장음표시 사용
21쪽
H in EB aequale est quadratum A E: quate A E
quadratum, plus H in disserentiam GE &FB. est ad H in G E, ut C F ad A Z quare dabiturAE : ex demonstratis a nobis in AEtiologia. nostra pro Zetetico Apollonij Rediuiui.
Componetur autem sic: fiat, ut disserentia
rectarum G E, siue semissis ipsius Id , ii ixta qua
pollunt ordinatim applicatae, de F B, ad H, ita CF ad Z. tum inter GE, de disserentiam ipsa- . rum GE, de FB , media sit proportionalis L. dc data L prima in serie quatuor continuὶ proportionalium,& Z conlpo sita ex secunda & quarta, inueniatur secunda: quam dico aequalem esse ipsi A E quaesitae. quoniam enim est , ut disserentia rectarum GE & FB, ad id rectam, ita CF recta ad T rectam: sed ut disserentia rectarum G E & FB, ad H rectam, ita disserentia rectangulorum G E in H , de G E in F B bis, ad G E in H. erit igitur ut disserentia rectangulorum GE in H, & GE ii,
F B bis, id est vi L rectae quadratum, ad G E in Id, ita C P, ad Z. quare solidum sub I. quadrato de Z , aequabitur solido sub GE in H , & CF recta sed solidum sub C F recta 5c G E in Id, ostensum est aequale ipsi A E cubo, plus solido sub I. quadrato & ipsa A E : quare solidum sub L quadrat, in Z, aequabitur ipsi A E cubo , plus solido sub L quadrato de ipsa A E. uare si Z ita diuidatur, ut unius segmenti cubus, aequale fiat solido, quodi sub reliquo de dato L quadrato, erit latus cubi ipsa A E quaesita. hoc aurem est,dant L prima in serie quatuor continue proportionalium, & Z composita ex secunda & quarta, inuenire secundam quae aequalis etit ipsi A E: qua data & ordinatim applicata ad axem D B, dabitur A punctum, a quo educta A D tangente Parabolam , erit recta C A ad eandem perpendicu laris , adeoque omnium minima quae a dato extra puncto A , in Parabolam AB duxi pol sint. quod erat faciendum. Eodemque modo: si recta CF perpendicularis in axem, cadat extra Parabolam . erit id in G F ad N in G E, ut G F ad G E. id est ut C F ad A Test autem H in G P aequale ipsis Hin EB, Hin GE S H in FB , sed H inE Raequale est A E quadrato: quare A E quadratum plus id in G E plus H in F B, erit ad H in GE, ut C Fad A E, igitur sipsi, H in GE , & H in F B, fiat aequale quadratum L.& st ut L quadratum ad id in GE, ita CF recta, ad Z rectam, erit Z recta aequalis altitudini solidi , ipsis A E cubo , plus H ii, G E in AE, plus H in F in B in A E aequalis. quare Zaequabitur ipli A E,&praeterea altitudini quae oritur ex applicatione ipsius A L cubi, ad I. quadratum. diuidatur itaque Z ea ratione, ut cubus unius legmenti aequalis fiat solido sub reliquo 'c dato L quadrato. Hoc est data L prima quatuor continue proportionalium, & composta ex secunda, & quarta Z, inuenian-rur proportionales,quarii secun- erit AEquaesita ut est sapiadem ostratum. Cadat postremo perpendicularis C B in verticem Parabolae in B punctum.
22쪽
a AE . sed H in EB aequale est AE quadrato: ergo AE quastatum plu, H in EG, est ad id in EG, ut C B ad AE. ipsi igitur H in EG aequale fiat
quadratum L,&sit ut L quadratum,ad H in EG,ita CB ad Z. tum ita diuidetur Z ut prius ostensum est, ut sicilicet cubus unius segmenti, aequalis sat solido sub reliquo &dato L quadrato, siue data L. tima escce quatuor continue proportionalium, &Z composita ex secularia & quarta , linieniatur secunda A E, qua data inuenietur ut supra ipsa DA tangens quaesta,xe ostensum est. Si punctum extra Parabolam datum, sit in axe ut est D punctum, erit D Aeductarum mini ma, v t constat. At vero ex data prima ,& composta ex secunda & quarta inserid quatuor continuo proportionalium , discernentur proportionale pia, sper in-esinationem solidam, siue motus implicatos ut loquitur Pappus haud aliter quam Plato duplici nomone rectangulo, inter datam primam de quartam , inuenit duas continuE proportionales. nisi huiusmodi aequationes per duplicatam hypostasin ad cubos filiap s reuocare malis, cuius quidem Pra
xis Geometrica, non adeo est obscura. reliqua ad hanc rem suo loco ac tempore opportunius. Iam enim maturus satus auxiliares tantum manus, exspectat. ' .
