장음표시 사용
21쪽
sphemoris qualiter pertinet ad intellecti, sicut ad sensum et quare Uristoteleo magis posuit ille nonaptinere ad parate in sensitiva Io.ccvliae. Ademoliebo iutas vel malitia unde prouenit.muccisia .ct
idixtum quodlibet dabet talore naturale qui non fit ab extrinseco et indiget illoso ccxysiae. Thora dupliciter contingit mox vid. at is qualiter describitur m ccxxiii, b, iti3 nec vinitas ex parte pulmonis et cordio declaratur. folio .c ix.d.
et tum qu rta iudicatur quiescere et quiesceno moueri.
Adiitta habitatia in aqua sunt multis habitatibus sit aere calidiora et e duorsoso Q. Petitera. d. lam habetis superius depressum quare non belle odorant .m. ix c. i natura ordinauit saltu livisa pol sieram gustas s retur qui non sentiretur sine humectatione.fo fi lio .cciij.a. neruuci denudatus acumenon sentit puncturam vel inclu
nigredo qualiter est piluatio albedinis ex quo est qualiatas positiva. . .c. notiti falli est mala habeti eam. .cthv .a notitia vera est bona habeti simpliciter licet sit mala malo secundum quid . m. ctra v. a. nutritio et conferuatim mitis est amite oppetibilio ineratio alterius moti est temen simplieiter*ppetibilior foIto. Imi c. nutritio qualiternat et quom est opus animeab.clxxxsi.e. Multi metu et contineno sufficiunt ad refrigerin plantis et
uinalta' exanguibrumphili estus stiperabuenm cc . si litera.ls. imiectum potentie tam acti ue* pastille quidi dicitur. m.cirri h llisbiectu sensibile est actiun seciei sensibilis tal in medio Bin organo: compositu aute3 ex ata
et organo est ypspugnet taeeptiuum eius .fos io .clxxxii . b.c. i doramus inspirantes et non expiranteo vel spiritum deat trietes quaresso cclx c. iodorifera non sunt nisi ex commixtione humidi et sicci Ioalio. itti .a. b. Gloriodunii diim est activum et siccum pamdum ibide.b. Gloreo suaveo et non nimis mites qu*lupy gonferunt fastutati capitis .fo .ccisii,c mirictium peiorem quare habemus quam canes. foliis. cxcix c. tactio quare non fit per aures et oculas cum ibi sint oi, gana de natura steris et aque sicut organgm olfactus.sbo
Opacitas quid est.h.cci.a. rapacitas ne est idem densitae nee diaphaneltas idem quod raritas. m.ccs.c. Operationes diu se in eodem stapposito nos rguunt diauersitatem formarum .h.cuxit.c. is pinio auicene et commentatoria de sensibus interiolibus cum alia opinita circa eas idem materiam declaraturim
Opiniones de intellectu humano qnsit mimpedipolis invmateriatio. m.cxciij bae .d opiniones cum veritate fidei de multiplicat ita intellect' in variis hominibus,m cxcilis h. Upinio ponens speeteo intelligibiles actus et habitus aeqtificar; cii anima repudibatur m cxcvs.a. Spinioneo de diaphanestate que reo finiblio .cc. d. et se
mine refellitur .ibidem.b.c. Opiniones averrois et a uicenne de multiplicatione odoris concordatur. fossicili S. mpiniones due de venio procedentibus ab hepate ad cor ad quid deseruiunt. .c- .c. rapinioneo varie de diuersitate dilidi in viventibus et quas liter ex eius consumptione sequitur mors.fo.cmi T. Organum cuiuscunco sensus est ex natur iunio a dominio qualitatiue m. cui T. Giganum propitii sensis communio est in corde. lv.c ecf
isiganum visus quomodo dicitur esse de natura aque a do, minio .fo .cxcvii .c.et seq. . Giganum auditUeclaratureti ede natura aerio. . ci c.a. Organum olfactus partim decere et partim de aqua quare siluatur inope cerebrum fo.cxcussi.iorganum gustiiset tactus quomodo est terreum a dominio et de eius situ .haec.a.b.
Drganii tactus est expansta3csto bus OUanisationi sensilii sed secundum alias qualitates.so .cciuisii go somnio vi declaratur.m. ccxl D. Qii a lapides et ligna posita in igne quare pii mo nigrescunt et postea albefiunt. m. h.d. et ter . 'am Triones sensibileo qualiter sunt in infinitu duit uisibiles.soar .aQ.c. si Paruorum naturalium scientia quomodo dissem ferta scienti libroiunide anima. m. cssus .dieti sequel .a. dictoresqua re depingnt fenestra aperti nigro. .cxcviii in hicto aes ex croceo et lasum faciunt viride.M.ech. c. hiscio olfacit et no per respirationem.m.c .d.
hisces mortui ligna et aues quare superitarunt in aqua si tameti in parua frusta dividerentur vel puluerisia reali desce
Plante quare non habent senstim So .cxcvii. Plante diuersequare emittunt diuerso uncolorum fruetus et floreo Io .cch.d. tura quomodo possunt simul sentiri et neque perfecte. ma
Plurium simul et in eo de subiecto existentiu quomodo viiii potest aliud corrupere etiae seipsum . . ccxv lj. Potentia principalis ammendo istingitur ab anima seditis strumentatiosto .clxxx. Potentie qualiter distinguutur peractus et actus per obie,cta .habideae et seq. d.T.clxx tha.b Potentia visiva principatio est in pede sed non immediata instrumentatio .clxxx. Potentie qualiter dicuntur distingui peractus suos secum dum ratiotiem .so .clxxxij I potetie et obiecta qualiter distingulitur proportionabiliter secundum rationem.m.elrxxija.b. Potentia nutritiua augmetativa et generativa sibi similis ex semine sunt potentie anini f..clxxxh.c. d. potentia memoratiua duplex reseruatiua et cognostilius. folio cc vi .a.
onuationes sicut quaestenebre flent in quomodo dictitur cognosci perhoitus.m.clxxxv b. Pupilla oculino est nigra licet appareat nigra .io. eviii.d. pure permaneno pure successivi et partiin ymanens et pars tim in ip g quomodo differunt,to clxxxvij a, b, de litera.Q. et dies non iudicatur pisualiuet; scdm reductio e nem ad magnitudinem m.clxxxv.st.b Quin stilius exteriores et non plures quomo
22쪽
metitie et alia animaliaque imanent in larente sine et motu non proprie dormiunt m xl .a. non est donum haberevel addiscere artem I suto uani .h.clxxvij.h. Naaegiones frigidac in babitantes quare dictitur longio iis vite maiores et animosiores. D. xv. b.c. Rei sensibilis anquelibet pars est sensibilis.vacvae. neminiscentia quomodo differatam emolia et qualiter ad reminiscendum requiritur obliuio et nona a memoranstu.folio .ccvi 2 c. nespirare supius est ad inspirare et ad expirare et quomodo fiat respiratio .is.ccxx . .
Respiratione maiore indigemus in estate quam in folio .ccnt L. cdelitera.S rfringulo quomodo mouetur de hepate ad cor et i qualis sit eius substantia antem sit in coide et i quo reuertitur de corde ad hepar. s.ccxvij.b .c. Sapientes plus honorantur quam rex sint ma
Saporum duplex activum cum subiecto eorundem et quid sit sapo iactualis similiter et virtualis declaratim.ccisi b. Sapores ali, quomodo ex dulci et amaro generantur. mauo.cciij.c.
Satorio lucis et coloris diffinitiones declaratur, Maeci .c. Scientia quot modio potest corrumpi p. xitia . Scientia queruntue honere delectabilis et utilis declara,
Scientia de anima quomodo est cilio lex parte consideratorum et difficilior ex debilitate cognoscentis.B.ci v. d. Senes bene memorantur antiquot 1 inopem propter frequetem constderationem sed non aliolum f. ccvit a. Sensuo est virtus passiua a sentibili.M.cinxiii .a. Sensus agens qualiter pone diis est et non distinctus a passivo Io.cuhiij.b. Sensibilis species est dispositio sensus ad agendum sensastionem et sensus agens nobilior passivo.ibidem.c. Sensuo non decipitur circa suum propitum selisibile in multo appositio certis conditionibuo .fo .clx exitiae. Sensibilium propria que sunt et que communia et quomodo communia sunt per se sensibilia. b. clxxxiii aD .c. Omnia sensibilia communia qualiter reducuntur ad masgnitudinem Io clxxxv a.
