Dissertatio inauguralis physica de combustione

21쪽

Quum facile sit hanc methodum adtemperare casui ubi is lanctio est indeterminatae x vel F solius, non amplius hisce immorabimur.

PARS ALTERA.

Data quation disserentiati primi ordinis, determinare omnes solutiones

Pectiliares.

Quo posito, nihil impedit quominus is sumat formamis a per X ut antea functione quantitatis, intellecta. Erit turi et Substituto in quantitatera indeterminatastis hujus valore X F, evolvatur Q in serie a

cendenti quoad, erit

Ε hae sequatione quoad . disserentiata, elicitur

In praesenti easu, id est, posita iam o solutione peculiari, patet seri eo. Po- alia ergo aequationeis mi evanescit quantitas -- , seu, quod eodem redit,

22쪽

is est laetor hujus quantitatis. Haud majoris ore molis probare esse, quoque iactorem quantitati Nunc ut inveniatur ille saetor, disserentietur sequatio

- . Unde ponatur emergere θ --x Patet huic sequationi satisfieri

Per . - a Per satisfit etiam sequationi pax. Ergo , posito μ-o, evanescet disserentia, Unde manati factorem esse communem quantitatibus et w- ω id est, o ita solutione Peculiari has quantitates fieri . Invertendo dicere possumus factorem quemlibet quantitatibus -- et ρ -- communem , solutionem esse peculiarem Etenim factor ille delet quantitates F-πώ et ρ -πώ; delet igitur earum quoque disserentiam nempo θ dx Quum caeterum reddat coeffieientem In infinitum, nihil nisi solutio peculiaris esse potest. Si differentietur aequatio ----o Prodit

is Ergo max et '-M. Ergo ' - γ est solutio peculiaris aequationis proposita ut jam videramus, et solutio peculiaris est unica. aI. ethodusci prim exposita omnibus numeris absoluta esset si pro casu etiam valeret ubi solutio peculiaris unctio est sive, sive, solius. At tune sequenti ratione determinatur. Ponatur primum, uncti solius Fu dabit aequatio

23쪽

μ 3,θ-ο ergo erit quoque μ- ο ρ habent formam MN Q vero insignante quod supra. Quum sit .sunctio indeterminalae, erit contra Iunctio quantitatis , Q autem ut unctio quantitatum, et opinerit considerari. Quo Posito, evolvaturis in serie ascendenti quoad ιι erit

designatis Per , I , unctionibus indeterminatae, solius. Hujus aequationis differentiale quoad, est Ergo, quum posito ς 1, fiat e Per, mi patet per solutionem Peculiarem ubi unetio est solitisis, et necessario fieri eo eu evanescere quantitatem -- Quum vero posita tali solutione evanescat quoque , concludetur contra queinlibet actorem quantitatibus P et communem daturum esse solutionem Peculiarem, a sit unctio olina, ait unctio solius x, instituetur idem ratiocinium, proficiscendo ab aequatione H i. r. Patebit quamlibet solutionem peculiarem functionem solius, factorem Me communem quantitatibus et contra quemlibet factorem his quantitatibus communem et sanctionem solius, esse solutionem peculiarem aequationis θ - p . xl. NulIa sutietis algebraica disseretitiatiori acquirere potest dare proinde V in eo, dum quantitas P finita manet, nisi talis quae terminos contineat signo radicali assectos. Inde manat e radicalibus aequationi disserenitali inclusis Petendas esse solutiones Peculiares, linj-modi sunctione typhrae da quando, et dijudicando an aequationi data ruatisfaciant Lagrange qui primus nexum solutionum poculiarium cum WHoribus theoremati Taylonis non submissis animadvertit, iis no na analogiam quamdam innuentia tribuit quippe qui tuas aequationes primitiva singulares hos valores singulares vocavit.

24쪽

ubi μ- est solutio peculiaris Q vero generatim unctio indeterminatarum et muto nec o ne infinita evadit Posito, mi Quae sequatio, observando esse -- 4 vc disserentiale quantitatis --, transformari Potest in hanc

Atqui patet hanc sequationem in duas abire, quarum altera est nae: -- lutio peculiaris, altera vero aequutio diserentialia cui solutio peculiaris non satisfacit Patet, ubi , seu in solutionem -- o quae tunc est integrale Particulare separari non posse ab aequalione disserentiali Legendis primus hane separationem animadvertit Prodeat denuo ni exemplum aquatio disserentialia 6 - - - 24 , - γ)- Πυjua soIulio Peculiaris est,' --y - O. Fiat α'--y - Σ'. Erit tum aequatio disserentialis a dari o. Ergo ema6. Nunc quidem demonstratum est aequationem diuerentialem cui solutio P euliaris ompetit semper in duo sectores abire posse, quorum alter est solutio peculiaris, alter vero aequatio diffisentialia in solutio oculiaris non satisfacit; at ut talia iactorum separatio seri queat, Dognoscatur oportet aesulio peculiaris. Ergo reliquum est ut methodus iudi tur factorum separationem Perpetrandi tente etiam solutione peculiari. Sit fix, yysequatio dissereutialis proposita, et se, ),ubii sunctio est determinanda ratione quae scopo nostro idonea sit, a vero in ierminata quae indeterminatae r substituitur Liquet, si Ponatur