EXERCITATIO SEXTA. Gd Problema Mepleri in sua Stereometria Doliari Mathematicis huius aut propositυm.
Edidit Magister Ioannes Keplerus Mathematicus Caesareus , stereometriain Dolij Austriaci, in qua , Prop. 23. Problema huius aeui Geometris Proposuit.
DAt propo: tione diametrorum trunci Conici , coniugationem inuenire, in qua talis truncus aequet Cylindrum coniugationis maximae.
Quod quidem Problema, ut & huius Grinae alia omnia , plerique Geometrae ex quorum numero erat ipsemet Keplerus. in Geometrice soluere impossibile ducentes, quoties adcuborum gradus eos evexit Analysis. tan- qi iam se prorsus desperata , ulterius nihil tentarunt. at in hisce non siibstiterunt veteres Geometrae, sed aliqua saltem ratione.siue persectiones Conicas, siue per lineas alias mixtas , ad praxin Se neces arios in vita vias ,traducere sunt' conati. quomodo autem huiusmodi aequationes legibus Geometricis fiant obnoxiae,ex propositis hic Problematis discite tandem Analytices studiosi: quae quidem nos ex tractatu nostro Stereometrico excerpsimus.s quem absolutum & integrum, de parallelepipedis, Cylindris, truncis CH
23쪽
et, , Corporibus regularibus . noua triangulorum Sphaericorum Ster ometria, cum appendice de pro aphaeris noua & multo quam a te hac sciciliore in sinuum Analogiis, concinnavimus priusquam autem Keplero sui fiat, sequens Problema operaepretium suerit demonstrare.
DAio solido , cubo data: Splatrae instripto non maiore, inuenire solidum parallelepipedum, . eidem aequale, quod datae Sphaerae inscribi possit.
Demonstrauit suo modo Keplerus, Prop. . sita moliaris Stereo mettiae omnium parallelepipedorum eidem .phaerae inscriptorum , quadratalaue bales habentium , maximum elle cubum . si igitur solidum datum, cubo datae Spiraerae nascripto suerit aequale, factum erat quod proponitur. iiii autem minus fuerit cubudatae Sphaerae inscripto, tum duplex exhiberi potest parallelepipedum, quod datae Sphaerae insciibi potest, 1 olido dato aequale unucuius basieos diameter plus possit duplo quadrato altitudinis; alterum,cui opdiameter basis,minus possit duplo quadrato altitudinis. st iam datum solidum minus cubo datae Sphaerae inscriptibili,& si aequale solido facto subri B diametri datae Sphaerae quadrato , ita D rectam : tum data A B prima maiore, in letie quatuor continuE proportionalium, & data D rectae dupla, di fierentia secundae & quarrae, inueniantur proportionales, erit enim seria, per D dupla , minor duabus tertijs lateris cubici, quandoquidem cnbus, maior ex hypothesidato solido, applicatus AB quadrato diametri Sphaerae cui inscribatur, dat altitudinem tertiam partem latetis cubici. quarum secutis da maior aequetur ipsi CS : quae quum necessario minor sit ipsa AB, ex hypostes.ὶ super A B descripto semicirculo , ei inscribatur recta B C, R dx ...u. . re dic parallelepipedum cuius baseos quadratae diam e- terest A C, altitudo vero CB , esse aequale solido dato, sub A B quadrato in D tectam . . V γ e Quoniam enim D dupla est disserentia secundae maioris, quartae, in serie quatuor continuὸ propcrtionalium, & CB secunda, quadratum e prima maiore Ab, ad riuadratum c secunda CB , erit ve A in prima ad tertia, vel secunda ad quartam ,&duli den- i do . quadratum . prima A B , ad differentiam quadratorum e prima AB , S uecunda C B ,id est AC quadratum, ut secunda C B, ad dissecentiam eiusdem secundae &quartae, id est ad duplam ipsius D
quare solidum sub AB quadrato in duplam ipsius D . aequabitur selido sub A C quadrato an C.B: igitur & illius sebduplum . id est selidum sub A B dua- qato vi D, aequabitur hurii: subdupla, id est selido sub quadrato cuius dia.
