장음표시 사용
111쪽
ametrum circuli invenire aequivalantis , duobus datis
diameter est circuli aequipotentis ambobus circulis.a.d.&.d.Ο.diuido primum.a. .per aequalia per quartam huius, quod punctu erit centrum dicti circuli,imaginemur ergo illum , cuius quidem circunfercntia transibit per punctum d per.xxx.tertii, deinde supra unaquam linea
.rum a.d:d Ο.&.Ο.a.describo quadratum, secundum doctrinam. Xiiii. huius, praeterea erit proportio quadrati. a.n. ad quadratum .a .m. eadem quae circulia.d.ad Circulum. a.Ο.per secunda duodecimi, per quam oti m pro portio quadrati. o.b .ad quadratum .a m .eadem est,quae circuli.Ο.d. ad circulum .a. o. tuam per.xxiiii.quinti, proportio quadrati. a. n.cum quadrato.Ο.b .ad quadratum. a. m.eadem est quae circuli .a.d.cum circulo .d.o .ad circulum .a.Ο.& pcr. Xvi.quinti, ita se habebunt quadrati a. n &.Ο.b.ad circulos .a.d.&.o.d. vi quadragi.a. m. ad circulum.a.Ο.sed cum pcr.Xlvi. primi, quadrati. an &.Οb. aequales sint quadrato .a m. erit per septimam quinti, proportio quadrati a. n.cum quadrato.o b. ad circuit .a O .eadem quae est quadrati. a.m .ad eundem circulum. a o.& per undecimam eiusdem, erit proportio quadra
112쪽
a.dis .d.O.'uapropter per nonam eiusdem circulus .a. o aequaliseit duobus .a.d.&.d.o.quod est propositui . Patet etiam quod inter sectio circuloru .a.d.&.d.Ο.qua es c. erit in linea .a.o .nam si ducta fuerit linea. l. c. recta transiens per virorumque puncta interlecationum circulorum , iam manifestum erit quod si punctum. c. Oniungatur per rectas a punctis .a .R . o. anguli ad .c.rectierunt per.XXXaertii, quare per.xiiii. primi, lineae. a.c&
diameter circuli. a.o .alioqui duae rcctae lineae concludc- ,rent superficiem, quod est impossibile, reliqua vero ii tersectio, erit in puncto anguli recti .d. hoc clarissimum est cum a.d.&.d.o.diametri sint illorum circulorum In aliis autem punctis, minime se inuicem secant circuli. a.
ueni problema anno. M D L I I I.
113쪽
titatibus inaequalitas communica r. rebus, maximam quantitarem com muniter eas numerantem inuemre.
HO C latis patet, ut docet secun da septimi propostione licet Euclides, illud ponat in decimo libro, H eo ita fecit ut m gis uniuersale sit problema , cum dicat de quantitatibus , quia linea etiam ct luperficies est quantitas necnon
E T D E O,I M I. Propositis tribus quantitatibus commvniciantibus maximam , eaS communiter numerantem inuenire.
Ex tertia septimi patet,id est per illum ordinem.
114쪽
Proposita qualibet recta linea, duas ei incommensimules, alteram inpotentia tantum, adseram in longitvsneer potentia rectas lineas invenire. Proposita linea st. a.intentio autem sit duas rectas liueas reperire, quarum altera communicet cum adia potentia tantum, reliqua vero sit ei commensurabilis in longitudine atque potentia, sumo primum duos numeros, mi nime se habentes in proportione numerorum quadratorum , scilicet.b.&.c.quos facile inuenire est, cum quilibet quadratus numerus ad quemlibet non quadratum numerum, eatra habeat proportionem, quam minime habent inter se aliqui quadrati, ut colligere est ex.xxii. octaui, praeterea inuenio lineam.d.ad cuius quadratum se habeat quadratum lineae .a.Hh.ad. .hanc vero linea ita inuestigo, diuido primum .a.in tot partes quot sunt nitates in.b.per.xvii.vel. xl.primi huius, deinde super extremitatem linea .a .erigo perpendicularem per primam primi huius, quam in tui partes diuido, quot sunt unitates in .c per praedictas sed ut unaquaeq; partium .e. perpcdicularis super.a.aequalis si unicuique parti lineae. a.)modo quia per prima exti, proportio quadrati linear.a.ad superficiem contentam sub.a &.e.eade est quae a.ad.e.&per undecimam quinti, scut numeri.b.ad numerum .c.tunc sposita fuerit.d.medio loco proportionaliter inter.a.&.e.per decimamoctauam primi huius, M
115쪽
. DI B E R . , ' γ' etiam coni quadram linear.d.aequale sit superficiei pro
tia per dentutionem in principio decimi positam, nam cum sit proportio illius quod fit ex .a.ad id quod fit ex .d.
Vt.b.ad .c. ut demonstratum est in Sunitas numeret.b.&c per coem scientiam ergo, quadrata linearum .a.&.d. . . numerata vel mensurata erunt ab aliqua comuni luper ficte. Ulterius .aaY.d.erunt in longitudine in inmensu rabilesper ultimam partem .vii decimi, quod esst Primupropostum. Secundum autem sic,inuenio lineam. fmedio loco proportionalem inter .a.&.d.per. XVili primi huius, tunc erit per. xvli sexti quadratum .a. ad quadratum fiscui.a. ad .d.itaqi per secundam partem .X.decimi, erit quadratu .a .incommeserabile quadrato f. quamobrem linea.fincommensurabilis erit in potentia lineae .a.quare
di in longitudine per ultimam partem.vii .decimi, S co munem scientiam, S ita pater totum propositum.
