Quadrati geometrici vsus, geometricis demonstrationibus illustratus

11쪽

ADRATI GEOMET. Sunt qui lateribus Quadrati regulam informam arcus inflexam aptant,quae circuli quartam partem comprehendit, es inque in so . partes, quas astronomi gradus appellant diuidunt,per quam solis altitudo supra finitorem accipitiis. Lineae rectae,quibus metiendis Qt adratum commodissimum est,aut in plano extensae, aut ad perpodiculum erectae, quas altitudines vocant,aut in profundum depressae intelliguntur. De dimensione rotamm linearam in plano,qu.

longitudines vocant.

Cum longitudinum metiendarum ratio per Qua- diaetum geometricum multiplex sit,eam primo loco exv icabimus,quae vulgaris est, paruisque longitudinibus tantum accommodatur, postea alias sub-

ucIemus, quibus etiam quantumuis magnas metiemur.

Sit igitur longitudo proposita eLin plano, cuiusqtlantitas cognoscenda est. Erige Quadratum ab cd supra punctum e, ad perpendiculum,ita ut eius thius inferius sit propositae longitudini parallelum, posit6que oculo in b, attolle & deprime regulamna obile in quo usque alterum longitudinis extrem si per tabellarum rimitias intueri possis, nota postea partes tactas c i,qiuae cum ad umbram versam pertineant, quam rationem habent adlatus Quadrati bc, eandem habebit altitudo mesoris e b, hoc est inter

12쪽

uallum inter planum de eius oculum interceptum,

ad lineam,aut longitudinem propositam e festiunt enim duo triangula b c i, dc b e Lar quiangula: quonii angulus cb i,qqualis est angulo e s b,pet primi parte vigesimae nonae propos . libri primi, quae est, Si duas

rectas lineas res a secet, angulos alternos inter se aequales e Scieta sunt enim lineae b c dc es, paralellae, quas b L recta secat . ead Emque ratione angulus ci b, aequalis erit angulo e b Lpraeterea reliquus

reliquo per quartam petitionem libri primi Ele

mentorum rvterque enim rectus est, de omnes an

guli recti inter se sunt aequales. AEquiangulorum autem triangulorum cum latera, quae sunt ci cum aequales angulos, sint inter se proportionalia, per quartam propos libri sexti,ut est latusci, v-nius trianguli, ad latus b c , eiusdem trianguli , ita latus h e,alterius trianguli,ad longitudinem propositam efSit igitur c i, partium o. qualium totum latus b Cest co .in tot enim partes latera quadrati ut plurimum diuidi solent,quoniam o. ad 6 o. sunt in ratione subsesquialtera,in eadem ratione erit altitudo menseris e b, ad longitudinem propositam e sequare si illa sit 8. pedum , longitudo proposita eriti et .maod facith per regulam trium cognosces,si altitudinem metaris inlatus Quadrati duxeris, de productum per partes tactas diuiseris: numerus enim quotus longitudinis propositae quantitatem dabit.

13쪽

ro Q 3 ADRATI GEOMET. Si autem partes tactae, sint umbrae rectae quod interdum accidit, cum g sublimi& excelso loco longitudinem in plano metimur: quia tum latus Quadrati est ad partes tactas,ut altitudo mensoris ad J5gitudinem proposita duc partes tactas in mensoris altitudinem, de productum diuide per latus Quadrati,numerus quotus logitudinis quatitate dabit. Quyd si regula mobilis interditas umbras cadat, longitudo, mensoris altitudini aequalis erit. Alia ratio metiendi longitudinem in plano. Erige ita Quadratum ut eius facies superficiei si nitoris opponatur, extendέque regulam mobilem super unum latus, cuius anteriorem partem deprimes, quoad extremum longitudinis propositae in

