장음표시 사용
291쪽
di sic de caeteris in infinitum.
έ. 1 V in V. s. Sed iori u hi numeri paulo brevioresesse posialunt, ut pro possum ponere ἐκ F κ. 'ου -- έ . di sic de caeteris. Atque haec tabula in infinitum potest continuari, si semper ex subtensa majoris partis circumferentiae quaeratur subtensa mediae partis : hoc modo , sit a subtenia Uius partis circumferentiae, subtensia media partis erit ν. - έ. 6 - aa, & complementum erit ν. Σ - έ. Α - aa. AIque per hanc unam regulam omnes Sinus, quos Geometria potest invenire, numeris exhibemur. Facto igitur hoc indice, si datum sit aliquod Δlum, cujus anguli quaerantur, describo simile dato Δlo , in Circulo, cujus Radius unitas: deinde video, quibus numeris in nostra tabula quaelibet latera respondeant quod si dati cili latera nullis numeris nostrae tabulae aequalia sint, tunc demonstrative asseremus, nullos illius angulos in Geometiria simplici posse inveniri. Vel alio modo. Quaero differentiam inter potentiam basis & potentias laterum, quae nisi se habeat ad rectangulum sub lateribus comprehensum, ut aliquis ex numeris nostri indicis ad unitatem , pro certo afferemus talem angulum in Geometria simplici non inveniri, vel Titum , d- - de M ta be -- producto ex b d c in lineam bo; cum ae
Ex his possumus deducere progressionem P thagorica ad omnes angulos , sicut enim in Triangulo rectangulo basis potentia aequalis est potentiis duorum laterum, ita in cito, ubi unus angulus est 6o grad. basis potentia aequatur quadratiε duorum laterum minus
292쪽
reetingulo sub illis comprehenso: & in cito, in quo angulus unus
est complementum superioris ad duos rectos, nempe I 2o grad. ba, sis potentia excedit potentiam laterum eodem rectangulo quia lub- tenta complementi in nostro indice est unitas. Item in cito, cujus angulus est grad. basis potentia minor est potentia laterum, quantitate media proportionali inter tum sub lateribus comprehensum , dc ejusden rati duplum. In Δ Complementi duorum rectorum , nempe 3 s grad. basis potentia major est potentia laterum eadem quantitate, quia subtensia complementi est U. 2.1tem in talo, cujus angulus est 3o grad. basis potentia minor est potentia laterum , quantitate media proportionali inter tum subiis comprehensum, di ejusdem triplum. In cito Complementi deficit laterum potentia eadem quantitate, quia lubtensa complementi
Et generaliter et, in omnibus cilis oxygoniis basis potentia minor est potentia laterum , mio sub lateribus comprehenso ducto per numerum, qui exprimit subtensam complementi in nostro indice. Et generalissinae, Δli bde potentia basis is minor est potentia laterum, quantitate, quae sit ad mlum sub illis comprehensum, ut minm sub lineis be, ea s quarum una est, nempe be, subtensa complementi, &alia, nempe ea. est Semidiameter Circuli dato triangulo circumscripti se habet ad G iam lineae ea. Vel ut be ad ea: hoc est, fiat, utae ad be sie mlum bac ad quantitarem, quae vocetur A. Dico Sta
Dato autem cito diameter Circuli, in quo micribitur, facile invenitur dicendo, ut b d perpendicularis ad unum latus, ita aliud ad quaesitam diametrum. N B. agest basis: ab Ecbe latera. Atque ex superioribus tale Theorema deducitur : Quotiescumque in duobus cilis inaequalibus 8c dissimilibus, bais p c tentia unius differt a potentiis laterum, quantitate quae habet eandem proportio-ca a nem
293쪽
