장음표시 사용
11쪽
ri ME erra NI CORVM ΗVLs II cularem augere vel minuere: ita sequentia docebunt rectilineas superficies planas, in alias homologas, seu similes, maiores vel minores transmutare. Sit triangulus A. B. C. augendus in alium triangulum, ita, ut multiplicatus vigesies maior sit dato. Nodus Circini ad ro. mouetur,& quoniam de auctione trianguli quaeritur, breuioribus cruribus Circini latus A. B. accipiendum,&longiora crura latus trianguli vigesies maioris A.b. ostendent. Simialiter & reliqua latera Α.C.nimirum & B.C. trianguli. breuioribus cruribus metiri, & ad maiorem triangulum transferri possent.
Sed hoc superuacaneum esset, per propositionem 2. lib.6. Eucludis, quae demonstrat,quod linea parallela uni lateri trianguli per triangulum ducta eum secet proportionaliter. Quapropter in dato triangulo linea B. C. parallela ducitur ex puncto b. quae erit b. d. Deinde linea A. C.producitur,donec parallelam attingat in puncto d. atque his lineis triangulus describitur A.b. d. qui vigestos maius est triangulo dato, A. B.C.Et hi trianguli iuxta .lib.6. Euclidis similes & homologi sunt, quoniam anguli in ambobus triangulis aequales sunt. E Consimili modo etiam superficies A. aut pIurimum laterum, beneficio huius Circini multiplicantur aut minuuntur. Quoniam autem illa valde irregularia dari & occurrere pes sunt, ita ut lateribus in iusta proportione constitutis, tamen Προ-rae seu schemata datis schematibus prorsus dissimilia prouentiant, angulis non obseruatis, ut in subiecto exemplo videre est,in quo latera quidem proportionalia; figurae autem A.& B. plane dissimiles sunt: ideo, ne erres, primum omnium superficies eius. modi inaequalium laterum, per ao. proportionem libr. 6. Eucli dis, in triangula diuidendae runt pertineas,quae ab uno angulo ad alium ducuntur,postea singuli trianguli multiplicatur, & latcra, quae in superficie proportionali seu multiplicata, rursus coniungenda sunt, ut in proposissigura F. iuxta F. videndum: nam
planicies A.quadrupla est ipsius B
12쪽
Item Agricola quidam emit agrum 8s. Ioachimicis,cuius la- tera ex utraque parte aequalia sunt, eiusque longitudo M. perticarum alitudo vero agri est I porticarum. in ea vero diametr iis a duobus angulis oppositis est 3 F. perticarum. EX hoc agro partem aliquam simili forma, ecproportionato pretio vendere vult pro i7. Ioachimicis, quaeritur numerus perticarum longitudinis & latitudinis, item distantia unius anguli ab altero opposito In hoc exemplo primum obseruandum est, quod quoniam superficies haec Circino comprehendi non potest, in minore figura homologa res proponenda est,quotque perticas quodlibet latus agri Cotine i , tot perticae in regula diuisoria numerada sitn t. Dehinc in dato pretio II. Ioachimicorum quaeritur, quanta fit diminutio ξ Et quoniam I p. quinta pars est cx8 s. aestimatur agrum minorem quintam partem esse dati, nodus Circini ad s. mouendus , & longioribus cruribus latus A. B. accipiendum, dc minora crura latus A. b. minoris agri prodent. ita similiter A. C. maius latus dat Α. c. minus latus. & eodem modo reliqua ex reliquis fient, si compendio ducendarum linearum parallelarum uti
Atque ita haec pars agri pro I Ioachimicis continet in longitudine perticas prope id. in latitudine 6.& I 2 pedes,& ex angulo R. ind. perticas prope Isi. quae omnia beneficio regulae diuiruriae inueniuntur,si unum latus diminutae figurae applicetur. H Item quidam agrii habet,cui alterius cuiusdam agri angulus insertus est, ita ut figuram reddat, qualis est subiecta, A B C D EF. Hunc agrum pater aliquis liberis suis, diuidere vult, ita tamen, ut quatrantem eius filia, reliquum duo filii capiant,aequaliter inter se diuidendum. Quaeritur, quomodo diuisio sit instituendaὶ in hoc exemplo quoniam agro aliquid decrescit, ut proinde diuisio operosior fiat,superficiei datae rursiis addendum est tantum quantum requiritur, ut quatuor rectis lineis concludatur, quod ut per extensionem linearum C. D. et A F. ut lineae punctatae,