24쪽
meter est AC .in CB rectam, quod erat demonstrandurn . .: Haud dissimili polibrato usus est Archimedes Prop. i. lib. r. de sphaera& C in dro , qui na pari necessitate additistiis, inter duas datas rectas lineas, duas medias proportionales cori timid dari postulauit, ac nos hic , data prima maiore &dijdetentia inter isecundati &quartam in serie quatuot continue proportionalium . quoniam vero sipr, monuimus solidum parallelepipe dum mimis cubo, datae Sphaerae inseripto, sub duplici specie exhiberi posse, una quidem, quum quadratum basis parallelepipedi minus est bale cubi altitudo vero maior latere eiusdem: altera vero, quum quadratum basisSarallelepipedi, eadem cubi base maius est , sed altitudo cubi altitudine minor: poterit secunda proportionalis inuenienda ,sue altitudo parallelepi di quaesita, csse duplex , una minor altitudine cubi, altera maior. quibus exhibendis si quaeratur concinnior aliqua mechanice, ea sic detegi potest' quoniam solidum sub A B quadrato in D rectam bis i aequale ostensum
est solido sub A C quadrato in CB , erit ut AB quadratum ad AC qu dratum, id est ad A B quadlatum minus CB quadrato, ita C B ad D duplam, ac proinde A B quadratum in D bis a quale erit AB quadrato in CB, minus C B cubo : quare quum quadratum diametri Sphaerae AB, triplum sit baseos inscri pii eidem Sphaerae cubi: si basis cubi statuatur F quadratum. erit F quadratum ter in C si, minus CB cubo , aequale F quadrato in D sexies: quare quum P latus cubi, maius sit quam Dier, t supra est adnotatum. si constituatrict duo triangula rectan uia , aequalis Flaypotenti, ne, ita ut gngulus acutus subtensus a perpendiculo pii mi, sit triplus ad angulum acutum , subtensu in a perpendiculo secundi , de basis primi aequetu gipsi D ter, erit basis secundi, multata longitudine eius rectae quae potest quadrato triplum pereendiculi eiusdem , altitudo minor quaesita dide eadem se- cundi tria guli balis, eadem longitudine producta, altitudo erit maior quae sita: exij, quae a me demonstrata sunt in appendice tractatus Francisci Viem de recognitione & emendatione AEquationum. Angulum vero rectilineunt tristicare sue per hyperbolas, siue conchoidem Nicomedis, docuit Pappus lib. .collectionum Mathematicarum. ex quibus Problema propositani ad. v εα side Cti m γω sumo, veteribus sic dicta reserti poste constat.
Eadem qua supra methodo Keplero quaerenti Prop. q. suae Doliaris Str.
reometriae licebit respondere, praealssumpto primum eo quod demonstra, uit ille Prop. ao. eiuldem : nos vero Prop. I9. nostrae Stercometitae nimb
TR uncorum Conicorum quorum bases oppos-Gu sunt parallelae, de diametrorum aequalium C in
25쪽
i, ' DX ER CITATI ONE Ssegmenta et iisdem rationis, maximum esse illun ciabus altitudo, ad diametrum est potentia subtriela.
Di ametros hic intelligimus. Diagonios plani per axem in truncis Conicis. Itaque ut Keplero satisfiat, huiusmodi ex Stereometriae nostrae Prop.za Propono .
