장음표시 사용
11쪽
H EXERCITATION Esrum, ad scinissem differentiae eorundem.
Vt idem aggregatum, ad duplum rectangulum subprimo & secundo, ita semissis summae extremorum,
Exponatur quaelibet recta AC, qua bifariam in E puncto diuia , centro E interii allo E A, ducatur semicirculus A B C, & sumpto in recta A C, puncto quolibet D , a puncto D erigatur perpendicularis D B, ad rectam A C,
peripheriam secans in B puncto :&ducatur recta E B, erunt iam proportionales rectae C D, D B , D A: ducantur etiam rectae CB & AB. erit aggregatum, quadratorum a B D, D C , aequale quadrato BC,siueractangulo sub AC in CD , differentia vero quadrati B D, id est rectanguli C D A, & qua-C drati C D , est rectangultim sub C D in differentiam C D, & D A: atquirecta lagulum sub
AC in C D, ad rectangulum sub C D in disserentiam C D & D Λ , est vi A C, ad disserentiam dictam, siue Ut A t vel B E semissis ipsius A COLE Dsemissem disser entiae. Eodem modo: aggregatum quadratorum A D, D B id est quadratum A B. vel rectangulum C AD, est ad disserentiam eorundem rectantulum scilicet sub AD indifferentiam AD, DC: nam ex AD quadrato sublato B D
uadrato , siue rectangulo A D C, remanet rectangulum sub AD in diseerentiam A D, DC.) quum eadem sit altitudo AD , ut AC ad differentiam A D, D C, siue ut B E ad E D. quod est primum. Item: aggregatum B D quadrati & D C quadrati, siue B C quadratum, id est , rectangulum A CD , est ad rectangulum sub CD in D s bis, ut A C ad D B bis, siue ut BE semissis ipsius AC, ad B D. Eodemque modo: agggregatum BD quadrati,& AD quadrati, siue AB quadratum, id est rectangulum C A D. est ad rectangulum sub A D in D Bbis , ut AC ad DB bis, siue ut BE ad BD. quod erat demonstrandum. Quum igitur quadratum Numerum vi IC, preponit Diophantus quaei l. 8. '. bb. a.) in d-οs numeras quadratos dispescendum, triauis Iulum re tangulum quaerit laterum nationalium, cuius is potenWa sit . Iit illa se Otheo a in Fur scripto diagrammate B E, quaeruntur itaque latent , BD, DE rationalia: bocautem siet, si ponatur ratio D C ad
D B , vel D B ad D A, ut numeri cuiuolibet,a numerum quemlibet. ex iam demon si alis : nam quum DC , DB ponantur tonitru ine rationales, eo m quu D ra cr-nt quoque rationalia : sit D C ad D N vel
12쪽
EeED erit rationalis ex demonytratis. quum sit 5 E,adE D ut summa qua- Latom a DC, DB,rationalibus inter Ie ad disserentia eorundem seu B Enumerus rationabs quare quadratum latens E D, ides a radice a se . aequabitur EB quanato, minus BD quadrato: ides i6-Ist . quae aequario erat Diophanti: σ prodit dator nius numeri in Sic istam positis: siit BD r N. eiusque quadratum I quoniam ratis BD ad D Re sutradi, erit DC a N. ED aequabitur EC det BE minus D C, id est N. cuius quadratum aequi bitur iterum Io Irritque valor unius N. α, t prius. ex quibus pater, manente eadem ratione a ad I , positaque radice quadrati unius quaesiti I N, radicem fecun-ἀ duplicem esse : ut in hoc exemplo radix fecunda est 2 .s quam stim in sua Zetesii a sumpsit Diophantus el etiam Α- N. ex qua prodit idem qui prius radicis 'inius datiri quod animaduertisse fue
EXERCITATIO ΤERTIA Ad decimum probema lib. II. Diophanta κ
Zeteticumserundum lib. IV. Zetetiscorum Fraucissi metae.
IN huius Zetematis enodatione . quam sese excruciant fiusti a Diophan ii Scholiaties vetus, monuit Xylander: at quo Iure Xylander Scholi flen Graecum reprehendens ἄναλυφων illi exprobrat Lmih αν , eodem& nos hic Xyla id ro obieceriinus ψαλγαριαν dum ipse falsam, Imo potius nullam harum hypothesium causam pro vera obtrudit, ut post ostende tur: Francisciis Vieta Zetetico II. lib. IIII. Zeteticorum, methodo sibi peculiari, ex quadam triangulorum ab inuicem deductione rem absoluit, eoque recidere ait Analysin Diophantaxim: sed positarum a Diophantoli postasium gene sui sic non edocet. ad hunc nodum dissecandum sequens ego excogitaui.