13쪽
n MECHANIC ORVM Hvis II, quae in G. concumInt, ob oculos ponunt. Deinde nodus Circinis usque deque mouendus, donec longiora crura A. G. lineam, dc breuiora F G. pariter attingant: hoc iacto, latus Circini, in quo adnotatum est: ptinorum augendo: indicabit superficiem additam G FED. esse septimam partem totius superficiei A B C G. quare reliqua, qualis addita est, sedecim comprehendit. Quoniam igitur filia quartam agri partem capere debet, quatuor harum superficierum capiet. Proinde nodus in s. mouendus, Msuperficies GFED.quinquies augendae. Namque si addita superficies GFED. rursus dematur reliqua superficies HFΙΕΚ D. quarta pars est superficiei datae, quae pars filiae adiudicanda. 'De reliquis I 2. partibus cuique filio s. debentur,quandoqui dem aequaliter eas inter se diuidere debent: quare residuum AH BIC Κ.m duas aequales partes diuiditur,per motum nodi Cirin, cini ad II. superficie enim GFE D. undecies sumpta, c. partes ex I7. remanent A L B C M N. atque Γ ab undecies multiplicata superficie G L M N. pars GI J IK. detrahatur,rursus s. partes reo manent, & proinde superficies HLIM KN. & ALBMCMsbi inuicem aequales sunt, atque ita ager iuxta datam rationem diuisus est: & filiae debetur quadrans A. Filiis vero partes inter se aequales I.
Figura Num. 6. I. Item, infra positae figurae quadrangulares trapeziae iuxta adiectos numeros multiplicantur &minuuntur,resblutione eorum prius in triangula factae. x. Item . pentagonus ἰσοπλευρος, decies multiplicatur moto nodo primo in Io.&minoribus cruribus uno latereaccepto: Longiora enim ,Crura aucti pentagoni latus produnt.
Proposita superficies A B DE F. inaequalium angulorum est, ec eius multipli tio per nouem quaeritur, hoc schema priusin. tria triangula resoluendum est. Quod fit lineis A D. & A E. Ver- sus G.&H. infinite extensis quavis nihil reserat,qui anguli4ineis
14쪽
transuersalibus connectantur. Iam Circini nodo&breuioribus cruribus latus A B. acceptis, longiora dant multiplicarum latus AC.sin iliter accipiendae sunt rectae AD. ΑΕ.&Α F. quae in maiores Α Α H. & ΑΙ. multiplicantur. Demum rectae iungantur puncta, CG. G H. &H I. eritque superficies.
A C G HI. non cupla superficiei datae A B D E F.
Quemadmodum initium huius capitis docuit superficies ci culares in maiores multiplicare , easque etiam tantae magnitudinis , ut Circinus eas non caperet: ita etiam superficies multilate re per supradictam diuisionem multiplicantur. Exempli gratia, si multilatera aliqua superficies centies quadragies quater esset multiplicanda . numerus hic diuidendus est: in'trariores, donec horum aliquis in Circino reperiatur: ut si i 4. in duas distinguatur partes, quaelibet erit Quoniam autem: neque hic numerus in Circino reperitur, I qq. in tres partes diuiduntur, ut horum quaelibet sit 48. ad hunc mimerum Circini. nodus mouendus, & data superficies quadragies octies multiplicandae Deinde, quoniam hic numerus in I A. ver continetur,. inuenta superficies ter multiplicanda, quae est superficies data. superficie centies quadragesies quater maior. Potuisset idem numerus in I a. diuidi,&motu nodi Circini in I E. eadem via quaesita stiperficies inueniri, multiplicando primum datam superficiem in I 2. atque hancinuentam, immoto manente nodis, rursus in duodecim. Duodecies enim ia. sunt I 4./tque ita superfi- Cies data eodem modo , ut priuri multiplica. est : Quod compendium in omnibus numeris quadratis locum habet: ut in numero 169. mouendo nodum Circini in M. . Pro conclusone videatur Figuranum. D.