THEO REM A. Solidum sub disserentia quadratorum diametri &
altitudinis se Chio his per axem trunci Conici, &eadem altitudine, aequale est solido lub eiusdem diametri quadrato, & altitudine, ad quam altitudo Cylindri trunco aequalis , basin habentis eiusdem diametri circulum , se habet ut basiis Cylindri trunco
aequalis , eandemque cum trunco altitudincm -ha
bentis, ad disserentiam Circulorum a diametro sectio nis per axem, & altitudine.
sit truncus Conicus cuius sectio per Oxem si AB DE . altitudo DC: diameter autem baseos Cylindri , sub ea lena altitudine DC , ipsi trunco aequalis, si BF. ex Prop. V. Stereometriae Doliaris Repleri : semissis igitur summae diametrorum in basibus, erit recta B C, sit quoque cidem trunco aequale solidum sub PD quadrato in Id, deinde fiat ut BF quadratum ad D C quadratum , ita H ad G. dico solidum sub disserentia quadratorum BD dc DC, id est quadrato BC, in altitudinem DC , aequari solido sub eodeni qnadrato BD in rectam G. quod hic de quadratis ostenditur, idem . intellige de circulis quorum diametri B D, D C : quum eadem in utrisque
Quoniam enim est ut BF quadratum ad BC qua-diatum, ita H ad G: erit lolidum sub BD quadrato in H, id est ex constrii mone, solidi uri sub BF quadrato in DC , ad soliduni sub B D quadrato in G, - ut BF qua ratum ad BC quadratum, sed ut BF qua- dratuni ad BC quadrati ita lolidum sub BF quadrato in DC, ad solidum sub B C quadrho in DC . id est sub disserentia quadratorum B D, D C in P C: solidum igitur sub disseten-3ia q adratorum BD, D , ni DC, aequale est solido sub B D quadrato iii G. quod erat demonstrandum. Iani propositum a Keplero Problema ita eo acipio de demonstro.
26쪽
DA ta ratione diametrorum parallelarum in basi
bus trunci Conici, & solido ni in ore datae contusationis trunco maximo , inuenire truncos alternos dato solido aequalis, quorum basium diam cisi rationis sint data .
Alternos hic truncos dico in quibus eadem manet diameter fectonis per axem, sed bases olindrorum Truncis sub eadem altitudine qualium,
altitudinibus IHnt recipro . . Ei dem 4ero cxiiugarionis, in quibus diametrorumsectionis per a cm segmenta si ni similia aequ ita. Sit Jata coniugatio, in qua diameter plani per axem sit AD, eiusdem segmenta AB, BD: datum quoque sit soliqum minus trunco, sub hac diametrorum in basibus ratio lac, maximo , sub A D quadrato in id rectam: ssit scilicet ex Keplero solidum illud aequale Cylindio coniugationis maximae. Et sit trunco Conico oblato aequalis Culindrus sub eadem altitudine: ex Prop.ri. Stereo metriae Kepleri. quae i3 est Stereometriae nostrae, dabitur igitur ratio diametri baseos Cilindri, ad latiis disseretiae quadratorva diat petro plani per axem in trunco Conico, & altitudine ciusdem: sit ea vi R ad S. deinde fiat vi R quadratum, ad S quadratu, ita H diameter baseos Cylindriatunco dato sub eadem altitudine ae allatis,ad G. erit igitur ex praecedente propositione, solidum sub AD quadrato in alti iudaiacm trunci qua itam, minus eiusdem altitudinis cubo, aequale solido sub AD quadrato in G. & quoniam est ut AD quadratum, ad quadratum H diametri baseos Cylindii sub altitudine quaesta, aequalis Alido dato , ita Quaesita altitudo ad H rectam: & ut dictu quadratu diametri baseos Cylindri, ad dissetentia quadratorum a diametro A D, G altitudine quaesta, ita H ad Gex constructione. erat ex aequo: ut quadratum diametra A D, ad dis iurentiam. Quadratorum a diametro & altitudine qiuaesita, ita altitudo quaesita , ad G re ctam : solidam istitur sub quadrato diametri A D , in G rectam, aequale eri: solido sub disserentia quadratorum a diametro de altitudine quasita, in altit
dinem quaesitam: hoc autem est,
D Axo solido, cubo datae Sphaerae inscripto non .
maiore , inuenire solidum parallelepipedum eidem aequale , quod datae Sphaerae inscribi possita
Qui nodus exercitatione sexta iam est enodatus.
27쪽
μ EXERCITATION EsEXERCITATIO OCTAVA
Ad Lemma ab Archimede assumptum lib.de Conoidibus Sphaeroidibus.
