Supplementa in Euclidem

21쪽

M Si perpendicula, quo longius a recta, ad quam parallelae ductae sunt, dia stant, eo magis crescunt, hoc necesse est fieri ad utramque partem rectae, ad quam ductae sunt, Schol ad Theor. II. dicunturque parallelae divarieare.

e Si perpendieula quocunque intervallo a recta, ad quam parallelae ductae sunt, distant, eadem manent, parallelae dicuntur aequi distare. Theorema VII. Perpendiculum demissum ab una parallelarum ad alteram eum ea a qua demissum est, ve obtusum angulum acit, si parallelae sunt converge hi es, vel acutum, si sunt divaricant etive re e tum, si auut aequi distantes Fig. 5.

Demonstratio.

Sint reetae GD ad rectam Ai normalec; demittatur a quolibet puncto perpendiculum BC ad rectam G. Iam a Si parallelae sunt convergentes , erit B c in D. Sit CC in D; ela coroll. I. Theor. Il. CD mi AE ergo CBA AEA D. N Si parallelae sunt divarie antei, erit BC in D. Sit Domini erit Go-L Theor. II. CF DA F. ergo S A I A D. O Si parallelae sunt aequidistantes, erit BC in D, ergo coroll. I. Theor. II. cBΑ ΣΑ - R. s. e. d. Theorema VIII.

Reeta duas parallelas secans, neque per mediam rectam, ad quam ductae sunt parallelae, transiens, angulos alternos cum ita facit vel aequales, si parallelae sunt aequi distantes, vel inaequales, si sunt aut convergentes aut divaricantes Fig. 7. De mons ratio.

Sint rectae A B, C ad rectam BC norm lea Ductum a quolibet puncto Hperpendiculum H G ad rerum in dividatur tu duas aequales parte puncto I, Nque per hoc ducatur rectaram utramque parallelarum secans Lun

22쪽

Q Si parallelae sunt convergentes, erit HG BC et Theor. VII. G rem R. Quum g turi L HG, H FIG, Imm JG D: sit triangulum FGI triangulo vi K I FG, Irim Quia autem LM G IF G, erit quoque LM G

Irim Minoris anguli apex propius abest a recta, ad quam parallelae ductae sunt, maioris anguli apex ab eadem longius abest.b Si parallelae sunt divarieantes, erit AEG, BC et Theor. VII. G HI QR Quum igitur I IG, IK FIG IH ΚαIGD: sit triangulum I G R. triangulo I rex, EG IKH. Qui vero LEG, IM G, erit quoque IN G

I M. Maioris anguli apex propius abest a recta ad quam parallelae ductae sunt, minoris Ioagius.

e Si parallelae sunt. aequiussistantes, erit RG zBc, et Theor. VII. GH B Mic R. Quum igitur L IG, HIAE MI G, I ΗΚ IGM. eris triangulum I Η ΚΓ triangula MIG et I G - Ι Η Q. e. d. Corollarium. Fig. 8. Si suntl A, B, c, GD ad rectam Amnormales,

ducta recta AG Ias rectas amante, erit G si parallelae ponuntur eonvergere, RAE

de aesti negotio olligitur si parallelae vel divariceo vel convergant, nulla omniano esse posse triangula similia, omnemque prorsus figurarum similitudinem interea esse reserenda, quae locum habere nequeant. Quam ob rem, qui ostendere potuerit, deseribi posse triangula similia, is simul demonstravehit, parallelas nec eo vergere posse ee divariore, ideoquo totam rem tot tantisque doctorum disputati nibus elebratam expediverit. Verum enim vero, qua ratione id fieri possit, quiadem dispicere nequeo. Est quidem huiusmodi quod mente conceptum habemus, ut nihil insit, quod repugnet, et phantasi promta videtur esse imaginem hule reiaceommodatam suppeditare, nillilominus tamen intelligentiae non est satisfactum, quae postulat , ut ratio reddatur imaginis animo descriptae, unde totius rei facultas appareat, ne imprudena in errorem inducatur.

23쪽

Veii eo a IX. Summa angulorum in quocunque triangulo est vel 2R, si parallelae sunt convergentes, vel 2 R. si sunt di varie antea, vel 2R, si nunt aequi distantes. Fig. 9. Demonstratio. Sit DBC relangulum, rectangulum habens ad punctum C. et recta AB ita dueta, ut sit A BC R. Iam

Quum vero unumquodque triangulum perpendicula aliquo in duo triangula rectangula dividi possit, sequitur, in omni triangulo summam angulorum esse vel, 2R, si parallelae sunt convergentes, vel 2R, a sunt divaricantes, vel 2

sunt aequid istantes. M. e. d.