Unde

25쪽

ubi P est quod sit quantitas -- quum in ea substituitur x x, quantitati γ, seu f x φ . Prius hujusce aequationis membrum in duos actores via simplieissima abibit, si ponatu 2-W- ο, seu f x, p). Quo requirituae ut sumatur Pro aequatione γ- x, ), integrale completum aequationis pro-d do

et separationem solutionis peculiaris essecturus cognoscere qualibet ratione solutionem Peculiarem necessario debet. u7. Nonnunquam utilissimum cst sequationem disserentialem solutionibus Pecu- Iiaribus liberare. Caesen onerat, inquit Oisson, Ies oliations particulieres don tine quatio disserentielle ae trouo compliquee, sontis Obsfacti a Pin- gration ora Disan dimarati di ea soliasiona , o restrein m quelque orisI Eid de P*tiation disserentie 4 eu prenae neforme plua impia e mus anterit preparation oti gula putas Pinu eri Iour Polyt. XII cali. Videantur ibidem exempla.28. Demonstratum est posse semper, mutando indeterminatam, aequationem disserenitalem solutionibus peculiaribus liberari. Dici contra potest iu sequationem disserentialem introduci semper posse solutionem quamlibet Peculiarem, multiplicando aequationem disserentialem per faciorem qui solutionem peculiarem datam contineat et Uciendo deinceps indeterminatarum mutationem. Eadem indeter minatarum mutatione in integrali propositas effecta , prodihi integrale novae aequationis disserentialis. At eo integrale nihil nisi novam sormam induit, nul-Ioque novo actore implicatur, id est, solutionem tu inquationem disserentialem introductam non recipit. Si quidem aequatio θ - ubiis data functio est indeterminatarum Hely, sitque propositum in eam introducere solutionem peculiarem designata Per Munctione earumdem indeterminatarum ad libitum sumpta. Quod ut fiat, multiplicetur proposita ex Mu prodit 6 Ud in o. Sit a nova indeterminata lanctio indeterminatarum x et 4 cujus

sic F; exit disserentiale quantitatis α quoad , ..i . EF,

26쪽

et proinde disserentiale integrum erit de --θ i). Ergo eri h

Integrata sequatioue i prodibit valor quantitatis c per x et rexpressus, eritque valor quantitatis di lanctio indeterminatarum x et x. Qui in aequatione a su rogatus hanc transformabit in sequationem disserentialem quae lanctio exit indeterminatarum x et x cui satisfiet per omnes aequaliones finitas quae satisfaciebant sequationi θ - et terea Pe solutionem peculiarem Quae ut omni exemUo inusta eratυT, Propositum sit introducere in aequationem disse-xentialem solutionem peculiarem υ - mx - , designatis evmetis indeterminatis, per misero data quantitate. Ad hunc scopum, multiplicetue

Hanc aequationem ejusdem esse formae ac sequationem generalem ei, - a Q axino manifestum est ergo - - - est solutio peculiaris. 29. Nihil sorte notatu dignius in solutionum peculiarium theoria quam id quod, introducta in sequationem disterentialem propositam solutione peculiari, semper ex integrali eiusdem aequationis transformato eadem solutio peculiaris deduci possit. Sit x, α integrale sequationis θ - - - , designata Per constanti arbitraria. Si substituatur indeterminatae r ipsius valor per x et ae pressus, Prodibit integrato aequationis et g 23. quod resolutum quoad a dabit mi x a). Res eodem rediret si tu valore quantitatis , id est, in integrali

27쪽

aequationis 1 I 28, substituatur indeterminata F, ipsius valo I x, i).axaequatione u F x, a deduci poterunt solutiones peculiares quo disserentiali hujus aequationis competunt, variatione constantia arbitrariae. Quo posito, monstrati potest hac methodo inventum iri, praeter solutionem Peculiarem, mi , eas quae aequationi θ - ρώ, o competere potuerint. Revera , disserentiato valore Ludeterminata e quoad , prodit, observando esse F j x, a).

lissacit u is solutio peculiaris ivtroducta aequo o. Si elimiuetur inter hanc et F x, a se invenientur Per e et x APex x et F expressae solutione peculiares aequationis θ - p siquidem hujusmodi solutiones habeat. Integrale sequationis et g 28, est a). Geta in hac aequaliotio eadem indeterminatarum mutatione quae in sequatione 3 S 3 Iacta fuit, Prodit a

Ex demonstratione praecedenti oportet ut sit u - - - o solutio reuliaris hujus sequationis Atqui hoc quidem invenitur si disserentietur hoc integrale quoada nam tune emergit

λα, suppressu quantitate 1

28쪽

SIGNIFICATIONE GEOMETRICA .