13쪽
SI fuerint duo triangula rectangula , quorum ea
dem hypotenuia, & latus alterum unius, alterius trianguli latus secet, erit in triangulis rectangulis a lateribus reliquis, & sectorum laterum segmentis constitutis, ut segmentum alterutrum recto adiacens angulo, ad summam reliquorum duorum eius- dem trianguli laterum , ita differentia duorum lat rum, ab eodem hypotenuis extremo eductorum, ad summam duorum a reliquo eiusdem hypo tenuis
Sit circulus cuius centrum K, diameter E C , te semicirculo inscribantur utcunqua E A. AC, EB, BC, α duc xur Ab , producaturque AE in Dde sit E D aequalis ipsi E B: & ducatur recta B D, secent autem sese A C.E B in F, &secet eadem BD peripheriam iterum in L rectam vero A C in G. quoniam latera ED , EB, po
nuntur aequalia , erunt anguli
E D B, E B D aequales angulus exterior A E B aequabitur dia, plo anguli interioris E B D, id est peripheria A B, dupla erit peripheriae EI.. ducatur autem HI, perpendicularis ad A B, secans peripheriam A B in Id . &per neriam reliquam in I. quae transibit per cetrum Κ , eruntq. peripheriae A H , E L aequales:&- quoniam anguli BC A comple
gulus A HB. ideo trianguli G CB, duo anguli CGB, C BG, aequales sunt angulo A H Ri sunt autem periphetiae CIE, IEH semicirculi, ex constructione, a quibus ablatis peripheriis A H , EL aequalibus , sut iam ostensuri est in remanent periphetiae AEI, LIC, interie aequales, id est anguli A HI, G B C iisdem inustentes inter se aequales. est autem angulus A HI, semissis anguli AH B , siue complementi anguli BCG ad duos rectos, quare AGBC erit eiusdem complementi semissis : anguli igitur C BG. C G B, inter se aequales erunt, & latus C G aequale lateri C B. quum secet AC rectam EB . in F , fiat EM aequalis ipsi EF : eritque triangulum v MF simile itiangulo L D B isos celes: M tectae M F, DG parallelae, qua
14쪽
te in triangulis A MF, ADG, vi AF ad Abi, id est ad summam ipsarum A E, EF, ita Ac disserentia duarum A C, BC, ad A D summam duarum
A E . Ed. quod erat demonstrandum. eodemque modo ostendetur, Vt FB
ad summam duarum BC, CF, ita differentia duarum A E, E s ad summam duarum AC, B C. Sitiam se circulus centro A, diametro G AK descriptus, O fuman tur circumferent ae qualescunque ,'K D, K F. Oapune tis D F, demiserantur in diametrum perpendiculares F B , D C: ducantur semidiametri A 6 Amsitque F E perpendicularis in AD,inducatur Vecta D 'eritque ex demonstraris, ut B H, ad summam B , - II, dei t CD ad CG, hoc ola ummam C , AD, seu )t CK ad CD, ita dissere tia os B E, ad fummam duaram FB O' L F E. ponatu r iam ratio CK ad CD esse di numeri cuiuslibet, ad numerum quemlibet: 'ciocet r.
ait. C, sint datorμm q6dratorum latera, primum AE F E, quibus inueniendi sint duo alij quadrati numeri αquales: ut sunt quadrata tit rum B, BF prioribus rationalium: es enim di 5 H adsummam B A, AH, id es obpothes vir. a d a. ita dissereηr a duarum AB, A ad summam F B OFE. sit ex Diophanto ses E. 3. FEL G sit disserentis AE , AB IN. Suoniam iam .A E maior est quam A B, eritias B latus quadrati unius quaesiti 3 I N: quam F E ponatur minor qMam FB, erit F B latus alterius quoti quadrati a N-2: quoniam es ut i Ad a.
ita i N differentia dicta, ad i. N. ρmmam fidicer FB GFE : quarerm erit FE 2 M-2. quoniam termini hic se habent di numerus ad num trum et funtque F E, E rationales longitudine, erunt quoque FB, B A longitudine inter se, O ipsis , E, EF, rationales. Iam radim manente ratione I. ad a, sit latus AB datum a. O BF 3.