nem cum rato sub lateribus comprehenso, quam habet in altero talo, tunc in utroque cito anguli basibus oppositi sunt inter se aequales , squidem potentiae laterum in utroque sint majores potentia basis, vel in utroque minores) sed si in uno sint minores, in altero majores, tunc duo illi amguli basibus oppositi sunt aequales duobus tectis. Triangulorum, quia tum omnia lalera numeris rationalibus ex prismuntur, possum etiam omnes anguli numeris rationalibus exprimi, nempe lumendo pro quantitate a g il l Proportionem , quae est inter C ilum lub lateribus comprehenium, & differentiam, quam ha-ss eidem angulo oppositae potentia superat vel luperatur a potentiis laterum simul junctis : superat nim: si angulus quaesitus sit major recto , vel superatur , si sit minor , di ad hoc judicandum aliqua nota est adhibenda , ut exempli causa , cili , cujus latera sunt 3 , 8, 9, angulus abc est anis
notandum, me tem per ponere numerum,.qui oritur ex multiplicatione laterum supra, & inserius ponere illum, qui oritur ex differentia , quae est inter basim &laterum potentias: & cum potentia basis excedit potentias lateriim, me adhibere in o , ut ostendam, angulum esse majorem recto, hic enim o est numerus exponens anguli recti. Omnis numerus constat vel uno , vel duobus, vel tribus triangularibus 3 item vel uno, vel duobus, vel tribus, vel ψ Ttis: item uno, vel duobus, vel tribus, vel 4, vel 3 pentagonis; item vel I, vel x, vel 3, vel , vel s, vel 5 Hexagonis, & sic in infinitum. omnis numeri triangularis octo plum plus unitate est talum, quod facile demonstratur. Est enim numerus citaris x xx, emo
294쪽
R. DES -C ARTES. De partibus aliquotis numerorum.
AD lalvendas quaestiones circa numerorum partes aliquotas, imaginamur illos compositos, vel ex numeris primis inter se, vel cx iis, qui ex multiplicatione numeri cujusdam primi saepius iterata, vel partim ex his, partim ex illis producuntur. Jam vero numerus aliquis primus nullas partes aliquotas habet, praeter unitatem. Numerus autem primus . saepius per se ipsum multiplicatus, sicuti a , partes aliquotas habe: --, hoc est se ipsum minus I , divisum sua radice minus I. S. reperire velimus partes aliquotas numeri cujusdam primi, per alium numerum multiplicati , cujus jam habemus partes aliquotas , veluti si partes aliquotae numeri a sunt b, & x sit numerus primus, partes aliquotae numeri sunt b x- a in b. Quod si desideramus invenire partes aliquotas numeri cujusdam primi saepius per se ipsum multiplicati, & denuo per alium multiplicati numerum, qui etiam saepius per se ipsum multiplicatus sit,
Si reperire cupimus partes at quotas numeri cujusdam primi cepius per se ipsum multiplicati ,&cujus productum porro multiplicatur per alium numerum , qui primus est rei pectu alterius, licet absolute primus non sit, cujus partes aliquotae datae sunt, si numerus per se ipsum multiplicatus fit x '. & alter numerus sit a, ejusque partes aliquotae b,
habemus bxx ax a - b partes aliquotas numeri a x
Si habemus duos numeros primos inter se, eorumquα partes aliquotas, habemus etiam partes aliquotas producti ipsorum. veluti fi ianus sit a, ejusque partes aliquotae sint b , alter vero sit c , cujus alio uotae partes sint d, partes aliquotae ac erunt ad in bc bd. Nec prosecto aliquid hac in materia novi, quod ope Theorematum, quae hic pono, reperiri non possit. Si quaeramus Cubum & Quadratum aequalia Quadrato, habemus
295쪽
cem hujus aequationis x o 3 axin 2 a quando a a major est b, di triplo istius radicis, adjungo χ a , di dimidium radicis cubicae producti est primus terminus radicis quaesitae: Quod si a a minor est quam b, quaero radicem hujus aequationis - 2 a 3
cujus triplum austro ex a a, & dimidium radicis cubicar residui istius est primus terminus quaesitus. Potthaec austro ex numero acubum istius primi termini, di postquam reliquum per triplum istius primi termini divisero , radix quadrata quotientis secundus