Mulxuin indo loci in sequentia emanabit. Quaeritur uxv talia ut demissarum eduobus punctis datis in ipsius tangentem quatuciamque cathetorum Productum ait constans. Designentur Per P eis unctorum latorum aliscissae, eaque simplicitatis causa in axi abscissarum sita esse ponamus Porro situ subtangens pro puncto quolibet eurum; erit ι -- pora axeos inter augentem et originem alta ι--x-μρ, - partes erunt ejusdem axeos inter tangentem et puncta data. Quibus Positis, facito invenitur similitudine trigonorum hinc tangenti ordinata et axi abscissarum inde in abscissarum, athesis et tangente sumatorum,

pro valoribus cathetorum. Observando nunc esse , -- , cathetorum vero producto per Κ insignito, emerget pro sequatione problematis

Qua aequatio dissicilis integratu sub hac sorma, facili, ut animadvertit Eulerus. si praevi differentietur, integrationi ansam praebet Etenim tum prodit, diis rentia, pro constanti habita

nempe aequatio primi ordinis ut proposita. Inde aequitur si cum hac com hinetur daturam esse, eliminatione disserentiae cy, aequationem finitam in x et r. Revera, essectis omnibus reductionibus, invenitur

29쪽

sequatio ad ellipsin cujus quadratum V serui xi majori est e PI quadratum eroesem axi minori Κ. Erit egitur distantia centri ad lacum. Porro, quoniam e Pa est abscissa enixi, puncta data sita sunt ad Aeos ellipseos. AEquatio ad ellipsin quae emersit e duabus sequationibus primi ordinis eliminatione differentiae EF, nullam continet constantis arbitrariam. Habebit vero cor stantem arbitrariam sequatio a deducta nam inde sui. - - α, aequalio quae cum proposita combinata suppeditat r-- - ρὶ Υ Ο - - gy- Κ x-μα' ,

aequalio ad duas rectas parallelas Bevera lique lineam rectam in positione idonea problemati quoque satisfacere Euterus hanc solutionis duplicitatem ut paradoxon calculi integralis consideraviti Ut paradoxo quoque consideravit quod disserentiatio locum integrationis obtinere posset. Sed ea omnia ex eo Pendent quod proposita pertineat ad classem aequationum quibus semper solutiones Peculiares competunt. 51. Quod ut demonstremus, primum Probemus quod ante agrange latebat, nempe sequationem disserentialem cui competit solutio peculiaris, differentiatam abire posse in duos actores quorum alter cum Proposita combinatus solutionem peculiarem prae V alte vexo integrale. Revera sit V m o integrale sequationia

At propter si , delabitu ad - se scilicet sequationem secundi ordinis.

30쪽

te conditioni satisfit per aeque ac per g - .E deducitur . - α 5 , aequatio primi ordinis Eliminato si inter et , seu quod eodem redit, eliminata lanctione ιν prodit integrale' - .

poculiarem indo fluit disserentiationem considerari posse ut medium exuendi aequatione disserentiales solutionibus suis peculiaribus. Quamobrem nonnullae aequationum classes facilius integrantur si primum disserentiatae suerint. At,au tore Oisson, methodus disserentiationis liberando sequationem primi ordinis solutionibus peculiaribus eo incommodo premitur quod ad aequationem secundi ordinis ducit rigo consultius est hujusmodi solutiones expellere, ut acutissimus geometra, mera indoterminatarum mutatione. a. Nunc via directa propositionem nostram demonstrare possumus nempe dari Hassem aequalionum disserentialium quae semper solutiones peculiares admittant. Revera sit , o integrale duas constantes Metra ineludens. Si a tra tanquam arbitrariae considerentur erit integrat aequationis secundi ordinia

Π O ..... I , ἀνubi peris designatur perra vero functio quantitatum, rei p. Quae aequatio emergit ex eliminatione quantitatum a et Minter ariuationes

Si repraesentemus pis p et . valores constantium, ira ex aequationibus et , s)el 4 eliciti . et . erunt duae lanctione quantitatum , fetis. Erunt quoque Φ, a, B duo integralia primi ordinis aequalionis i). Illorum ergo disserentialia cum hac aequatione necessario coincident. Quas utem disserentialia reunt