Antonii Marii Lorgna in publico militari Collegio Veronensi mathes. profess. De quibusdam maximis, & minimis dissertatio staticogeometrica

1쪽

ANTONII ARII

De quibusdam Maximis, minimis

3쪽

VIRO PRAECLARIS SIMO

PETRONIO ATTEUCCI

Bononiensi niversitate Publieo Matias, Professor. Insistit Scientiarum, o Arrium Academ colen naris, atque in eodem Insituto pronomi Socio. Ropcisi ii mihi non ita pridem D. Torrelli virldeo Leruditissamus no haud inelegans solvendum s Problema geometricum Dato cireuis dat que 'l ubilibet in eodem circuli Iuno binis punctis , ni i ju, pestipuereia punctam definire toti, ut summa

quadratorum, quae sunt ex binis rem a panctis dotis is id punctum coeuntibus , si omnium minima . Problem huic quodammodo amne habet Uir Summus Hospisultu in sua Analysii Infin Parv. Sect ur. Punctum enim in dati Ci culi perimetro definiendum sumsit tale, ut summa rectarum ex binis punctis extra ipsum datis in id punctiim con venientium sit omnium minima: Quod quidem ad hype boles onstructionem reduxit. Illud ego cum Geometriae tantum elementaris ope facile solvissem , ansam exin de arripui , vadum generaliter tentandi , ut in linea a qua

4쪽

quacum clue, nedum in circulo minimum isti usimodi de-

rum numerus. Neque sane irrito conatu Plenariam etiim solutionem nactu fium perfacili methodo atque nive

sali, elegantissimi lieotematis statici subsidio, quod mihi sese obtulit, quodque , quantum quidem mihi aftenus innotuit, nullibi memoratum penes Staticorum Scriptores prostiat. Ulterius pergendo, occasione ipsa feren te , in eam ipsam incidi, minimi, quod in aequilibrio virium invenitur, considerationem, quam, Praestantisti me Vir, peculiari opusculo, eoque peregregio in Commenta

Inst. Scient. Bonon . . v. inseruisti.

Cum vero animadverterem id ibi tantum in libera puncti attracti directione definiri, clareque perspicerem id ipsum reperiri quoque in directione necessaria, haud

inconsultum duxi, legem horumce minimorum generalem una eademque opera demonstrare, Theoremate illo ad id veluti manuducentes Theoremata etiam aliquot

admiscui, quae si nullam aliam ob causam in pretio e sese possunt, implicitate . novitate tamen tuent ut ipsa se, hoc saltem nomine a Studiosis hominibus serte haud prorsu negligentur. Sed jam quae secerim ipsa res indicabit. Quidquid interim id sit, male quidem de te, Uir Illustrissime , meritu essem, nisi tuum plane esse voluerim; editatio enim illa tua nostram qualemcumque, hujusmodi in aequilibriis minimorum contemplati nem Promovendi, industriam suscitavit Uelim igitur lucubratiunculam hanc , quam tibi in libo, quaeque nulla re magis, quam nomine tuo, nixa, in publicum prodit, tibi accipiendam putes, tuamque prorsus facim, si quid in ex consideratione dignum ratus fueris inesse

fariam dividit recta lilaea ducatur Quadrata ex ateribus iacta aequalia erunt quadratis, quae fiunt ex basis par tibus,

5쪽

tibus, & duplo quadrato eius lineae, quae a vertie ad has m ducta fuerit. Demonstratur ex Iet S g Prop. Lib. II. Elem. Evcl.

THEO REMA . II. Si fuerit linea qualiscumque, iuncta quotvis in eodem plano extra, vel intra ipsam quomodolibet data veluti centra gravitatis aequalium ponderum inibi constituto

rum concipiantur, atque a communi eorum.

dein gravitatis centro ad lineam dueham es.se intelligatur rectam minimam, vel maximam omnium, quae ab eodem puncto duci potant, summa quadratorum , quae describuntur a rectis ex iisdem punctis ad id lineae punctum convenientibus , erit itidem

omnium minima, vel maxima Sit AK linea data puncta vero data sint C, D, E, F, G Iuligantur in quaelibet C, D in bisecetur in Irecta CD rursus iungantur bin E ,. F, biseceturque in recta EF juncta Ita bisectaque in H, erit punctum

6쪽

H commune gravitatis centrum ponderum C, D, E, F.

Jungantur punctam G, seceturque in P recta, ita

ut HP ad G se habeat reciproce ut punctorum aequegra. vium numerus in H constitutorum ad punctum G Erit punctum P commune gravitatis centrum equalium po derum C, D, E, F, G Sit autem Κ punctum ineae, in quod minima incidit recta, vel maxima P a puncto P,

ad rectam, demittatur normalis R, Diuo summam quadratorum ex Κ, Κ, Κ, Κ, Κ omnium minimam ore vel maximam, prout minima, vel maxima fuerit K. Quadrata ex Cc, D simul aequantur duplo quadrato ex CL, una cum duplo quadrato ex Ic rursus quadrata ex EU, Fc si1mul aequantur duplo quadrato ex L una cum duplo quadrato ex L . Et quoniam rectae CD, F ubicumque constituatur punctum ς sunt semper eaedem, ibi erit summa quadratorum ex C , Κ, E , FH, G minima , vel maxima, ubi dupla quadrata ex IV KL una cum quadrato ex G minimum , vel maximum conficient. Dupla autem quadrata ex IK, L aequantur quadruplis quadrati ex LH, ΗΚ, quadruplum quadratum ex H aequatur quadruplis quadrati ex H , Κ, una

