Explicatio analytica constructionis universalis superficierum secundi ordinis quae analoga est constructioni curvae secundi ordinis per directricem et focum illi respondentem Dissertatio Mathematica

2쪽

VIRO ILLUSTRI, SUMME REVERENDO

D. D. D. fCRIPTOR.

4쪽

PHAE FATIO.

Quod saepissime accidere solet iis, qui necessitate quadam coacti adscribendum animum appellunt, ut multam operam in sola materia scribendi quaerenda frustra consumant, id mihi quoque accidisse libere Prositendum est. Nam cum pari amore tractassem et phusicas et mathematicas disciplinas, volui utrasque habere partem in hac prima mea dissertatione. Sed superabat alia quaestio ines meas, in alia opus erat nimis amplis Praeparationibus, experimentis in alia e quibus, quid redundaret incertum erat. Quae cum ita essent, nihil mihi potuit evenire magis ex voluntate quam quod Itilius Plii cher vir clarissimus, praeceptor dilectissimus eo auxit, qua semper in me USUS est, benignitatem, ut ad hanc speciosam quaestionem e geometria analytica desum- tam animum meum adveneret. Dct qua quae conscripsi, quantum fieri potuit diligentissime, lectori benevolo propono; vellem critici acri iudicio subiicere possem. Quod fortasse liceret, si liceret sequi Horatii praeceptiam: . nonram Promatur in annum. Id ipsum autem, cum sit incertum, potius dicamus: Daudaces sortuna iuvat. Iam igitur adsum de dissertatione, quid iudicetur. ut audiam; nec non ut theses in fine adiectas defendam. -

6쪽

Reela data et puncto , locum geometricum omnium punctorum Silorum intra planum huius rectae et puncti, quorum distantiae ub hac recla el hoc puncto sunt in ratione constanti, esse curvam secundi ordinis, salis est nolum. Iam sequamur huius thesis analogiam et vidcbimus: Rcela data et puncto, Io eum geometricum omnium punctorum in spatio, quorum distantiae ab hac recta, parallela plano dato, et quorum distantiao ab hoc puncto sunt in constanti ratione, es susu perficiem sceundi ordinis. I Situs omnium punctorum per distantias a tribus planis fixis inter se normalibus deler- minetur, quorum intersectiones axis X, axis Υ, axis Z denominentur, hisque parallelae distantiae uniuscuiusque puncti a planis istis per coordinatas X, Υ, Ζ, ut Solent geometri, Signentur. Sit linea dula axis Z; in axi X punctum datum sil situm, cuius coordinatue Sint cxi, ο, ο); utrique axi sit normalis axis T. Aequatio, cpia planum datum signiscatur, sit haecce:

7쪽

el proin

Transformentur deinde coordinalac aequalionis 9. g. antecedentis ita, ut membra 2 ι abxyut 2e xlx cxcidant. duo consilio si ponimus X - xcos φ-ΥSin ip et Υ - γ e0S p in X sin gi, et sumimus Wip aut in , excidit membrum 2uyabxy. Si igφ - - , i. e. Si novum axeui F movemus in intersectionum plani XY et plani sub N. 1. g. l. dati, inibus eodem modo inclinatis, aequalio ita mulatur

α - -

8쪽

rit porro b quadratum eosinus eius anguli, qui essicitur eadem normali et linea parallela axi Υ primo. Quem angulum si denominamus υ, est

Constat aulem salis, posse hanc aequalionem osso loco aequalionis universalis Supe scierum secundi ordinis η , nisi sorte in immensum crescit membrum constans, quod sit, si aut coussiciens quanti talis x , aut quantitatis T evanescit. Λllorum Si occurrit, aequalio 5. ita transformetur, ut in ilium coordinalarum ponatur in altero puncto superficiei, in quibus axis X

Alterum si occurrit, aequalio 5. ita transformetur, ut initium coordinatarum ponatur in altero puneis Superficiei, in quibus axis Υ eam secat, quod sit si statuitur y - y T V e I quare aequalio mutatur in y - O. a.

