Acta mathematica

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ne briser reue uno des eu hypothoses proesidentes: il petit oscille satis tendro vers nuduno limite cla limite inseri euro 'indo tormination tun o. En tenant compte de Cette remurque, on Constate, Omine 'a fuit

donnor ne condition ii ce88uire de convergenue suus, bien enteti dii, sic n 'est pus infini). 'est insi, par Xemplo, qu 'on e ut trouVer nessirio convergente uyunt uno infinit de ter inses commvns avo la brie harmoni quo ii susti que os indide de eo termes solent en Progressiongoo motrique les tormes inter inbdi uires tuti eouX 'une siri Convergentequeleonque. Comino cependant e cas 'oscillation e se profontent pas dans aplupari des applientioris nous nous en iendron au Oint de ue 'AllEL.

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Sur es curae thres de convergetice de rasiri 'S. l

Sotis ceti forme iis sont our in si ire intuiti L. M. BINGSHEIMa me me donii uno sithode si norato poli former, ave un certain degrsid 'arbitraire, des ories do plus en plus lentemerit convergentes o divergenteS.

Si 'on 'a en ue que 'eXistene de Ces siri es, ori petat particulari Seria valeu de 'exposunt se qui gure dans se recherches Ou de 'EXpogunt anulo rue o de Di Bois-REYMOND et siduire a hmonstration Ga forme simple vivante: Τhsi Orsimo a . Si seu dire mente que Soit ne grie, on petit ou oui smultiplier se termes successis par es valeur correspondantes 'tine quantitsi infiniment deeroissunt de fucon se fornier ne nou velle S rie elle-m me

sol ne essu trement conversente si e produit . ς n teni rei si et necessuirement diverseente si e pro luit reste sup rieur se ui non bre si .

Vergente et nous potaVOns multiplier se termes par de noui bre infiniment petit suns a rendro convergente La premiore proprisitsi 'est done pasusirisbe. Τh60rhmo b). Si per converreente que sol une s rie, imperet multiplier Se terme fur es aleur correspondantes 'une quantit Q. indoiniment

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Τh6orhmo Bl. I n eriste pus de Onction n telle que a grie u. sol necessa trement coni eruente si e produit, n)u reste sini et sicessati ement inerstente si e pro luit austinente in dg niment. En esset, si n jouit de a premiore proprisith, in Shrie --- est convergente et nous Ourron multiplier se termes par de nombres infiniment ero issant sans a rendi e divergente La onction in no satisfuit done ius il la seconde Condition. 3. Nous avons particularissi, dans a si monstration des thooromes a et b) la sithod de formation des olivelles brie remplissunt escondition des non esis. n out ii contraire luissero ette formationto utes a sinsit alit possibie. Datis te premiser cus thhorsi me a ), es eu fhries, ut lieu 'direlisies par a relation

oh est a quantit una logue ii . fornasi dans a se conde sorte, Ourronto tremi sies par in relation quelconque des a forme

oh V X sera ne sonetion infinio orsque ae est in sint, mais doni a 6- rivo devient en monae temps nullo. Cur lor on auri bien

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Sur es carac thres de converge nee des sirios. 325

forte ruison.

6. Si 'une siri convergentu ou divergente on en siduit ne se conde plus lentemerat Onvergente oti divergente que a premiὐre, de

Celle-ei ne troisthine, et ussi de sui te, on petat obteni une infinit deshries ourrant serviris juge par comparaison de a Convergen e u dela divergende 'une sirio donno Q. C esto et te classe de curaetores qu'appartient te crithrium dit ouarithmique tubli par M. BERTRAXD ut BONSET, et duras teque oti avult cru oi une rogi de convergen e upplicabie is totis es eas. M. DUBO1S-ΚΕYMOXD ' et iusi; sugiri y on rhfut cette erreu et formo de sortestant Convergentes que divergentes poli laquelles le crithrium logarit limique ne donnuit nucun absultat. 7. Cette insuffisa nee 'usi potnt urticuli ore ut crit sirium toga rithmique Nous allon constu ter qu'il ne aut pus plus sp6re obtentriin erithrium siti brat ii 'vide 'une infinit de sirius de comparuison qu'hi'aides ii une se illo. Prenati t. par Xemple, en premier lieu te Cas de tu divergetice, nous ullo tis semon trer qu'etunt donnsie ne insinit de s ries ire mentes, on petit fornier ne nou elle S rie diveryens styunt se termes se tu lonsue plus petits et nigme insiniment flus petit que 'importe uelle de premiῆres. Touteseis nous voras ne restriction indispensabie k uire cur oripe ut troiive deuX series divergentes telles que out Asiri nyant e termes plus petit que les termes correspondant de hac une de ces eu solinsicessat rement convergente. I sustira, par exemple de prendre commetermes de an pair, datis a premiore sirie, es termes successiss 'uneshrie divergente, comine termes de an impat ceu d 'une siri Con Ver- rente et de seire 'inverse dans a seconde sirie. Xous Supposeron enconssique ne que a sui te de termes qui se correspondent dans es siries Successive sol constaminent heroissante, de sorte queri' sinone ii simontrer sera te vivant:

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nombre Vi , I, , . . . , ID , . . . ind6finiment Croissunt et noui mons ni a