장음표시 사용
11쪽
of - - ylindrus ellipti eus. Ita enim exeidit membriu in quo si x- melubra reliqua restant positiva; laque secant planuma omniaque huic parallela superficiem in aequalibus aequalitemii silis ellipsibus, quarum maiores axes, qui paralleli sunt axio Cylindri axis silus est in axi , cum aequalio non pendea n x. Unicuiquox extant singula centra, ergo inniunerabilia Superseius habe centra, quae omnia sila sunt in axi cylindri. 4 os ζ et superlietes hyperbolie, hyperbolica, ut sub Il.
B. Si eo, quod coel sciens quantitatis aut x auia evanescit, membrum constans aequationis . in I. . in mutensum crescit, hac aequalione uti iam non possumus, cum c axes superlicio crescant in immensunt, itaque centrum e quo oriuntur eoordinatae immenso intervallo dista a superlicie. Utendum es igitur iis aequalionis translamationibus , quas habemus sub 6. et . in g. 2. Erat autem altera haecce:
ne cnim superficiei et milhim planorum parallelorum plano FZ, quoad let quanilista
est x, sunt ellipses, quae degenerant in punctum in plano TZ ipso sectiones planorem Tel Z, nin iiiiiiiiii his parallelorum sunt parabolae, quarum axes paralleli sunt axi positiva ruiti negativarum μ. in cos reela, fila in axio, quoniam aequationi secundum has onditiones salisseri non potest nisi et D. 74. sin i, - et eos superficies elliptico parabolica, similiter atque stib9 a. 9 a. sin λυ - 1 et eos cylindrus parabolicus. Quibus conditioniblis salissi, si a - et o, i. e. si planum dulum sub N. i. g. l. es paralleluia plano T. Mutaturque aequali in 2 s xi ei demonstrat, omnes sectiones planas parallelas plan AZ lamare aequales aequaliterque silas
parabolas, ut ipsius plani Z, tiarum parabolarum η ς Funi P 'ralleli l. bihi; . iiiiii
II. Si volumus esse ιι - , utendum est transirinalione N. 7. I. 2 aeqitalionis ritiaci palis superscierum secundi ordinis. duo si ponituus in
prout valet signum supelius aut inserius eius memini aequationis 3. quod eontinet x.
12쪽
transit in - eos r 1 sin cuius aequalionis natura demonstrat, superficies ea significatas um ire esse ad plana X otra, ergo, cum sint orthogonales coordinatae, unum axem principalem silum esse in axi . Significaturquo ea aequalione, si praeterea 10 a. sin v. ei cos superficies hyperbolico- parabolica Plara enim secat superii ciem in duabus rectis, omnia luna huic parallela in hyperbolis,
sunt planum X et huic parallela seca eam in parabolis, quarum centrum infinito distans est
infinito distans est in parte quantilatum T. 10 b. sin ii in eos P lamenaei superficies hyperboli eo parabolica, si- ac sub illa. b. in υ - 1 et eos ς - I, idem valet, quod sub Ta. habemus ergo eundem Sti
drum parabolicum. c. 'Praeter quantitate eonflantescit , osq, sin i mulari quoque potest xi . Non potes autem in universum eiusmodi mulatio vim habere nisi in dimensiones superficierum, quum x, non inveniatur nisi in membro constanti. Peculiare autem habemus casus, si x - ο; significaturitu aequalionibus . . . si praetereali ιι-aecos P superiicies olliplica, cuius axes sunt itanile parvi, sive punctum. a b. - μ γως - conus, cuius axis est Silus in x X si ιι α est. a. , cuiusque axis silus in axia, si μὴ I. Νb. eos P reela, ni sub N. 8.12. μὴ - plana duo se inuersecantes. Aequali enim transi incos dissolviturque in duas aequalione pri ni ordinis: duae aequationes, quum non pendeant ab I et egeant membro constanti, plana, quae definiunt se se eant in axi .i3. Denique si . - 1 et eos- - - planum unum, quod incidit in planum XΥ, quum transeat aequatio in L - . Qua diximus in paragra lilio illa sin collata in breviario oceo.