A. Ipsa natura aequalionis 5. g. praec. docet Supersicies, quas illa aequalio complectiatur, symnielre esse ad plana coordinularum; quod cum Sit dicium de coordinalis orthogonalibus, siti sunt axes principales supersiciei in axibus coordinalis. In centro Superficierum situm est initium coordinatarunt, quoniam ΦX, --Υ, Φz ad Rrbitrium mulari poteSt cum -X, - Υ, - Σsine ullo aequationis detrimento. Hac vero aequalione eos r ι , , , , Sin υ-μ

significantur pro variis valoribus quantilalum constantium hae penitus diversae superscies. I. Si ιι α cos I, omnia membra partis Sinistrae sunt positiva; significaturque ea aequatione, Si praetereal a. μ α sin υ- elliploides Sive superficies elliptica. Ita enim dextra aequationis pars sit positiva, quam ob causam sectiones omnes planorum coordinatarum et planorum iis parallelorum, quod remota sunt ab iis usque ad resp. Z - - μxi

cs. Introductio in analysin inlinitorum auctore I.. Eulero. Appendix s. 115.

9쪽

minor est vel aequalis quantitati sin υ sive

a b a 'II. Si in aequalione l. μ eos 2 sed ιιδ α l, coelsciens quanti talis x sil negativus, ii quantilatum y et g reflant posilivi, significaturque aequatione, si praeterea 2 a. μ λ α sin*υ- Superficies et i ip t i co- hyper l, olica. Ita enim dextra parsaoquationis fit neguli va, quam ob causam plana XY el XZ ac his parallela secant supersiciem in hyperbolis, quarum axes resties paralleli sunt axi X; planum TZ ei suo parallela, quoad remotu

sunt ab illo usque ad X m 2 ip adpζ-m e vis in si maritS, ei quoad remotiora in ellipsibus. - 0uia l, valor axis imaginarii, qui silus est in axi X maior est, quam qui situs

reulis se habeat ad valores absolutos axium imaginariorum. 3. ιιὸ in Sin v - conus. Ita enim evanescit pars dextra aequationis, secant igitur plana XΥ et XZ supersiciem in binis rectis, omnia his parallela in hyperbolis; planum TZ in uno puncto, et omnia huic parullela in ellipsibus. Coni axis Silus est in axi X, et quoniam L, i , ines maiores ellipSium, quarum mentio fiebat, axi Υ sunt paralleli. 4 a. tu , sui υ- superficies h Tperbolicο- hyperbolica. Ita enim pars dextra aequaliouis lil positiva; plana XX et XZ ue his purullula, quoad remota sunt ub iis resp., c My-Sin v N . . DXi V Ω --sin ν usque ad Z - 2 tixi - ---- .. J Ul Υ - 2 Hi -- , Sees ni si l μ06u eos: - l - M- cossi perii eicin in hyperbolis, quamui axes imaginarii paralleli Sunt axi X; haec plana ipsu in binis reclis; quoad remolioru in hyperbolis, quarum s xes reales paralleli Sunt axi X; atque planum YZ et omnes illi parallela in ellipsibus. 0uia - , I, realis axis Superficiei, qui situs est in s xi Υ, maior est eo, qui situs est in axi Z; vulor autem absolutus axis imaginarii in axi X Sili. ob causus similes iis, quae valuerant in axi reali superficiei ellipti eo - hyperboli eae, quomodo se habeat ad valores axium realium, est incertum.

10쪽

Λnnol alio. Non possunt hae superscies sistri rolatoriae, quoniam ob ιι - , eos L ei ιι α leoe Iscientes quantilatum XI S*, Zὸ semper restant inaequules. III. Si in aequalione 1. ιι dii, coefficientes quantitatum xy ol γ ol dextra purs sunt negativi, significaturque hac nequalione 4 b. superficies hyperbolico livperbolica. Planum XΥ cnim ci omnia huic parallela secant superficiem in ellipsibus; plana XZ el TZ, omniaque his parallela, quoad remotu sunt ab

axis realis hyperbolicae liuius Superficiei, qui est silus in axi X, minor est, quam, qui situs est in axi Υ; cum autem non salis sit constitulum, quomodo se habeat 3ι:1, Podem modo inest luna est, quomodo se habeat valor absolutus axis imaginarii ad Valorem absolutum utriusque axis realiS. Anno talio. Quoniam, si insuper est eos)ς - 1, eoessiciens quantilatis X aequalis ost efficienti quantitatis T , haec superficies sit rolatoria; nam sectiones omnes ei plani XΥ ci ci purallelorum sunt circuli, et omnes planorum, in quibus Silus est axis Z. hyperbolae inter Sc aequuleS.

lerseelio plani dati sub l. g. l. et plani XΥ incidit in primum axim X. Fit deinde in g. 2.

lgφ - - - G, ergo φ - 90', i. e. aequalio supersciei ita tran Sismata est, ut systema axium X et X circumagatur 90', qua de causa hic axis T incidit in axem X primum. Aequalio transii in

significaturque ea , si praeteres1 c. μ α cos)ς - Super ei os elliptica, ut sul, 1 s.