cum o stuplo Rectangulo PR Quadratum vero ec G

7쪽

aequatur quadratis ex PK, P demto duplo Rectangulo GPR. Rursu igitur ibi erit summa quadratorum ex Κ, D inc omnium minima vel maxima , ubi quadrupla quadrata ex IH , P, quintuplum quadratum ex K, Oftuplum e tangulum PR, emto duplo Rectangulo GPR, una cum quadrato ex P conficient minimum vel maximum . Quoniam vero P quadrupla est ipsius ΗΡ octuplum rectangulum HP aequatur duplo Rettangulo GPR Ipsae autem ΙΗ, ΗΡ, G sunt semper aedem, ubicumque sit punctum,. Ibi igitur fit summa quadratorum ex Κ, DK Sc omnium minima, vel maxima, ubi quintuplum quadratum ex P fuerit omnium mini mum vel maximum, videlicet ubi recta re a comm ni gravitatis centro P aeque gravium ponderum E, F, G ad lineam ducta fuerit minima, vel maxima. Si fuerit igitur linea qualiscumque c. 4. E. D.

TAEO REMA II.

III. Caeteris manentibus producatur H Κ, donec occurrat recta Gid parallela ipsi Κin M, transeatque punctum G t M quam proportionem habetin ad G eamdem habebit ΗΚ ad K M ideoque secta erit ΗΜ in K in reciproca ponderum in M, H constitutorum ratione Quare punctum abi. hi in M, eritque commune gravitatis Centrum aeque gravium ponderum C, D E, F, Mi Dic, summam quadratorum quae

se omnium minimam: Ducantu ad aliud quodlibet plani punctum rectae

8쪽

demittatur ad HM normali QM: Iungantur puncta d. Quadratum ex H aequatur quadratis ex ΗΚ, Κ una cum duplo rectangulo H S; Rursus quadratum ex o aequatur quadratis ex Κ ΚΜ demto duplo rectangulo ΚS; Quadruplum igitur quadratum ex Q una cum quadrato ex Q aequatur quadrato ex ΚΜ, quadruplo quadrato ex HΚ, quintuplo ex Q una cum stuplo rectangulo Hra, demto duplo rectangulo ΚS. Et quoniam

NM secta est ita in Κ ut it, quadrupla ipsius K:

Oftii plum rectangulum HK aequatur duplo rectangulo ΜΚS. Erit igitur quadruplum quadratum ex Q una cum quadrato ex Μ aequale quadruplo quadrato ex HK, quintuplo quadrato ex Q una cum quadrato ex M. Majux est igitur quadruplum quadratum ex D una cum quadrato ex Μ, quam quadruplum quadratum ex HKuna cum quadrato ex ΚΜ Addito utrinque quadruplo quadrato ex ΙH, erunt dupla quadrata ex Id,QL una cum quadrato ex Μ majora dupli quadrati ex IK, KL una cum quadrato ex Ma Additis utrinque duplis quadra tis ex IC LE, summa quadratorum e C , Q , - , F una cum quadrato ex e maior erit summa quadratorum ex CΚ, Κ, ΕΚ, FK, una cum quadrato ex ΚΜ. Eodem modo demonstrabitur quadrata ad aliud quodvis plani punctum similiter facta majora esse quadratis,

9쪽

quae fiunt ad punctum K Summa igitur quadratorum ex CK, DK, ΕΚ, , ΜΚ, est omnium minimae. Q. E. D IV. Hinc Problematis orelliani solutio, clonge quidem ultra quam ex me petebatur. Caeterum me plurimum Uiro amicissimo debere profiteor, quod Problema te suo nobilissimas centri gravitatis affectiones eruendi

occasionem obtulerit.

V. Hisce positis, sponte quodammodo contemplandum venit minimum , quod in virium aequilibriis invenitur vel illas punctum aliquod in libera direetione sollieitate, vel in necessaria concipias Sequentia itaque praemittimus.

VI. Si vire quotlibet in punctum aliquod mobiles,

veluti expers resistentia agant pro simplici di tantiarum ratione, media omnium directio , vel directio vis ex omnibu compositae transit semper per commune gravitatis centrum totidem ponderum aequalium constitutorum in extremitatibus rectarum exprimentium tam virium directiones, quam quantitates, recta gero linea, perratiam vis ipsa composita designatur, tam multiplex est distantiae huiusce centri a situ puncti attracti, quotus est num rus vitium attrahentium

10쪽

Super A , B compleatur parallelogrammum PSE ductaque diagonali PE , super P , PC compleatur Mrallelogrammum CFE , ductaque diagonali PF , super PF, Pincompleatur parallelograminum PDGF, ducaturque diagonali PG, quae erit utique is ex omnibus composita jungantur puncta A, B, is puncto madi ducta V diagonalem P secante in m jungatur D secans diagonalem P in Q , Dico , punctum' centrum me gravitatis commune ponderum aequalium , B, C, D, P vero quadruplam esse ipsius PQ Quoniam enim diagonale PE AB se mutuo secant bifariam in M, erit, centrum gravitatis commune PD derum A, B; Similia autem sunt Triangula MN, CNFo parallelas m CF : Quare ut MN ad Noe, it MPa CF vel P ipsi CP aequalem; subdupla est igitur Nipsi u NC , atque ideo secta est C in min reciproca

ratione ponderum in M, constitutorum. In Migitur centrum est commune gravit1tis punctorum A, B, C.

Quoniam vero S PN ad F se labet uti ad N atque invertendo, componendo, iursus invertendo PMad PF ut MN ad C erit , subtripla ipsi s M. Si- initia sunt autem Triangula Nd, Q ob parallelas PN, DG ideoque ut d ad D ita mad DG , vel ipsi aequalem R. Se habent igitur inter se invicem Q