Nova Acta Regiae Societatis Scientiarum Upsaliensis

111쪽

a' ales seque ac imaginu Pin S.

2. Priusquam ulterius progredimur, ne in Sequentibus abrumpatur filum orationis, hoc jam probetur I ii Eon. ΙΙ. Si fuerit sortes Lerna in Orum re alium

con Vergens x rent i qualibet ab X. inde usque ad X limitibus inclusi v vj atque prost lorea tormini sun et i O- nos ipsius ae inter hos limites continuus consciant; fieri non potest quin S u in m a ipsu

continua eos dona inter limites sit stinctio ipsius x ' . - ) Gravissimum hoc doctrinae serierum infinitarum Theorema revera Cauchy au eluri itebetur. Verumeninavero generi, quo in eo utitur, loquendi Anal. At g o br. p. 15 l) VLorsque los disserens tormes de la s siri e Mo, ut , Udi, So. Sont de Ssonctions d 'une me me va ri ab te x, continues par rappori u eelle vari

112쪽

Demonstr. Quoniam, x denotanto valorem quemlibet ipsius variabilis talem qui limites illos x. et X haud excedat,

'it,l e clans le vois in age it 'une valeur particuli hro, potir laquollo in s si Vr te est convergente, la Sommc S de la 8 si rie est nussi, dans te volsi- age de celle valeur particuli ore, sonction continuo de xV non nihil juro lieoi objiei. Sollicet, ut sere Abel loc. cit. p. 7i in exempli caussa notavit, autumn seriei αὶ Sinx, Sin 2 a , 1 Sin 3 v, Sc. discontinua est mnelio ipsius x in vicinitate valorum a m ε 2 re num. integer aulo),

quamquam jure optimo dici liceat Vseriem esse convergentem pro α - vn lore particulario. cujus in vicinitate continuae sini sun liones termini hujusce seriei. Quae tamen aliaeque eiusdem generis objectiones Theorema, verbis supra in eun textu usurpatis consigna luna, nullo modo Stringunt: id quod ex ipsa patet demonstrali 0 - Sic ex. gr. Serie S illa α) convergens equidem est, x data qualibet inter oet 2 re; at tamen, si ponatur x indesinite in O aul 2 re convergere, seriem uno tenore convergentem permanere neu liquam Statui licet. E contrario vi Theoremalis hujus II pro certo si alui licet ita non es Se . I e caetero locus ipse nos rei admonet in doctrina serierum infinitarum gravissimae, cujus tamen debitam habere rationem nonnumquam supersederunt Geometrae, quamquam celari non pote Si de re ipsa jamdudum consensu quodam lacilo inter eos oonvenisso. Scilicet si quando probata suerit series, cujus iermini sun et iones sint variabilis cujusdam x, convergens esse x qualibet da laus quo ad limitem quemdam X X sex elusi ve); neutiquam exinde consequitur pro certo statui licere Convergentem uno tenore Seriem permuli oro, etiam si x indefinite ad X adpropinquare sngatur. - Tale non lieitum esse statutum Seric bus, quae Pro x Α divergentes sint, per Se manifestum esse videtur. Quarum in numero, ut exemplum adseratur, est

quae convergens est x data qualibet inter x O et 2Π exclusi ve) nt tu ipsis his limilibu , divergetis. Seriem vero α), quae in ipsis etiam hisce limitibus convergens jure dici

113쪽

Series illa

numerice QSSe dato quovis numero Numerus ille n alius est aliis x in genero; at talis semper aut pluresj x exsistit, eui respondeat maximus n. Sit illo Itaque et Summus .i ξ ξ)Φ su , breviter Ris, numerice PSt et, ζ atque ζ denotantibus alios quoscumque variabilis valores limitibus a b et X haud excedentes, Summae ambae

ideoque etiam disseretilia harum summarum quarumlibet bina

Possit, Convergentem utili permansero x-valoribus indefinito ad hos limites adpropinquantibus, n0n tam plane per se patet. I ali in re ambigua desternenda nonnumquam Theorema nostrum II usui esse perspicitur. - Rem praeterea istam, ut modo monuimus, jamdudum cognitam nec lamen semper probe servatam, sufficit hele semel verbis expressis commemora lana secisse.

Quae cum ita sint, omni absque expliealione perspicitur, quid nobis valeat in sequentibus phrasis illa Vconvergentem esse seriem x qualibet positiva'' aut 'x qualibet negativa' aut Vx qualibet tali: x. I x ς et det.

114쪽

Quibus concessis jam rem ipsam adgrediari, r. - DONO-latilibus et et : α Valores quoslibet ipsius inriabilis limitibus x. et X haud excedentes, nos quidem in hoc I heoremate contendimus, α quadam et qualibet minori numerico, disserenti-

in ille S summam seriei de qua licie studeritur. Quoniam series ambae

115쪽

unus plures ej muneri eo maximus erit. Sit illo fia αρα - - α :m igitur numerum denotat integrum, functionem ipsiuS ci qui- deni, ut certe haud n ipso. Itaque certo habebitur

Ν-Ν-via numerice haud a lore minior. ipsius ni fia pinu)-lia p)J. Et quoniam Lia x conlinun erat sui cito inter x. et Λ , tum exiguum ipsi u tribui licet vali rem numericum, ut posteriori huic

I. Duo iam propius nil sinem propositum n cedn NUS,

117쪽

Λmhahus imitate deminutis atque per u C0sbεν-i Sinb) divi sis comparatur, in quantitates illas I et Τ determinandus , sequutio

cujus in membris ambobus Si ponatur re indesinite in o convergere, tandem in limite habebitur

118쪽

I. P.

i Sin b. log I 2 ιι Costu φει - - s. Cos b, scilicet

id. Cauchy, Λ ual. Λlgdbr. pag. 500. ') Cons. Cauchy, Les. dii Cale. Disser. Los. X l. - Liceat hue loco monere, nos -- in curisi quadam lil : i Cauchy in doctrina quantitatum imaginariarum stabilienda ad duetos - nuper admodum Reg. Scient. Λeademiae Slochbolui. de hac re Dissertationem ubi ulisse, in qua non modo probavimus, injuste Ili. Cauchy ex Analysi

119쪽

Quo sacto constat, sequationem illum IJ xeram eSSe non modo realibus v et x numerico α ij, sed re et x quibuScumque formae iij, re et b et υ realibus quibuscumque nique u reali numerice V l, - seu positis et i loco ipsarum a Cosb et a Sint j sequationem

Sustulisse signa illa i)' atque in sp

logi lima statuatur, etiamsi loco numeri Λ quantitatisque realis μ substituanturo si v ot μ ε MVT, α, β, se realibus quibus eumque). Quo laeto plane apparet, legitimam esse transgressionem istam a secundo in tertium aequationis si ) membrum: id quod de caetero beio vel ex iis, quae in m n Cauchyipso et quidem loco cit. statula erant, consequitur, quippe quod heic u numerice ς l

120쪽

eram PSSe, dum v I immerice et i QSt, re et u Ot , realibus quibuscumque.

3. 2. l. Quo jam bre iter emolumenta, quae Analysi et quidem

Domitialim doctrinse Serierum realium insitillarum ex sequatione

illa Ii seu lj generali contingant, indicentur; omnium primo recordari juvnbit esse in denot. num. integrum j