qu aerantur latera A E E F: Uerentia lateram AN, A E ponatur I N. quare latus num quaesitμm erit a se i N. O quoniam es tradi, ita IN ad 2 N. erunt a N. summa ipsaram F E. erit itaque latus alterum quasitum α --, quα b pol es Diophantaeae. Ex quibus patet opim methosis eruιndi quaesitum , na Soncretices,
Methodum onereticam dota eam, qua ex triangulis C A D, F E, inuenitur triangulum F β , cuius angulus ad Basin F - Γ, componitμrex acutis datorum FA E , D A C. Methodum Di creticam doco eam , qua ex Διbus triangulis D A FAB. inuenitur tertium T A L , cuius aη hius acutus ad basiis
15쪽
F E aequatur disserentiae angulorum FS D C, in triangulis
Q arum ope tandem exhibentur omnes omnino sepulases, quotquot e hiberi ρ sunt, ijs3em manentibus terminis, dariata tantum qualitate, hoc est assectionis nota. Primum in ratione minoris inaequalitatis Iada, positis datorum quadratorum lateribus 2. y quorum quadratis numeris inueniendi simiaij duo quadrati aequales.
Appatet tangem , quantum a scopo aberret Xylander, ciuiliarum hypostasium causam solam ait esse, ut in aequatione vi mutua elisis alijs, rem neant in& N. inter se comparanda: quam quidem non elle legit timam ex demonstratis arguere est. sic exstatutis a Diophanto conditionibus, si datis duobus quadratis .& '. quaerantur duo ali J quadrati numeri aequales , &poriatur radix prior iN 2. posterior Vero SN 3. manent tandem in aequatione N. inter se comparata , at prodeunt iterum Radices Σ & 3, quae quaestioni non satisfaciunt, quum sint illi numeri primum positi Quae-iantur autem alij ab illis diuersi: causa autem huius symptomatis est, quia
ratio 2 H ad summam B A, AH, siue di Terentiae laterum B A, A E, ad summam laterum BF F E, sin diagrammate proxime superiore in ponitur in hoe themate, vi aesterentia duorum AB a. de BF 3, datorum, ad s, summam eorundem : quare fiunt triangula A B F, A E F aequalia & similia, de latus A Baequale ipsi F E , latus vero F B aequale lateri A E. quae quidem conditio non
erat utique tacenda, ne artis ignari, cogantur interdum opera & otio abuti. Ex Theoremate hoc loco demonstrato innotuit quoque quomodo ex duobus datis triangulis rectangulis deducatur tertium , cuius angulus ad basin acutus , aequet summam vel disserentiam angulorum acutorum ad bases triangulorum datorum : idque concinnius fortas le&elegantius quam Methodo Tetra , in pri*Ubus ad Analyticam Speciosam sub Analytic es
16쪽
Speciose notis tradita, quamque ego pro p. i. dcr. tractatus mei ad Angulares Sectiones, arte mea , Geometrice demonstraui. propositione quidem prima, Methodum Diaereticam, secunda vero,synaereticam :quae bases sunt. & fundamenta Sectionum Angularium. Ex supra traditis colligere eit quoque, huiusnodi hypostasses esse nonnunquam ambiguas. proponatur enim duobus quadratis ' de A. inuenire duos adios numeros quadratos aequales, & sit latus unius ζN-3, dico litus alterius quaesiti quadrati esse ,Σ-MN. vel etiam 2-i N.Ite proponatur latus una esse a N. dico latus alterum effe3 - 1 N, vel 3-ι N. quod animaduerticse fuerit operaepretium.
M trices imum tertium Zetema Lib. V. Diophanti. si ues Decimum quartum lib. V. Zetet, corum metae.
Quam peritus quondam Artifex in dissoluendis nodis quibuscunque Mathematicis suit quondam Fran cus Vieta, tam in eritos nactus erat ama- . mienses: qui dum ab illo excogitata recenserent,vel rudius exarata reuiserent, multa pro suo modulo deprauarunt, alia etiam ad rem omnino necessaria omiserunt, aliorum ingenia ad suum captum sortassis exigentes, ut quod ipsi, non intelligerent, id alium neminem adseqduturum putarent. quod teliatur Zeteticum illud i , &vltimum Lib. s Zetetic 'm , in quo non ibium omissa non suppleuere , sed plurima nec serenda commisere , quae facilc tyronem studiosum obuoluant ac remorentur: quare & huic Zetetico op in. ferre hoc loco constitui: quod ipsum est Zetemaues Lib. Diophanti. quae stio ab Epigrammatatio Graeco propolita, sic habet:
17쪽
O A valens drachmas dinum,ccmmiscuit i l . Quod daleat quisas, callidus Oenochous. M. Qua natumstituens pretium praescribere mixto, Quaslibet oblatas quod capiens Monadas, Qua ratam reddat numerum . qui, quod tenet omnes
Mensuras mixti , psit habere latus.