Bensibili quomodo differenter dictitur habere emereale et eme intentios tale .m.clxxxv litae. et seq. . Sensus exterioleo percipiunt obiecta in absentia aliter istameni fantasiave sensus c5munio .fo.clexxviii. b. Sensibile supra sensum qualiter non sentituriis.clxxxvid .c. et sequenti.d. Sensuo interioi communio ponendus es distinctuo ab eraterioribuo et qualiter habet vitum organum ad quod copulantur omniavigana seli suum exteriorum.folioaxc. et seaquenti .a. Sensitivarum virtutum interiorum pluralitas declaratur.
Sensus interior non debet esse denudatuo ab illo quodpi mo cognoscit.m. ci ci . . ensvo non possunt sentire nisi per spiritus missos eoide. folio. cvisi c. Sentire est sensum pati licet sigillittatur perverbum activii et quomodo est actio immanen .m.ciri citi. .b. Sensus communio in somno est semper impoteo sentire sed non fantasiarisso ccx. Septetrionaleo habet exteriora frigidiora sed cor calidius maustraleo fo.ccha. Sol et carbo quare apparent rubri. m. f. d. mirus qualiter fiat et si sit priuatio vigillefoaecul D. Somnus et vigilia quomodo sunt necessaria omni animali. folio .cclxea, Somnus qualiter est primo pallio selisuo communio et nula ius alterius potentiae. f..ccx.b. Somnus qualiter sit et euadioratione nutrimenti se cert. Somnus potest aliter fieri opere uaporationem nutrimen
Somni diffinitio et declaratio eiusdem. .ccxl. d. Somniorum multiplet modus et qualiter per somnia poma
Soni species qualiter multiplicantur et quomodo idem sonus a pluribuo auditur sicut auditur quando non est. laclio .clxxxviii a. b. Bonus idem potest ab eodebis audiri temporibus interru
Sonus quare melius diffunditur per longitudinem grossi lignis per latitudinem .h. cir.b. Species coloris et lucis non mouen reus subiectis stilo nec impediuntur a vento sicut sensibilius koin .m. cIxxxix.a. Spes intelligibilis differt ab actu intelligendi. m.cxcviI. Species reseruate in fantasia quare magis faciunt apparitione in somno Sin vigilia .fo. ccxl .b. Species fortiores reseruate citare non semper in somno faeciunt suam apparitionem et quare alique et non omnes. Folio.ccxij.b.
De litera T. Actus qualiter dicitur unus sensus et qualiter
Tactus qualiter est necessarius omni animali.
Terra dominatur in organo tactvo et in omnis bus membris eo solidatis animalium quatitatiue et etiai qualitatiue istu aet qualitates motitia .fo .cc. . Terra existens in centro qualiter potest corrumpi declama
Terra quare irrigatur et humectat in magno estu cirrupi S
Mituositates inaure qua reponuntur.fo .cxcix.a. e litem.U. Este et nerui quomodo sunt maior eo et fortiorest secundum quo a magis recedunt ab originta solio.ccxvij c. x Uniuersale aut nihil est aut posterius sitis dilacrum ribuo qualiter intelligitur.M.c xxv I aD. Vinum quod voca inuo album non est album maeci .c. Virtutes interioreo sensinue solum due una cognoscitiua et alia reseruatina.fo.ccvii.b. Viride prouenit ex croceo et blaueo vel causis ipsorum comoni ixtioso. cij.D. Vironii tritiua quare non fatigatur et indiget requie sicut sensit tua. o. clx a. Visuo et audituo quare non multiplicantur sicut tactu folio .clxxxic.c. Uisibile an pii uo tempore moueat medium quam vinum .ho
aluens semper babet calorem naturalem mitio in in corde vel piopoitionabili cordi. h. xviij. a. Uluens quodlibet debet esse calidum in respectu: declara atur. ibidem .a. Uita in vivente non potest perpetuari per sumptiostem nuctrimenti. mccxix.c.D. Vivetio quomodo ad salutem vite indiget refrigerio calortionaturalis.m ccx.d. Viventiaque egent nutrimento calido et habitatione caluda et que non declaratur l. . cc . et seq.a. Uoceo quare lunt immediate imposite ad significandis res et non scripture. .cxcviii.a.
23쪽
Tractatus proportionii stagistri Georgij Eosteri Scot s. M
bus articillis distiis gustin.Iii pilos riptoportioliis distitutio se iii et et iisdem omissiones manifestabori in secundo circa proportionalitates et proportiones Dpoitioii uni insista. Aggredie do priorem articulunt pollitur pumo distinitio pio portioni que talio est.
litatum unius ad altera in aliquo O viri earum coeuenit certa thabitudo .per quatit res possunius quascii rea ad istu cenico parabiles ii stelligere: sicut potentias activas vel passiuas intensiostes vel velocitates etc. Siti qui addunt in Diffiititio ite pin*su eiusdem generici propitiqui et subalterni: propter quantitatelli colui imam et quantitatem discreta se a non optio est ut patet bene intelligedo otii initio item positam: ut habitudo duorum ad unum vel bipedalio ad pedale secutidum equalitatem vel illequalitate ii dicitur proporatio: taliter; licci proportio pio duabuci quatilitatibus lapspositi corinotata do comparationem et habitudinem vilius ad aliam si ii proposito dictinuo visitatein quantitatelis velim inerum. 'orest addi in diffinitione quantitatum finita rum secundum illos qui dicunt infitiiti ad iii finitum vel sibi tuum lioli este aliquam proportionem : tenendo tamen dasta indistiliuioneni concederetur iii finiri ad trifinitum vel iis nitam aliqliani esse proportioiicni licet non rationalem ii isti poli cretur proportio multiplex molita. Unde Ii proportio potcst diuidit ininediate in proportionciri equalitatio et iii Proportionem inequalitatis: ta ruen in proposito diuidi inuo piissio proportionem iri piopoitione ni rationalem et in adipolationem irrationalem. Dicitur proportio rationalis pio polatio alicu tuo quantitatio ad aliam et cominensurabilem. Et pio portio irrationalis proportio alicuius quatitatio ad alia illi ilicoinmensurabilem. In istis diffinitio ilibus et aliis qui buscunq; ponendio ititelligatur illa particula secundum; huiusmodi propter quasdam obiectiones que fieri possunt illaimiter ad coinutiem opilitonem nominali u. Unde qualitates dicuntur comensurabileo quarum est aliqua cadent
comunio mensura: qualiter sunto miles numeri :qui contena rurantur omnes unitate: ideo inter numeros solum proporationeo rationaleo repertuli tuta et quantitates dicuntur incoinensurabit eo quarum lioli est ait quacdmunis me sura qlia mensurari possunt: sitiit sunt hiatne ter et eo sta eiusdein quasdrat soluin inter quantitates cotinuas reperiuntur talis Propomo regii ration led.plura de ista pio portione irratioiiali interius dicentur. Diuiditur ulterius proportiora,rto tali S in proportio item rationalem equalitatio et ini,polationem ratio ira tein illequalitatis. Et piopoitio rationalis in equalitatis diuiditur in proportionem rationalemmato, rio tiscqualitatio et in proportionem rationalem minoris inscqualitatio. io portio rationat aequalitatio est dabitudo et pio pollio alicuius ad aliquid sibi equale vr.L.ad.2. pedalis ad pedale. Et pio portio rationalis in ualitatis dicitur rationalia proportio licuius ad sibi ille qua levi. 2.ad.3 vel ad i. ioportio rationalio maioris in equalitatio estpporistio rationalis alicuius ad aliquid eo iiiiii' ut 3 ad. E. vel bis pedalis ad pedale.Sed p portio rationalio minoii sitiequalitatis est proportio rationalio minorio ad maius vi. Z.add. vel pedalio ad bipedalem. EDiuidit tir pro potitio rationa alis matolio inequalitatio in ramitiplicem: supetparticularet si perpatientem: multiplicem superparticula retinet in multipIicem suppartietem. C roportio multiplex est pio portioina totis in equalitatio iii qua maior quantitas minorent pieci se pluriea continet solitialiter vel eqitiua lenter et diuidi turili propo itionem duplam: triplani: quadruplam: et sicco sequeliter. ii maior minorem bio preci se cotincat dicitur pro portio dupla vi. .ad. r. bipedalis ad pedale: et si maior mi, volem preci se ter contineat dicitur tripla vi. o.ad. 2 tripedalis ad pedale:et fi quater precise dicitur quadrupla:et sic consequenter sis irae nititur omaneo species proportionis multisplicis incipiendo ab ululate procedetido secus id uin ordines naturalem numeri ortinuo post vilitatem comparatus ad
unitate facit propoitioite duplain: et crepararido scdiit adunitate erit piopolim tripla: et M p fir ut patet in hoc exemplo.