L. Porro, quia hoc caput multiplicationem & diminutionem similium superficiorum per exempla aliquot docuit, placuit etiam viam ac rationem addere, qua, beneticio huius Circini, ho
mologa plana addi &lab trahi possunt. Exempli gratia, sint duo
15쪽
dratum. Principio nodus Circini susque deque mouendus est, donec longiora crura CD. latus quadrili maioris, &breuiora GH. latus minoris quadrati pariter comprehendant: & nodus Circini indicabit, quoties unum quadratum altero maius sit, nempe sexies. Quoniam igitur maius quadratum minus sexies continet,& haec inuicem addenda sitnt, quadratum proueniens quadratum minus E F G H. septies in se continebit: proinde nodus in T. promouendus, & quadratum E FGH. septies multiplicandum: quod fit accipiendo breuioribus cruribus latus G H. Nam longiora crura latus I K. quadrati quaesiti, septies aucti, ostendent, quod proueniens quadratum est quadratorumsumulatorum summa.M. Si vero quadratum E F G H. de quadrato A B C D. subtrahendum esset, hic sexta pars ex quadrato A B C D. demenda, quemadmodum Irius sexta pars addita fuit, ut reliquu quadrati quinque minora quadrata contineat. Deinde nodus Circini non Ut prius, sed retro mouendus in s .&ita quadratum E F G H. in s. multiplicandum. Accepto itaque minoribus cruribus latere,F. G.longiora Crura quadratum M. Ostendunt,quod residuum est quadrati A. B.C.D. minore ab eo subducto. N. Subiectae triangulares & homologae stiperficies I. II. III. sbi inuicem addi debent. Nihil refert, etiamsi latera triangulorum inaequalia sint sed satis est illa latera semere, quae aequalibus& similibus angulisubtenduntur. Exempli gratia, si nodus Circini ita constituatur,ut crura Circini minora latus A. b comprehendant, maiora latus b. c. attingant haec enim ambo latera aequales angulos L&h. subtendunt & nodus Circini inueniatur in puncto 8. tunc promoto nodo adsequens, nempe 9. accipiatur &breuioribus cruribus latus A. b. & longiora dabunt latus c.d. ex quo si similis triangulis describatur,quantitas duorum primorum triangulorum innotescit. Quoniam
16쪽
ΤRAc TATVs TERTIV s. IpQuoniam autem etiam tertius triangulus addendus est, superuacaneum esset triangulum describcre : sed nodus Circini Hirsus mouendus est, ut breuiora crura latus c. d. tertii trianguli com prehendant,&longiora latus c. d. tunc nodus Circini indicabit Proinde uno numero promouendus, & in I 3 . constituendus e tunc longiora crura dabunt Cf. & breuiora e. d. Et
quoniam nihil amplius addendum est, ex linea illa similis triangulus describatur, hoc modo . Breuioribus cruribus latus d.k. accipiatur, longiora crura dabunt latus f. L. similiterquec, h. dabit c. L. efiicitur triangulus C. f. L. aequalis tribus reliquis triangulis
O. Tametsi in hoc capite de proportionibus planorum augendis & minuendis tantum egerimus: simili modo tamen aliqua etiam corpora multiplicari & minui possunt, ut in Figura Numer. s. videre est. In quaesto amphora rotunda, litera A. designata, continens mensuram unam, cupio amphoram similiter rotundam quae capiat mensi iras 2.3. vel 4. quae ibidem signantur literis B. C. D. Pro am phora B. collocetur nodus in latere Circini, ubi scriptum est: Hanorum augendo: ad numerum deinde minoribus cruribus accipiatur diameter orificii amphorae A. datae, tunc crura longiora intercipient quantitatem diametri ampho.