116쪽
E T D E C I M I. Duas lineas invenire, potentia tantum rationales comm
Ad hoc perficiendum sumo lineam rationalem stilicet.a... accipio etiam numerum quadratum, nempe,d e. quem diuido in punctos ital proportio.dae ad .d feadem stiquae alicuius numeni quadrati ad aliquem numeru qu d ratum S alta ad Learmi ut numeri quadrati ad num . rum quadratum, talis autem numerus est quilibet quadratus, diuisibilis in quadr*tum enon. lug rarum, Utiq.qui diuiditur in.iiii S. v.& omnes horum aeque multiplices 'c.deinde inuenio lineam ad cuius quadratum se
habeat quadratum linea .asi sicut numerus. i. .ad numerum .d. fper praecedentem, quae quidem per communem scientiam minor erit.a.b.st igitur. a.c tunc per X lvi.primi huius, e a.b.&.a. c.constituo angulum ita lconiunctis reliquis extremitatibus per .c. angulus a C. b. st rectus. Nunc autem dico lineas .a b.ct.b.caesse quas quaero, IRmper. ίlYLprimLψladratum impK.ab aequale est duobus quadratis duaruna linearum .a .c.d .c.b.d
quia per thypothesin,proportio illi quod fit ema.b .adio quod fit ex.a.c.est in f .e.ad .d rarit per condeIsam . proportionalitate in . xiv quini domonstratI, proportici illius quod fit ex .a b.ad id quod fit e c.Kvt,d. da. e. quare qd fit ex .c.b.eolagi cum eo quod fit ex .a b feriri.
117쪽
decimi, ' per definitionem in principio praedicti posita,
quod fit ex .c.b.rationale erit, nam cum communi superficie communicabit quae dicitur rationalis, praeterea cuper ultimam partem. vii .decimi, lineae.a.b.&.c.b.rati nates, potentia tantum communicantes sint, Sper secundam partem praedictae.a.b.&.a.c.in logitudine S potentia,erit igitur manifestum propositum, si autem plures duobus reperire libeat potentia tantum rationales duarum una potentior sit qualibet aliarum in quadratoicuius lineae secum communicantis in logitudine. Hoc vero per praedictum ordinem coadiuuante.xlvi.primi huius, ct doctrina.xvii.decimi inuenire facile est.
ET DECIMI. Duas lineas inpotentia tantum rationales communicantes
quarum longior plasposse breuiori quantum est quadrarum lineaesibi incommensura bilis in longitusne inuenire.
118쪽
In hac vero propositione, non aliter faciam qua ut ii Lxviii. decimi dictum est, hoc excepto, quod.xlvi .primi huiuS, mediante, ut praemissa & habebo propositum.
ET DECIMI.mas lineas mediatis potentia tantum commvnstantes s perficiemque rationalem continentes, quarum longων breuiore potentior sis, augmento quadratilineae communicantis eidem Iongiori in longitudine invenire.
Hoc problema, ita absoluam sumo primum per quartam
huius,duas lineas .a &.b.potentia latum rationales comis
municantes, quarum longior scilicet.a. ampliuspossit breuiori scilicet.b.) in quadrato alicuius lineae secum communicantis in longitudine , ct pono lineam.c.per xviii .primi, huius medio loco proportionalem inter .a.&b.deinde per.xxxviii .praedicti, inuenio lineam.d. ad qua se habeat linea.c.vt.a.ad.b.nunc vero arguendo, ut docet.xxiiii.decimi, patebit.c.&.d.esse quas querimus.
119쪽
ET DECIM l. Duas lineas mediates potentia tantum communicantes finterficiemque rationalem continentes, quarum longior potentiosis breuiori quadrato linea eidem longiori in longitvine commensurabilis invenire. Politis duabus lineis. a.&.b.rationabilibus potentia tantu pacommunicantibus, quarum longior possit amplius breuiori quadrato lineae, secum non communica inibus in longitudine quae repertulatur secundum do tritia quin-. tae huius, eaeteris vero nostionhus scut in praemissam a nentibus argumentando consimili modo, patebit duas lineas .c.S.d.esse quas quaerimus die .
Duas lineas mediates potentia tantum communicantes s- perficiemque mesalem continentes quarum An or brεviore tanto amplius posse quantum erit quadratum a secutus linea incommenserabi is ipfl longiori in longitud ne nue re . In hac autem propositione proceda ut docet. xxvi. decimi, sed vice xviii .eiusdem, accipiam quintam huius.vice vero .i X sexti, accipiam.xviii .primi huius, Vice autem.xvii.
decimi, quartum huius, di habebo propostum.
120쪽
ET D d CIMI Duas lineas solentialiter rasmensurabile superficiem smediatem continentes quarum quadrata ambo pariter acceptasne rationalia, inueni re. Ac hoc aut,inuenio duas lineas,ut docet.v. huiuS,nempe. a.
lineam.f.derigo perpendiculariter ab aliquo puncto linea .a.b.ad eandem, ita quod ipsa f. s.cadat medio loco proportionalis,intersectiones quas faciet ex .a.b pucti Saul diuisionis sit.g.in linea .a.b.& linea media proportiC-nalis sit.g.e.deinde protraho .e.g.vltra .g. ita quod . . b. aequRbS ut a.g.per.viii .primi huius, praeterea a pu0ctCoh.extraho lineam. b.Laequidistanter,&a quale linea .g b. eer. vii primi huius, per cuiuςcorrellariu habebo luper. nclem g.i.aequidistantium laterum, quae aut superficies aequalis erit ei quod fit ex.c sper.xvi.sexti, postmodum arguam ut docet.xxvii.decimi, & habebo propositum.