des o Li uis, Triangula in B et DBC aequalia esse et similia nititur eo. quod in alterutra parte perpendieuli a termino eius ad rectam, supra quam erectum

est, duae rectae aequales inter se duci nequeunt.

Theorema XXI. Latus hexagon aequi lateri et aequanguli malus est radio. Fig. 15.

33쪽

Dein onstratio.

Sit et latus hexagoni aequilateri et aequanguli, punctumque Κ centrem es culi, in quo illud inseriptum est. Radiis ΚΗ tinc duetis erit angulus Κc ma Rum 3 R. Quoniam autem summa angulorum in quocunque triangulo ς TR. Theor. IX. b. et Sehol ad XII. erit Daec R. quare C AEM. N. e. d. S es o i ii m. Positis parallelis equidistantibus quum summa angulorum in quocunque triangulo sit, 2 Theor. IX. e. erit recima H. Theorema XXII.

Latera exagoni aequi lateri et aequanguli iuncta sunt ab angulo, qui maior est recto. Fig. 15. De mons tratio. Rectae B et C sint duo Iatera exagoni aequilater et aequanguli. Apunctora demittatur perpendieulum L ad latus c. Si ponamus BHC Rerit R. Quare recta B H producta serabit perpendiculum i productum Theor. XX. fietque triangulum, in quo mi H R. Quod num esse nequeat, angulus B inc non potest esse m R.

Neque magis potest esse R. ergo R. Q. e. d. Problema XXIII.

Dato Intervallo laterum a centro describere exagonum aequi laterum et aequangulum. Tig. 15. S est ulci o. Datum Intervallum ait a. Ad punctum K adiungatur recta X H sub angulo ΗΚ Lm IR coroll. 5. Probi XIII. , quae recta secabit perpendiculum ad punetum L positum Theor. XX. . Fiat triangulum C L . triangulo Κ Η L. et excentro radio vi describatur circulus, quem recta linc circumlata dividet in sex

partes aequales. Demonstratio.

Quoniam XLm a per eonstr eriti KCmὲRmGΚΑ, rectἰ ΗΚ, C usque ad circuli ambitum retrorsum productis, et quum G ΚΗ - ΑΚ C erit

34쪽

reetam C eirentum dividet circumlata in sex partes aequales. N. e. d. corollarium. Ambitus euiuscunque circuli per deseriptum quodeunque hexagonum aequilaterum in sex paries aequales potest dividi sive maior sit sive minor irculo, in quo exagonum illud deseriptum est. Radii enim ΚΒ, Η, Ccet quemcunque circulum ex centro descriptum in sex parte aequales divident. Theorema XXIV. Reetae ad aliam re et am in eodem plano et pari intervallo no males ductae perpendiculum a summa rectarum ad infimam mmissum in partes inaequale ita divident, ut superior quisque maior sit inferiori Fig. I9. Demonstratio.

Sint reetae AB, QT, Η, S X, CD ad reetam BD normales, e BF MIH m D. Demittatur ab aliquo puncto A reetae Aa perpendiculum A cad rectam CD. Quoniam EF M AB Theor. VI. b. erit B ΑΕ ΑΕ. Theor. VIII. b. . verum AE DE G. ergo B AT IE G. Pari ratione demonstra

Unumquodque perpendiculum inter nas parallelas finito ab illa recta, ad quam ductae sunt, intervallo, minus est duplo spatii, quo puncta distant, ad quae parallelae ductae sunt. F. 20. Demonstratio. Sint rectaei et D ad rectam A normales ideoque parallelae, porro sit AB intervallum punctorum , ad quae parallelae ductae sunt, et Da finitum intem vallum perpendiculi datum. Ad punctum D sub angulo coroll. 5. Probi. XIII. iunge re tamim, quae aerabit perpendiculum in productum in puneto . Theor. XX. Ex entro D radio vi describatur circulus. Producta deorsum re

35쪽

eta in ad irenti ambitum erit sin latus hexagoni mullateri et aequanguli F et Gm duetaque recta GD, erit GD - R. Est autem Gi mi Theor. XL seu Gi T. Hi, et mi Theor. XXII. . Sit itaque vimm R, eritque D V2. HI Reeta B dividatur in panes, quarum quaeque AB, nihil refert, si pars quaedam mini supersit et ad puncta A, I dueantur perpendicula A C, I cet. Erit autem partium FT, ET, C D naquaeque et RE, EC; C CD Theor. XXIV0. Quod si igitur ponamus CD I. AB erit quoque TD, 2. H B. V rum quum sitam V 2. Hi erit quoque OD VI AB.

Q. e. d.

Sehollum. Viri doeti, qui hanc demonstrationem legerint, vel sponte i telligent omnia sere theoremata, quae praecedunt, ad adparatum pertinere, quo opus sui ad hoe theorema illustrandum et probandum, quodque maxime est nece sarium, quum nihil proficere possis, quamdiu ad liquidum non sit perductum, perpendieula ab alterutra rectarum parallelarum ad alteram demissa non posse maiora seri navis data magnitudine. Forsan brevior aliqua via, quae eodem dueat, ab aliorum solertia potest inveniri, quam qui ostenderit, et meam et omnium, quibus eumque severum geometriae studium curae cordique est, gratiam inibit. Interim eontenti erimus eo, quo voluimus, vel per ambages pervenisse.

: Theorema XXVI.