Pari modo , si velim invenire radicem Cubicam Io - έ 98, habeo x 3 2o 6 x in εο , cujus radix est 6 , ejusque triplo , quod est duodecim , addito zo, provenit 32, cujus radix Cubica est ν ο 3x, ejusque dimidium est ν ς ε pro primo termino. Postis ea ablato aio, restat ε , quem divido per 3 ν ς ε , provenitv c 2, cujus radix quadrata est V Q c a pro secundo termino. Et ad inveniendam radicem Cubicam 2 - ν s, habeo x 3 M -- , cujus radix est I. Ejus autem triplo sublato ex ε, r stat a , cujus radix cubica est a , ejusque dimidium e pro primo termino. Postmodum ablato cubo P, qui est ἱ 2 2, restat 'ὲ, quem divido per 2, provenitquc ξ, cujus radix est ν ὲ pro secundo termino, atque ita de reliquis. Quin & in genere pro radice Cubica alicujus binomii, duarum istarum Cubi partium maximam ς, & minimam d appello, deinde extraho radicem hujus aequationis in triplo isti
radicis adjungo 2 c, & dimidium radicis Cubicae producti est una ex partibus radicis quaesitae. Postea divido e per illam primam partem radicis, a quotiente austro quadratum ejusdem primae partis, di tertia pars residui est altera pars radicis. Ad quadrandum Circulum nihil aptius invenio , quam si dato Quadrato b f adjungatur tum cI comprehensum sub lineisa e & e b , quod sit aequale quartae parti Quadrati bs, item ratum d b , factum ex lineis d a, d c aequale quartae parti
praecedentis, & eodem modo CPlum ei, atque alia infinita usque ad x, quae omnia simul amabuntur tertiae Parti Quadrati Diuitigod by COOste
296쪽
drati bs, & haec linea ax erit diameter Circuli, cujus circumserentia aequalis est circumferentiae hujus tali bs: est autem ae diameter circuli, octogono quadrato bs isoperimetro, inscripti: ad diameter Circuli inlcripti figurae ro laterum, ae diameter inscripti figurae I a laterum , quadrato b f isoperimetrae ; & sic in infi
Linea curva, in quibus Tangen-υι inquirimus, proprietates suas specificas, vel per lineas tantum rectas absolvunt, vel per curvas rectis aut aliis curvis quomodolibet implicatas. Exemplum sit cur H RIC , cujus vertex C , axis C F , & descripto Semicirculo COM G sumatur punctum quodlibet in curva ut R, a quo ducenda est Tangens R B. DucMur a puncto R recta R M D perpendiacularis ad C D F , quae secet Semicirculum in M. Ea igitur curvae proprietas esto specifica 3 ut rectat D sit aequalis portioni Circuli C M & applieatae D M. Duca Mα tur in puncto M tanaens M A ad Circulum, & a pungo E ducatur parallela rectae R M D. Ponatur iactum quod quae- recta D B quaesita Io a , D A inventa ex constru-MAI , MDzor, RD OP e, curva C M
debet adaequari rectae Ο Ε - CM-MO, si autem hi termini ad terminos analyticos reducantur pro recta OE, ad vitandam asymmetriam supponatur recta E V applicata Tangenti , di pro Curva Mo sumatur portio Tangentis MU, cui ipsa Mo adjacet. Ad inveniendum autem E U in terminia analyticis, fiat ut, πb - e ita r κ b 2- e r Io E U , ad inveniendum deinde M V,
297쪽
fiat ut b π d ita e ar de M M U. Curva autem C M vocata est
Id est , r d π b ita a. π a , & recta R B Tangens. Sit quadrans Circuli AIB, Quadrataria AM C, in qua ad datum punctum M ducenda est tangeni, juncta Mi, centro I, intervallo IM quadrans Z M D describatur , & ducta perpendiculari M N, fiat ut I M ad M N , lita portio quadrantis M D ad rectam N O. Iuncta N o tanget Quadratariam. Si dentur tales termini V a -- κ b
-- έ d a=mmetria liberandi di ad aequationem Ordinatam reduincendi , sicile hoc omnes Possunt per 3 multiplicationes, ex quibus formatur talis .canon a ' - 4 a 3 , - 6 AE a b b aa e