2.3 . .s.ae . d.' Io. Cyroportio superparticularis est
I. I. I. I. I. I. I. l. t. proportio maioris me qualitatio:M
qua maior quantitas comparata ad minorem: minoiein his tum femel continet et etiamvltra minorent continet aliquam ei lio partem aliquotam: vi. .ad. a. triped.:lio ad bipedale. tria solum semel continent duo: sest ultra continent unitateque est medietas duorum. Et quando talis pars aliquora contenta ita malore ultra minorem est medietas minori discitur proportio sesquialtera: ut lia e cepto dicto. et sis ierit tertia paro minoris dicitur sesqui ertia: et uc consequenter. veniuntur species pioportionis superparticulario scribens do duos numeros: supcrius incipi edo a ternario et inferi u Sabinario: utrobio procedendo secundum ordinem natura clem tui meri primi superiorio ad primum iii seriorem estpro, portio se alterae et secudi supioris ad s.fm infir fore se tertiae: et tertii ad tertiti sesquiquarta et De pii ripatet in secin. fis.
ubi maior quantitas minorem solum seinei continet et vltra illa tu aliquas partes eius aliquota non componentes alia quam partem aliquota em Melii minoiis quatilitatis: ut adispoitio. .ad. .s solum semel continent tria: et vltra continet duas unitates quarum quelibet est pars aliquota:sci tertia illivo minoris i et taleo due unitates noli faciunt una parte aliquota eiusde in minoris . et si maloi coli tineat ultra minos rem duas partes aliquotas nostricientea unam ut in exem plo posito: dicitur ptoportio superbipartiens:et si ultra minorem Riaior treo tales parteo contineat. dicitur supertriparitelio: et liquatuor: superquadrii partiens: et sic consequeterret iiitellige de pari ibuo eiusde denomitiatio illo taliter q=qubet talio sit tertia: vel quelibet quarta: vel quinta: et sic condisequenter.Inuenietur taleo spes propoitionis superpartiotio dicto modo scribendo duos numeros: instrino incipiendo a ternario peedendo piis Oidine naturalem tili meri:et susperitio a quinario Dcedeiado numeros impareo et primi
superioris ad primitiis feriore est proportio superbipartita: et secundi ad secundusii pereri parties et terti, ad tertium sti,
perquadrii partieno et ne consequenter e patet iii bac figura. I.s.II. a. IV. Clauelibet illarum specierum subdiuidi . . . 6.2.8. tur:ut superbipartimo in superbipartientem tertiao: et in superbipartiet a quin moret insuperbipartiente in septimas et ita deinceps.lid porritur superbipartita quartas: qr talio non distingueretur a se lauialtera:nec stipes bipartieno sextas ct illa non distingueretur a sesquitertiaret ita in similibus.qua domator quantitas ultra minore continet duas tertia o nuia otio dicitur proportio superpartieri tertivo:vt. .ad tria: et quando retinet duas quintas minoario ultra: dicitur superbipartietis quiritae: vi. .ad .set ita superbipari leo septimas quando continet duas septima si vino ixeni ad septe:et sic consequenter: etpportionabiliter diuis dii tur sup tripartietis superquadrupartiens et alie specie .cEx omnibus dictis panae inter opoitiones multiplices datur minima proportio multiplem scilicet dupla: et nonda turmaxima pioportio multiplex nisi poneretur proportio in filii ta: ut infiniti ad finitum sistiter propollicio mulispliceo maior est proportio que a maiore numero denominatur sit illa que a nititote numero denominatur: et tripla est maior dupla: et quadrupla maior tripla:et sic de alijs.sea inter pios politora eo stiperparticula reo datur maximat scilicet sesquis altera tet non datur minima. Inter taleo maior est proportioque minore numero denominatur o sit illa que a maloienumero denominaturivi sesquialtera est maior sesquitertis et sesquitertia maior sesquiquarta: et sic consequeriteriet inter pio portioneo superpartientes nee datur maxima nec minis uia Inter proportiones superpartientes ubi est consimili denominatio partium aliquotarum illa proportio stiperpartiens est maloique amatore numero delaominaturavi proap. 3rtio superpartiens quintas est maloio proportio super bipartiens quintas:et ita de alijs.Sed ubi proportiori eo ab
eodem immero denominantur illa est milior cuius parteo aliquo te ani inore numero denominantur ruisti perbiparstiens quintao est maior superbipartieno tertiao:et super, bipartiens septimas maior 2 superbipartieno quinta si et sic consequenter. Sequitur ulterius ae a quolibet num ronata
24쪽
b ne proportione proportionum et proportionalitate.
tonari est denotari aliqrportio: et nitis plex: et supplicula
et sup partie stet siliquet et tali oppomo derio latur ab aliqnumero: et pero iis sunt infinite speciesypomonio multitus plicis: similiter supparticulario: et iuphi partieritis: et to diaroes tales Ipoitionem rationaleo: qi sicut tinnieri ad numearum. Sequitur ulterius*datio quibuscum numerio inster quod est aliqua Dpoitio in totis inequalitatis multipli, cando maiore terminii per laspin: et minorem per maiore terminiuinter terminos tetultantes erit similio Spoitio: sicut illi.ad. i.est sportio dupla se multiplicando quatuor potiatum resultabulo: vf.et multiplicando duo per quatuor resulat abiit. viii interque est similis pportio Eoae modo mira adaest sportio sesquialtera et multiplica do .ii .per iij. resultas viant irri ctia multiplicanara .per.iij.restillabunt .vi. interque erit similis pportio et sicut hoc habet vetu de multiplici supero articulari et stiperpartiente: ita etiade aliis specicb'inferi' declaradio. Proportio multipier sipparticularis est spoitio maloris ineditatis in Q maior Otita scoparata ad minore pluries minore otinet et vltra et stiet aliqui prealiquota minoriae etsi talis maloi ubilia opturi eo minore tineat et ei' medietatevltrari sti extis iteraret si pluries minore et tertiam eius parte ultra contineatmmultiplex sesquitertiatet siemir Ex quo pr3m proportio multiplex supparticulario diuiditurinyportione multiplice sesquialtera et in x portione multiplice sesquitertist :etmltiplice sem quarta etsi coiir. qidet illaru sub diuidis: ut multiplex ses altera in dupla semasterj:triplas Maltera: qdruptates altera: re conr. Qii maiorquStimo minoiebis prela continet et erit medietatem minorio mi dupla selii altera tui. v.ad. i. etsi terminore contineat et etia estio medietatem: S tripla sesquialaterviet ita de iis spectebus dicatur Proportionabiliter dixuidantur sportio multiplex sesquitertist multiplex sesquia quartaret alie species. Oropoitio multiplex superparties in proportio maioris inequalitatis cuius maior quantitas pluries minorem cotinet et etiam plures partes eius aliquos ruo non constituentes una parte aliquota eiusdem, et potest diuidi ratione Mortionis superpartientis in multiplice M. perbipartiente:et in multiplice supertripartientem:et Molarvi patet ex precede iustus. Et siti sub diuidantur illa mebravi multiplex superbipartienorin multiplice superbipartientemtertias: et in multiplicem superbipartient3qntasi et fieonra ita alie spes subdiuidans clivet talio etia sub diuidi
potiatione at portionio multiplicio:vt multiplex supbi paratieno tertias in dupla superbipartiente tertias et in triplam superbipartientem tertiao: et sic consequenter.Quando ma torminore bis continet et elis duas tertias minorio dicitur dupla superbiparti cito tertiao: vi. viij ad .li . et si maior terminorem contineat et etiam duas tertias minoilo dicitur tripla superbipartieno tertiao: vi.it .ada .ua ypoitionabilis ter in alijs.oia ista intelligitur de spoitione rationali. Et propolitonabiliter sicut diuidebatur pio portio rationalis maioris in valitatis: ira diuidatur proponio mitiori im ualitatio rationalio: addendo dictio membrio aliarii di uisio nutu sub:ptio in 'portione submultinIice: stiriti partiacula reisubsuper patiente etc. Et submultiplex in subduplam subtriplam sub quadruplaetc.Similiter subsuperparticularis in subsesquitertia: subsesquialteram etc. Et ita Dportios nabiliter de aliis speciebus Diffinitiones talium specierum Faciliter ex dictis haberi possunt. Oroponio irratio italis: ut est dictu test sportio quantitatu inremensurabilium:que sunt qualitates inconsensurabilaput ex dictis. Et possunt cognosciqualitates inso mensurabilem continue amatore remouendo partem equalem minori, Six ridem remaneant partes equaleo ipitates quantitates erunt Smensurabilest ea si exta ablatione partium non remanea et partes equales rerunt tales in equantitates in commensurabiles: visiant bipedale et btripedalelptimo remouedo a b parte equalem a remanebit solum pedale: et iterum aba remouedo partem equalem illi pedalibremanebit etiam pedale; et per consequens partes equales tandem remanebunt. ex quo habetur minime quantitates:bipede te scilicet et tripedale erant commenlarabilegi et ideo dicitur pio ptatio irrationalis prpouloque non numeri ad numerpni et rationalis pio pollioque numeri adnumerum: nam quibustulim numeris datis tales sunt commensurabileo: ut dicto modo piobari potest. irrationalio diuiditur in proportionem irrartionalem maioris in equali ratio et in proportionem irratiosnalem ni in oris me qualitatio. Dicitur proportio irratiotraxiis ni in otio uiequalitatis quando minor quantita computratii rast maiorein illi incivia mensurabilem: ut proportio aste