Iam numeros quinque an po sis discernere, O Octo Drachmarum, qusquis tu colis isa doce. Sensus . quaestionis hic e st: duilex proponitur vinum miscendum, quorum
unius, choae pretium octo dractimae , secundi qninque: pretium choatum omnium numerus est quadratus, qui adsumpto numero quolibet viso, facit adhuc quadratum numerum , cuius latus aequetur aggregato choatum omnium quibus constat vinum mixtum. quaeritur quot nam hic sini choae
utriusque pretis, siue quomam fiat quinque drachmarum,quot octo drach -
Iam si ponatur A numerus choarum omnium, A quadratum constabit plus choarum omnium pretio. st G planum εο . igitur A quadratum minus G plano, erit pretium vani totius muti, siue numerus drachmarum omnium. st B s.pretiuenoae unius primi generis.D 3.pretium choae singulatis secudi generis. igitur A quadratum minos G plano pretium totius mixti, debet minus elle quam D in A, id est eo quod fit si ι. pretium maius, multiplicetur in summam omnium choarum: at minus quam B in A, id est eo quod fit si pretium minus ducatur in summam omnium choarum eo igitur res recidit, ut inueniatur numerus quadratus qui si aequalis A quadrato minus G phano , sed minor quam D in A,& maior quam B in A. Iam ex Vieta. sumatur radix quaelibet binomia negata, cuius unum nomensi A. stilla A-F, quare eius qu dratum,scilicet Aq-Fin Abis - Fq. aequa
ione quadrati affecti sub latere negate. quu autem sit minus, erit quoque Aminor quam eiusdem quadrati assecti radix. iam ponatur S aequalis vel maior radice illa assecti quadrati. erit igitur A minor quam S. contra quoniam Aq-G pl. maius est quam B in A , ideo per Antithesin λ quadratum -Bin Amaius erit quam G pl. atqui si ei aequale esset, ex resolutione qua-
18쪽
tur A: erit -- t. maius quam F in R bis, & minus quam Pin s bis. elli. tur itaque F intra hosce limites, & sit illa E. erit i tut G planum maius quam 4 μ bis, itidem GPl. minus quam bis quare ex potestati in se inue se negatarum resolutionς , erit E minor quam S - .L V α maior quam S-Lv. sit enim l aequale D pl. ' quar
Dpl. maius erit quam G pl. & disserentia extremarum, posita D media, δύS bis lumma earundem minor erit, quam si poneretur G media , eadem S a summa extremarum. in qua quidem hypothesii S- L v. est et maior extrema. composita igitur ex S& semisse prioris diisserentiae, minor erit composita ex eadem S, & semisse disserentiae posterioris. & contra: differetitia ipsius S &semissis disserentiae prioris, maior erit disserentia eiusdem S, Iemiliis disterentiae posterioris, quare ζμ β posito maiore quam GP vel
aequali ipsi D pl. erit E in hac hypothesi maior quam S-Lv. t 1 Eodemque modo: si fuerit minus G pl. vel aequale Dp erit Lmaior quam R--L v. vel minor quam R-LV.
T).76 4. afuniatur autem S eidem aequari , 4M etiam praestare z ct - eam assumpsit Vietae anagnoses ix minor scilicet quam L . quum ex Aete eos conditionibus debuisset assumi malo cibcet. II. It -q-e scitanter hi e gessit anagnoses. E Odem moso . quum Aponatur maior quam L . . :- plus B sue L. Q plus eΠA H R, eidem aequalis vel minor, in notis Histris perperam ac scitanter alsum ntur pro R , ii, maior quam
Z p i V: quum debuisset a fumi minor, scilicet io.
Quare supponatur S I3. A IO. assumenda iam erit F minor qμam I 3 plus L. Icy, at maior quam Io . plus L. AP. es aurem 23 minor quam is plus L. Io'. I7 maior quam Io 'L o. quare commode assumetur F a3 vel 17. vel etiam quilibet alius numerus intermedius : agis natur rapud Metam ro. D si v IN. u. - es a sumuturigeriti N. IO quae non minus satisfaciet quaesioni. t patebit inferius. At positio Uy bis prae lare G pl. erit E maior quam S T
19쪽
ii 1- ut prius. quα quidem h tui processit ars altera fuit, sed apud Vietam negliranter Omissi.