14쪽
Quaeritur nunc, quid aequaliones . et . in I. l. quid punctum alum, qui reela, quid planum datum significent, et per se, et in relatione inter se mutua et si reseruntur ad equillis nem generalem superficiei secundi ordinis. Erat autem ala recta, arisa primus. Puncto deinde re, ' a' , cuius distantiam parallelam plano dato eonstituimus raso id est eommime cum omnibus punetis eidei co ditioni subieelis, ut sint sita in Ilindro ellipii eo obliquo . Diuinis enim accentibus, si magis genera sim valet aequalio . . . transi in e D' in ca e. x q. b e by - 2abx i. mutando dein silum coordinatarum, ut in I. . in transformalione aequalionis generalis i. e. Statuendo X xt Osφ-ysinp, et Τ-Υcos'xsilis, ac deinde tg - saetio perspieitur prodituram esse aequationem huius formaec ly - a b c Jx e IL 2. sive, si respicis ad I 2. N. 3. i. e. aequalio cylindri, et quia quantitas D seeundum conditionem . in g. 1. est variabilis, aequalio cylindri variabilis. Est autem live aequalio ita transformala, ut axes prine pales eurva genitricis sint paralleli axibus eoordinatu celo, quoniam coordinatis orthog nalibus susceptis, sola quantilatum Variabilium quadrata inveniunt M. duas aequaliones, lacile perspicitur, non mulari, sive e positius, sive negat ira sit, i. e. sive aequali plani g. I. N. I. data sit ac by in o. sive ue . ac hy - α - .
uo modo autem se habet hoc utrumquo planum ad cylindrum: si es dem ei et plano Tintersectio, eaque noxii axis , at aequaliae et contrario est inclinatum, ei alterius quidem inelinatio , denotatur aequalione
alterius C aequalione 4.wcaδεbὸ ca 'Iam si placet ut his planis ita inelinalis ad nova plana XΥ, utraque transit aequalio Flindri Vel 33, Maluendo x in xycos , in - T , 6. unde elueet, uiruntque planum . id esse, quod, ut Omnia huic parallela Meet cylindrum in eirculis, quorum radius, D'. Non possunt autem esse non positivae, a , 3, 3 quoniam, si negativae imaginaria fierent plana 4. Ergo est eum cylindrunt gignens ellipsis, itaque cylindrus est ellipli eus, qui, quoniam non pendet aequalio a , normalis est in plano F et cuius axis est axis Z. i. e. Di me a lacla, quoniam initium eoordinatarum est silum ieentro curvae genitricis. Deinde, quoniam eos ζα1, axis huius eurvae parallelus novo axio maior est parallelo in X. Valor
15쪽
minoris in a b cybSi eos pines, sive a b -ο, utrumque planum in unum et in plauium inde eoineidit, et habemus cylindrum ire utarem qui est normalis in plano XL Definiuntur porro puncta, quorum locus geometricus quaeritur ad eam quoquo distant a meis dato xi, o, o . uae distantia signissenia erat quantitato D iam omnia haec puncta sita esse in sphaera, euius radius est , cuiusque centrum punctum datum xi, o, o . Nam si placet ponere initium coordinatarum in punctum aluin statuendo in aequalione T. g. l. quae omissis accentibus haec est D - Ἀ-x. Υ Φ Zy, 8. - - i, transi in Da is g , i. o. in aequalionem sphaerae cuius initium coordinata mes centrum e radius in D. Ei quoniam D, ob conditionem Z. I. I. variari potest, haec aequalita est sphaera variabills. Propositum autem erat, invenire locum geometricum omnium punctorum, quae utrique aequalioni simul salisserent, qualenus V m thesis proposita igitur nulla alia est nisi.