14쪽

plano per tabellarum rimulis Videre possis. postea

ad latus recta secede.erechbque,ut prius. Quadrato reguli circumferas,qtuoad radius aspectus, qui per

rimulas defertur,conspectum prius extremum c5tingat: nota partes tactas,quae si ad umbram versam pertineant, duc interuallum utraque statione comprehensum in latus Quadrati, productu inque per

partes tactas divide. Si vero sint umbrae rectae,quia termini primae rationis conuertuntur, dii cinteruallum in partes tactas, & productum perlatus Qliadrati diuide , nurn erus quotus lineae visus prioris obseruationis quantitatem dabit: citius & interualli inter planum & oculum esseris interiecti, si Quadrata accipias, minosque a maiore subducas, radix Ouadrata propositiae longitudinisqtiantitate dabit. Sit proposita longitudo ab , cuius quantitatem cognoscere*porteat. Erige quadratum supra puncturna,vt dictum est, reguliumque mobilem super

unum latus extende,& eius partem anteriorem deprime, quousque extremum longi eiadinis in puncto b, per rimulas videre possis,linea c b , erit radius aspectus,cuius quantitas cognoscenda est,ut quod queritur habeas. deinde recta secede usque ad punctum d,supra quod Quadratum erige, atque post tooculo ine, attolle paulatim, aut deprime regulam mobile, quousque visum prius extremum b, quod longitudinem terminat per rimulas iterum possis intueri. Et quia partes tactae adumbra versim peditingt,erunt ad latus Quadrati, ut latus e G trianguli

15쪽

e c b,ad latus c b, eiusdem trianguli. Quare duc latus Quadrati in spatium a linter utramque stationem interiectum,hoc enim aequale est lateri c e, per

trigesimam quartam propos libri primi Elementorum, quae est, Parallelogrammorum spatiorum aequalia fiant inter se,ex aduerso latera: est autem a ced, parallelogrammum,&productum per partes tactas diuide, numerus quotus quantitatem lineae eb, nimirum radi j aspectus primae obseruationis dabit. Quare cum triangulum a c b, fit rectangulu,& in triangulis rectangulis Quadratum ex latere rectum angulum subtendente descriptum, aequale sit quadratis,quae ex lateribus rectum angulti in c5tinentibus discribuntur, per quadragesimam septimam propos libri primi Elementorum, Si quadrata lateriam a c,& c b,accipias, minsisque ὰ maiore subducas,eius quod relinquitur radix quadrata longitudinis a b quantitatem dabit.

16쪽

Alia ratio metiendi longitudinem in pono, adiumento altitudinis, quae longitudinem terminet. Erige ita qii ad ratum ut eius facies sit finitori, superficiei parallela,extendEque regulam mobilem super unum latus,& extremum longitudinis, cuius quantitas cognoscenda est, in signo aliquo altitudinis per rimulas conspice, conspectum nota. postea ad latus recta secede, erectwque ut prius Quadrato, regulam inobilem attolle aut deprime, quoad signum prius obseruatum, quo longitudo proposita terminabatur, radius aspes us, qui per rimulas desertur contingat. vide postea partes tactas, quae si ad umbram versem pertineant, quam rationem liabebunt ad latus Quadrati,eandem ad spati tim inter duas stationes interiectum ad propositam longitudinem habere necesse est . are ii latus Quadrati in spatium duxeris,& productum per partes ractas diuiseris, numerus quotus longitudinis propositae

quantitatem dabit. Si autem partes tactae sint umbrae rectae, quod

raro euenit: quia termini prim q rationis conuertuntur, mutaturque antecede in consequentem, duceas in spatium & productum per latus Quadrati diuide , numerus quotus quaesitam quantitatem dabit. Qostd si loci angustia ita te premat,ut no possis recta ad latus secedere;erige Quadraru ad perpediculu, cuius lat' inferius sit finitolis silperficiei paralle-

17쪽

x UADRATI GEOMET.lum,atque altitudinis, quae propositam longitudinem terminat, summitatem per rimulas aspice, nota partes tactas, deinde recta retrocede , erectbque

ut prius QEdrato, iterum aspice praedictam summitatem, not1que partes tactas, quae si in utraque statione ad umbram versam pertineant , subducto numero minore partium a maiore, qui relinquitur sit primus in regula trium,subductus vero secudus, numerus autem partium interualli inter duas statione, comprehensi, tertius, quem si in secundum

duxeris,& productum per primum diuiseris,numerus quotus propositae longitudinis quantitatem dabit. Sit longitudo proposita ab,in cuius extremo sit altitudo b d, erige supra punctum a , Quadratum ad perpendiculum, atque altitudinis summitatem in

punctod, per rimulas aspice,nota partes tactas e fi postea retrocede usque ad punctum c, atque erecto ut prius Quadrato eandem summitatem iterum aspice, nata partes tactas g h: at quia omnes sunt vanilis umbrae nempe verse, minorem numerum partium gh,δ maiore es, sobstrahe, qui relinquitur is, sit primus in regula trium,gh, secundus, & a C, tertius. ut enim f i,est adli g, hoc est i e, sunt enim fg, & i e,aequalium partium. eadem autem ad qquales eandem rationem habet,per septimam propositionem libri quinti Elementorum,ita c a,ad a b. Qusdsic demonstratur ducta prius per primam petitione linea aik,quae erit per vigesimam octauam prop*-