Assumatumin F is, quod est extra limites a Vietae Anagnosta angustiores multo quam oportuit astignatos: limites enim assignat ille, iν,& M, nos iryc. 23. eritque ex superius traditis Aggregatum vel summa Choatum Quinque Drachmarum Choae Octo Drachmarum Choae Pretium Choatum quinque Drachmarum θα Pretium Choarum octo Drachmarum Pretium smul omnium. 33' - I cuius i. est Vnitates adieci e c*- , Summa pretij totius, de unitatum 113 cuius L est io Proposito igitur, ex hoc quoque Themate satiast. quod demonstrandum
e Problema lib. V. Conicorum Apolloni' Pergati
qui Liber hodie integer desideratur.
Pappus Alsecandrinus in Scholio Prop. 3o. lib. . Mathematicarum collectionum, Veteres Geometras, ad Problemata quae ex rcvirum linearistri vel circulorum in plano descriptione, absoluere nequibant, vario Vlos arti ficio retulit: interdum quidem sectionibus Conicis , alias lineis ellictis ex im-Plicatis motibus, quales sunt Helices, Quadratices, Conchoides, Cilloidestac. Nec leuiter peccatum exist masse, siquis problema planum, per Coiu-ca vel linearia absoluisset: quale inquit si illud 'polloni j Problema de Parabol. lib. s. Conicorum. sed pro temporis iniuria, semianimis tantum degit inter mortales Apollonius, ex octo enim libris Conicorum , quatuor tantum superstites ad manus nostras peruenere, quodnam si hoc Problema libri quinti, ex eiusdem libri argumento, quod in Prolegomenis ad librum collect: onum septii minis ubindicat suille magna ex parte de maximis S minimis, leuiter coniectare licuit: at Analrtica mea duce, tandem reperi, illam maximi & minimi determinationem in Parabola, abique solida inclinatione
20쪽
Sit data Parabola A B, cuuis axis DB,datumque punctu extra parabolam C: oporteat liuienire rectam, qualis sit recta D A in adscripta figura in contingentem Parabolam in Apuncto, ita ut recta C A, ad dictam contingentem in punctum contactus ducta, sta perpendicularis.
Factum iam sit: & recta A D tangat Parabolam in A puncto , secetque axem DB
extra Parabolam in D puncto. tum ordi natim applicetur recta A E cui parallela recta C F secans D B rectam in F, primum itura Parabola. & per punctum A, ducta sit recta C A, secans axem D B in C. sit recta H iuxta quam possunt ordinatim ad axem applicatae: erunt itaque E B , B Dae-
quales s ex sue. i. Apoll. est quoque angu-us D A G rectus,quadratum igitul A E , ae - uale erit rectangulo G E D sed idem qiiaratum , aequale est quoque rectangulo si bB E & H recta : erunt igitur rectangula C E D. At B E in H aequalia , quare ut D Ead E B ita H recta ad G E, est itaque G E,
semissis rectat H. est iam rectangulum
H in GF. ad rectangulum H in G E, ut GP ad GE, hoc est ut CF ad AE , sed re- tangulum sub H in C F aequale est rectangulo sub H in EB, plus rectantulo sub H in disserentiam rectatum GE &Fae ,&ipsi rectangulo sub
ut loquitur Pappus.ὶ non posse definiri, quare ex restitutis a IJS DIIU bus quae ad hasce maximi & minimi determi irationes pertinent, alliumptis extra vel intra Conorum sectiones punctis quibuslibet , haec interim accipite :& Apollonium quondam Pergaeum, i non ita pridem inGalliis, Ilicio α Belgio resuscitatum, sta iam in extremis maioris Britanniae oris, quas horrifer inuasit Boreas renatum, quu benignior nos respexerit Apollo, exspectate. Itaque assignato extra Parabolam puncto aliquo , ad determinandam minimam earum omnium rectarum , quae in Parabolae sectionem a dato. cto duci possint,sic propono.
DAta Parabola, datoque extra eam P
uenire rectam datam Parabolam tangeistem, ad quam , quum ducetur a dato puncto recta in punctum contactus, erit ea ad tangentem perpendicu