Exercitatio geometrica. De geometria indivisibilium, & proportione spiralis ad circulum. Authore, Thoma Anglo, ex Albiis EastSaxonum

21쪽

EXERCITATIO

tio Q. sitque reliquum latus paralle- 4logrammi, I K. &fiat A L perpendicularis Axi aequalis rectar I A. -

& excitata perpendiculari a puncto L. ad latus quanti propositi L M. multiplicentur divisiones Axis donec singulae partes sint breviores linea lL M.& ductis a divisionibus axis litaneis parallelis basi quales sunt E N. PR. IF0 excitentur a punctis N P p. perpendiculares aequales partibus Axis, Sc productis parallelis perficiatur figura ex parallelogrammis, qualia' sunt BF. D. PE.&NA. Et dico quantum consistens similita bus parallelogrammis factis excedere quantum ABC. minori quantitate quam sit assignata O. Cum enim pa- rallelogrammum H X. sit minus. quantitate S. & parallelogrammum ex omnibus partibus axis in L A. sit aequale parallelogrammo H M. & parallelogrammum LMA. majUS parallelogrammo quolibet ex una parte axis minori linea L M. in partem recto

22쪽

GEOMETRICA. a

ctae parallelae basi quae est extra quantum A BC. N integrat latus parallelogrammi ex integra linea in partem axis minorem quam sit L. M. parallelogrammum H Κ. majuS erit omnibus partibus figurae ex parallelogrammis quae sunt extra quantum A BC. N per consequens Figura ex parallelogrammis excedit quantum ABC. minori quantitate quam sit O. quod erat probandum. Sicut de planis processimus, de cor-,'poribus eadem methodo fit progressus 3 Quare universaliter demonstrata est propositio assumpta. Esto itaque tertia propositio: Quicquid praetenditur demonstrari per propoλ Vtionem indivisibilium per methodum propositam, σquasi saciliIate demon*rari natum est ex huius methodi; ct ab ea habet yrmitatem.

Cum enim indivisibilia non possint comparari ad se invicem nisi numero , magnitudine, & proportione, seu Ordine, clarum quoque sit multitudinis B com

23쪽

' EXERCITATIO

comparationem nudam vanam esse, , cum in omni quanto sint infinita. Item comparationem magnitudinis nullam esse posse nisi numeri ratio habeatur , cum plures minores faciam

aequale paucioribus majoribus, fit demonstrationem per indivisibilia non posse cum apparentia tentari nisi per ordinem seu proportionem quae reperiri possit inter indivisibilia; sive indivisibilia ejusdcm corporis compa- Dentur mutuo, sive indivisibilia unius quanti ad indivisiyilia alterius. Quare cum necesse sit posse fabri- cari quanta super indivisibilia in ea- dem proportione quam habent indivisibilia, planum est per ipsa quanta partialia ut in methodo iactum est

posse argumentationem construi ae-ctuali facilitate atque per indivisibilia, imo reipsa elle structam siduntaXat mutentur voces & vice hujus

Induisibile A. est ad inridisibile B. dicatur , Quantum cuius basis A est ad quantum cuius bos B.

24쪽

tentumGeometrae probare aequalitatem circuli cum Triangulo, cujus laterum circa angulum rectum alterum aequale sit semidiametro , alterum circumferentiae circuli, quod est primum exemplorum quo Toriscellius, Geometra elegantissimus, confirmat doctrinam indivisibilium: Et esto figura, quam ipse proponit, Triangulorum

ABG & AI L.& circulorum DB.&OL Arguit ille , ex aequalitate periapheriae o I. ad latus I L. hoc est, singularum peripheriarum concentric. inclusarum in peripheria D B. ad singulas rectas parallelas lateri BC. inclusas in Triangulo A B c. aequalitatem circuli D B.cum Triangulo A B C. deductione magis speciosa quam soluda, ut ex dictis patet, quantumvis accidat conclusionem esse veram. Addet a nobis proposita methodus figurae ipsius unam peripheriam GK. & unam rectam F H. parallelam lateri BC. de arguo. Quoniam linea I L. de F Η. sunt

25쪽

EXERCITATI 0

sunt aequales peripheriis O I. G K. et pars radii I F, communis mensura latitudinum Annuli cyΚb I.&Trapezii IF L Η. aequalis' est Trape- etio Annulus, & sic de quocunque "cunque annulis & traperiis similiter formatis. Sed omnia Traperia sine dissicultate sunt aequalia Triangulo, & omnes Annuli circulo' ergo circulus DB. aequalis est Triangulo ABC. Videre igitur est , quam levi mutatione methodus indivisibilium, quando solide procedit, in nostram methodum de sese evidentem, convertatur. Indivisibilium itaque Geometria nihil opus est, nam de Arithmetica indivisibilium nihil habeo

pronunciare statuta universali me thodo conscribendi figuras, quae mutatis mutandis juxta materiae qualitatem per omnia per vadit & ubique

Unde non satisfacit mihi elegantissimi .Geometrae Evangelistae Torri-eelli restrictio quod in planis quidem

26쪽

figuris solae circulorum peripheriae , in solidis autem superficies tantummodo sphaericae, cylindricae, conicaeque idoneae sint ad demonstr/tiones. Minus quoq Splacet assignata ratio quod solae ista periecte adaequent figuras, Sc considerentur tanquam undiq; aequalis uniformisq; spissitudinis. Cur cilini ellipticae hyperbolicaeq ; & quarumlibet regularium figurarum sive circumferentiae sive plana, & corporum ex iis natorum cortices non eandem potentiam obtineant, vel quid sit quod per spissuudinis vocem velit exprimere, prorsus ignoro. Spiralem Archimedaeam esse aequalem semiperipheriae circuli pri

mae redolutionis.