rae B. Continentem 2. mensuras, pro amphora C. reducatur nodus ad numerum 3. fiat progrcssus de A. ad C. ut iam de A. ad B. docuimus. Sic quoque pro amphora D. reducto nodo ad η. & sic
deinceps. Vt iam amphorae mensuras multiplicauimus, ita caciem diuidere aut minuere quoquc licet. Exempli gratia, in eadem figura. Si quaeratur amphora, capiens quartam partem mensurae, ponatur nodus ad 4.& longioribus maribus accipiatur diamcter A.
minora crura dabunt diametrum amphorae G. quae continet quartam partem mensurae. Si quaeratur amphora capiens .. mcΠ-Hirae, fiat primum amphora trium mensurarum,ut antea dictum,
17쪽
18 ME cII AN Ico VM HVLs II, quae est litera C. designata. Deinde,huius inuentae quaeratur pars quarta per diuisionem,ut similiter docuimus,inueniemus diameiatrum orificii amphorae, capientis .. mensura . . Idcm iudicium de omnibus aliis corporibus eiusdem intcr se altitudinis, aequalesque angulos habentibus, uti septem ponderibus in Figura delineatis, habito solo respectu longitudinis & latitudinis. Sic quoque in sentibus. Etenim si sens sit sex laterum, notatus II. in Figura 8. qui per
canalem accepta aqua repleatur spatio duarum horarum; libea rue construere alium, eiusdem omnino altitudinis, ac similis bas, ac orificii, qui spatio unius horae aqua eundem Canalem accepta irpleatur, ita operabere: Nodus Circini ponatur ad num rum L. maioribusque cruribus comprehendatur latus unum orificii sentis propositi, tunc crura minora dabunt latus orificii sentis quaesiti, in praedicta Figuranum. 8. charactere I. notati. Et uti de ponderibus in Figura num 8. notatis, diximus, apposta Figura docet pondus constructum seper base quadrangula A B C D. esse triplum ponderis constructi super bale BEF amodo eiustem fuerint altitudinis. Datum corpus in similia augere re minuerta Postiam explicatam Circini partem sequuntur proportiones
18쪽
ΤRACTAT V a TERTrvs Quemadmodum autem linea longitudinem tantum: superficies longitudinem & latitudinem; ita eo=pw,tanquam perfectius longitudinem, latitudinem atque profunditatem habet: proinde in corporibus, longitudo, latitudo atque profunditas metienda, quod fit beneficio istius partis huius Circini, in qua annotata
sunt verba ista: Proportiones corporum augendo atque minuendo. Vide Figuram Num.y.
p Sit, exempli gratia, Globus A B. quinquies multiplicandus,
hoc fit mouendo nodum Circini in &breuioribus cruribus diametrum AB. accipiendo. Longiora enim crura dabunt dia- mctrum globi quinies multiplicati CD. Similiter etiam diminutio fieri posset, si longioribus cruribus diametrum globi A B. minuendi accipias. Breuiora enim minuti diametrum E F. quianios minorem dabunt.
q Quia vero *penumero desideratur magnitudo globi plumbei, ferret, lapidei, similisue alicuius, secundum pondus & diametrum, fiat globus diametro A B. notatus hic litera T. eti umbo, ferrovcl Itanno, globus ille pendatur, &exempli loco reperio, globum illum s. libras pendere, globi illius diametrum
accurate sumo, ut AB. postea nodum moueo ad 4s.&cruribus Iongioribus Diametrum AB. sumo, breuia dabunt diametrum C. D. quae debetur uni librae, in eo genere materiae, eX qua globus confectus fuerit. Postquam ad libram unam perueni, cupio diametros a 2.3. 4.& ulterius usque ad la s. libras adipisci, pono primo nodum in a.& sumo breuioribus cruribus diametrum C D.globi librae unius, longiora crura dabunt mihi diametrum globi duarum liberarum. Si deinde breuioribus cruribus, manente nodo, sumpsero diametrum librarum duarum, tunc longiora dant diametrum globi .librarum,&vlterius, de q. consequimur 8.&C.