Loeum geometricum omni uin intersectionum cylindri variabilis ellipti ei et sphaerae variabilis, quorum radii sint in ratione cons lanii, quorumque res p. iidem axes eadem quo centra esse s nor sietem se eundi ordinis. Iam viilebimus punctum datum , eentrum sphaerae variabilis ad lineam alam, axemellindri artubiis, ita se habere, ut uncium datum sit alter lacus eius curvae secundi ordinis, quae nascitur Inlersectione superficiei et planio primi N. 9. I. I. et linea data directrix huic respondens Statuendo enim in aequalione . I. 1 Iino invenimus huius curvae aequalionem hanc: l ιι - Ix -c 2 - 2c xii cyxi - οἰ - D. l. Cuius curvae alter semiaxis habet alorem
valorem si substituimus quantilat 2 aequalionis . nobis suppeditantur socorum eoo
puncti dati, i, ergo punctum est lacus alter huius
16쪽
Statuendo deinde in aequalione 1. x- habemus i. e. ordinala punet imaginarii curvae l. in hac axi Z sili, aequalis est abscissae Dei. Ergo linea, quae iam est axis coordinatarum allor i. e. linea data est directrix, qua puncto dato eidemque soco alteri respondet. - Aequali universalis preMierum semividi ordinis, qualis est in g. l. N. 9. demonstrat quantitatem e non inveniri nisi quadratam ut in I. antee in cylindro variabili gignentia, itaque suturum fuisse, ut Midem nequalionem, eoque modo a quoque quae ab ea derivatae suu g. 2. NX. 5. 6. 7. invenissemus, si pro plano dat N. i. g. l. iax by Z- duluin suisset I 6. ac by - cinis. Quae plana autem ad ustemata coordinatarum aequationum . . . in . . illa se habent ut intersecti communis utrique et plano F parallela est axio e ut inelinatio eorum aequalis et contraria ad planum ut in I. antee. signisseatur aequationibus
Ordinatam incidenrem in direetrieem curvae seeundi ordi ius, aequalem esse distantiae socia illa multiplicata eum H i ii universo demonstrabimus. Aequatio universa et ellipsis tarperbolao, at initium eoordinatarum in axi maiore, si vis in enuo, est Huiui, hae mittix εθα - - .
Disianua dimetricis a enuo est tertia preportionalis ad exemtricitatem et ad x in aequatione
Dislantia autem loci a directrice, sive disserenita disianuae directaeis a entro et euentrietiniis est
Quem valorem si substituimus quantilati , habemus
17쪽
et . . . ulam si placet uti planis ita inelinalis ad nova plana X ul l filii ne nil
xuin cet demonstrant, oesseientes quantilatum, esse inter se aequales, itaque et utrumquoplanum et omnia huic parallela superficies his aequationibus significatas, serare in circulis. Si os i, sive a - et o, utrumque planum in unum idque in planum XΥ eoincidit, quibus onditionibus videbamus, olindrum fieri ircularem, et supersietem rotatoriam. Iam et in patet et ex eo quod diximus in s. praec., locum geometricum omnium intersectionum cylindri cireularis variabilis et sphaerae v riabilis esse supersiciem rotatoriam feeindi ordinis G. Desiniendum nune erit, quid signiseent quantitates onstantes. duo onsilio si prose seimur ab aequalione . I. . sivea ea
quippe quae vale in eoordinala orthogonales edocemur eius sorma, nilium coordinatarum silum esse in centro, axes coordinatarum in axiuus principalibus superficiei itaque tria plana coordinatarum teriam habere rationem ad superficiem, ergo pendere a Gaulitalibus 6 eonstantibus. Nec non datae sunt quanii tales 2 eonflantes: -- -
18쪽
qu0d esse non potest nisi aut cos7i , et inpi-l, aut ossi 1 et sinstimo. Allera onditio est respuenda, quia Hett
Allera conditio, qua axis noviso eoincidit in priorem Teii, ut sit
Quae condisiones conveniunt binis directionibus planorum liorum:
m . . Est igitur summa quadratorum ambarum conflanlium aequalis quadrato augentis r gonometrica inclinationis planorum eorum, qua secant superficiem in circulis. Est porro in aequalione leonstans , qua Species sui erficiei determinatur eis. g. . . Quid significet hac in constructione, in demonstrabimus. Si traiisso a inus aequalionem ita, ut in ilium coordinatarum transponamus inpune lum X-α θ' ita ui