18쪽

sitionem& quartam libri primi ineae c h d, parallella. Quare persecundam propositionem libri sexti, quae est, Si ad unum trianguli latus ducta fuerit recta linea pararella, haec ipuus trianguli latera proportionaliter secabit . ut est d k, ad kb, ita ca, ada b: sed ut est: d h,ad k b,ita fi,ad i e. ergo per undecimam quinti ut est si, ad i e,ita ca, ada b. Cuius demonstrationis assumptio vera esse ex eo intelligi potest, quod duo triangula at L&akd, per vigesimam nonam propositionem libri primi ilant aeqv.iangula . Quare per quartam propositionem libri sexti Elementorum,ut est dk,ad ka,ita si, adia. Et permutatim per decimam sextam propositionem Iibri quinti,ut est dk, ad si, ita ha,ad ia. Sunt & duo triangula ae i,& a b h,etiam aequi angula. Quamobrem ut est Eb, ad ba,itate, ad ea, & permutatim ut est h b,ad te, ita b a, ad e a. Sed b a,ad e a, per qua

ta propositione libri sexti Elementoru est, utk a, adi a. Igitur per undecimam propositionem libri quinti,ut est k b, ad i e, ita k a, adi a.proxime autem doemonstratum est, ut est d k,ad si, ita k a,ad i a. Quare per undecimam propositionem libri quinti, si est dh,adsi, ita kb,adie. & permutatim ut d k, ad k b, ita si, ad i e:quod erat demonstrandum.

19쪽

iis et v ADRATI GEOMET. Si in viciniore statione partes tactae ad umbram rectam pertineat,in remotiore vero ad versem, partes umbrae rectae ad partes umbrae versae reduces . At si ne retrocedere quidem concedatur,fige humi perticam ad perpendiculum , quae in certas partes esisque aequales diuisi sit edeinde fac duas stationes,unam in inferiore perticae parte, alteram insu- eriore, de in utraque, altitudinis, quae propositamongitudinem terminat , summitatem per rimulas vide,auferque minorem numerum partium emaiore , de qui relinquitur sit primus in regula

trium,spatium in te r duas stationes interiectum,nti-merus secundus,latus vero Quadrati numerus te

titis,qugsi in secundum duxeris, & producti im per primum diuiseris . numerus quotus longittidinis quantitatem dabit. Sit longitudo proposita b a, cuius

20쪽

ius quantitatem vestigare oper pretium sit, fige litimi in eius extremo b, perticam b h, ad perpendiculum,& in parte inferiore erige Quadratum, post b, que oculo in b, attolle,& deprime regula in mobile, quousque radius aspectus, qui per rimulas defertur,

contingat summitatem altitudinis quae in altero extrenio longitudinis sita est : nota partes tactas fg, quae sunt s. postea transfer Quadratum adpartem superiorem perticae, posit6que oculo in ii, iterum praedictam summitatem per rimulas vide: nota partes tactas i k, quae sunt 13. aufer deinde i k, exfg, hoe est 2s,ex s. quae relinqueritur partis erutfe, hoc est a o. quae in regii la trium primum locum obtinebunt,spatium b h,inter duas stationes in te lectum, secudum a tus vero Quadrati bg, tertium.

ut enim est se, ad bis,ita b g,ad ba. Duc igitur latus Quadrati bg in s alium b h, trium partium aequalium,productum iso diuide per se, hoc est Lo. numertis quartiis propositae longitudinis quantitate dabit. Ut aute se est ad b h, it ab g, esse: ad b a, sic demo strabitur . Detrahatur de maiore latere fg, po

tio aequalis linea: i k, per tertis propositionem libri

primi Elementorum, sitque e g & e ptan isto b, perpunciste, ducatur linea bed. per prima petitione, erunt duo anguli thh,& et, sper quartam propositionem libri primi Elemetorum inter se aequales, totusque angulus i h b,toti angulo e b s, per secun-