Theorema X. Angulus externus cuiusvis trianguli est vel minor duobuε internis oppositis simul sumtia, vel maior, vel aequalis, prout parallelae sunt vel convergentes vel divaracantes vel aequi distantes Fig. IO.

Demonstratio. Sit ABC triangulum quodcunque produciturque latus C. Iam a Si parallelae sunt convergentas, erit Theor. IX. - cir et R. Sed

24쪽

Theorema XI. Si ponamus, parallelas esse convergentes, duae rectae in e dem plano ad aliam rectam ita ductae, ut anguli interni simulsum ti parte aliqua quae designari possit, duobus rectis min res sint, productae se secabunt Fig. II.

Demons rati αReetae A et C sint ad rectam EF normales. Recta DE saciat cum recta Mangulum Assii sinitae magnitudinis, eritque D DF C FAE MI R. Si aD EF ductaque rectam L, sit rursus HG G E. Erit itaque Theo x in Gam GH Κ' ΗΕ.G. seu GFQ2ΗEG. se autem Theor. VIIl. ABG LGKerit itaque A EG 2 H EG, seu a AEG ΗΚ G. Verum angulo in duas partea

alequales dividendo , dimidiumque eius iterum te dividendo et eadem ratione pergendo veniri tandem potest ad pariem anguli angulo quovis dato minorem. Hie a tem ab angulo plus quam Gnidium aufertur, ab illo rursus, quod superest, plus quam dimidium et sic porro venire igitur possumus hac ratione ad partem aliquam anguli reliquam quovis dato angulo minorem. Quare constructionem . qua usi sumus, iterum atque iterum repetendo ad punctum tandem in recta C producta autum perveniemus per quod et punctum recta ducta cadet intra crura anguli AED. Quare recta Det producta rectam C productam secabit. s. e. d.

Corollarium Positis parallelis divarieantibus erit vicissim A DG ac res CGF, G in t G ΕΗ, seu GF 2GΗΕ, seu vi EG F. Indo

est perspicuum, a sic pergamus, posse perveniri ad angulum aliquem viae quovis dato minorem, seu super rectam quamcunque datam posse triangulum conia strui aequicturum, in quo angulus, quem crura viciant, minor ait angulo v via dato.

25쪽

Theorema XII.

Parallelae non possunt esse convergentes Fig. I2. Demonstratio I. Reetae A et HG, quae sunt ad rectam BG normales, retromum produca tur. A quolibet puncto Grecta AB retrorsum productae demittatur ad rectam productam H G perpendiculum EF, quo sursum producto, quoniam parallelae ponuntur convergere, erit Theor. VII. et Schol ad Theor. I. BEF R, ideoque B EO R. Quare ex puncto B perpendiculum B D ad rectam FG productam mmissum et retrorsum productum cadet infra rectam Aa, facietque cum ea angulum ABC, eritque Boe HGBV2R. Patet autem ex Theor. l. a reeta BC producta secari rectam H G productam. Uerum quum sit Cia via D MI R. non poterunt se secare. Quoniam haec sibi repugnant, colligitur, parallelas non posse convergere. s. e. d. Demonstratio II. Fig. I: Recta et sursum producis duci potest per punctum B recta aliqua, quae utramque reetam rem et D productam, secet. Sit illa IX. Haec recta circa punetum a vertens ita, ut intervallum I crescat, tandem aliquando desinet rectam H Faeeare etiamsi eam in infinitum productam fingas Antequam vero hoe sit, angu- his B P siet minor angulo quovis dato Angulus enim ita decrescens continuo de-erescit id est, per omnes gradus minores, qui quidem cogitari possunt minuitur. Quamdiu autem rectara rectam productam H serat, tamdiu erit AB IMBIG Theor. Vlli. . . Proinde et AB se aliquando minor dato quovis angulo. Quare recta I dum circa punctum C se convertit cadet aliquando intra crura anguli a BG adhue rectam vi productam secans. Q. e. d. Seholium. Quum demonstratum sit, parallelas non convergere, in seque tibua ponemus , eas divaricare.

Problema XIII.

- ire datum hic anginam aequi laterum Ita Ireulum deserib re, ut apices angulorum in circuli ambitu in altae Fig. II.

26쪽

In Mnas artes aequales per rectas Aa et ci se Mantas in puncto . Ex hoe puncto radio a describatur circulus, cuius ambitus per punera A, B, cibit.

Demonstratio.