Quoniam probatum est per quan

ta posse expediri illa quae perin-diVisibilia utiliter tentantur, exem plum aliquod regulae propositae exhi-

27쪽

EXERCITATIO

bere consentaneum erit. Et ne opera vanh teratur, convertenda est ad 1 ub-jectum quod scientiae ampliandae se viat & non tantum ostendendae. F. 34Esto itaq; angulus rectus A BC. cui oppositus ut arcus a C. quarta pars circuli, & bisecetur per lineam β D. angulus & arcus, cuius duae medietates sitiat A D. D C. Bilecentur rursus arcus & anguli per rectas E B.& F B. Bisecetur item A B in G. & centro B. spatio B q. fiat arcus G H. secansrustam D B. bifariam in re & erit Gm dimidius arcus A D. M quarta pars totius ABC. te duo arcus G H. dc D c. una quarta parte hoc est ipsa. Wrantitate arcus G H. minores int gro arcu A C. Bisecentur rursus singulae partes arcus AS C. per lineas BBL. B M.&BN. Bisecetur quoq; B qino. & H D in P. & ducatur arcuso Q. donec secet L B. Sc arcus P R. do

nec secet FB.

Et quoniam arcus G in sectus est bifariam in puncto I. a recta B E.erunt: a

28쪽

GEOMETRICAE O

quatuor arcus O C, IR P R, & F c. sic ordinati , ux IH sit duplus O Q, P R. triplus ejusdem , & F C. quadruplus ejusdem O Q. hoc est singuli

arcus excedunt se inviccm ut numeri. Totus iraque arcus D C. excedit duos arcus P C. 8c P R. uni parte aequali arcui O O.& totus arcus G H. excedit duos arcus Os Sc I m una parte aequali ipsi O Q, Duo itaque arcus

GH,&DC. excedunt quatuor arcus

O R,I 'P R dc Fc. per partem a qualem O si bis, hoc est per partem aequalem dimidio G H. sea totus arcus A C excedit duos arcus GH, &D C per partem aequalem toti G H. Exccssus itaque totius . supra duas partes est duplus excessui duorum a cuum supra quatuor.

Similiter, si intelligatur tertia duchotomia fieri in partes seu arcus octo Ustrum primus lit S τ, quoniam S Test quarta pars o Q. Medietas O Q. cum ipsa S T sunt minores tota O Q petr partem aequalem T6c sic necesse

29쪽

EXERCITATJo

cst singulas geminas pro prioribus

quatuor suppositas dencere a prioribus quatuor singulis partibus aequa libus S I, propter gradationem conti

nuatam secundum numeros. Quatuor

itaque partes , O si, δ' P R, & F C, cxcedunt S T & caeteras septem per tertiam dichotomiam factas quatuor partibus aequalibus 5 et , hoc est, per uuam partem aequalem OM, hoc est per dimidium G I. Excessus itaq; quatuor partium seu arcuum supra octocst dimidius excessus duarum partium super quatuor et Et sic semper. Si itaque

dichotomia continuetur in infinitum, linea facta ex primo excessu puta G R& omnibus' medietatibus medietatum in infinitum , est aequalis excessui totius arcus ADC, supra lineam quae consurgit ex arcubus in infinitum multiplicatis pet dichotomiam, & ordinatis secundum incrementum numerorum modo explicato. Quare clim G Η cum omnibns medietatibus faciat displum G Π, hoc est aequale A D, erit linea

30쪽

Iinea hu)usmodi dimidia arcus A D C. Et cum hic ipse discursus possit

toti circulo aeque atque quadranti applicari , & linea qui sic ordinatur cum circulo siit Helix Archimedea, ut patet ex constructione ipsius, fit Helicem Archimedeam esse dimidiam circuli primae revolutionis,ut appellant. Praxis superius datae regulae de conscriptione figurarum alteri cujus quantitas sit invenienda, in hoc eXemplo consistit in eo, quod arcus in singulis multiplicationibus faciunt novas longitudines seu quasi figuras ex arcubus circulorum inscriptis spirali vel parti ipsius, magis & magis'

appropin uantes Helicae vel parti Helices quaeutae: Et liceat proposita quantula linea, ostendere longitudinem ex

hujusmodi arcubus , differentem ab

Helica quaesita minori longitudine quam sit linea proposita. Evidens ulterius fit demonstrationem Mae ab aliquibus affertur ad probandum aequalitatem inter lineam