Etiamsi ponamus, parallelas esse divaricantes, duae tamen rectae in eodem plano ad aliam rectam ita ductae, ut anguli interni simul sumti parte aliqua, quae designari possit, u hus rectis sint minores, productae se secabant. Fig. l.

Demonstratio.

Sint rectae A et DC ad rectam BC normales, rectaque Ea ita ducis, ut ameiat eum rectaram angulum Assim finitum cogiton cur rectae A B et D crati ita quidem magnitudine sed tamen quavis data maiore A puncto D demissum sit pεrpendiculum in ad rectam A in illudque erit T. Theor. XXV. . Verum foetaram sine fine crescente ad perpendicula, in pervenitur quavis data magnitudine maiora coroll. I. Theor. XU. . Facile inde col igitur, perpendiculum Amam aliquando fieri posse, quam perpendiculum Din. Quare necesse est, ut meta in producta rectam ci productam secet. M. e. d.

36쪽

vel o I ii m. Si quis obsiciat, quae demonstrata sint nihil pertinere ad angulas infinite parvos, Is hoc responsum serat geometrae in elementis nihil commemei esse eum meris fictionibus, quorum nulla sit imago rei eonveniens et quae tantum per signa possint exprimi pro arbitrio sumta. Quando de angulis geometra i quitur, eos intelligit, qui construi possint. De finitio II. Linea ab aliqua recta aequidistans est, essius perpendieula omnia ad silan rectam demissa inter se fiunt aequalia.

Definitio III.

curva est ad aliquam rectam onova, si omnes eius chordae intra curvam et rectam cadunt.

Theorema XXVII.

Si parallelae sunt divarie antes, linea aequi distans, si modo esse potest, curva est et eo ne ava ad eam rectam, a qua aequia distat. Fig. 22. Demonstratio.

In punctis A, B, C recta AC aequali intervallo inter se remotis adis tam C erigantur perpendicula A D, E, I aequalia. tincta igitur D, E, F sita erunt in linea a recta A C aequi distanti metis tectis Eme EF, iisque in binas aequales partes per puncta I et K divisis, dividantur pari ratione partes Ai et B Cristae AC per punctam et . Duetis autem rectis I G et ΚΗ, erit DIG EI G ΣΕ ΚΗ - ΚΗΣ coroll. I. Theor. II. et Ioe DB, σα D A porro ΚΗ ΕΒ, vi IC. Puncta igitur Petra infra lineam aequidistantem erunt sita. Erit quoque GDem, et BE IVR Theor. VI. b. sed A DI BKI coroll. I. Theor. II. . Eadem ratione B ΕΚ R, F Κα R. sed B EI, FAE. Ducatur recta P ad punetum E normalis. A quolibet puncto P eius rectae demittatur perpendiculum P Q ad rectum A C, eritque DB. Theor. VI. b. Omnia igitur puneta recta MN , praeter unum , supra lineam aequi distantem sunt ita. Quare curva erit haec linea Quum porro sit Amm BC, reeta per puncta D, F ducta erit normalia ad B E coroll. 5. Theor. II. . Quumque sit B EI

37쪽

R. areabit illa recta, per puncta meta ducta, rectam B in punctora infra pumetum L ito Quapropter M tangen erit curvae, rectae autem DR F, ΙΕ, ΕΚ erunt eius chordae. Unde sequitur, lineam illam aequidistantem et esse curvam, et ad rectam Ac, a qua aequidistat, concavam. Q. e. d. et o leti m. Posui equidem, puncta Illa aequidistantia sita esse in linea quadam verum si ad vivum rem resecare volumus, positis parallelis divarieantibus omnia puncta, a recta aliqua in eodem plano equidistantia, nullam lineam possunt emeere, sed semper dissita et diseret manent, quin, quamvis propinqua etiam perinpendicula fingas, tamen iis crescentibus intervalla quoque punctorui crescuut. Ita ratio est circuli, ubi alterum radii punctum motu continuo lineam deseribit. Iline iudieatu est facile, quid existimandum sit de iis, qui quasi suo iure posum runt, illa puncta aequidistantis vel ait esse in recta, vel rectam aliquam Scere, et qui hoc demonstrare sunt conati, ut Italus ital Giordano a Bitonio in Euelia de suo restituto Romae I630 et r. Gotu. anhe in dissert Lipa Irai.

Τlieorema XXV IlI. Parallelae sunt aequi distantes Fig. 25.

Demonstratio.

Sint rectae A B et GT ad rectam in normales ideoque parallelae, lineaque BFD a metam aequidistans. In hac alicubi punctum ita sumi potest, ut meta per puncta B e F ducta cum recta AB efiiciat angulum A BD sinitum. Nam si eiusmodi punctum in linea aequidistanti nusquam esset non esset ea disia iuneta a reeta A B. sed eadem. Iam vero illa rectaram a puncto F versus punctum D semper erit supra lineam aequidistantem, productaque rectam cc prod etam tandem aliquando secabit Theor. XXVI. , quam secare numquam potest a quidistans. Quod quum absurdum sit, necesse est, ut linea aequidistans cum Geta Am eoalescat, seu ut parallelae sint aequidistantes. N. e. d. o mo Lin Hii m. Valent itaque, quae in theorematibus II, VIII IX et tertio loco sunt posita.

Pag. o. linea 6 ab imo post productam recans addas: itare et CD prodi et smabit H F. et cDF non potest esse zm R. Ergo parallelae non possunt convergere.