-- o a b c d m o. Hic appositus est tantum unus terminus cujusque speciei brevitatis causa , & insta ipsum numerus individuorum ejusdem speciei. Iam si dentur tales termini V a - έ , - - edo Ud κε asymmetria liberandi, dissicile hoc videtur nonnulistis, quia non advertunt per multiplicati em non augeri numerum asymetriarum ac proinde omnes asymetrias per multiplicationem tolli posse ; compendiosius autem fieri potest per praecedentem aequationem, si tantum in illa pro d ponatur ubique d -- 1 V d aine, & pro dd hujus summae Titum, pro d3 ejusdem cubum, &c. ac deinde omnes termini in quibus est v d e , aequentur omnibus aliis 3 ut per multiplicationem quadratam cujusque partis tollatur asymmetria V de, vel etiam brevitatis causa susscit, si unus temminus cujusque Speciei quaeratur ad canonem conficiendum, qui est talis: a -8 a b in 18aε b b in Io a ' bc- s s a Fb 3 - Σ
298쪽
termini q9s, nec refert qui termini prioris aequationis affecti su rit nota vel - . Haec enim Omnes contines. Datis punctis A B C in recta linea, invenire lineam Curvam, 'cujus vertex A , axis AB, & quae ita sit incurvata , ut radii a puncto B venientes, postquam in illa passi erunt restam mm, pergant ulterius, tanquam si venissent ex puncto C, vel
duae quantitates indetcrminatae , quarum alterutra manens indeterminata, designabit omnia puncta lineae curvae, . & altera determinabitur ex modo quo describi debet linea curva. Qui modus ut inveniatur, quaero imprimis punctum F , a quo ut centro concipio describi circulum , qui tangit curvam in puncto E. Deinde dico lineam B E ductam per F G esse ad C E ductam per H F, ut inclinatio radii refracti in uno medio transparenti ad ejusdem inclinationem in ali. BDIIa - b - α vel V. xx aa in b,
300쪽
Datis tribus punctis a, b, c, quaeritur linea cujus ope radii omnes in vitro dispositi, tanquam si venirent a puncto A, disponantur egrediendo eius superficiem , cujux vertex sit in puncto ς, tanquam si venirent a puncto b, vel si tenderent verius b; vel denique ut radii in aere dispositi, tanquam si venirent a puncto disponantur in vitro, tanquam si venirent a puncto b. et Cadat punctum b inter a & c, &fcentrum circuli Tangentis curvam cadat inter a & b, si fiat ae M a I & be M cy b, erit se ad si ut-3 - . a ad c ς ν b c , hoc est inclinatio radu a e in vitro ad inclinationem radii b e producti in aere, ut x ad c, idemque omnino continget ab aere ad vitrum , si fiat I. major quam b. Sed vero hic est error, valet enim tantum haec linea, ad υμα--nem inaequalem, non ad refractionem, quia punctum s cadit intela de b. Iam cadat punctuma inter b & c, eritque omnino idem genus linia, puncta enim a & b sunt reciproca, & semper punctum ferit inter a & b, cum set ae M a - & b e M b in e y. Sed fiat a em a in ν & becob - cy, tuncque punctum finier puncta b N e, reperietur, sed non videtur fieri posse, nec proinde haec linea utilis est, ad regendas refractiones, sed tantum ad reflectiones, ti redeundum ad alteram jam inventam, quae tres habet socos. Imo punctum s tunc potest cadere ultra punctum a versus .e , di tunc pro certo linea ita descripta facit ut radii omnes tanquam a puncto a v nientes in vitro 3 post refractionem , qnae fit in superficie , cujus
vertex c, videantur venisse ex puncto b, vel contra ut in aere radii a puncto b venientes, ira refringantur in superficie concava vitri, cuius vertex in e , ut videantur venisse ex puncto a. natur nunc aema my&bem, -- cI, cadit f inter bde cdi tunc pro certo radii omnes ab a venientea divaricantur in vitro,