Quoniam anguli AC et B c Ain binas aequales partes per recta AE et D sunt divisi erit Ac DC A. et c Κ, ΒΑΚ α BCK. Quia porro BG, erit quoqne triangulum a triangulo Cim , indeque A BE Ciri, et angulus uterque a Am, ideoque B M in K. Quum itaque sitis Κ- ΒΚ c Κ, laeuli ambitus ibit per puneta A, B Q. e. d. corollarium I. Recta AE, BI, CD dividunt latera trianguli AB cla binas parres aequales, itemque ad circuli ambitum productae arcus, quorum chordae sunt illa latera.

corollarium P. Quoniam GKB BKΗmΗΚceet. duetaereetae G B, B H, H C et erunt inter se aequales. Inde apparet, posse describi hexagonum Iateribus et angulis aequalibus. Corollarium S. Quum ΗΚ σ-IR, erit eius dimidium ΗΚ mri R. Quare ab hexagoni aequilateri constructione pendet quoque constructio tertiae partis anguli recti. corollarium 4 cireulo ex puncto Κ adla Κα 2A deseripto recti me B, A, C ad circuli ambitum usque productis, ditetae hordae is, 3πια, novum constituent triangulum aequilaterum quumque sit mini cis a B c

Κ β γ Theor. VIII. b. Sehol ad Theor. XII. erit quoque Aic αβγ. ine

Deilo intelligitur, in triangulis aequilateris, quo maiora fiant latera, eo magis anguinios decrescere. η

. In figurarum deIIneatione loeorum ne istIaa in ausa suerunt, queminus recta C, quemadmodum eontextu iubet, posset produci propterea etiam deest iterula graeea . quam tamen saeue quilibet cogitation potest adiicere arcum si usque ad produetam Κ perducendo.

27쪽

Theorema tri

In nullo triangulo aequi latero, quantacunque sint eius I. ra, angulus minor esse potest angulo quovis dato. Fig. IS.

D monstratio. Omnem angulum, quem rectae faciant, maiorem esse eo, qui a duobus aren-bus efficiatur cummuni tangente gaudentibus, notum est Euclid librali prop. 6. Per se quoque intelligitur, quicunque angulus in partes possit dividi, quae singulae sint magnitudinis initae, quarumque numerus sit quovis dato maior, eum non posse esse quovis angulo dato minorem. Cogitemus latera trianguli aequilateri Aa magnitudine esse quavis data maiore, etiam arcus ex verticibus A, B, C radiis C. AB, B ducti, qui omnes cadent intra circulum, qui triangulo est circumscriptus, quosvis datos arcus superabunt, et quilibet eorum reuum dividi potest in partes sinitas, quarum numerus sit quo is dato maior Duetis radiis per puncta divisianis quodlibet radiorum inter se proximorum par includet angulum par uum illum quidem et oreasse quovis dato minorem, sed tamen finitum, quia cho da ex constructione est orta et latera, quamvis magna, finita tamen cogitantur. Unde essicitur, summam Ilorum angulorum, quorum numerus quovis dato sit maior, angulum non posse constituere quovis dato minorem. N. e. d. Seholium Angulus uitus est cuius chorda intervallo a vemee nito est finita. Inde etiam anguliis quovis dato minor finitus est data eius chorda intervallo a vertice nito. Etenim in angulo quoque quovis dato minore, latera super Aordam datam cogitantur non infinite magna, sed quorum construetio ni o aliquo tempore possit absolvi. Neque vero quaelibet linea data in partes dividi potest s-nitas quarum numerus sit quovis dato maior, sed ea tantum, cuius magnitudo quoque ait quavis data maior Divisio quidem ipsa cuiuscumque lineae nullis sinibus est circumscripta sed partes tandem aliquando desinent essa finitae magnitudinis. Alia ratio est arcuum quorum chordae sunt latera trianguli aequilateri, quae quum quavis data magnitudine saeta fuerint maiora, etiam arcus quamvis datam magnitudinem excedent. Verum enim vero, quum probari non possit in geometria

elementari, chordam arcu suo esse maiorem, nisi cogitatioiae fingas, arcum ex Iineis rectis, insinite parvis, esse compositum, qua finiti temporis constructio non

28쪽

potest rappeditare: non me fugit, opponi posse etiamsi Iatus quavis data magnitudine sit maius, inde non necessario sequi, ut eius areus quovis dato maior evaserit. Quare ad vitandas has spinas subiuncta est.