Archimedes Prop. 8. lib. de Conoidib, & Sphaeroidibus proponit
DAia Ellipse , & erecta ab eius centro recta ad planum in quo est Ellipsis perpendicul ri, in qua inignetur punctum quodlibet, inuenire Conum, cuius vertex sit punctum assignatum, in eius que superficie sit Ellipseos datae Periphaeria.
Quod ut absoluat Archimedes, Lemma asi imita Fciderico Commandino, qui hunc libellum Commentarijs illustrandum susceperat) penitus neglectum. Illud Dauid Rivaltus , quum suum adornaret ille Archimedem, Ut supplerem xogauit, quod a me ruin primum praestitum fuit: &demonstrationem , quam suis inseruit Commentariis, illi liberF communicaui. at quoniam nomine meo suppresso edita est illa demonstratio, placuit hic aliam adducere, illa non inimis concinnam . propositum itaque ab Archimede Problema, sic geueralius quam Archimedes concipio.
DAto angulo secto utcunque, datoque puncto in
alterutro Crure angulum continente a puncto dato rectam educere a recta Iccante sic intersectam, ut quadratum segmenti siccantis inter verticem anguli & rectam sectam, ad rectangulum sub interfectae segmentis datis cruribus terminatis, datam teneat rationem, statutis conditionibus.
Sit datus angulus B A E , sectus a recta Al utcunque, & in crure A B situ tum B punctum : oporteat autem a puncto B , educere rectam BlH, sectam a recta angulum s ante in I puncto,& a reliquo crure iii punctori, ita ut quadratum AI , ad rectangulum sub segmentis B l & IH , ra- rationem teneat datam , R, ad S. ducatur utcunque BD, secans A I in F:S far ut R ais, ita A F quadratum , ad T quadr-tum , quo ad B F apy li
28쪽
applicato, oriatur latitudo FD. tuin super FD describatur segmentum circuli, capiens anguluFED .aequalem angulo AB C: secetque circulus seductus rectam AH in E, ducaturque recta EFG, cui a pu iacto B parallela aga. tur B IH : & quoniam anguli G B F, F E D sunt aequales, erit ut BF, ad FG, ita FE, ad F D: rectangulaque B FD, G FE aequalia. sed ut quadratum A F, ad rectangulum G FE, ita quadratum AI, ad rectangulu B I H : igitur vi R ad S, ita quadratum AI, ad rectangulum BI H. quod
Ratio praescripta ab Archimede erat,vi rectan gulum B IH , ad quadratu AI,ratione haberet, qua quarta pars quadrati maioris diametri habet ad quadratu rectae a vertice Coni in centrum Ellipseos:& conditione adnectithoe possibile esse, quoniam si sumantur A B, AC, aequales, ut in hypothesi Archimedis,minor erit ratio B F C rectanguli, ad F A quadratu, quam BI H, vel cuiustibet alterius rectanguli sub segmentis lineae eductae a B puncto infra vel supra rectam B C : est autem ratio quartae partis quadrati maioris diametri, ad F A quadratum maior quam rectanguli B F C, siue quartae partis quadrati minoris diametri, ad quadratum F A: manifestum est igitur posse a puncto B, educi rectam, qualis est B H, infra rectam BC, sectam puncto I, ita vi ratio rectanguli BIH , ad quadratum I A, sit ea quae est quartae partis quadrati maioris diametri,ad quadrata rectae A F.atque haec est conditio huic propositioni adnecteda. cuius veritas, quocunq; modo secetur angulus,
ex proposito diagrammate sic fiet manifesta: sint AB, AC aequales , & sit angulus CB Κ infra basin J C, erit igitur angulus CBΚ, maior interiore B GF, quare & angulus FC E, eode B GF maior erit: fiat iam angulus FC L, aequalis angulo BG F, dc erunt puncta B, G, C, L; in circulo, & rectangula B F C.G F L , aequalia: sed rectangulum G F E , maius est rectangulo G FL, id est rectangulo B F C, maior itaque erit ratio rectanguli G F E, ad quadratum A F, quam rectanguli B FC, ad idem quadratum F A. quare ratio rectanguli BF C, ad quadratum F A , est hoc casu singularis & minima. ex
quibus patet adnexae ab Archimede conditionis, necemias.