ad diametrum eiusdem quadrati :et opposito inodo quado maior quantitas ad minore iri sibi inoemensurabit ean co paratiir: dicitur proportio irrationalis maioris in equa lua tio: ut diametria a costam eiusdem quadrati et potest diuidi talio proportio irrationalio niaiolis in equalitatio in pio portionem simplicem irrationalem maiolio in equalitatio et in proportionem multiplicem irrationalem istas ous iri eqsialis latio Micitur talis proportio simplem quando maior quamittas comparata ad minorem continet laniel ni inorem et partem incommensurabilem minoii. et quando maior pluries continet minorem et partem sibi incoinmensurabilem dicitiainitiplex irrationalio: taliter et limatoibio minore ni contineater partem sibi incommetisurabilem dicetur dupla irrastionalis: et si terminorem contineat et partem incolii mensus rabile niminoii dicitur tripla irrationali sapie consequeterptopoitionabiliter diuidi potest proportio irratio tritio mi notio inequalitatis. Sequitur irelarie quod sicut dia metri ad costam eiusad quadrati est proportio irrationalis ita diametri ad medietate talio coste: imo diametri ad Scin parte aliquota illius coste est proportio irratiotialis: et eodem modo coste adquJcun id partem aliquota diametri: et cui uni bet partis aliquo levi ametri ad quacunq3 parte alia quota coste et econtra et proportio irrationalis Ssta facili, ter pictari possunt: pom quibuscunq3 qualitatibus incomensurabilibus limatis si aliqua illarum sit commensura; bilis alicui tertie quatitati altera erit illi incomensurabilis et quacunq; ouilitate data quelibet pars e tuo aliquota est commensurabilis totiretquelibet pars aliquota cuilibet parti aliquote eiusdem mesturabilis siemali da licui duor cin comesurabis iii sit comensurabileta tetierit in comesurabile. Sed quod diametri ad costam eiusdem quadrati sit pportio irrationalis sic ostenditur supposito primo quo domanis propoitio fit diuisibilis in duas proportiones equa leo rationales vel irrationales Illud cognoscitur datio termisitio cuiusculi proportion to inueniendo med sum oportio nate inter talenterminos: illud propiesenti dicimus mediii proportionale inter terminos alicuiua proportioirio: cd taliter se habet: ut qualio est proportio univo termitiorum ad illud medium: talis est propolito nieali ad alui terni inii: ut inter octo et duoque sunt ettrema propolitonio quadruplemedium pio portionale est quatuouqualioest propoitio .visi. ad iiii aalio est proportio. iiii Id.h.utrobici est dupla Spolutio: et inter.ixaaiij.questini extrema duple sesquiquarte medium proportionale est sex postsi, qualis est proportio .ix.actv aalis est ypoitio. vi a d. iiij.vir obsae est semii saltera.quas liter timentatur medium proportionale inter aliquod termineo inferiuo dicetur.Supponitur fecimao:data quacunq; proportione inter cuius minimos numeros nodatur numestus pioportionabiliter medius talis non est dixit sibilio invitas rationales equales proportiones sed induco irratio natis:sicut minimi numeri inter quos datur proportio dux vla sicutat ad . .inter quod nulluo est numerito inedi' nisi ternarius: et talio ut est notum lion est medium proportionale inter .ilhaaj.poste non qualio est pirapoitio .is .ad .i,.ta alio est proportio.it .ad. ollina est sesquitertia: et securida sesquialtera Exhoc patet quodpiopoitio duplano est diuisi bilio in duas rationales equaleotet per consequeno propor otio medietatio duple est proportio irratidalio. Ex illo dedit citur quod diametri ad costam eiusdem quadrati est pio, portio irrationalis.quod ite probaturidiameter est medium Proportionale inter extrema proportionio duple: quoi si vii fiest costa eiusdem quadrati. ergo diametri ad talem costam est propolito irrationalis:consequentia est nota: postv du pla proportio diuiditur induao proportio ii eo irrationales
equaleo.et antecedeno ostenditur: descriptis Diiobito qua
dratio:vno maiore:et alio initio retialiter quod resta maiorrio sit diameter minoriolet medieta odiametri maioris costa minorio sicut in tali figura. r tunc diali tetrima Milo ad costam iiii noxio : est rapoitio dii: pla:*tostat: et iter tales ti rates costa triat a iij
25쪽
Tractatus sectare proportionum Georgii tollert Scoti. g
ior loque est dissimeter minoiis est mediu proportionale:post quam qualis est proportio Psanie tri maioris ad diame trum mitioris talis est propolito diametri minouo ad si,midiametrum maioris: utrobique est pio potitio diametri ad costam eiusdem quadrati et percdseque iis proportio diasmem maioris ad costam initimis que estppoitio dupla coaponitur extulo duabus proportio ilibus equalibus scilicet diametito maioris ad diametrum minoris et diametriniistoris ad costam eiusdem iis inovs. Ex quo concluditur gi dista nutri ad costans eiusdem quadrati est oportio irrationalis di niedietas propolitionis duple: et per consequens diame,
ter et costa eiusdδquadrati suntlti taleis incomesurabiles. IExinsequitur: sicut diametri ad costam eiusdem qua, drati est propolito irrationalis: scilici medietatis dupleutali nee medie proponioliasso inter diametrii et costam ad ipa 3 costam est propoditio irrationalio: scilicet quarte partig duapte: et Enee medie pio polliolia iis inter illam et costam est sis militer ea illam costam pio portio irrationalio: scilicet octaue partis proportionis duple.et sic consequenter init enitituri tinnite species propoulonis irrationalis. Sequitur ulterio liccipi portio quadrupla sit diuistbius in duas promitiosii ea rationales equales:medietas tamen piopoitionis quadrupla non est diuisibilio in duas proportione orationales equaled medietas enim proportionis quadruple est pio poettio dupla que est rationalio Sed medietao proportio is duapte est irrationalis: ut patet ex dictio.ESequitur ulterius: licet diametet sit incommensurabilioreste eiusdem quadrati actinest tamen comensurabilio potentia. Coro quo adauerteta lique linee diciti inircemeis surabiles actu talique eo mensurabit eo potet lia: et alique etiamsi intcomen urabileo actu et potentia: et alique nec c6mensurabiles actu nec rem, melisurabiles potentia.quando sunt ramensurabit eo secundum proprias longitudineo dicuntur actu comensurabiles viliti ea bipedalis et linea tripedalis .sed quando poliunt in
equales superficieg quadratas vel in superficies comensu, rabiles dictitur c5 mensurabiles potetia ut diameter potest in duplam superficiem ad illam ad qui potest costa emiae; quadrati impsicleo quadrata contenta quatuoi lineis equalibus diametro est dupla ad superficiem quadratam cui uinentalis diameter tet ideo diameter et costa eiusdem quadrasti licet sint incomelisurabit eo actu sunt tameti comensurabiles potetitia:omnes linee eo mensurabiles actu sunt etiacos mensurabiles potentia : qidatio duabus lineis quarii visa est duplae ad aliam: superlicies quadrata in qua potestnia estor erit quadrupla ad quadratam superficiei ii iii qui potest ni inor: et datis duabus line loquarum una est tripla ad aliasii perficiem inquam potest maloierit nono cupia ad superficiem quadratam in qu fi potest minor: et ita de alii e temper secundum denominatio item numeri quadrati illius radi, cis detio minatio maiorem talium linearum in ordine ad minorem Rinee nec comen iurabiles actu nee comensurabiles potentia sunt linere quarum longitudineo non sunt comen iurabiles: nec etiam superficieo tuo uas possunt taleo linee: saltem quadrate di vitant linea media proportionatio inter diametrum et costam et ipsa costatia eo sunt incomensurabis leo actu postfvnluo ad aliam est proportio irrationalis: sulit etiam in comensurabile opotetia: quia supernicies quai, drate iri qua spoliauiti sunt in comensurabiles: per regulam geometricam Istis tribus lineis eo tinue proportionalibus octinuice: qtiatio est proportio piinie ad tertii talis est yportio superficiei quadrate ininae ad superficiem quadratam medietisiodo diameter et linea media proportionatio inter diametrum et costam et ipsa resta sui it tres linere continue aia portionaleo: et per consequens sicut diametri ad costam est propolito irrationalis: ita superficiet quadrate diametria asii perficiem quadratam talio linee medie 'portioliatio erit proportio irrationalis: et ita taleo superficie erunt incoin mensurabiles. Qui termini dicuntur continue proportiona leo patebit exsequenti articulo Sequitur finaliter vinulli' limiteri quadrati ad alium numerum quadratum estpporstio dupla: piobatur. quacumue proportione talium numeros ruiti data ipsa est diuisibilis in duas proportio ites equales rationalest post binter quosculiq3 numeroo quadratos res
peribilio est nulli erus propolitoliabiliter tiae dius: sed ppol tio dupla non est diuisibilio in duasi pio portionis rationa diles equales igitur: minor patet ex precedetibus: et maior probatur per hanc regulam qmbustii duobuo numeria qua erati diligarati Evtaendum est sta radicem minoris numerique radix totieno addenda est illi minori numero quadrato per quot nam eros quadratos secundum naturalem seriemiiumerorum quadratorum maior distata minore et numeru resultans erit proportionabiliterati saluo inter primos quadratos licet non oportereti sit quadratus: patet inductive.
N EMGnsequenter estoiceiadu in oc
pio pollione propouiotiuin et proportiona simae i litate.citide est aduertendum ae differens
inter proportionem pti portionui etsi vim et proportionalitatem. Ita inpio portio prosis inoitionum est via tua Dronortioni ad alia
sesquialterani:et potest diuidi in proportionem proportionuequalitatis et inpolportio item proportionunt in equalitatio tetita subdiuidatur proportio pio portionum i ualitatio in proportionem proportionum rationalem et in proportionem proportionum irrationalem. Et pro potitio proporti otium ratiotiatis equalitatis in pili portioneui proportionii rationa letii maiorio in qualitatis et in proportione ni proportionum ratiotialem minoris inequalitatis et sic consequenter sicut dixitnuo de propolito ite quantitatum: et proportioriabiliter dentur diffinitiori eo inembrorum illo dempto ae in propoliato sit comparatio proportionio ad proportionem sicut in precedetibus fiebat comparatio viti ratio ad Qtitatem.c sero portiones dicuntur equuleo quando sunt consimilio denos minationis: et propolitones dimi milium denominationum omnino suillitiequuleo proportiones. Dixi notanter omni nodissimilium denominationum:qi eadem est proportio suo perbipartiens tertiao: et super sexti partiens nomis: et ita easdem est proportio superbipartiens quintas:et superquadra partiens decimas et sic desti s simili modo. Ita potest dici eadem propoitio sesquialter et superbipartiens quartag.et per coiise i s stat duao proportiones equaleo: imo eandehabere dilumi es denomina honeo: aed cum hoc etiam iras hent eandem denominationem.Eime potest dubitari qua, liter cognoscimus inter proportiones inessitatesque iliarit sit maior et que minor Eimiliter que proportiori sunt conis mensurabiles et que ilico mensurabiles. Pio prinio pono istud documentii. Datis duabus proportioitibus in equali, has eoicantibus in terminis minoribus illa est maior cuius maior terminus est maior et iliaioli excessiti excedens dictum minoie terminii in quo Gicant: sicli typortion .ii 3 ad. hath. d.i . coicant inmitiore terinino: sc3 h. ideo maior estpportio .itii. ad M.que est dupla sit iij ad .ij que est sesquialtera
et posto omnes adiportioneo duple stit equales: et ita omneo sesquialtere:per pilus dicta: quelibet dupla qualibet sesquialtera erit maior proportio. Eodem modo si volumus vide, reviriss sesquialtera vel superbipariten o tertias sit maior accipi elide sunt talea proportioneo coicanteo in minore termino saetit .h ad .vl.et.x.ad .vs.ubi per dicta maior est proportio xad .vl.que est superbipartieti Etertiae icad.vl.que est se
qui altera: ita in alijs piacti candii est. Da secundam par tem dubitationis de eo mensurabilitate pio portionuimdscis proportiones ille sunt comensurabilesque ea de pio pollio ne consensurari possunt:vt dupla quadrupla ocrupla sexduplaetc.omnes taleomesuritur medietate amoritonio dupleet opposito modo dictatur inc6mesi iurabiles queis Spoliunt ea deppoitione comet irari:vt dupla tripla sesquialtera ete. Nequitur cometarie proportioli erat sotialem ortioni itrationali eme edmensurabilem. et ex consequenti rationalis ad irrationalem esse proportiorie rationalem: no tamen opscpquarticunq; rcinali usu ad inuicem sit sportio rationatio nec qiquarissculi irratiosialtu ad inuice si piopoitio irra: noli alio. Sequimi ulterius: aeno semper est eadem a portio proportionii qualis est .pportio numerorum deitos nutantiu in tales adipontoties:imo iron semperqii proportio numes
rotum est pupla op spoitione Ipoitionis denomina tangatalibus
26쪽
b is e proportione premortionum et proportionalitate.
talibus numeris metale:li in aliquibus sidierum: patet des portione quadruple ad dupla que est dupla sicut numerorii denotanti unitate pollioneo:inali odii hoc contingit limenire. Ita no op3u alique .pportiones se habeant in piopoittolle dupla aenii eros denominantium taleo proponio nes sit similio Bpouio.patet de nono cupla et tripla .E Plidis portionalitas e aliquorum terminos ad alios terminos equas iis habitudo:siue secundum equalitatem piopoitioitis: sive secundum equalitatem differetitie: sive secundum equalitastem propintionis et differentie. Differentia inpposito dicis excessu o vnlud termini supia aliiLet dicuntur termini in prosito ora illa inter que potest reperiri aliquappo itio: ut comparatio istorum termino g. viii .et.vi ad isto terminos .iii .etii.dicitur propoitionalitas: sicut se habent vis . ad .vs .ita se
habet.ittiadai. saltem freme qualitatem differetiarum. diffinitione pd triplicem esse proportionalitatem: aliqua est pioportionalitas geometrica: et est aliquou terminorum astalioue terminos equalio Dportionis habitudo. ut isto et teramino viij.iiff. ad illod. ii .h. sicut enim se habent. viii. a aliqua.iiij.ad. .adstam equalitate Sportionis utrobi vest:ppo ino duplamita est yportionalitruo arithmetica et est ali Quori terminorum. ad alios terminos equalis excessito habitudo:vt habitudo istos viiiiii ad illos .iij.q. dicitur .pportios nautas arithmetica:equali excessu .vs .excediit iiq. sic utilii .excedula .utrobi excessus est binari' 'od existis. in ad B portionalitate ad minus requiriatur tres termini: et cli est idem terminus cois inter virosv binarios dieituryportio, nalitas cotinua vi in exemplis dictis: sed quia Scapitur aliqui sidet mi illo mo eois Glyportionalitas di retinustri sicut stitermini.vitiam.h.sunt proportionaleo geometri optinuetis isti quatuor .m .ii A. s.sunt portionales geometrice distantinue. Sit sicutim termini.os iit a sunt promitionales arithmetice Gtinuerita isdivi. iiij.xati .sunt ps portionales in immetice discontinue.Bllarum itionalitas di harmonica siue musicani est aliquo*tetminoui ast alios terminos talio habinado*qualis est proportio malo iis ad in inimii talis est oportio differentie maiorum ad differentiam termino*:ut interis ostreo terminos resalis .iij. est cotinua Iportionalitas harmonica et sicut maior termin'sq.vs. se h3aδ minimust3.iij an pportione dupla:ita differetia maiorisque est excestuo .vs.supra .iiij.s binarius sed, ad vilitatemque est cxcessivo. iij. upiaaij.lihilippo itione dupla. Eo, et dari regula ad inueniendii numcetii 'portionali mediii
et geometrice et arithmetice et harmonice inter aliquos duos numeroomatio aliquibus talibus numerio. .numerus Betponionaliter medius at immetice inter taleo numeros erit medietas numeri resultantis ex talibus numeris alnignastis.ut datis istio duobus numeris.viij.iiij. ad inueniectum numerum proportionaliter medium arithmetice inter illos numeros oportet unum illotu alteri addere et resultabiit.xij. emo medietas scilicetius .est numeruorumpoitionabiliter medius arithmetice interrui .etasiised ad inuentedii medium praposionale geometrice iter aliquod numeros oportetvnn illorum per alium multiplicareret si numerus resultas ex tali multiplicatione fuerit quadratus radix illitio numeri quasdrati erit immerus proportionaliter medius geometrice in ter punioo numeros datos:sed si numerus resultans ex illa multiplicatione non sti numerus quadratuo:tunc inter piis mos numerus nullud est inoportionaliter mediusgeminetrice: ut signatis istis duobus numerio. x.et iiij.ad inueniendii numerum proportionaliter medium geometrice inter tales inmeros:oportet viiiim per alium multiplicareetresultabiit xxxvsaui numerus est quadratus: et radix eius .vl. inter.ix. et alii Mumerus proportionaliter medius geometrice vir. vi. Sed ad limeniendum medium ypoitioiiale darmonice in ter aliquos numerosopollet disserentiam illorum multiplicare per minorem numerum et resultantem ex tali multipli catione diuidere per numerum resultantem exta libratimio numeris quotientem talis divisionis addere addendo mi noli dictorum numerorum et illetnaac resultans erit num et 'inoportionaliter medius harmonice inter dictos: ut datis istis duobus.x .et .ilii .ad inueniendum medium harmonice proportioriale inter tales numeros oportet capere excessum
maioris supra minorem.scilicetiviq.et multiplicare illu3 per minorem et resultabunt.xxxij. qui numerus si diuidatur per
compositum ex xii .et. iiii .scilicet.xv .pro tiente habebuntur h. que si addantur minori numero resultabunt.xpi .et id inter xi .et iiiiiiinmerus oportionaliter mediuo harmonice eritius.polici qualis est proportio; . ad iis italio est yportio eo cessus quo.xti .excedunt.vsad excestu inqui.vf. excediit. im utrobi dest tripla sportio.ESequitur correlarie:no inter quoscii numeroo reperitur numeruo Dortionabiliterniceius arithmetice inter illo odari pdt num et' rum portionali ter meditio geometrice vel darinonice:nec inter quo scire ii repertinum ' pportionaliter me di 'geometrice dabilio enumerus yportionabiliter medi' arithmetice vel darmonice: nec et ii inter quoscu 3 dat medi' numeruo sportiosi aliter harmonice est dabilis numer' rumpo uio aliter medietati id inetice vel geometrice. Priapar p3 de Dus Duobuo num rio paribus vel imparibus anter se habetibus inserie naturali numeri .scisa pop3dcillio duobus. si .et .ix.tertia parop3 de istis duobuo.vi .et. iii. edtur similiter: inter eosdena meros pol dari numeruo Pportionaliter medi' harmonice et numer'Iportioaliteraneassarithmetice etita nitet' Iporstionaliter medi' geometrice: utiliter xl. .r. meatu .PPortios
nate arithmetice est xv. pol Sequari distat ab extretius:et mediu Dpoitionale geometrice inter eosde3nneros.xx.qlio estpportio.xl. d. xx.talio est yportio.xx.aa.x. et inter eosdeuneroo iturius ypoitionali in effluo harmoluta est viri sta Bbari pilist regulas data oretia inter eosde niteroo restin turin edin yportio ita te arithinetice: list mediiippouida legerea metrice et et mediu Pportionale harmonice: nie disipportionale arithmetice est maius:et mea ilipportioiiale harmonis hemin' et mediiixportionale geometrice e mediii Nortionale geometrice iter mediu oportionale arithmetice et mindlu3 promitionale Armonice: ut in erepto dicto inter quaedraginta ei.x.med in ortionale arithme. est et mediuspoitionale harmonice est os.et mediti proportionale gemmetrice est x.qnuinet' est proportionaliter medius etiam geometrice inter xxva vi. qualis est propolito.x Nad xx. talis est ypoitio xx.ad. xvi .utrobi est popoitio tamquareta.ESequitur ulteri ':m datio iiifitiitio terminio contini te proportionalibus arithinetice resultas ex omnib'illis erit infinitum et ita datio infinitis oetinue inoportionalib' geo, metrice proportione milio iis inequalitatio restillano ex omnibus illis erit infinitum:sed si sint infiniti tet iiiiiii cotinue pio pollionalis geometrice proportione maiolis me qualitatio resultas ex omni duo illis solii erit finitia et in tali pio portio e se habes ad aggregatu omnindepto primo in qualis ehaebet precedeo ad immediate sequete iri isto pt3 qualiter assignati de sunt infinite partes proportionales alicuius eo tinus secundia quacum 'portio ite volum qi ita lipporti desedis hieto tu ad residuit a piimatet ita suci leo iii uenire pii mapte rumportionale: et ex pille sedanu tertisset et lie orater: ut inportide dupla ditii dedo residuua medicta test3 altera medietas d3hari 'prima parte spoitionalitet in proportione tripla residuit toti' ab uno tertias aggregatum duar terstiatiuet in D portione quadrupla residuit ab una quarta I. tres arte: et inae portione sesquialtera diuidendo restidussa duab' terit o totius:hoc est una tertia:et sic onter Cootest etia haberi trioauo diu laedi cotinuit in finitas parteo colla
mepportioriabilis quotcnco voluerio et quacum Sportio a ne volueris. Captio tot numerio cetiit ire propolit alib' tali pio portione in quot partes cciti nitea portionales volvamus totii diuidere:et signa do partes aliquotas dicti conti nui coiremon detes numero resultati eroib' illio numerio inuentio Pibi inuice additis:debem 'capere D prima parte tot illaru3 partiti aliquotarisscitot sunt unita leo in maloienumero illoru:etia pio sedaret tales partes aisquotasqliotiunt vilitates inaeso:et sicco seque terretinue descendendo ad mitiores .istud faciliter ostendi potest. Ex isto patere po test signatio partibuo proportionalibuo alicuius contiitur quacuM proportione iri qua pioportione totum se habet ad primam eluo parte proportio is abitem .patet similiter quo modo nulliu et finiti assignati desunt iiiiiiii te parteo proportionaleo secundum proportionem ni in orio in ectialitatis: tistud argueret ipm is nitu .itare ligo scinii de partib'nci coicati . Seritur ulteri'aedatio trib' tcriniatio ptinue ypotia iiii
27쪽
tionalibus geometrice: qualis est phopo illo maioris ad me dium talis est ypoitio meas, adnitiumst:et similiter differentie malom ad differentiam minora Sed detio tribus terminio continue Sportionalibus arithme minores propomonsatorio at medium e silppoitio med adimininium .et opapolito modatio trib' tarmilli 'timie pportionalibus hara monite:maloi elippo it toniaiores ad medium et litippo itio me ad admissimis ista faciliter declarari possitnt C i isto inuitu illud dubium: virum exequali acquisitione quantitatio sequatur equalis acquisitio sportionis: te contra . Similiter ex inequali acquisitio ite quantitatio sequppur in qualis acquisiitio proportionis:et econtra Pro cuius metote declaratione pono aliquas rumpositiones.supposito pii movevisserentiae est inter istos terminos equaliter augeritisque proportioliabiliter augeri.*titates equaliter dicuntur agginelitari quando in equali tempore equales acquirunt Stiatates:sea dicuntur equepportionabiliter augmentari quado equalao aequirunt proporti des. etpportionabiliter dicatur de equaliter diminui et eque .ppoitionabiliter diriminui. Tunc sit prima propositio. Et maior quatitas equaliter malaietur sicut mi iun qu 1litas:maiote propoitione acquia x et minoiquStitas 'mit,i: ut si pedale et bipedale equalia ter malaientur: quodlibet gratis exempli acquirendo pedate minoi qualitas flat bipedale: et per conseques acqret proportioneni duplam: et maior fiet tripedale et per consequena acquirat proportionem sesquialteram: modo maloi est pio pollio dupla sit propolito sesquialtera.lolcaduet te quaatitas dicitiir acquirere illam proportioneque estisiter tale3
quantitate iii sine temporis acquisitionio et quatilitate queerat in principio talio temporio,vi te ter declaratione positioriis. Sequitur isto: si aliquid coli titiue uniformiteret equaliter quoa a parteo te popis maioretur continue minore et mitiorem acquiret proportio veni:tali termin securida medietate tulis tempori pinsitorem acquiret pioportionem in prima:et in seclida quarta minorem v in primaret in tertia nainorem Sin fecunda: ut sibipedale viii imiter ver horam aequirat quadrupedalem quaistitat ei talitrerm iiiiii stati terminatiuo et it sexcupedala acquit edo in qualibet quarta unam pedalitatem: in ptima quarta acquiret proportio nem sesquialteram: in secunda sesquiterita mi interita PM quarta nitet id quarta sesquintainiet per consequens sotinuemino tenet minoie acquiret proportione hoc intelice in partibus equalibus temporio isdecunda propositioiui maius
et minua via formiteret equaliter decrescant per aliquod ieipuo: talitrem tantii deperdat minus licui maius: in aerem pro Pollionem deperdet minus minatus: et per consequens non eqise propoitionabiliter diaerescent: ut si quadrupedale et tripedale uniformiteret equaliter deperdant deqliantitarte: utrum deperdat pedale: maiorem propoitione deverdet tripedale: qt sesquialteram: et quadrupedale solusesquiter tiam. Et dico quantitateque viminuitur in alimo tempore illam pioportione deperdere que est quantitatio totiuaeris stentio silueriticipio illivo tepollo ad quantitate remanente in linexiusdem, Ex isto etia sequitur: si aliquia uniformiter hecrescat per aliquod certii tepus eteontinue maiore et malo: redeuerdet pro omnine hoc panex dictis. Esex omnibus istio sequitur si maius et nutius lababeant in aliqua proportione:pernia torationem insidiis minore in uariam: similiterue decremetum mitioris maiore in uariato: vel etiam per inasioratione maiorio et minoratione minoris maiorabitur .pportio illorum ret per minoiatione maioris minore in uariato: vel maioratione minoris:maiore in uariato:veletiani inaiorationem minoris et minorationein maioris: minorabitur propor
tio inter illarista faciliter declaratur ex dictio. CTertia papositiosi maius et minus eque Dpoitionabiliter malaientur non equaliter acquirent de uirantitate: imo oportet matuo maloiem acquirere quantitatem qua minus in eadem prospoitione in qua est maius alio: viti pedale et hipedale eques portioliabiliter maiorentur: pedale acquirat pedale ae, litate bipedalea caret dupli: se bipedale Stitatem:postoei at dupla ppoitio maloris ad minore:et ita si maius et misi' eque 'portionabili minoretur: ito equaliter deperdet de litate: imo malo te litate depcletniaius S minus in eade:ppo itione in qua ipmmet est maius alio. Ex istis inferfidas iis uscunq; equalibus si equaliter maiore turet equalis acarentpportiones: et si in equali ineqleo: et ecori tra: si e lis
eque 'portionabili niaiore tu rectes accrent Stiratco: ct sit vitii pluspportionabist maloiete, aliud illi e te ine leo ae r in Stitates et ita dicas si emtia ecliter depffarde quarta tale etia eque ypoitionabili et ccotra. e tur silla:siatici neqllaeqte in aegrat Stitatem no eque a portionabist ma lora buturiet ita si tu equa ita eque Sportionabist maiorab iis tura nequali acquiret demittate: et ita dicas de sportiouas biliter minorari et equali deperdere quantitate respectu iniequaeliii: et sicut declaratur de Stitatibuo ita declarari psiit de maioratione et minoratione potentiarii: vel intensio ite qlitatum vel velocitatioite motuit. CCirca predicta mouetur alique dubitationeo. Plini tu uoi opportio sit diuisibilis induao equ*teopportiones an in duas lite quales et quo cognostis excessus uniusnpoitionis sapia alia.Zecuda dubitatio: utriiqlide portio sit cuilibet alteri propolitum sportionabilis et reparabili ac etiam comensurabitis: et quo cognoscit qualis sit 'portio alicuius p portionis ad alia pro potitione illi inequale, Rapii nid dubitatione proptima eius parte di p proportio equalitatio no est diuisibilis illus o Pp tritiones adceditur inviterquecum repitur adiportio e litatio: fili interpres illoc eiusde denotationis erit et paportio eqlitatio:et ita quibuscuso datio quoibunitio ad ali Sest aliqua ppoitio siue editatis siue inequali tollo: et consita milis erit B pollio uniuscuiusq3 partio unius ad partem a talerius eiusaeui denominatio alio: ut si a se habeat in aliqua pioportione adb medietatio a ad medietatem bet tertie partio a ad tertia h erit consimilis ppoitio: et ita dea tho parti, buo et iidem denominationis. Dicinit se ido *omnio pio. portio in ectialitatis est diuisibilis in duas rumpotti deo equales colastituenteo illam pioportionem inequalitatio tet sinit uter quelibet talis est divisibilio in duas rumpo itioneo in equa lassimiliter constituentes talem p portione. hoc patet ex supradictio: quibuscunm terminio datis constituentibus proportiostem in equalitatis:inter illoo potest dari terminuspispoitioirabiliter medius geometrice: qui dividit piim appoitionem induao Nportiori eo equaleo:Dportio duo is primos; extremor coponitur exae portione viaius ad medium et exvpoitione medii ad aliud dicto in extremoc. Si militer in ter datos terminos dando mediii Hottio itale arithmetice diuidetur talis yportio in duas inequalesyportiones post S est maior Dpoitio medii ypoitionalis arithmetice ad existremit minus S sit Spoitio maloiio extremi ad illud mediii CSeqititur ex isto quado aliqua mortio diuiditur id vas rumportiones equaleo:illius ad qualibet illarii in qua a dius, ditur estpportio dupla .etqii diuidis aliqua ii portio idua oequaleo: talio Sportionis ad minore illarii in equa tu est Besportio maior dupla: et ad maiorem est propolito minoi duplavryportio.ix a d. iiii. que est dupla sesquiquarta dividi in ypoitioneari ad .vs.et in Opotiionem. Raa,iihi quarum queliabetes sesquialtera .et ideopportio dupla ses quarta est dias plex ad sesquialteram.Sed diuidendo dictam .pportionem irad. iiij. inadiportionCicad. vi .et.vi .aa.is q. diuiditur induao in equa legi scilicet in dupla et sesquioeta uanaiquas dii pia est maior:et sesqui octavaminei: idem adiportio dupla sese quihuarta est minores dupla proportionis duple:etestinae tot ae dupla ad proportionem sesquioctaua. sicunda parte dubitationio datur regula ad cogitoscendii excessum vilius proportio itis vltra aliam. quibusculi 3ptoportioni in equalibuo datis iamignandi sunt utriusvi minimi ni et siet minoivnius P maiore alterius multiplice Veteratra maior pinsitore:etpportio iter terminos resultates erit excessius maioris oportionis supra minore: ut si petatur excessus Spor: tionis duplesti pia sesquitera pportione:capiantur miniminiteri oportionis se Mallere:sq.ii .et .i .et etiam illinii numeri Spoitionio dupleniit .et. mitrior primo*multiplices pnia iste secundo*scdo* et resultabunt. viii.Zin maior pinorum pminore lacndorum nuerem multiplices et resultabiit viam portio q repitur inter.viij.et .vi. s. 3 sesquitertia:est excelliusiportionio ditple supra seMaltera.Est cognosci pol excessus unius 'portioni o supra alia quibuscula Dportioniblio datio:
signato ali fminotet altis ditob 'quosvn' ad pinv tmiiiiiiii aliqdictav Dpoitionia se b3 et alter duom termino; sel 3 ad exi dehmii finitimi alia dcariipportionissituc oitio illatostris illos duo*imiliovad in inore erit exce maior dcrstrii proportionii
28쪽
b De proportione proportionum et proportionalitate.
propinion si supra minorem: et hoc intellige do de proportio nibus malo iis inequalitatis: quia cogititio in iliis proporstionabiliter Dicemur inter proportioires nil nouo inequalitatis: ut positis duabus proportionibus sicut quadrupla et tripis:oportet capere duos terminos se habenteo ad eunde tertium terminii iii illis duabuo propoitionibuo: sicut scintiiq. h.rem tu unitatis tu .ad.; . est propcntio quadrupla et th. d. l.tripla proportior ideo Proportio que reperitur iter iiii etali scilicet sesquitertia aest excessus inalotio dictaru proportiolium stipia nunolent:scilic3 quadruplae supra triplani. Proportio enim .ilibadd componitur ex proportione.iiij.ad ad s. sicut etiani ex proportione. iid ad .si et a. ad .i. Bregulam conamuitem datio quibuscun id tribus teritiinio iuequalib': proportio niatorio agmininiu componitur ex pio
portione maioris ad medium et medii ast minimum. et ita si sint plures termini mediiiivir maiorem et minimum: Chic iij.iij.h. l.proportio maioris ad iiiiiiimumcdpostitur ex pro portione maiorio ad maiorem terminum medium:et maioris medii ad nil notem medium: et mitioris medii ad ni inimum: et ita de ali o. Ex istio intertur differentia est iliter istas proipositiones a proportio est dupla ad b proportionein et a pio: portio per proportionem duplam excedit b pro pomoliem:etita inter consimilco: proportio oetu pla excedit propoition quadruplam per propoitionem Dupla: lioc est cxcessito octu ple supra quadruplam est proportio dupla: tamen proportio octu platiosi est dupla quadruple: postondeoni ponitur ex duabus quadrupe sed sexdecupla est dupla quadruple. Sequitur similiter; quibuscunq; duabus pioportionishuo maloiis inequalitatio rationalibus inequalibus dati hcessus maiorio supra minorem est superparticularisvel coposita ex aliquibus stiperparticularibus preelse: et ita si sint minoris inequalitatio excessus malo ita supra minorem est subsuperparticulario vel composita ex pluribus talibuo: tales enim sic possunt inueniri inter numero oci communicas hunt in uno termino:ex quo faciliter probari potest correlaesrium. equitur iliter: quibusciam proportionibus datis assignando utriusv numeros minores etiam multiplicasso minoiem unius per minorem alteriug:et maioremst masiorem: proportio inter numeros resultanteo et tali multipli catione componitur ex ptimio duabus proportionibus astis gnatis: ut datio proportione sesquialtera et pio pollione sesqtertia mi inimi ilumeri vilius sunt tria et duo et minimi numeri alteriusai .et .iii .multiplicando. iii .et. .producentur. vi et multiplicando. iiq.et th.pioducentur .rii. ideo proportio.xii.
adres.scilicet dupla componitur ex proportio ite sesquialtera et proportione sesquitertia.et per idem cognosci potest quacum proportio edata que pio portio est dupla ad talem pro pol tionem datis minimis numeris illivo proportionio: multis plicando minorem quadrate per ipsummet inel: et maiore 3 similiter quadrate per i planimet maiorem: proportio inter numeros resultantes ex tali multiplicatione erit dupla pro poetio ad primam proportionem. et ita dido tales numeros alicuius proportioni multiplicando minoremi inmerii per seipsum bis cubice:et similiter maiorem his per seipsum cujhice inter numero S resultant eo erit proportio tripla addidictum propoitio item: et inultiplicando quemlibet illotum per seipsum ter:quod idem est et multiplicare numerum cubicii cuiuo talio numerus est radix per eivo radicem inter numeros resulta meo erit proportio quadrupla ad dictant proportionem pii mam: et sic consequeliter. Ista faciliter piactitari possunt Zid secundam dubitationem dicitur:*solum p portiones eiusdem rationio sunt pioportionabiles vel coma parabiles secundum rationem proportionis vico omne optoportiones equalitatis esse eiusdem rationis: et ita spoistiones maioris inequalitatis adinvicem: et similiter mino, rioinequalitatis adinvicem.Sic ergo nulla proportio equalitatio dicenda est maior minor vel equalis respectu proportionis in equalitatis: nec proportio maiolis in equalitatio
respectu pio portioni ciuequautatio.De commensurabilitate dico monomia ea comparabile esse commensurabiles. ut patet ex dictio. Proportiones dicus itur cominensurabiles quando eadem proportio ite commensurari possunt: doe est quod eadem propolito aliquotieno sumpta constituat una et similiter aliquotico sumpta constituat aliam: ut sunt pios portio dirum la: quadrupla: octu pla: et sex accupla: et alie proportioneo reperte inter numeros precedentes ab viritas te percolatinua Duplatione: sitim liter pio cededo ab unitate percontinua triplatione proaucetitur trum eri quovi Sporationes ad inuice sunt comensurabiles: et ita si continua quaadruplatione proportiones pauete crunt c6mensurabiles aer sicco seqtienter hoc est qd dicii :ypoitiones multiplices quarum denominationes sunt de numero numerors sunt cometis obiles. o 3 ex illo no qualibet x portione cuilibet sportioni esse comensurabilenu nicut dupla et tripla vel quadrupla et qui tirupla no sunt in uice comesurabiles: imo nulla proporatio multiplex alicui portioi no multiplici salte 3 roirali: ut supparticulari vel suppartienti: est come usurabilio .iuuelibet in rumportio ni ultiplex: inio et quelibet no ni ultiplex: alicui peportioni irrationali est comensurabilis: intelligo de piopolestionibus inequalitatio istud faciliter probari potest:postonulla Dpoitto qaliquoties sumptae reddit xpoitione multiplice costitust propoitionc rationale iaci multiplice:etia quotiescunm sumatur. Patet exilio: si aliqua proportio constituatur ex duabus proportionibus equalibus: talio ad quaslibet illaru est; portio dupla: et sileoponeret ex tribuo equaslibus ipsius ad qual3 erit 'portio tripla et si componatur ex duabus quarissmia est dupla ad alia illius ad maiorem erit
proportio sesquialtera: et ad minorem tripla:et sic consequena ter cognosculis D portio res proportionsi silaut proportione quatitatii. LPatet ex isto quod datio tribuet terminio continue proportionalibus geometrice:Pportio inaioris ad misnorem erit dupla ad propoitione quor licitae a Porum duoruet datis quatuor terminis taliter contiguc proportioliabilis hisorptoportio extremi maiorio ad minus erit triplo ad prosportionem intermediorum:et si situ quitiq3 erit quadrupla:et sic consequenter:ista faciliter declarantur ex inplo:signati
istio termisus scilicet quatuor.octo.sexdecini. triginta duo.
Proportio maioris ad mmorent scilicet octu pia est tripla ad pio portionem intermedio tum:scilicet duplam et ita in alij3 similiter declarari potest. L equitur ulteri uosticii toriani proportio composita ex duabus stiperparticularibuo est minoi tripla:ita omnis hiopoitio composita ex una supparticulari et alia suppartiete hoc patet ex eo ae tripla Dpoitio componitur ex una sesquialtera et mist multiplici scilicet duplatquequacitae superparticulari et etiam quacuiv supera partietite est iliatos . esto non obstante ex duabuo superpar tientibus potest resultare tripla vel aliqua maior tripla: vitti pla sesquialtera: tripla sesquitertia: vel tripla semitiquarta .etc.sed ex nullio duabus superpartientibus potest resulatare quadrii pia vel maior quadrupla: ex eo quo a quelibet quadrupla includit duas duplae: et dupla qualibet supera partiente est mai t. Ecquitur si italltcr. licet proportio resultans ex sua buo sesquialteris equaliter excedat proporationem duplam sicut proportioresultans ex tribuo sesquialterio excedit proportionem triplam: tam eii proportiore subtano ex quatuor sesquialteris no equaliter excedit quadrus plani sed multo magis:et similiter propoitio 'posita ex quin m quintupla: imo ex quatuor sesquialterio restillat propor tio maior qui ritupla:et exquitiq; sesquialteris resultat proet portio maior sex cupla imo iis aior septupla Prima paro pastet inductive: utrobi vexcessito est proportio sesquio claua. Secunda paro probatur:qi proportio.lxxxs ad .xvii est inaior quintii pia eo ponitur existis quatuor: scilicet ec proporretioe.lxxx .ad. liiii. et proportione. liiij.ad.xcxvl .et proportide. xxxvs. Ea. xxiiii et ex adippitione.xxii ad xvi. quarum quellabet in sesquialtera. Similiter proportlo. ccxisti. ad .xxxij. que et maior sexcupla: imo maior septupla:resultat existis quin*:scilicet. xxiij.ad. clxi .et. clxij. ad .cvit .ct cviij. ad,
29쪽
myde proportione proportunum et proportionalitate.
lxxii et Ixcij.ad.xlviii .et.ibiti. quarum quelibet est sesquialtera.CExistis concludi potest regula adiri vcniendum minimosnunieres inter quos reperiturquet unca propoitio in multiplici pio portione se habens ad quacuiturastionalem: et est ista.Batio cuiuscula talio pioportionis misnimis numeris minimi numeri proportionis duple ad illa; sunt numeri quorum unus resultat ex multiplicatione minoris per ipsum metet alius multiplicatide maiorio peripiuti et maiorem primorum numerorum. Et mini ini numeri in ter quos inuenitur propolito tripla ad primam propoitione datam sunt numeri quorumvlluorcsultate e multiplicatio, ne minoiis minimorum numerorum dicte imple per minore
primotum numerorum captorum scilicet eluo subauplectilisuo resultat ex multiplicatione maioris minimorum IIumciorum dicte duple per maiorem minimorum numerorum eiu subdupleri ita minimi numeri inter quos reperitur proportio quadrupla ad primam sunt numeri re iuuanteo ex multiplicatione numerorum Dicte triple per prinios itumeros: scilicet eius subtriplet maiori per maloiem et minoris per misnorem modo dicto: et sic consequenter: ut os elidunt venia pla sequentia. Dupla. a Dupla . . Tripla.8. Quadrupla. Id.
Sesqaltera. 3.Dupla. q. Tripis.1 T. Quadrupla. gr. 2.sesquialtere . sesquialtere. 8.sesquialtere. Io. Supbipti eo s.Duola .superbi. a ripla superbi. tas
Tertiae. 3. Tertias. o Tertias. EA
Guines sunt tertii. oem pilo. a et b iii primo a Ipl abeato qui sunt quaterni. Item excepto i in secundo alaphabeto qui ei duellius. Doc perutile opus simptu honesti viri Iacobi Giutite eastigatissimis typis excussum fuit IIugauiti apud Soarme Adorlin aso de Cambra