Similiter si nodum moueo ad. 3. & sumo diametrum CD.
19쪽
globi I. lib. breuioribus cruribus, tunc longiora crura dant mihi diametrum globi trium librarum. Deinde accipio diametrum globis. librarum cum breuioribus cruribus, manente nodo, longiora crura dant mihi diametrum globi,qui' pondo habeat. Ita ulterius pro gredi licet. Iuxta doctrinam praecedentis capitis de rotundis superfici bus, omnia corpora magis magisq; augeri possunt, ut ipse Circunus domost rat,quare superuacaneu foret id denuo hic inculcare. Si etiam globus, aut aliud corpus tam magnum daretur, ut diametrum eius Circinus attingere non posset, Regula diuis uti in planis dictum, utendum erit,& quot pedes aut digitos diameter mensurata continet,totidem partes lineae dinumerantur, & multiplicatio per partcs facienda est. R. Item, duo globi dentur E H.& G H. quorum unus nempCE H.24.libras continet,hic quς ritur quis, grauis sit globus G H. qui ex eodem metallo, ex quo priorifusus estIn hoc exemplo nodus Circini non primum ad certum numerum ponitur, ted tantisper, clauso Circino, ultral citraq; mouetur, donec duo longiora crura maiorem diametrum attingant, breuiora autem in finitione minorem diametrum terminent.
Nodus ita directus in latere indicabit, qua proportione unus supcrct alterum, ut in hoc exemplo quater, quo indicatur, globum G H. quater minorem esse,quam Ε H. cuius pondus fuit Eq. m. sicque hic quartam eius ponderis partem habebit, nempes. B.
AbsblutoCorpore rotundo,deinceps quinq; corpora sequun
tur,quae a Geometris regularia nominantur.
I. Primum Corpus regulare est Pyramis, quae continetur 4. si1- perficiebus rectilineis, quarum quaelibet tribus aequalibus lateribus clauditur. Ia. Alterum est qui continetur sex quadratis rectilineis superficiebus. Te
20쪽
3. Tertium Micitur Octaedrum, & sit ipsem nomen prae se fero
octo triangulis aequilateris clauditur. 4. Quartum Doricaedrum est corpus regulare,quod I 2.pent gonis absoluitur. s. Quintum est δεχ' ἄλλην, quod viginti superficiebus aequilateris triangularibus continetur. S. Sit Pyramis Α.B C.in homologum corpus, hoc est,in Pyramidem cuius itidem omnia latera, superficies& anguli aequales sunt minuenda,ita ut minuta terminor sis data. Primum nodus Circini in 3. mouendus,& longioribus cruribus latus A. B: accipiendum, &breuiora dabunt latus D.E. in mimato corpore homologo. Item Cubus num. r. octics multiplicatus est in Cubo nu. s. Octaedrum num. 7.septies minuitur in I. Dodecaedrum Langulis A B C D E. nonies augetur in
Icosacdrum A. sexies multiplicatur in B. Notandum quod corpora regularia hoc compendii praebent, Vt uno latere inuento, statim totum corpus describi posti l sed in irregularibus omnia latcra singulariter metienda & quaerenda sunt,& si necessitas exigat, operandum est lineis ab angulo ad angulos demetiendos, ut in tortio capite factum est, ubi recti lineae superficies triangulis distinctae fucrunt.
Sequuntur abiquot exempla Corporum irregularium, ex quibus
multiplicatio in diminutisfacile intelligi potest.
T. Sit siquod Corpus quatuor superficiorum triangularium, quarum latus basis est a. b. latus unius reliquarum superficiorum est a. d. Si itaq; huius tramidisseregularis quaeratur decupla&similis, nodus ponatur ad numerum Io. minoribus cruribus a