'Ad Problema desecando Triangulo, a Christophoro
clauio ex parte tantum propositum ac demon-βratum. lib. 6. Prop. n. Geometriae Practicae.
Christophorus Clauius Prop. v. lib. 6. Geometriae Practicae bostendit
29쪽
quomodo dato extra triangulum puncto, recta ab eo diduci possit, trianni tum in duas aequales partes diuidens. at propositioni in generalem , dati quacunque ratione, deinonstrarit licet Eruditissimus in hoc studiorum genere Uille brodus Sitellius, in suo Apollonio Batauo, placuit tamen ex nostro penu, eandem propositionem, ob amplissimum eius usum, hie appo
DAtum triangulum, per rectim a puncto extra triangulum dato eductam , data ratione diui-
Sit datum triangulum CIE, seceturque basis CE, pro ratione data sintque legmenta rationis datae C K, K E, iam punctuin extra datum A: opomteat autetna puncto A, educere rectam lineam, diuidente triangulu prora- -- D tione CK, ad KE. a puncto A duca- tur AB parallela lateri IC, secansque
basin C E productam in B,&complea- f. o MY tur parallelograminum ABCD, tum
media sit propor ionalis I. tum data
g i media proportionali, & CM disse.
B c Ti k , rentia extremarum , in serie trium continue proportionalium , inueniantiat tremae ex I.em m. i. supplementi nostri.) quarum maior si CI., & duc, tur tecta A L, quam dico triangulum data ratione secare. Est enim rectan puluin sub CL, M L, aequale quadrato I, ex eonstructione, id est rectangulo
sub CM, B C, est igitur ut B C ad C L, ita M I ad C M, & componendo B L ad CL, vi CL ad C M .sae proinde, erit C L media proportionalis in ter BL &CM. in vi autem B Lad CL, ita AB ad HG, ergo ut C I ad C M, ua A B id est D C, ad H C, triangula igitur DC M, IJ CL, inter se erunt Wquasi ex is .c. Euclid. sed triangulum, D C M aequale est sactum triai gulo I C Κ , sex eadem is. 6Euclido quia ex constructione fuit ut DC ad CI, ita C K ad C M, quare triangulum H CL, aequale erit triangulo I CK, dc reliqua trianguli pars IH L E aequabitur reliquae parti I Κ E: sunt autem par- res trianguli ICK,&I KE in ratione data, ex constructione. quare & recta A H L, diuidet triangulum pro ratione data CK ad KE. quod erat demo
30쪽
EXERCITATIO DECIMA., his Problema de Trianguli sectione Hltera,
cuius obiter ibidem meminit Clauius.
Eadem prop. tr. lib. s. Geometriae Practicae, & alterum quoque problema ad Triangulorum sectiones non minus necessarium quam est illud supra demonitratum, attigit Christophorus Clauius , cuius quidem demonstratione a Clauio praetermillam,praemissis ad id Lemmate huic Decadi co. loplionem adiicio.
DAtam rectam sectam utcunque , alibi iterum secare, ut rectangulum sub tota, & segmento intermedio aequetur quadrato sςgmcnti , ad punctum
inuentum terminati. Sit recta A D secta B puncto , iterumque secanda in C. ut sit rectangulum sub tota A D, & tegmento intermedio B C, aequale quadrato rectae, . A C. fiat rectangulo sub AD in AB, aequale rectan os e paulum sub A C in C D. eritque ut AD ad AC . ita D C ad A B, & permi ando ut A D ad D C, ita A Cad A B, & coimertendo ut A D ad A C, ita A C ad B C, quadratum letiatur Λ C, aequatur rectangulo sub A D in B C. quod erat faciendum.
DAtum triangulum, per punctum intra datum,
Sit datum triangulum ABC, datumque intra punctum H. st scilicet la- . tus A B remotissimum a puncto H, quod diuidatur in F pro ratione data,& sint segmenta A F, FB, ducanturque a puncto H, rectae HI, HG, lateribus A B , A C parallelae, & rectangsto sub C A, A F . fiat aequale quod fit sub IA, A Κ: tum ita diuidatur A K, in D,ut sit quadratum AD, aequalere