Demon Gratio II. Si ad punctum K in reeta quae fingatur in indefinitum producta erigatur perpendieulum X, nemo negabit, ad iterum rectae punitum , etiamsi intervallo quovis dato maiore a priore puncto distet, sub angulo aliquo sinito retiam posse iungi ita, Ni perpendiculum, ad punctum Κ erectum, aetet. Supra rectam in construatur triangulum aequilaterum B X H. In quo si angulus minori nitur angulo quovis dato ex huiusmodi triangulis componi potest polygonum, cuius Iaterum numerus quemvis datum superet. Nam ex eo, quod posuimus, sequitur, angulum Brim quatuor rectos, qui summam constituunt omnium angulorum in e dem plano circa punctum K aliorum , ut plures partes divisurum esse, quam quot numerus quivis datus uuitates complectatur. Nihi pertinet ad demonstrationis viin, si inges ex illis tri gulis componi posse polygonum plane aequilaterum, quoniam ex circuli area pars possit superesse minor, quam area trianguli huiusmodi aequil terio Sit numerus partium erit igitur polygonum, laterum, quorum n - 2 intra anguli 2. im rura cadent, reliquorum alterum erit aeta Quoniam ex hypothesi angillus ae N non multum a Neto, angulus vim non multum a duobus rectis distere, non potest latusim productum perpendiculum Q secare. Quare si est angulus B angulo quovis dato minor, recta aliqua ad punctum B sub angulo, quovis dato minore, iuncta non poterit secare perpendiculum X N. Quod quum sit per se absurdum, eonsequens est, in nullo triangulo aequi latero, quanta-eunque sint latera, angulum posse esse dato quovis morem Q. e. d.

Theorema XU.

In quocunque angu Io perpendicu Ium a puncto aliquo rur Isad alterum erus demissum maius est quam duplum eius perpe diculi, quod demissum est ab eiusdem cruris puncto euius ab apice intervallum dimidium est intervalli prioris p e,rpendiculi ab eadem apice.

29쪽

Demonstratio.

Si angulus ditiis A et Ar et B. x punctis F et B demittantur perpendieula D et B c ad rectam A C. Pen endiculo DF aureum producto donee sit m DF D, ductaque recta in erit triangulum B in I triangulo AI K. ideoque i in assi R. Est autem Theor. VII. . DE OBG, seu 2. EI OB C. N. e. d. Corollarium I Quum unumquodque perpendiculum maius sit quam duplum eius perpendiculi, cuius ab apice distantia dimidium prioris est sequitur, in quoeunque sagulo, modo siuitae magnitudinis ad perpendicula posse perveniri quavia data magnitudine maiora. corollarium P. Facto C A in et Aa productisque perpendieulis D BC usque ad reetam Α Η, erit D; EF, CH CS et 2 FG 4BM. Iudaeolligitur, hordas inter crura cuiusque anguli, si parallelae divaricent, magis ere cere, quam dignitates numeri . Corollarium I. Parallelis postus equidistantibus erit Aa BC.D E G Theor. VIII. e. indeque 2 FG Sm. Apparet igitur, chordas intererer cuiuscunque anguli siquidem parallelae sint aequidistantes, crescere ut dignitate numeri . Theorema XVI. Chordae inter erura cuiuscunque anguli non ita possunt e re eere, ut unaquaeque sit triplum eius, cuius intervallum ab

apie dimidium est prioris. Fig. Iru

Demonstratio.

Si angulus datus AH, AF FB AG G H. et Aa m FG. Iam

si ponamus esse B H FG, hac crescendi lege servata intervallis 2 FG, 2 FG. I. FG ... FG respondebunt ordine hordaea G, 5. FG. 5 .FG, 5 .FG. . . . 3 .FG. Verum β.FG 52 Fc et S .FGmini. FG chorda igitur maior erit, quam radii duplum, id quod absurdum est, quoniam in quocunque triangulo du

30쪽

ram laterum summa maior est terso. Si omnino AF m. FG, In seria ehord rum , illa lege crescentium, semper una erit - 5 η' .FG, maior quam duplum eius

intervallum a vertice, id est, maior quam 2.2n .m FG, quicunque tandem estis merus , quum numerus n possit in infinitum crescere. Quare perspicuum est. chordas Inter crura uiuscunque anguli non ita posse crescere, ut unaquaeque sit

Supra datam re et a triangulum potest construi aequi crurum, cuius alterum erua productum tangentem anguli, duobus illis eruribus inclusi, secet. Fig. 15. . Demonstratio Supra datam rectam si angulus B CD potest construi quocunque dato minor

Coroll. ad Theor. XI. . Ex puncto C radiis c D c et E VI CO dura tur reus Di et EFG, et supra punctum D erigatur perpendiculum DF, quod erit tangens anguli BCD. Dueu reetis D et C F erit Ea C triangulum aequilaterum, nam O missi DF m DF; FDC, FDE, inde triangulum FG tam triangulo L et propterea R ID CL; et quum angulus BCD sit quovis dato

minor, angulus autem trianguli aequilateri non possit esse quovis angulo dato ianor Theor. XIV. crus B C anguli BCD adet infra latus Fc trianguli EF c. Quare crus Rc productum secabit tangentem DF Q. e. d. Demonstratio II. constructione eadem manente sit D; m m. Da erit DF I. D I. m. DB. Iam vero si ponamus, quod Theor. XVI. locum habere nequit, chordam anguli DC B intervallo ET M. 2. DC a verticem esse I. D B, erit tamen . .

Dii 5. B, quare erus dic anguli dic D productum secabit tangentem D F. . e. d.