19쪽
Ilaque ita est ratio eoiislans radiorum Sphaera variabilis ad radios cylindri elliplici variabilis, cuius sectiones circularcs eodem modo sunt inclinatae ad planun XΥ, quo Meliones circulares supersei et in litibus centrum sphaerae variabilis est alter oeus ius curvae, quae nascitur sectione supersei ei et, quod tunc est, plani Z, cuius directrix respondens est xis cylindrivari ubilis. uoniam per constantem ιι est constituta ratio radioruin sphaerae variabilis ad radios cylindri variabilis, in quo ratio axium elliptis gignentis pende ab inclinatione sectionum circularium in planum cla I. . . . : constantio elium ratio axium sui efficiei ad inclinationem sectionum circularium in planum XΥ, constituta si est. I. . . Superes deni lueeonstans i, quae est in solo membro constanti aequalionis i non potes igitur vim habere, nisi in dimensiones superiicierum, si nihil mutatur in reliquis conditionibus, Pt eo, ut maior nul minor fiat efficere, ut superscies maior aut minor at celerim sui similein teneat formam. Quod nil ineln hanc constructionem, i Si distantia suci, de quo modo ginius, a dirotirie huic respondente. Aequalio generali, nostru superficiorum secundi ordinis pendet igitur a constantibus planorum coordinatarunt desinitorum; constantibus litibus desintulitur inclinationes sectionum circularimn in
planum XΥ; constanti μ, qua definitur ratio axium superficio nil illam conflatili xi, qua desiniuntur dimensiones stiperficierum, orgo ara constantibus. Uuuii iam autem superlicies secundi ordinis novem constantibus salis est desinita a complures humili decem eatenus sunt arbitrariae, ut binae Singulis quanti lulibus imbraicis in aequales. Perspicuum est, nec ullum ex constantium quae alae sunt planis coordinatarum, nec ιι, quippe quae constituit rutioncm axium ad sectiones circulares in una eademque superficie, barbitrarias esse posse. Quod aliter se habet in constantibus In des nienda inclina
lione seelionum circularium ad latium X ratio tantii in liabetur sui lima quadratorum constantium ' et , quae aequalis erat quadrato langentis inelinationis c sectionum circularium ad
planum axium principalium T. Iuliam a Diu lanitim constans si necesse est, et si quidem
20쪽
sive si rationem habemus aequalionis T. In quo membro iii inveniatur constans . arbitraria secundum anteestilentia, altera quoque nrbitraria insit necesse est, quae nulla esse poles nisi xi. traque eum inveniatur in numerulore, is tantum constans ponatur necesse est, si vis
Ex qua aequalione et ora. 7. invenimus, si sumimus constantem arbitrariam independentem:
Pendet autem ab his arbitrariis eum silus plani, in quo est contrem Uliaerae variabilis et axis Ilindri variabilis, lum distantia eorum. Cuius plani aequalio, quae valebat in eoo dinalis priinis erat D- o. uam si translarmamus secundum soranulas, quibus usi sumus ad transformundati amuulionem . in aequalionem . I. 2. habemus L nybxi a ba
sive si respicimus ad aequaliones r
Arbitrarium est hoc planiun, quum eonstans arbitrari L inveniatur in hac eius aequalione. Transi tum tantum initium eo ordinatarum, si velis in vel a - o, i. e. si coincidit in planum axiuin principalium velo vel Z. Unicuiquo horum siluum arbitrariorum alius axis erlindri variabilis et aliud centrum Sphaerae variabilis datum sit necesse est, et nunc interest, constituere loca geometrica homins Xium et centrorum. Daiae erant in . . coordinatae axis cilindri variabilis aequalionibus
ο- eoordinatae sunt variabiles, si sumimus, quantitates , i emo arbitrarias. Tum invenimus locum geometricum reelarum alarum, sive axium Tlindrorii in variabilium, si iamus X utraque aequalione . et ex hac utraque quantitates i, et si deinde eoo dimias ponimus esse variabiles resp. aequales cc T. Dehinc ubeinus: