Dissertatio inauguralis physica de combustione

11쪽

nom p primitiva generalis propositar constoralem enim arbitrariam includit.

2. spe posterior aequatio Nullam continet constantem arbitrariam AEquationidisserentiali aequo ac sequatio integralis completa satisfacit, hanc vero non ingreditur, id est, ex ea elici nequit quemc imque constanti arbitrariam attribuamus valorem. Itaque essentia sua ab omnibus iis sequationibus differt, quas ex aequation integrali completa, variis constanti arbitiario attributis valoribus, dedueere licet. o charactere hujnsmodi aequationes desiniri possunt et complures quidem geometrae inde prosecti sunt oliationum peculiarium problema enodaturi; sic enim aequationes, quas modo definivimus generatim, auctore a place vocantur, qui primus problema solvit Lagrange vero eas primum aequationes integrales peculiares vocaverat, nomen solutionum peculiarium variis aequationis integralis completa casibus assignans. Sed, ut beri Locroi animadvertit, aequationes primitivae quibus licet ex aequalione integrali completa non eliciendis

aequaliones disserentiales solvuntur, quia in rilla in grandi methodo obtineantur, nomen tieeessario respuunt quo tales melliodi in mentem revocantur.5 Quum non desint cujusvis ordinis sequationes dissilentiales quihus, praeter sequationem integralem completam ordinis inferioris, solutiones Poculiares ejusdem ordinis competant, solutionem sequationis differentialis ordinis cuiuscumque meabimus aequationem ordinis inferioris, qua aequalioni differentiali salissiti qualionem integralem particularem , solutionem quae praetere integrale completum ingredietur, solutionem denique Pretilianem, solutionem huic non inclusam. 4. Si aeqvatio qui am ad hanc formam reduci queati is ΝΘ, ubi , --Ρ, Ν - sit, sui clio indolorinitia tartim, et, simul, seu solius x ou solius F, patet ιι o considerari posse tanquam solutionem peculiarem aequationis propositae, quippe quae prodit sub forma Pdx - - o. Porro ejusmodi soluti ne inventum iri determinando factores quantitatibiis, et Ν communes man,

festum est.

5. Diu geometrae ejusmodi solutiones Peculiares tanquam generis ab eo diversi considerarunt cui competit ea quam I. 1 vidimus, quia vinculo minus arcto

12쪽

aequationi differentiali proprio sic dictae, id est, aequationi disserenitali sub

forma positae connecti videntur Serius autem videbimus solutioue peculiares perperam eo respectu distingui, quia ab aequatione sua disserontiali quaevis solutio peculiaris, essecta quadam in turmiuatarum mutatioue tanquam sacto separari potes 6. hi integrandi methodis existentia solutionum Peculiarium constiterat Saa ,

maximi momenti factum est ossignaro rationes quibus ejusmodi solutiones connectuntur cum integralibus completis quibus non includuntur, tum aequati nibus disse oli Iibus quas solvunt. Problemata generalia catenus Propoueuda sequenti verborum circuitu concipi possunt. I. Ex integrali completo aequationis disserentialis orditiis cuiuscumque et quo cumque indeterminatarum eruere solutiones peculiaresinimo huic satisfaciant. II. Dat aequatione disserentiali ordinis cujuscumque et quotcumque indeterminatarum, latent integrali completo, 3. Determinare utrum aequatio ordinis inferioris quae datae sequationi satis facit, integrale completum ingrediatur, an secus. I. Elerminare eunetas aequationis alte solutiones peculiares. . Quum vero in hac nostra dissertatione nullas nisi primi ordinis et duarum indeterminatarum aequationes disseretitiales pertractandas nobis proposuerimus ea problemata sequenti modo circumscribentur. I. Ex integrali completo aequationis primi orditiis ot duarum indeterminatarum, hujus solutiones peculiares eruero. II. Data sequatione primi ordinis et duarum indeterminatarum, latente integrali, i. Determinare utrum aequatio finita qua solvitur, aequationem integralem in grediatur, an secus. s. Determinare cunctas hujus solutiones peculiares.

8. Quibus problematibus dissertatio nostra in duas partes dividetur , quibus wrtiam subjungemus de solutionum peculiarium significatione geometrica.

OBLEMA I.

Ex equatione inrerali completa equationis primi ordinis et duarum indete minatarum, eruere solutiones peculiares arquationi disserentiali satisfacientes. 9 AEquatio disserentialis pilumi ordinia et duarum iudeιerminatarum semPexim

13쪽

dii potest sub forma EF pd mi Si di factor quo multiplicanda sit titas ἀν--x ut fiat disserentiale exactum, sitque solutio peculiaris propositae, exit Ν - . - x γ quum vero μ sit generatim unctio indeterminatarum x et x erit quoque et proinde γἀ - - λ μ J-, F γ, Integrando , exit Fix μνη- integrato compIetum propositae, C tu constantem arbitrariam assumpto. Nunc, quum ρι- sit solutio peculiaris Propositae delere nequit F x, Qq-C, quocumque valore donetur, neque ergo delebit ν θ - pG disserentiale hujus quantitatis at, quatenus est solutio peculiaris delet θ-pEx faciet ergo seia, quod eodem recidit, faciet o. Sic sere Laplace hanc propositionem demonstravit, ad quam

- a mamiratum est. V m o eat aequata integralis compIet Propositae et a constans arbitraria. ν innumeros habet valores, quod agrange ibidem demon-

stravit; sed scopo nostro sustici valor simplicissimus II. Cognito, determinandi sunt omnes actores quantitatis; qui 1Phraa γadaequati solvunt aequationem di id - . Sit ergo, unus actorum posita sequatioue o differentiale quantitatis fiet , seu erit o. Sed , ex hypothesi , posito evanescit quoque quantitas pax ev nescit ergo disserentia . - p. Itaque rei dissicultas in eo vertitur ut factores quantitatibus χνή- p communes assignentur: quod analysma algebraicae ditionis est. γHorum factorum quisque Ophree adsequatus erit solutio aequationis θ-ρώ - .

14쪽

riit ergo

me enim posito, evanescent quantitates EF - πώ et et proinde earum summa θ- μα Deinde nulla opera patebit quinam actorum Uphrae adaequat aequationes integrales particulares sint, quinam solutiones peculiares. Ea Exemplo sit aequatio 1 - - - α . ujus aequatio disserentialis primi ordinis est

undem ae et proinde is di mi Differentiata quantitate,' γ, prodit ax- - θ, et idcirco, mox unde emergit - ἔγ- ae' diatqui manifestum est quanti uitibus ist--I factorem esse communem x di. x' F est solutio aequalionis disserentialis propositae quum vero ex integrali elici nequeat, est solutio multaris.1 S. Via quam modo inivimus problemati nostro non omnino respondet pro terea quod supponit cognosci sequationem differentialem propositae , dum solutio peculiaris ex sola aequatione integrali erui deberet. Quod quidem docuit Lagrangestico quamolem suesti Calcul es mellam ratione sere sequenti. Sit o sequatio differentialis duarum iudetermina taxum primi ordinis, id est, in qua V sunetio est quantitatum , γ, - et quae emersit ex elim natione constantis arbitrariae a inter sequationem integralem et ipsius

disserentialem ar 4 H.α - o i, Consideremus in aequatione V - conata tem arbitrariam a ut indeterminatam functionem quantitatis x tunc dissere tiale aequationis V mi, fit

15쪽

Manifestum est ex climinatione quantitatis, inter et i), Idem emersurum atque ex eliminatione ejusdem quantitatis inter et a), dummodo

Pedita a m const. Qui casus est integralis completi AEquati integrata

generali suppeditabit pro quantitate a functionem indeterminatarum x et quae in V mi substituta dabit aequationem primitivam constanti arbitraria Greutem, quae idcirco solutio peculiaris eiit. Itaque ex integrali coimplet aequationis disserentialis solutiones peculiares doducturus integrale disserentiet quoad quantitatem is functionem indeterminato x consideratam, faciatque valores constantis arbitrariae inde manantes in V substituti solutiones peculiarsis dabunt. Exemplo sit aequatio integralis, m ax in Erit V - - 2- μα - .

qui valor quantitatis, in integrali substitutus dat solutionem peculiarem ' ino jam cognitam. 14. Ex iis quo praecedunt patet solutionum peculiarium essentiam in eo consistere quod valor quantitatis a functio est indeterminata. Quotiescumque igitura sequatio . ... mi ope cujus a delerminatur, pro ea quantitate valorem suppeditat constantem vel talem unctionem quantitatum, et F quae fiat constans propter Winis, nullus solutionibus peculiaribus locus est sequatio autem quae prodit nihil est praeter integrale particulare. Lagrave, qualoratenis Iecon auriae Calculde fonesiona. 15. In theoria aequationum genevoli demonstratum est aequatioui inesse legem sub qua aequatio V m o, quoad a ordinata duas habet radices aequales. Si ergo in Vmo substituatur valor quantitatis x euro solutione peculiari elicitus, e riatio adipiscetur duas radices aequales pro a Bovera solutio peculiarisy m τ' adducit aequationem y - Iax F- - ad formam a)' - .16. Nunc manifestius est sactorem aequationis disserentiatim fieri infinitum per

16쪽

lesimum oriri ex conditione unde solutiones peculiares mergunt Liquet etiam quare diei nequeat quamlibet functionem quae euhra aedaequat

actorem infinitum facit, solutiouom peculiarem osse. Nam actis a vel cinfinitis fit quoque actor infinitus, niti quidquam pronuncietur. 17. Si prodeat sequatio int gratis sub forma ip x, ubi a est constans arbitraria, et substituatur Φ x, 1 quantitati a in V m o, sequatio emergens erit Montica cum V - o, et disserentiata porriget, designando e solam Iiteram Linctioneta M

PROBLEMATIS

17쪽

Ut sit integrale particulare, seu , aliis verbis, ut curvae et mmi omnibus punctis coincidant, oportet ut alto in f, qualecumque sit incrementum . Quo requiritur ut ad punctum intersectionis curvarum obtineant aequa-

quationes - - - - - - , -- --, etc. 1m eaedem aequa

que eliciuntur is , ein, nam a m P, et proinde in et

in aue rex a tasic porro Si designentur B, di, et , Per P in v etc., et i , , et per P, γ' p , in aequationes quibus satisfieri debet ut sit integrale particulare evadent P - , ω - ρ - , et Ex iis igitur aequationibus erui debet character quo innotescet utrum solutio data integrale particulare sit an secus. At en hypothesi est solutio, id est, primas aequationi satisfactum est e sequentibus igitur character emerget. Quo posito, supponaturaequationem simplicissimam esse solutionem aequationis es in pilae. In eo ν - et ala P m. Ut igitur sit integrale parti-

18쪽

culare, habeatur oportet i - , , p V m o, et sic porro Haud magnae molis est tunc assignare formam necessariam quantitati p. Quum enim, evanescat, Posito, i, ipsius forma necessario erit F q, ubi n numerus est positivus, ber quantitas finita licet, in o. Nunc utrum nisi major minorve unitato an unitati aequalis videamus. Quem ad finem, evolvatur ' i serie ascendenti quoad n erit

ubi non , V sunt numeri necessario positivi, et X X , XV, lanctiones qua titatis . Si disserentieturis in seriem reducta, emergut

similite invenietur

m . an ' te. E sola inspectione primorum torminorum concludatur necesse est quantitate ρ PV, P V, et omnes evanescere non posse nisi posito, a veli 1 Si foret nς , sequationes V - , -P o, P et , non omnes solverentur. Unde concludetur initiationem F - o quae satisfacit sequationi o - Iuta integrale a liculare fore quum finduere poterit formam Ῥ, ubi, o vel n I vero quantitas finita manens posito, in o. Si nς I, eritis, o solutio peculiaris. 19. Eulorus G. 26 suae Mechaniem, quum solutionibus peculiaribus nondum operam navasset via admodum indirecta, ut ibidem videre licet, sequationi

d - G, Folutionem e se peculiarem, mi invenit. Quod e praecedenti thooria concludere facillimum est. Potest enim sequatio modo allata prodire sub forma E--ρ- γ' Comparatione interis tr institutu, patet esse nci. Ergor is est solutio peculiaris sequationis EF b. ao. Haec via discernendi utrum sequatio F quae satisfacit aequationi V -PAE

19쪽

integrale particulare sit an sectis, simplicissi uis sat Ad eam Esdue pote, rasus ubi soluti data . - generatim unetio est indeterminatarum, et . toni inponatur lino sub formab in X. Quum ex hypothesi me aequatio satissaeiat sequutioli θ - μώ, erit i in Paeu ubi per P intelligi debet quod fit , mutato F in X. Qua posteriori sequatione substracta a priori, prodit aequatio cujus membrum utrumque posito a m Mevanescet. Erit igitu posterius P forma Q 3 X ubi inquantitas nita manet posito 1 - , e n numerus cst Positivus. Ergo aequatio disserentialis evadit

Si sat y praecedens sequatio mutatur in hanc

Observando osse θ - - - 4M Instituto nunc pro eodem ratia ciui quod instituimus pro et 1 g g. 8, manifestum est, is inti grato particulare sore quotiescumque habebitia re a uis 4. Quod si esset nς i. foret is, o solutio peculiaris. Exemplo sit sequatio disterentialis.

co quum satisfaciat aequatio ' fm o, sit 'senti cam Wm x'-rmi, videamus ani integrale sit particulare an solutio peculiaris rini di δε-

reutiando elicitur etae et substituto valore quantitati, perii st

in x - π i 2 x' Fh in ' - 2μ'. Quam sit m- ,π' - 1 dato aequationis solutio est peculiaris. 23. Haec methodus agnoscendi an data quaelibet solutio peculiaris sit ne noquum non ita brevis sit facilisque applicationis, quaerendus est solutionum ρο- culiarium magis eminens haraeter Ad hune scopum prodeat denuo sequatio δι - u dae, atque evolvatur in scii ascendenti quoad orit

20쪽

desi Natis ex L V f eis funetionibus quantitatis, Utroque hujus aequationis membro quoad solam inde remi atam x disserentiato prodit, observando

- - V. - - - et Positorici, id est in eas solutionis peculiaris, alterum hujus aequationis mem-hrum fit infinitum per μααo. Unde concludatur necesse est aequatione, o si sit

solutio peculiaris, ad infinitesimum reduci disserentiale quantitatis -- pro sola indeterminata x sumptum et per dx divisum. Atqui ho disserentiato per dx divisum est.

In casu solutionis peculiaris sit infinitum, seu, quod eodem ecidit, habetur

Edata aga uatione .uoa e deducitur

Erit igitur

qum quontitas, posito ει , evanescit rigo, etc.